[PTMH TOAN 2021] DẠNG-09-RÚT-GỌN-BIỂU-THỨC-LÔGARIT-ĐƠN-GIẢN-GV.docx

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1. Định nghĩa:

Cho hai số dương a, b với a1. Số  thỏa mãn đẳng thức ^{a b} được gọi là lôgarit cơ số a của bvà kí hiệu là log^ab. Ta viết  log_aba^ b.

2. Các tính chất: Cho a0, ^b0 , a1 ta có

 log_aa1, log 1 0_a  .

 a^logab b, log ( )_a a^  .

3. Lôgarit của một tích: Cho 3 số dương a, b¹, b² với a1, ta có

 log ( . ) log_a b b^{1 2}  _ab¹log_ab².

4. Lôgarit của một thương: Cho 3 số dương a, b¹, b² với a1, ta có



1

1 2

2

log_a b log_a log_a

b b

b  

.

 Đặc biệt với ^{a b, 0, a1} thì

log_a1 log_ab b  

.

5. Lôgarit của lũy thừa: Cho a0, ^b0 , a1, với mọi  , ta có

 log_ab^ log_ab.

 Đặc biệt

log_a ⁿb 1log_ab

n

.

6. Công thức đổi cơ số: Cho 3 số dương a, b, c với a1, c1 ta có

 log log

log

c a

c

b b

 a

.

 Đặc biệt log 1

a log

c

c a và

log_a b 1log_ab

 , với  0_.

Lôgarit thập phân và Lôgarit tự nhiên

 Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số 10, ta viết log¹⁰blogblgb.

 Lôgarit tự nhiên là lôgarit cơ số e, ta viết log_eblnb. II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

 Tính giá trị biểu thức chứa lôgarit .

 Các mệnh đề liên quan đến lôgarit

 …

BÀI TẬP MẪU

(ĐỀ MINH HỌA -BDG 2020-2021) Với a là số thực dương tùy ý, log 9a3

 

bằng

A. ³

1 log

2 a

. B. 2log³a. C.



log3a



²

. D. 2 log ³a.

Phân tích hướng dẫn giải

1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán: Rút gọn biểu thức lôgarit đơn giản.

DẠNG TOÁN 09: RÚT GỌN BIỂU THỨC LÔGARIT ĐƠN GIẢN

2. HƯỚNG GIẢI:

B1: Áp dụng công thức ^loga

 

b c^. ^logab^logac. B2: log 9a3

 

log 9 log₃  ₃a  2 log₃a.

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải

GVSB: Ngân Hoàng; GVPB: Lê Hoàng Khâm Chọn D

Áp dụng công thức ^loga

 

b c^. ^logab^logac. Do đó log 9a3

 

log 9 log₃  ₃a  2 log₃a.

Bài tập tương tự và phát triển:

 Mức độ 1

Câu 1. Với a là số thực dương tùy ý, log2

 

a² bằng

A. 2 log ²a. B. 2 log²a. C. ² 1 log

2 a

. D. ²

1log

2 a

. Lời giải

GVSB: Ngân Hoàng; GVPB: Lê Hoàng Khâm Chọn B

Với a0 thì ^log2

 

^a2 log2a² 2 log₂a. Câu 2. Với a là số thực dương tùy ý, log 2a2

 

bằng

A. 2 log ²a. B. 2 log²a. C. 1 log ²a. D. ² 1log

2 a

. Lời giải

GVSB: Ngân Hoàng; GVPB: Lê Hoàng Khâm Chọn C

Với a0 thì log 2a2

 

log 2 log₂  ₂a  1 log₂a. Câu 3. Với a là số thực dương tùy ý, ^{log 8a2}

 

² _bằng

A. 2 log ²a. B. 3 2log ²a. C. ² 1 log

2 a

. D. ²

1log

2 a

. Lời giải

GVSB: Ngân Hoàng; GVPB: Lê Hoàng Khâm Chọn B

Với a0 thì log 8a2

 

² log 8 log2  2

 

a²  3 2log₂a. Câu 4. Cho alog²m với m0, m1. Đẳng thức nào dưới đây đúng?

