Bài 7: Trường hợp đồng dạng thứ ba (g.g.g)
Bài 39 trang 93 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điểm của AB, F là trung điểm của CD. Chứng minh hai tam giác ADE và CBF đồng dạng với nhau.
Lời giải:
Vì ABCD là hình bình hành nên:
AB = CD (1) Theo giả thiết:
AE = EB = 1
2AB (2) DF = FC = 1
2CD (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra:
EB = DF và BE // DF (do AB // CD).
Suy ra tứ giác BEDF là hình bình hành (vì có cặp cạnh đối song song và bằng nhau) Suy ra: DE // BF
Ta có: AED=ABF(đồng vị) ABF=BFC (so le trong) Suy ra: AED=BFC
Xét ΔAED và ΔCFB ta có:
AED=BFC (chứng minh trên) A=C(tính chất hình bình hành) Vậy: ΔAED đồng dạng ΔCFB (g.g).
Bài 40 trang 93 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Tam giác vuông ABC có A = 90° và đường cao AH. Từ H hạ HK vuông góc với AC.
a) Trong hình đã cho có bao nhiêu tam giác đồng dạng với nhau?
b) Hãy viết các cặp tam giác đồng dạng với nhau theo thứ tự các đỉnh tương ứng và viết tỉ lệ thức giữa các cặp cạnh tương ứng của chúng.
Lời giải:
a) Ta có: BAC=AHC= AHB AKH= = HKC=900
B HAC KHC= = (do HK // AB và cùng phụ góc BAH ) và C AHK BAH= = .
Trong hình trên có 5 tam giác đồng dạng với nhau theo từng đôi một (theo trường hợp g- g) đó là:
ΔABC; ΔHBA; ΔHAC; ΔKAH; ΔKHC.
b) Các cặp tam giác đồng dạng với nhau theo thứ tự các đỉnh tương ứng và viết tỉ lệ thức giữa các cặp cạnh tương ứng của chúng:
ΔABC đồng dạng ΔHBA. Ta có: AB BC AC HB =BA= HA
ΔABC đồng dạng ΔHAC. Ta có: AB AC BC HA =HC =AC ΔABC đồngdạng ΔKHC. Ta có: AB AC BC
KH =KC =HC ΔABC đồng dạng ΔKAH. Ta có: AB AC BC
KA = KH =AH ΔHBA đồng dạng ΔHAC. Ta có: HB HA BA
HA =HC =AC ΔHBA đồng dạng ΔKHC. Ta có: HB HA BA
KH =KC = HC ΔHBA đồng dạng ΔKAH. Ta có: HB HA BA KA =KH =AH ΔHAC đồng dạng ΔKHC.Ta có: HA HC AC
KH = KC=HC ΔHAC đồng dạng ΔKAH. Ta có: HA HC AC
KA = KH =AH ΔKHC đồngdạng ΔKAH. Ta có: KH KC HC
KA = KH = AH .
Bài 41 trang 94 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Hình thang ABCD (AB // CD) có AB
= 2,5cm, AD = 3,5cm, BD = 5cm và DAB=DBC.
a) Chứng minh tam giác ADB đồng dạng với tam giác BCD.
b) Tính độ dài BC, CD.
c) Sau khi tính, hãy vẽ lại hình chính xác bằng thước và compa.
Lời giải:
a) Xét ΔABD và ΔBDC, ta có:
DAB=DBC(gt)
ABD=BDC (AB // CD, so le trong) Suy ra: ΔABD ∽ ΔBDC (g.g)
b)Vì ΔABD ∽ ΔBDC nên: AB AD BD BD = BC =DC Với AB = 2,5cm; AD = 3,5cm; BD = 5cm, ta có:
2,5 3,5 5
5 BC DC
BC 3,5. 5 7cm 2,5
= =
= =
DC 5. 5 10cm
= 2,5 = . c) Vẽ hình thang ABCD
- Bước 1: Vẽ tam giác ABD theo độ dài cho trước của mỗi cạnh
- Bước 2: Lấy B làm tâm, quay cung tròn có bán kính 7cm, rồi lấy D làm tâm quay cung tròn có bán kính 10cm, hai cung này cắt nhau tại điểm C (khác phía với A so với BD).
Bài 42 trang 94 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho tam giác vuông ABC có A = 90o. Dựng AD vuông góc với BC (D thuộc BC). Đường phân giác BE cắt AD tại F.
