SBT Toán 8 Bài 5: Trường hợp đồng dạng thứ nhất (c.c.c) | Hay nhất Giải sách bài tập Toán lớp 8

Bài 5: Trường hợp đồng dạng thứ nhất (c.c.c)

Bài 29 trang 90 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Hai tam giác mà các cạnh có độ dài như sau có đồng dạng không?

a) 4cm; 5cm; 6cm và 8mm; 10mm; 12mm.

b) 3cm; 4cm; 6cm và 9cm; 15cm; 18cm.

c) 1dm; 2dm; 2dm và 1dm; 1dm; 0,5dm Lời giải:

a) 4 cm = 40 mm; 5 cm = 50 mm, 6 cm = 60 mm Ta có: ^{40 50 60}

( )

8 =10 = 12 = .Vậy hai tam giác đó đồng dạng.

b) Ta có: 3 1 6 1 9 = 3 18; = 3

Nhưng 1 4 3 6 4

3 15  =9 18 15.

Vậy hai tam giác đó không đồng dạng.

c) Ta có: ^{1 1 0,5} 2 = =2 1 .

Vậy hai tam giác đó đồng dạng.

Bài 30 trang 90 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Tam giác vuông ABC ( A = 90^o) có AB = 6cm, AC = 8cm và tam giác vuông A’B’C’ ( A = 90^o) có A’B’ = 9cm, B’C’

= 15cm. Hỏi rằng hai tam giác vuông ABC và A’B’C’ có đồng dạng với nhau không? Vì sao?

Lời giải:

* Trong tam giác vuông A’B’C’ có A = 90^o

Áp dụng định lí Pi-ta-go, ta có: A’B’² + A’C’² = B’C’² Suy ra: A’C’² = B’C’² - A’B’² = 15² - 9² = 144

Suy ra: A’C’ = 12 (cm)

* Trong tam giác vuông ABC có A = 90^o

Áp dụng định lí Pi-ta-go, ta có: BC² = AB² + AC² = 6² + 8² =100 Suy ra: BC = 10 (cm)

Ta có: A 'B' 9 3 A 'C' 12 3 B'C' 15 3

; ;

AB = =6 2 AC = 8 =2 BC =10 =2. Suy ra: A 'B' A 'C' B'C' 3

AB = AC = BC = 2

Vậy ΔA’B’C’ đồng dạng ΔABC (c.c.c).

Bài 31 trang 90 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Tam giác ABC có ba đường trung tuyến cắt nhau tại O. Gọi P, Q, R theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng OA, OB, OC. Chứng minh rằng tam giác PQR đồng dạng với tam giác ABC.

Lời giải:

Trong ΔOAB, ta có PQ là đường trung bình nên: PQ = ¹

2AB (tính chất đường trung bình của tam giác)

Suy ra: ^{PQ 1} AB= 2 (1)

Trong ΔOAC, ta có PR là đường trung bình nên:

PR = ¹

2AC (tính chất đường trung bình của tam giác) Suy ra: PR 1

AC = 2 (2)

Trong ΔOBC, ta có QR là đường trung bình nên QR = ¹

2BC (tính chất đường trung bình của tam giác) Suy ra: QR 1

BC = 2 (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: PQ PR QR AB = AC = BC . Vậy ΔPQR đồng dạng ΔABC (c.c.c).

Bài 32 trang 91 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Tam giác ABC có ba góc nhọn và có trực tâm là điểm H. Gọi K, M, N thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AH, BH, CH. Chứng minh rằng tam giác KMN đồng dạng với tam giác ABC với tỉ số đồng dạng k = ¹

2.

Lời giải:

* Trong ΔAHB, ta có:

K trung điểm của AH (gt)

M trung điểm của BH (gt)

Suy ra KM là đường trung bình của tam giác AHB.

Suy ra: KM = ¹

2AB (tính chất đường trung bình của tam giác) Suy ra: ^{KM 1}

AB = 2 (1)

* Trong ΔAHC, ta có:

K trung điểm của AH (gt) N trung điểm của CH (gt)

Suy ra KN là đường trung bình của tam giác AHC.

Suy ra: KN = ¹

2AC (tính chất đường trung bình của tam giác) Suy ra: KN 1

AC = 2 (2)

* Trong ΔBHC, ta có:

M trung điểm của BH (gt) N trung điểm của CH (gt)

Suy ra MN là đường trung bình của tam giác BHC.

Suy ra: MN = ¹

2 BC (tính chất đường trung bình của tam giác) Suy ra: MN 1

BC =2(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: KM KN MN 1 AB = AC = BC = 2

Vậy ΔKMN đồng dạng ΔABC (c.c.c) Tỉ số đồng dạng: k ^{KM 1}

AB 2

= = .

Bài 33 trang 91 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC và điểm O nằm trong tam giác đó. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng OA, OB, OC.

a) Chứng minh rằng tam giác PQR đồng dạng với tam giác ABC.

b) Tính chu vi của tam giác PQR, biết rằng tam giác ABC có chu vi p bằng 543 cm.

Lời giải:

a) * Trong ΔAOB ta có:

P trung điểm của OA (gt) Q trung điểm của OB (gt)

Suy ra PQ là đường trung bình của ΔAOB Suy ra: PQ = ¹

2AB (tính chất đường trung bình của tam giác) Suy ra: ^{PQ 1}

AB = 2 (1)

* Trong ΔOAC, ta có:

P trung điểm của OA (gt)

R trung điểm của OC (gt)

Suy ra PR là đường trung bình của tam giác OAC.