A.

log 8_m 3 a

m a

 

. B. ^{log 8}m m 



³ a a



. C.

log 8_m 3 a

m a

 

. D. ^{log 8}m m 



³ a a



. Lời giải

GVSB: Ngân Hoàng; GVPB: Lê Hoàng Khâm Chọn A

Ta có log 8^m m log_mmlog 8_m  1 log 2_m ³  1 3log 2_m 3 1 a

  3 a a

  .

Câu 5. Với a, b là các số thực dương tùy ý, ^log2

 

^{a b2.} _bằng

A. 2 log 2

 

a b.

. B. 2 log²alog²b. C. log²a b . D. ^{log .}

 

^{a b} _.

Lời giải

GVSB: Ngân Hoàng; GVPB: Lê Hoàng Khâm Chọn B

Với a0, b0 thì ^log2

 

^{a b2. log2}

 

^{a2 log2b} 2log2alog2b. Câu 6. Cho log² x m . Tính giá trị của biểu thức

2 3

2 1 4

2

log log log

A x  x  x

theo m A. 2

m

. B. m. C. 2

m

. D. m.

Lời giải

GVSB: Ngân Hoàng; GVPB: Lê Hoàng Khâm Chọn A

Ta có

2 3

2 1 4

2

log log log

A x  x  x

2 2 2

2log 3log 1log

x x 2 x

   1 ₂

2log x

  = 2

m

Câu 7. Với a là số thực dương tùy ý, ² log 16

a bằng

A. 8 log ²a. B. 2 log²a. C. 4 log ²a. D. 16 log ²a. Lời giải

GVSB: Ngân Hoàng; GVPB: Lê Hoàng Khâm Chọn C

Với a0 thì ² log 16

a log 16 log²  ²a  4 log₂a. Câu 8. Cho ^{a b,} là các số thực dương với a1, log _ab

biểu diễn theo log^ab là

A. 2log ^ab. B.

1log 2 ^ab

 . C.

1log 2 ^ab

. D. 2log^ab. Lời giải

GVSB: Ngân Hoàng; GVPB: Lê Hoàng Khâm Chọn D

Với ^{a b, 0}và a1, ta có log _ab

1 log 1 2

ab

  

  2log_ab.

Câu 9. Với x0, ^y0, a0 và a1, cho log_a x 1 và log_a y4. Tính ^Ploga



^{x y2 3}



_.

A. P3. B. P10. C. ^{P 14}. D. P65. Lời giải

GVSB: Ngân Hoàng; GVPB: Lê Hoàng Khâm Chọn B

Với x0, ^y0, a0 và a1, ta có

P^loga



^{x y2 3}



^{ log}ax²^loga y³  2 log_ax3log_a y10 . Câu 10. Với a, b là các số thực dương tùy ý,

2

2 4

log a b

 

 

  bằng

A. 2a4b. B. 2log²a4 log²b. C. log²a2log²b. D. log²a b ⁴. Lời giải

GVSB: Ngân Hoàng; GVPB: Lê Hoàng Khâm Chọn B

Với a0, b0 thì

2

2 4

log a b

 

 

  log2

 

a² log2

 

b⁴

2 2

2log a 4log b

  .

 Mức độ 2

Câu 1. Với các số thực dương a, b bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.

3

2 2 2

log 2a 1 3log log

a b

b

 

  

 

  . B.

3

2 2 2

2 1

log 1 log log

3

a a b

b

 

  

 

  .

C.

3

2 2 2

log 2a 1 3log log

a b

b

 

  

 

  . D.

3

2 2 2

2 1

log 1 log log

3

a a b

b

 

  

 

  .

Lời giải

GVSB: Ngân Hoàng; GVPB: Lê Hoàng Khâm Chọn A

Ta có

3 2

log 2a b

 

 

  log 22

 

a³ log2

 

b ³

2 2 2

log 2 log a log b

    1 3log₂alog₂b. Câu 2. Cho a0, b0 và a1. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?

