BÀI 2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A. LÝ THUYẾT
I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM 1. Định nghĩa
Định nghĩa 1
Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số y = f(x) xác định trên K hoặc trên K \ {x0}.
Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, xn
K \{x0} và xn → x0, ta có f(xn) → L.
Kí hiệu:
xlim f x L hay f(x) → L khi x → x0.
Nhận xét: 0
xlim x x , lim cx c với c là hằng số.
Ví dụ 1. Cho hàm số
x3 8
f x x 2 . Chứng minh rằng
x 2
limf x 12.
Giải Hàm số xác định trên \ 2
Giả sử (xn) là một dãy số bất kì, thỏa mãn xn 2 và xn 2 khi n . Ta có:
3 2
n n n 2
n
n n n
n n
x 2 x 2x 4
x 8
limf x lim lim lim x 2x 4 12.
x 2 x 2
Vậy
x 2
limf x 12.
2. Định lí về giới hạn hữu hạn Định lí 1
a) Giả sử
xlim f xx0 Lvà
xlim g xx0 M. Khi đó:
xlim f xx0 g x L M;
xlim f xx0 g x L M;
xlim f x .g xx0 L.M;
x x0
f x L
lim M 0 ;
g x M
b) Nếu f x 0 và
xlim f xx0 L thì L 0 và
xlim f xx0 L.
(Dấu của f(x) được xét trên khoảng đang tìm giới hạn với x x ). 0 Ví dụ 2. Cho hàm số f x 1 x 2
x 4 . Tính
x 4
limf x .
Giải Ta có:
x 4
lim 1 x 3 0, 2
x 4
lim x 4 0
x 4 x 4 2
1 x lim f x lim
x 4
3. Giới hạn một bên Định nghĩa 2
- Cho hàm số y = f(x) xác định trên (x0; b).
Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y = f(x) khi x → x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, x0 < xn < b và xn → x0, ta có f(xn) → L.
Kí hiệu:
xlim f xx0 L.
- Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; x0).
Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y = f(x) khi x → x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, a < xn < x0 và xn → x0, ta có f(xn) → L.
Kí hiệu:
x x0
lim f x L. Định lí 2
0 0 0
xlim f xx L xlim f (x)x xlim f xx L
Ví dụ 3. Cho hàm số x 1 khi x 0 f x
2x khi x < 0 . Tìm
xlim f (x); lim f (x)0 x 0 và
x 0
lim f (x) (nếu có).
Giải Ta có:
x 0 x 0
lim f (x) lim x 1 0;
xlim f (x)0 xlim 2x0 0;
x 0 x 0
lim f (x) lim f x 0 Do đó
x 0
lim f (x) 0.
Vậy
xlim f (x)0 xlim f x0 0 và
x 0
lim f (x) 0.
II. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC Định nghĩa 3
a) Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; +∞).
Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x → +∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và xn → +∞, ta có f(xn) → L.
Kí hiệu:
xlim f x L
b) Cho hàm số y = f(x) xác định trên (–∞; a).
Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x → –∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn < a và xn → –∞, ta có f(xn) → L.
Kí hiệu:
xlim f x L Chú ý:
a) Với c, k là hằng số và k nguyên dương, ta luôn có:
k k
x x x x
c c
lim c c; lim c c; lim 0; lim 0.
x x
b) Định lí 1 về giới hạn hữu hạn của hàm số khi x → x0 vẫn còn đúng khi xn → +∞ hoặc x → –∞
III. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ 1. Giới hạn vô cực
Định nghĩa 4
Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; +∞).
Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là –∞ khi x → +∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và xn → +∞, ta có f(xn) → –∞
Kí hiệu:
xlim f x Nhận xét:
xlim f x xlim f x .
2. Một vài giới hạn đặc biệt
a) k
xlim x với k nguyên dương.
b) Nếu k chẵn thì k
xlim x ; Nếu k lẻ thì k
xlim x .
3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực a) Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x)
xlim f xx0
xlim g xx0
xlim f x .g xx0
L > 0
L < 0
b) Quy tắc tìm giới hạn của thương f x g x
xlim f xx0
xlim g xx0 Dấu của g(x)
x x0
lim f x g x
L Tùy ý 0
L > 0 0 +
–
L < 0 +
–
(Dấu của g(x) xét trên một khoảng K nào đó đang tính giới hạn, với x x ) 0 Chú ý: Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp:
0 0
x x , x x ;x ;x .