Chứng minh: FD EA FA = EC.
Lời giải:
Trong ΔABC, ta có BE là tia phân giác của góc ABC Suy ra:EA AB
EC = BC (tính chất đường phân giác) (1) Trong ΔADB, ta có BF là tia phân giác của góc ABD Suy ra: FD BD
FA = BA (tính chất đường phân giác) (2) Xét ΔABC và ΔDBA, ta có:
BAC=BDA= 90 Góc B chung
Suy ra: ΔABC đồng dạng ΔDBA (g.g) Suy ra: BD AB
BA = BC (3)
Từ (1), (2) và (3) Suy ra: FD EA FA = EC.
Bài 43 trang 94 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Chứng minh rằng nếu hai tam giác ABC và A'B'C' đồng dạng với nhau thì:
a) Tỉ số của hai đường phân giác tương ứng bằng tỉ số đồng dạng;
b)Tỉ số của hai trung tuyến tương ứng bằng tỉ số đồng dạng.
Lời giải:
a) Vẽ đường phân giác AD, A’D’ theo thứ tự của hai tam giác ABC và A’B’C’
Vẽ đường trung tuyến AM, A’M’ theo thứ tự của hai tam giác ABC và A’B’C’
Vì ΔABC đồng dạng ΔA'B'C' nên ta có:
A=A ; B =B và A 'B' k AB =
Lại có: BAD 1 A (gt); B'A 'D' 1A ' (gt)
2 2
= = .
Suy ra: BAD=B A D
Xét ΔABD và ΔA'B'D' ta có;
B = B (chứng minh trên)
BAD=B A D (chứng minh trên)
Suy ra: ΔABD đồng dạng ΔA'B'D' (g.g) Vậy : A 'D' A 'B' k
AD = AB = .
b) Vì ΔABC đồng dạng ΔA'B'C' nên B'C' BC =k
Mà B'M' = 1
2B'C' và BM = 1
2BC nên B'M ' k BM = . Xét ΔABM và ΔA'B'M', ta có:
A 'B' B'M ' AB = BM = k
B = B (chứng minh trên)
Suy ra: ΔABM đồng dạng ΔA'B'M' (c.g.c).
Vậy: AM ' A 'B' k AM = AB = . Bài tập bổ sung
Bài 7.1 trang 94 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Hình bs.5 cho biết tam giác ABC có hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H.
Trong hình bs.5 có số cặp tam giác đồng dạng với nhau là:
A. 1 cặp;
B. 2 cặp;
C. 3 cặp;
D. 4 cặp.
Hãy chọn kết quả đúng.
Lời giải:
Ta có 5 cặp tam giác đồng dạng là:
- ΔBEC và ΔADC (vì BEC= ADC=90 ; C chung0 )
- ΔAHE và ΔBHD (vì AEH=BDH =90 ; AHE0 =BHD( 2 góc đối đỉnh).
- ΔAHE và ΔACD (vì AEH=ADC =90 ; DAC chung)0 - ΔBEC và ΔAEH (vì AEH =BEC=90 ; EAH0 = EBC).
- ΔBEC và ΔBDH ( vì BEC= BDH =90 ; EBC0 chung) Vậy đề bài chưa đúng.
Bài 7.2 trang 94 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Hình thang vuông ABCD (AB // CD) có đường chéo BD vuông góc với cạnh BC tại B và có độ dài BD = m = 7,25cm.
Hãy tính độ dài các cạnh của hình thang, biết rằng BC = n = 10,75cm.
(Tính chính xác đến hai chữ số thập phân).
Lời giải:
Theo giả thiết ABCD là hình thang vuông và AB // CD, BD ⊥ BC nên ta có:
DAB=CBD= 90
ABD=BDC (so le trong)
Do đó: ΔABD đồng dạng ΔBDC
AB AD BD
BD BC DC (1)
= = .
Xét tam giác vuông DBC, theo định lí Pi-ta-go , ta có:
2 2 2 2
DC= BD +BC = m +n Từ dãy tỉ lệ thức (1), tính được:
2 2
2 2 2 2
BD m BC.BD mn
AB ; AD
DC m n DC m n
= = = =
+ +
Với m = 7,25cm, n = 10,75 cm, ta tính được:
DC ≈ 12,97cm; AB ≈ 4,05cm; AD ≈ 6,01cm.