A. ^{log 2}

 

^{1log .}

2 ^a

a ab  b

B. ^{log 2}

 

^{1log .}

4 ^a

a ab  b

C. ^loga²

 

ab  ^{2 2log .}ab D. ^{log 2}

 

^{1 1log .}

2 2 ^a

a ab   b

Lời giải

GVSB: Ngân Hoàng; GVPB: Lê Hoàng Khâm Chọn D

Với a0, b0 và a1 ta có ^log_a²

 

^{ab 1log}

 

2 ^a ab

 ¹



^{log log}



2 ^aa ^ab

  ¹



^{1 log}



2 ^ab

 

1 1log

2 2 ^ab

  .

Câu 3. Cho log 9⁶ a. Tính log 2 theo ³ a. A.

2 a

a



. B.

2 a

a



. C.

2 a a



. D. 2

a

a. Lời giải

GVSB: Ngân Hoàng; GVPB: Lê Hoàng Khâm Chọn C

Ta có ^{log 9 2log6   2.3 3} 3

 

2 log 2.3

 a

3

log 2 1 2

   a ₃ 2

log 2 a.

a

  

Câu 4. Cho log 2⁵ a, log 3⁵ b. Khi đó giá trị của ⁵ log 4 2

15 tính theo a và b là

A.

5 1

2 a b 

. B.

5 1

2 a b 

. C.

5 1

2 a b 

. D.

5 1

2 a b 

. Lời giải

GVSB: Ngân Hoàng; GVPB: Lê Hoàng Khâm Chọn A

Ta có ⁵ log 4 2

15 

1 2 2

5 1 1

2 2

log 2 2 3 .5



5 2

5 1 1

2 2

log 2 3 .5

 5 1 1

2 2 2

5 5

log 2 log 3 .5 5 1 ⁵ 1 ⁵

log 3 log 5

2a 2 2

  

5 1 1

2a 2b 2

   5 1

2 a b 

 .

Câu 5. Cho log 3² a, log 7² b. Biểu diễn log 2016 theo ² a và b.

A. log 2016 5 3²   a2b. B. log 2016 5 2a b²    . C. log 2016 2 2²   a3b. D. log 2016 2 3²   a2b.

Lời giải

GVSB: Ngân Hoàng; GVPB: Lê Hoàng Khâm Chọn B

Ta có log 2016² log 2 .3 .72



^{5 2}



^{5 2}

2 2 2

log 2 log 3 log 7

    5 2 log 3 log 7₂  ₂ Do đó log 2016 5 2a b²    .

Câu 6. Cho Cho a0, b0, c0 và a1, b1. Rút gọn biểu thức log ( ).log (_a 2 _b ) log ( )_a

A b bc  c bằng biểu thức nào sau đây?

A. log_ac. B. ¹. C. log_ab. D. log_abc. Lời giải

GVSB: Ngân Hoàng; GVPB: Lê Hoàng Khâm Chọn C

Ta có Alog ( ).log (_a b² _b bc) log ( ) _a c ^{2log . log1}

 

^log

 

ab 2 b bc a c

 

   

2log .1 log log log

ab 2 bb bc a c

   log . 1 log_ab



 _bc



log_ac log_ab log .log_ab _bc log_ac

   log_ablog_aclog_ac log ^ab.

Câu 7. Cho a0, b0 và a1, b1. Đặt log^ab m , tính theo m giá trị của ²

log_a log _b 3

P b a

. A.

4 2 3 2

 m

m . B.

2 12

2

 m

m . C.

212 m

m . D.

2 3

2

 m

m . Lời giải

GVSB: Ngân Hoàng; GVPB: Lê Hoàng Khâm Chọn B

Do b1 nên log_ab m 0. Khi đó log^ab m 1 log_ba

  m

Ta có ²

log_a log _b 3

P b a

1 3

log log

2 1

2

ab ba

 

1log 6log

2 ^ab ^ba

  ^{1 6 2 12}

2 2

m m

m m

   

. Câu 8. Cho log_ac x 0 và log_bc y 0. Khi đó giá trị của log^abc theo x, y là

A.

1 1 x y

. B.