Suy ra: PR = ¹

2AC (tính chất đường trung bình của tam giác) Suy ra: PR 1

AC =2 (2)

* Trong ΔOBC, ta có:

Q trung điểm của OB (gt) R trung điểm của OC (gt)

Suy ra QR là đường trung bình của tam giác OBC Suy ra: QR = ¹

2BC (tính chất đường trung bình của tam giác) Suy ra: QR 1

BC=2 (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: PQ PR QR 1 AB = AC= BC=2 Vậy ΔPQR đồng dạng ΔABC (c.c.c).

b) Gọi p’ là chu vi tam giác PQR.

Theo a ta có: PQ PR QR 1 AB = AC= BC=2 (4) Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

PQ PR QR PQ PR QR p'

AB AC BC AB AC BC p

+ +

= = = =

+ + (5)

Từ (4); (5) suy ra: p' 1 1 1

p' p .543 271,5(cm) p =  =2 2 =2 = .

Bài 34 trang 91 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC. Hãy dựng một tam giác đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số 2

k .

= 3 Lời giải:

* Cách dựng:

- Trên cạnh AB dựng điểm M sao cho AM = 2 3AB - Trên cạnh AC dựng điểm N sao cho AN = 2

3AC

- Dựng đoạn thẳng MN ta được tam giác AMN đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số đồng dạng 2

k = 3.

* Chứng minh:

Theo cách dựng ta có:

AM = 2

3AB AM 2

AB 3

 =

AN = 2

3AC AN 2

AC 3

 =

Suy ra: AM AN AB = AC.

Trong ΔABC, ta có: AM AN AB = AC

Theo định lí đảo của định lí Ta-lét ta có: MN // BC Vậy ΔAMN đồng dạng ΔABC và AM 2

k= AB = 3. Bài tập bổ sung

Bài 5.1 trang 91 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Hai tam giác mà các cạnh có độ dài sau đây thì đồng dạng với nhau. Trường hợp nào đúng ? Trường hợp nào sai ? Hãy đánh dấu gạch chéo vào ô trả lời thích hợp ở bảng sau:

Trường hợp Đúng Sai

a) 1,5cm, 2cm, 3cm và 4,5cm, 6cm, 9cm.

b) 2,5cm, 4cm, 5cm và 5cm, 12cm, 8cm.

c) 3,5cm, 6cm, 7cm và 15cm, 12cm, 7cm.

d) 2cm, 5cm, 6,5cm và 13cm, 10cm, 4cm.

Lời giải:

a) Đúng vì 1,5 2 3 1

4,5 6 9 3

 

= = = .

b) Sai vì 2,5 1 4 1 2,5 4 5 = 2 12; = 3 5 12. c) Sai vì 3,5 7 6 1 3,5 6

15 =30 12; = 2 15 12.

d) Đúng vì 2 5 6,5 1

4 10 13 2

 

= = = 

(chú ý sắp xếp độ dài các cạnh theo thứ tự tăng dần).

Ta điền như sau:

Trường hợp Đúng Sai

a) 1,5cm, 2cm, 3cm và 4,5cm, 6cm, 9cm. X

b) 2,5cm, 4cm, 5cm và 5cm, 12cm, 8cm. X

c) 3,5cm, 6cm, 7cm và 15cm, 12cm, 7cm. X

d) 2cm, 5cm, 6,5cm và 13cm, 10cm, 4cm. X

Bài 5.2 trang 91 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ba góc nhọn ABC và một điểm O bất kì trong tam giác đó.

Ba điểm D, E, F theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, BC và CA. Ba điểm M, P, Q theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng OA, OB và OC.

a) Các tam giác DEF và MPQ có đồng dạng với nhau không ? Vì sao ? Tỉ số đồng dạng bằng bao nhiêu ?

Hãy sắp xếp các đỉnh tương ứng nếu hai tam giác đó đồng dạng.

b) Khi nào thì lục giác DPEQFM có tất cả các cạnh bằng nhau ? Hãy vẽ hình trong trường hợp đó.

Lời giải:

a) Theo giả thiết D, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC và CA nên DE, EF, FD là các đường trung bình của tam giác ABC. Do đó, ta có:

DE = ¹

2AC; EF =¹

2AB; FD =¹

2BC (1)

Mặt khác, M là trung điểm của OA, P là trung điểm của OB, Q là trung điểm của OC, xét các tam giác OAB, OBC, OCA, ta cũng có:

MP = ¹

2AB; PQ = ¹

2BC; QM =¹

2AC. (2) Từ đẳng thức (1) và (2), ta suy ra :

DE = QM, EF = MP, FD = PQ.

Do đó ta có: DE EF FD QM = MP = PQ=1.

Vậy ΔDEF đồng dạng ΔQMP theo tỉ số đồng dạng k = 1, trong đó D, E, F lần lượt tương ứng với các đỉnh Q, M, P.

b) Lục giác DPEQFM có các cặp cạnh đối bằng nhau từng đôi một:

DP = QF (vì bằng ¹

2OA);

PE = MF (vì bằng ¹ 2OC) EQ = MD (vì bằng ¹

2OB)

Lục giác DPEQFM có 6 cạnh bằng nhau chỉ khi DP = PE = EQ.

Muốn vậy, ta phải có OA = OB = OC, khi đó O là điểm cách đều ba điểm A, B, C.

Vậy O là giao điểm của ba đường trung trực tam giác ABC.