Lý thuyết Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit (năm 2022 + Bài Tập) – Toán 12

Bài 6. Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit A. Lý thuyết

I. Bất phương trình mũ.

1. Bất phương trình mũ cơ bản

Bất phương trình mũ cơ bản có dạng a^x > b ( hoặc a^x < b; a^x b; a^x b) với a >

0 và a ≠ 1.

Ta xét bất phương trình a^x > b

+ Nếu b ≤ 0 tập nghiệm của bất phương trình là vì a^x > 0 b ;  x . + Nếu b > 0 thì tập nghiệm của bất phương trình tương đương a^x a^{log ba} . Với a > 1, tập nghiệm của bất phương trình là x > log_ab.

Với 0 < a < 1, tập nghiệm của bất phương trình là x < logab.

– Ví dụ 1.

a) 5^x > 125 x > log5125  x > 3.

b)

x

1 3

1 27 x log 27 x 3

    3   

  

Kết luận. Tập nghiệm của bất phương trình a^x > b được cho trong bảng sau:

a^x > b Tập nghiệm

a > 1 0 < a < 1 b ≤ 0

b > 0 (log b;_a ) (; log b)_a

2. Bất phương trình mũ đơn giản

– Ví dụ 2. Giải bất phương trình 3^{x + 2} < 27.

Lời giải:

Ta có: 27 = 3³

Vì cơ số 3 > 1 nên x + 2 < 3

 x < 1.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là x < 1.

II. Bất phương trình logarit

1. Bất phương trình logarit cơ bản

Bất phương trình logarit cơ bản có dạng loga x > b ( hoặc logax < 0;

a a

log x0; log x 0 ) với a > 0; a ≠ 1.

Xét bất phương trình logax > b

+ Trường hợp a > 1 ta có: log_ax > bx > a^b.

+ Trường hợp 0 < a < 1 ta có: log_ax > b0 < x < a^b. – Ví dụ 3.

a) log2x > 7 x > 2⁷. b)

3 2

5

log x 3 x 2

5

     

 

Kết luận: Nghiệm của bất phương trình logax > b được cho trong bảng sau:

log_ax > b a > 1 0 < a < 1 Nghiệm x > a^b 0 < x < a^b

2. Bất phương trình logarit đơn giản

– Ví dụ 4. Giải bất phương trình log (x₃ ² 2x)log (x₃ 2). Lời giải:

Điều kiện của bất phương trình:

2 x 0

x 2x 0

x 0

x 2

x 2 0

x 2

 

       

   

  

Ta có: log (x₃ ²2x)log (x₃ 2) Vì cơ số 3 > 1 nên: x² + 2x > x + 2

x² + x – 2 > 0 ^{x 1}

x 2

 

    Kết hợp điều kiện, vậy x > 1.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Giải các bất phương trình

a) ^{x2 2x} 1

3 27

   ;

b)

x 2 2 2x

2 3

3 2

 

   

   

    ; c) 2.3^x + 3^{x + 2} < 99.

Lời giải:

a) Ta có: ^{x2 2x} 1

3 27

   ;

x2 2x 3

3^{ } 3^

 

Vì cơ số 3 > 1 nên ta có: – x² + 2x > – 3

 – x² + 2x + 3 > 0

–1 < x < 3.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là – 1 < x < 3.

b) Ta có:

x 2 2 2x

2 3

3 2

 

   

   

   

x 2 2x 2

2 2

3 3

 

   

      Vì cơ số 2

0 1

 3 nên x + 2 > 2x – 2 Do đó; x < 4.

Vậy x < 4.

c) 2.3^x + 3^{x + 2} < 99.

2.3^x + 9.3^x < 99.

11.3^x < 99.

3^x < 9 nên x < 2.

Vậy x < 2.

Bài 2. Giải các bất phương trình logarit:

a) log7 (x + 3) > 2;

b) ₂ ² ₂

9 9

log (x 2x)log (x2);

c) log x₃² 4log x₃  3 0. Lời giải:

a) log7 (x + 3) > 2

Điều kiện: x + 3 > 0 hay x > – 3 Ta có: log7 (x + 3) > 2

Vì cơ số 7 > 1 nên ta có: x + 3 > 7²

 x + 3 > 49

 x > 46.

Kết hợp điều kiện, vậy x > 46.

b) ₂ ² ₂

9 9

log (x 2x)log (x2)

Điều kiện:

2 x 2

x 2x 0

x 2 x 0

x 2 0

x 2

 

      

   

  

Vì cơ số 2

0 1

 9 nên x² – 2x > x – 2

x² – 3x + 2 > 0 x 2

x 1

 

  

Kết hợp điều kiện, vậy x > 2.

c) log x₃² 4log x₃  3 0 Điều kiện : x > 0

Đặt t = log₃x; bất phương trình đã cho trở thành: t² – 4t + 3 > 0

3 3

log x 3

t 3 x 27

log x 1

t 1 x 3



  

 

      

Kết hợp điều kiện, vậy 0 < x < 3 hoặc x > 27.