1

xy . C.

xy

x y . D. x y . Lời giải

GVSB: Ngân Hoàng; GVPB: Lê Hoàng Khâm Chọn C

Ta có

log 1

ab log

c

c ab 1

log_ca log_cb

 

1

1 1

log_ac log_bc





1 1 1 x y



 ^xy

 x y

 . Câu 9. Cholog 5² a, log 5³ b. Khi đó log 5 tính theo ^{6 a} và ^b là

A.

ab

a b . B.

1

a b . C. a²b²_{. D.} a b . Lời giải

GVSB: Ngân Hoàng; GVPB: Lê Hoàng Khâm Chọn A

Ta có log 5⁶ ₅ 1 log 6

 5

 

1 log 2.3



5 5

1 log 2 log 3

  _{2 3}

1

1 1

log 5 log 5





1 1 1 a b



 ab

 a b

 .

Câu 10. Với log 5²⁷ a, log 7³ b và log 3² c, giá trị của log 35 tính theo ⁶ a, b, c là

A.



³



1 a b c

b



 . B.



³



1 a b c

c



 . C.



³



1 a b c

a



 . D.



³



1 b a c

c



 . Lời giải

GVSB: Ngân Hoàng; GVPB: Lê Hoàng Khâm Chọn B

Ta có log 5²⁷ a 1 ³ log 5

3 a

 

log 5 3a3

  .

Khi đó log 35^{6 3}₃ log 35

log 6

 ^{3 3}

3

log 5 log 7 log 2 1

 



3 1 1

a b c

 





³



1 a b c

c

 

 .

 Mức độ 3

Câu 1. Cho a0, b0 thỏa mãn ^{4a29b2 13ab}. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

A. ^{log 2 3 1}



^{log log}



5 2

a b

a b

    

 

  . B. ^{1log 2}



³



^{3log 2log}

4 a b  a b

. C. log 2a3b log a 2log b. D. ^{log 2 3 1}



^{log log}



4 2

a b

a b

    

 

  .

Lời giải

GVSB: Ngân Hoàng; GVPB: Lê Hoàng Khâm Chọn A

Ta có ^{4 2 9 2 13}



^{2 3}



^{2 25 2 3}

5 a b a  b  ab a b  ab   ab

. Lấy logarit thập phân ^log^2a₅^{3b } ^log

 

^{ab 1}₂



^logalogb



.

Câu 2. Cho a0, b0 thỏa mãn ^{a2 b2 14ab}. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

A. 3



3 3



log 1 log log

4 2

a b  a b

. B. 2 log



3alog3b



log 143



ab



. C. log3



a b



2 log



3alog3b



. D. 3

  

3 3



log 4 1 log log

a b   2 a b . Lời giải

GVSB: Ngân Hoàng; GVPB: Lê Hoàng Khâm Chọn A

Ta có ^{a2b2 14ab }



^{a b}



^{2 16ab}

2

4

a b ab

 

  

  .

Lấy logarit cơ số 3 hai vế ta được log3 ² log3

 

4

a b ab

  

 

  2log³ log³ log³

4

a b a b

  

 

3 3 3

log 1 log log

4 2

a b a b

  

.

Câu 3. Cho các số dương ^{a b c, ,} khác ¹ thỏa mãn ^loga

 

bc ²

, ^logb

 

ca ⁴

. Tính giá trị của biểu thức ^logc

 

ab .

A.

6

5 . B.

8

7 . C.

10

9 . D.

7 6 . Lời giải

GVSB: Ngân Hoàng; GVPB: Lê Hoàng Khâm Chọn B

Ta có

 

log_a bc 2

 

log 2

log

c c

bc

 a  1 log

log 2

c c

b a

  

2log_ca log_cb 1

   (1)

và ^logb

 

ca ⁴

 

log 4

log

c c

ca

 b  1 log

log 4

c c

a b

  

log_ca 4log_cb 1

    (2).

Từ (1) và (2) ta có

log 5 7 log 3

7

c

c

a b

 



 

 ^logc

 

ab

log _calog_cb 5 3

 7 7 8

7 . Câu 4. Cho log 5²⁷ a; log 7⁸ b, log 3² c. Giá trị của log 35 bằng¹²

A.