Ví dụ 4. Tính các giới hạn sau:
a) 4
xlim x 3x 8 ; b)
x 1
5x 6
lim ;
2x 2 c)
x 3
lim x ; x 3
Giải
a) 4 4 3 4 4 3 4
x x x x
3 8 3 8
lim x 3x 8 lim x 1 lim x . lim 1
x x x x
(Vì 4 3 4
x x
3 8
lim x ; lim 1 1
x x ).
b)
x 1 x 1 x 1
5x 6
lim lim 5x 6 : lim 2x 2 2x 2
(Vì
xlim 5x1 6 1 0; lim 2xx 1 2 0 và 2x – 2 < 0 với mọi x < 1).
c)
x 3 x 3 x 3
lim x lim x : lim x 3 x 3
( Vì
xlim x3 3 0; lim xx 3 3 0 và x + 3 > 0 với mọi x > - 3 ).
B. BÀI TẬP
Bài 1. Tính giới hạn các hàm số sau:
a)
x 1
x 1
lim ;
x 3 2
b)
3 x 3
1 2x 3x
lim ;
x 9
c) 2 2
x 0
1 1
lim 1 ;
x x 1
d)
2 5 x 3
x 1 1 2x
lim ;
x 9
Lời giải
a) x 1 x 1
x 1 x 3 2
x 1
lim lim
x 3 2 x 3 2 x 3 2
x 1 x 1
x 1 x 3 2 x 3 2 4
lim lim 2
x 1 x 1 2 .
b)
3 3 2
x 3 x
3
1 2
1 2x 3x x x 3 3
lim lim 3
x 9 1 9 1
x
.
c) 2 2 2 2
x 0 x 0 x 0
1 1 1 1
lim 1 lim .lim 1 0
x x 1 x x 1
( Vì 2 2
x 0 x 0
1 1
lim ;lim 1 0
x x 1 ).
d)
5
2 5 2
x 7 x
6 7
1 1
1 2
x 1 1 2x x x 2
lim lim 2
1 3
x x 3 1 1
x x
.
Bài 2. Dùng định nghĩa tìm các giới hạn sau:
a) x 2
1 2x lim4x 1;
b)
2 x 2
3x 4
lim x 2 .
Lời giải a) Xét hàm số f (x) 1 2x
4x 1 Tập xác định của hàm số: 1
\ 4 .
Giả sử (xn) là một dãy số bất kì, thỏa mãn xn 1
4 và xn 2 khi n . Ta có:
n n
n
x 2 n x 2
n
1 2x 3 1
lim f (x ) lim .
4x 1 9 3
Do đó
x 2
1 2x 1
lim .
4x 1 3
b) Xét
2 2
3x 4
g x x 2
Tập xác định của hàm số: \ 2 .
Giả sử (xn) là một dãy số bất kì, thỏa mãn xn 2 và xn khi n . Ta có:
2 n
n 2
x x
n
3x 4
lim g x lim 3
x 2
2 x 2
3x 4
lim 3.
x 2
Bài 3. Cho hàm số: 3
1 3
khi x 1
f x x 1 x 1
mx 2 khi x 1
Với giá trị nào của m thì hàm số f(x) có giới hạn khi x 1? Tìm giới hạn này.
Lời giải
Ta có:
2
3 2
x 1 x 1 x 1
1 3 x x 1 3
lim f x lim lim
x 1 x 1 x 1 x x 1
2
2 2 2
x 1 x 1 x 1
x 1 x 2
x x 2 x 2 3
lim lim lim 1
x x 1 3
x 1 x x 1 x 1 x x 1
x 1 x 1
lim f x lim mx 2 m 2
Để hàm số f(x) có giới hạn khi x 1 thì
xlim f x1 xlim f x1
m 2 1
m 1
Khi đó:
x 1 x 1 x 1
limf x lim f x lim f x 1.
Vậy m = -1 thì hàm số f(x) có giới hạn khi x 1 và giới hạn đó bằng 1.