3 2

3 b ac

c



 . B.

3 2

2 b ac

c



 . C.

3 3

1 b ac

c



 . D.

3 3

2 b ac

c



 . Lời giải

GVSB: Ngân Hoàng; GVPB: Lê Hoàng Khâm Chọn D

Ta có log 5²⁷  a log 5 3³  a log 78 b log 7 3b₂  .

2 2 3

log 5 log 3.log 5 3ac  Ta có log 35 ¹²

2 2

log 35 log 12

 ^{2 2}

2 2

log 7 log 5 log 4 log 3

 

 3 3

2 b ac

c

 



Câu 5. Cho alog 5³ , blog 7² , clog 3² . Tính

1 1 2 3 149

log log log ... log

log126 2 3 4 150

I        . theo a, b, c.

A.

1 2

1 2 c ac

I c b

  

  . B.

2 1 2

c ac

I c b

 

  . C.

1 2 2

1 2 c ac

I c b

 

   . D.

1 2

1 2 c ac

I c b

  

  . Lời giải

GVSB: Ngân Hoàng; GVPB: Lê Hoàng Khâm Chọn A

Từ giả thiết suy ra log 5² log 3log 5_{2 3} a c. . Ta có

1 1 2 3 149

log log log ... log

log126 2 3 4 150

I        

 

1 1 2 3 149

.log . . ...

log126 2 3 4 150

  

  

 

log150 log126



log 150126

 ²₂

log 150 log 126

 ^{2 2}

2 2

1 log 3 2log 5 1 2log 3 log 7

 

   1 2

1 2 . c ac

c b

  

 

Câu 6. Đặt alog 4³ , blog 4⁵ . Hãy biểu diễn log 80 theo ¹² a và b. A. ¹²

log 80 a 2ab ab b

 

 . B.

2 12

2 2

log 80 a ab ab

 

. C.

2 12

2 2

log 80 a ab ab b

 

 . D. ¹²

log 80 a 2ab ab

 

. Lời giải

GVSB: Ngân Hoàng; GVPB: Lê Hoàng Khâm Chọn A

Ta có

4 12

4

log 80 log 80

log 12

 ⁴

4

log 80 log 12



   

2 4

4

log 4 .5 log 4.3

 ⁴

4

2 log 5 1 log 3

 



2 1 1 1

b a

 

 a 2ab ab b

 

 .

Câu 7. Cho ^{x y z, ,} là các số thực dương tùy ý khác ¹ và ^xyz1. Đặt alog_x y, blog_z y. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. ^logxyz



^{y z3 2}



^3_{a b}^ab_{ }^2₁^a

. B. ^logxyz



^{y z3 2}



^_{ab a b}^3ab_{ }^2b

. C. ^logxyz



^{y z3 2}



^ _{ab a b}^3ab_{ }^2a

. D. ^logxyz



^{y z3 2}



^3_{a b}^ab_{ }^2₁^b

. Lời giải

GVSB: Ngân Hoàng; GVPB: Lê Hoàng Khâm Chọn C

Do alog_x y, blog_z y nên log_yz 1

b

, log_x log .log_{x y} a

z y z

  b

Ta có

 

 

log 3 2

log log

x xyz

x

y z

 xyz 3.log 2.log

1 log log

x x

x x

y z

y z

 

 

3 2 1

a a ba a b

 

  3ab 2a ab a b

 

  . Câu 8. Tính

5 5 5 5

5 5

log log ... 5 C

(n dấu căn) theo n.

A. n. B. 3 .n C. 3 .n D. 2 .n

Lời giải

GVSB: Ngân Hoàng; GVPB: Lê Hoàng Khâm Chọn A

Ta có ^{5 5 5}... 5⁵ ₅ ¹⁵

 n

  



1 5

5 5

log log 5

n

C

  

   

 

    ⁵

log 1 5

 n

  

   n. Câu 9. Cho a, b, c là các số thực thỏa c b a  1 và

2 2

6log_a log_b log_a c 2log_b c 1

b c

b b

   

. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. log_bc2 log_ab1 B. log_bc2 log_ab1 C. 3log_ablog_bc1 D. 3log_ablog_bc1

Lời giải

GVSB: Ngân Hoàng; GVPB: Lê Hoàng Khâm Chọn A

Ta có

2 2

6log_a log_b log_a c 2log_b c 1

b c

b b

    6log2_ablog_b2clog_ac log b _a 2log_bc1

2 2

6log_ab log_bc log_ab log_bc log b_a 2log_bc 1

       .

Đặt xlog_ab, ylog_bc.

Ta có ^{6x2y2 xy x 2y 1 6x2 }



^{1 y x y}



^{ 22y 1 0}

Khi đó ^{  }



^{1 y}



^224



^{ y2 2y 1}



^{25y250y25 25}



^y1



²

Suy ra

 

 

1 5 1 1

3 1

3 12

2 1

1 5 1 1 12 2

y y y

x

x x y

y x

y y x y

x

  

    

    

        

    

 

 .

Vì c b a  1 nên xlog_ablog_aa1 và ylog_bclog_bb1.

Suy ra ^{3x y 1} nên nhận ^{y2x1} log_bc2log_ab1log_bc2log_ab1. Câu 10 . Cho n1 là một số nguyên. Giá trị của biểu thức ^{2 3}

1 1 1

log n! log ! n  ... log_nn! bằng

A. 0. B. n. C. n!. D. 1.

Lời giải

GVSB: Ngân Hoàng; GVPB: Lê Hoàng Khâm Chọn D

Vì n1, n nên ^{2 3 4}

1 1 1 1

log n! log ! log n  n! ... log_nn!

! ! ! !

log 2 log 3 log 4 ... log_{n n n n} n

     log_n!



2.3.4...n



log_n!n! 1 .

 Mức độ 4

Câu 1. Có tất cả bao nhiêu số dương a thỏa mãn đẳng thức

2 3 5 2 3 5

log alog alog alog .log .loga a a

A. 3. B. 1. C. 2. D. 0.

Lời giải

GVSB: Ngân Hoàng; GVPB: Lê Hoàng Khâm Chọn A

Ta có

2 3 5 2 3 5

log alog alog alog .log .loga a a

2 3 2 5 2 2 3 5 5

log a log 2.log a log 2.log a log .log 5.log .loga a a

   

 

²

2 3 5 2 3 5

log . 1 log 2 log 2a log .log 5.loga a

   



²



2 3 5 3 5

log . 1 log 2 log 2 log 5.loga a 0

    

2

2

3 5 3 5

log 0

1 log 2 log 2 log 5.log 0 a

a

 

     

3 5

5

3

1

1 log 2 log 2

log log 5

a a

 

    

 1 log 2 log 2^{3 3 5}

log 5

1 5 a a

 



 



 

 .

Vậy có 3 số dương a thỏa mãn đẳng thức log²alog³alog⁵alog .log .log²a ³a ⁵a. Câu 2. Cho a0, a1, tìm số nguyên dương n sao cho

3

2 2 2 2 2

log 2021 2 log 2021 3 log 2021 ...a  a  a  n log 2021 1010na  2021 log 2021a

A. 1010 . B. 2021. C. 2020 . D. 1011.

Lời giải

GVSB: Ngân Hoàng; GVPB: Lê Hoàng Khâm Chọn C

Ta có

2log 2021na

n n n². .log 2021_a n³log 2021_a , suy ra

3

2 2 2

log 2021 2 log 2021 3 log 2021 ...a  a  a  n log 2021na ^



^{13  23 ... n3}



^{.log 2021a}

( 1) 2

.log 2021

2 ^a

n n

 

   .

Do đó ³

2 2 2 2 2

log 2021 2 log 2021 3 log 2021 ...a  a  a  n log 2021 1010na  2021 log 2021a 2

2 2

( 1)

.log 2021 1010 2021 log 2021

2 ^{a a}

n n

 

   

2

2 2

( 1)

1010 2021 2

n n

 

   

2( 1)2 20202 20212

n n    n 2020 (với n là số nguyên dương).

Câu 3. Cho a,b là các số dương thỏa mãn b1 và a b a  . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức log_a 2log _b

b

P a a

b

     .

A. 6 . B. 7 . C. 5 . D. ⁴.

Lời giải

GVSB: Ngân Hoàng; GVPB: Lê Hoàng Khâm Chọn C

Ta có:

 

log 4. log 1

log

b

b b

P a a

a b

  

 

log 4. log 1

log 1

b

b b

a a

 a  



Đặt tlog_ba, khi đó do a b a  ^logb

 

^{a  1 logba  }₂^{t 1 t} _{  1 t 2.}

Ta có ⁴



¹



1

P t t

t  

 , với ^t

 

^{1; 2} _.

Xét hàm số ^{( ) 4}



¹



1

f t t t

t  

 với ^t

 

^{1; 2} _{, với}

 

²

( ) 1 4

f t 1 t

   

 .

Ta có ^{f t( ) 0}



¹



^{2 1}

t 4

  

3 2 1 2 t t

 

   .

Bảng biến thiên của hàm số ^{( ) 4}



¹



1

f t t t

t  

 với ^t

 

^{1; 2}

Từ bảng biến thiên suy ra ^{min }_1;2

 

^{3 5.}

f t  f    2  Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức ^P bằng 5 .

Câu 4. Cho a, b, x là các số dương, khác 1 và thỏa mãn 4log²_a x3log²_bx8log .log_a x _bx (*). Khi đó mệnh đề (*) tương đương với mệnh đề nào sau đây?

A. ^{a3 b2}. B. x ab . C. ^{a b 2}. D. ^{a3 b2}hoặc ^{a b 2}. Lời giải

GVSB: Ngân Hoàng; GVPB: Lê Hoàng Khâm Chọn D

Đặt mlog_ax, nlog_b x; khi đó do x1 nên m0, n0.

Ta có 4log²_a x3log_b²x8log .log_a x _b x trở thành ^{4m23n2 8mn}

2

4 m 8m 3 0

n n

       

1 2 3 2 m

n m n

 

  

 hoặc 2

3 2

m n m n

 



 

 .

Ta có 2m n

log 1log

a x 2 bx

  ₂

 a b

Ta có

1 1

3m2n 1 1

log log

3 ^ax 2 ^bx

  _{3 2}

a b

  .

Câu 5. Cho x, ^y là các số thực dương thỏa mãn ln² x9 ln² y6 ln .lnx y. Giá trị của biểu thức



³



1 log 3log 2 4 log 9

x y

M x y

 

   

bằng A.

1 M  2

. B. ^{M 2}. C.

1 M 4

. D.

1 M  2

. Lời giải

GVSB: Ngân Hoàng; GVPB: Lê Hoàng Khâm Chọn D

Ta có ln²x9ln² y6ln .lnx y ln² x6ln .lnx y9ln² y0 ^



^lnx3lny



^{2 0}



^{lnx 3lny}



^{2 0}

   _{lnx3lny0 lnx3lny} lnxlny³  x y³.

Ta có ^{M   1 log2 4 log x}



^x3log9yy3

  

3 3

1 log log

2 4log 9

x y

x y

 

   ^{  1 log2 4log x}



^xlog9xx



^{ 2 4log 101 2 log}



^{x x}



1 2 log 2 4 4 log

x x

 

  

1 2log 2 4log x

x

 

 1

 2

Câu 6. Cho a1, b0, c0 và thỏa mãn ^log2

 

^{log 3 3 2 4 4 2 0}

a a 4

bc  b c bc   c  . Số bộ



^{a b c, ,}



thỏa mãn điều kiện đã cho là

A. 0 . B. ¹. C. ². D. Vô số.

Lời giải

GVSB: Ngân Hoàng; GVPB: Lê Hoàng Khâm Chọn B

Ta có

3 3 2 2

4

b c bcb c ^{2 2} 1 bc b c bc 4

    

1 2

2 0 bc bc 

     nên

3 3 2 2

4 b c bc b c

,

mà a1 do đó ^log2

 

^{log 3 3 2 4 4 2 log2}

 

^{log 4 4 4 4 2}

a a 4 a a

bc  b c bc   c  bc  b c   c

 

nên có ^log2a

 

^loga ^{3 3} ₄ ^{2 4 4 2}



^loga

 

²



^{2 4 2 0}

bc  b c bc   c  bc   c  .

Mặt khác ^log2

 

^{log 3 3 2 4 4 2 0}

a a 4

bc  b c bc   c 

nên ^log2

 

^{log 3 3 2 4 4 2 0}

a a 4

bc  b c bc   c 

 

2

log 2

4 0

1 2

a bc c bc

  



  

 



2 1 4 2 a b c

 

 

 

 . Có ¹ bộ số



^{a b c, ,}



thỏa mãn bài toán.

Câu 7. Cho x1 và thỏa mãn log log2



8 x



log log8



2x



. Khi đó giá trị của



log2x



² bằng A.

1

3 . B. 3 . C. 27 . D. 3 3 .

Lời giải

GVSB: Ngân Hoàng; GVPB: Lê Hoàng Khâm Chọn C

Ta có log log2



8x



log log8



2x



^log2¹₃^{log2 x}^log2



^3log2x



^{2 3 2}

1log log

3 x x

 

3

2 2

1 log log

27 x x

  3

2 2

log x 27 log x

  log₂²x27 (do log² x0) Vậy



log2x



² 27.

Câu 8. Cho hàm số

2 2

1 17

( ) log

2 4

f x x x x 

      . Tính giá trị của biểu thức

1 2 2020

2021 2021 ... 2021

T  f   f    f  

     

A.

2021 T  2

. B. T 2021. C. T 2020. D. T 1010.

Lời giải

GVSB: Ngân Hoàng; GVPB: Lê Hoàng Khâm Chọn C

Ta có ^f



^1x



2

  

²



1 17

log 1 1 1

2 4

x x x

 

         

2 2

17 1

log  x x 4 x 2

      , nên

  

¹



f x  f x

2 2

2 2

1 17 17 1

log log

2 4 4 2

x x x x x x

    

            

2 2

2

17 1 17 1

log  x x 4 x 2 x x 4 x 2

            log 4 22  . Do đó

1 2 2020

2021 2021 ... 2021

T  f   f    f  

     

1 2020 2 2019 1010 1011

2021 2021 2021 2021 ... 2021 2021

f   f   f   f   f   f  

             

           1010.2 2020.

Câu 9. Cho các số thực a, b thỏa mãn a b 1 và

1 1

log_balog_ab  2020

. Giá trị của biểu thức

1 1

log_ab log_ab

P b a

bằng

A. 2014 . B. 2016 . C. 2018 . D. 2020 .

Lời giải

GVSB: Ngân Hoàng; GVPB: Lê Hoàng Khâm Chọn B

Do a b 1 nên log_ab0, log_ba0 và log_balog_ab. Ta có

1 1

log_balog_ab  2020

log_ba log_ab 2020

   log_b²alog²_ab 2 2020

2 2

log_ba log_ab 2018

   .

Khi đó Plog_bablog_aab log _balog_bblog_aalog_ab log _balog_ab. Nên P² 



^logba^logab



² log_b²alog²_ab2 2018 2 2016    P 2016. Câu 10. Cho x 2021!. Tính giá trị của ^{22021 32021 20202021 20212021}

1 1 1 1

log log ... log log

A x x  x x

. A. A2021. B. A4042. C. A2020. D. A1010.

Lời giải

GVSB: Ngân Hoàng; GVPB: Lê Hoàng Khâm Chọn B

2021 2021 2021 2021

2 3 2020 2021

1 1 1 1

log log ... log log

A x x  x x

2021 2021 2021 2021

log 2_x log 3_x ... log 2020_x log 2021_x

    

2021.log 2 2021.log 3 ... 2021.log 2020 2021.log 2021_{x x x x}

    

 

2021. log 2 log 3 ... log 2020 log 2020_{x x x x}

     2021.log 2.3...2020.2021_x

 

 

2021!

2021.log 2021!

 2021.24042.