Trọng tâm kiến thức và phương pháp giải bài tập môn Toán 11 (Quyển 1) - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

MSE EDUCATION SÁCH CÓ BÁN TẠI VPP-PHOTOCOPY

TÂM PHÚC

Chuû ñeà 1

HAØM SOÁ LÖÔÏNG GIAÙC

PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC

PHAÀN 1. TÖÏ LUAÄN

BÀI 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

TÓM TẮT LÝ THUYẾT

I. TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ:

1. Hàm số chẵn, hàm số lẻ:

 Hàm số ^{y f x}

 

với tập xác định D gọi là hàm số chẵn nếu: với mọi xD thì  x D và

   

f x  f x .

 Hàm số ^{y f x}

 

với tập xác định D gọi là hàm số lẻ nếu: với mọi xD thì  x D và

   

f x  f x .

 Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.

 Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.

2. Hàm số đơn điệu:

Cho hàm số ^{y f x}

 

xác định trên tập



^{a b;}



^.

 Hàm số ^{y f x}

 

gọi là đồng biến (hay hàm số tăng) trên



^{a b;}



^nếu x x1, 2



a b;



có

   

1 2 1 2

x x  f x  f x .

 Hàm số ^{y f x}

 

gọi là nghịch biến (hay hàm số giảm) trên



^{a b;}



^nếu x x1, 2



a b;



có

   

1 2 1 2

x x  f x  f x . 3. Hàm số tuần hoàn:

Hàm số ^{y f x}

 

xác định trên tập hợp D, được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số T 0 sao cho với mọi xD ta có (x T )D và (x T )Dvà ^{f x T}



^



^{ f x}

 

^.

Nếu có số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì T gọi là chu kì của hàm tuần hoàn f.

II. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC:

1. Hàm số sin: ysinx

 Tập xác định .

 Tập giá trị:



^1;1



,có nghĩa là  1 sinx  1, x .

 Hàm số tuần hoàn với chu kì 2 , có nghĩa ^sin



^xk2



^{sinx với k}.

 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng 2 ; 2

2 k 2 k

 

 

 

  

 

  và nghịch biến trên mỗi khoảng

2 ;3 2

2 k 2 k

 

 

 

 

 

 ,k.

 Đồ thị: ysinx là hàm số lẻ, đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O là tâm đối xứng.

O x

y

- 3π

2

-π 2

3π 2 π

-1 2 1

3π π 2π

-3π -2π -π

f x( ) = sin( )x

 Một số giá trị đặc biệt:

 sinx0xk, (k)

 sin 1 2 , ( )

x x 2 k k



    

 sin 1 2 , ( )

x x 2 k k



       2. Hàm số côsin: ycosx:

 Tính chất:

 Tập xác định .

 Tập giá trị:



^1;1



, có nghĩa là  1 cosx  1, x .

 Hàm số tuần hoàn với chu kì 2 , có nghĩa ^cos



^xk2



^{cosx với k.}

 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng



^{  k2 ; 2 k }



và nghịch biến trên mỗi khoảng



^{k2 ;  k2}



^,k.

 Đồ thị: ycosx là hàm số chẵn, đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng.

1

-1 O y

-3π x

2 -π

2

3π 2 π

2

3π 2π

π -π

-2π -3π

f x( ) = cos( )x

 Một số giá trị đặc biệt:

 cos 0 , ( )

x x 2 k k



    

 cosx 1 xk2 , ( k).

 cosx  1 xk2 , ( k). 3. Hàm số tang: tan ^sin

cos y x x

  x:

 Tập xác định: \

2 k k

 

 

 

 

 

 

 Tâp giá trị là .

 Hàm số tuần hoàn với chu kì , có nghĩa ^tan



^xk



^{tan , (x k).}

 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ^{; ,}

 

2 k 2 k k

 

 

 

   

 

   .

 Đồ thị: ytanx là hàm số lẻ, đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng và nhận

mỗi đường thẳng , x 2 k k



   làm đường tiệm cận.

-3π

2 -π

2

3π 2 π

2

-π π 2π

-2π

O y

x f x  = tan x

 Một số giá trị đặc biệt :

 tanx0xk,k

 tan 1 ,

x x 4 k k



    .

 tan 1 ,

x x 4 k k



      . 4. Hàm số cotang: cot ^cos

sin y x x

  x :

 Tập xác định: ^\



^{k k}



^.

 Tập giá trị: .

 Hàm số tuần hoàn với chu kì , có nghĩa ^cot



^xk



^{cot , (x k).}

 Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng



^{k ; k}



^,k.

 Đồ thị: ycotx là hàm số lẻ, đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng và nhận mỗi đường thẳng xk,klàm đường tiệm cận.

3π 2 π

-π 2 -3π 2

2-π π 2π

-2π

f(x)=cotan(x)

O y

x

 Một số giá trị đặc biệt :

 cot 0 ,

x x 2 k k



    .

 cot 1 ,

x x 4 k k



    .

 cot 1 ,

x x 4 k k



      .

MỘT SỐ DẠNG TOÁN

VẤN ĐỀ 01. TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ A- PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Để tìm tập xác định của các hàm số ta dựa vào khái niệm sau:

 Tập xác định của hàm số ^{y f x}

 

^{là D}



^{x f x}

 

^



^.

 Tập xác định của các hàm số cơ bản:

 ^ysin_^{f x}

 

^_ ^{xác định  f x}

 

xác định.

 ^ycos_^{f x}

 

^_ ^{xác định  f x}

 

xác định.

 ^ytan_^{f x}

 

^_ ^{xác định  f x}

 

xác định và

 

f x 2 k



  ,



^k



^.

 ^ycot_^{f x}

 

^_ ^{xác định  f x}

 

xác định và ^{f x}

 

^k,



^k



^.

 Chú ý:

 ^A

B có nghĩa khi B0 và A có nghĩa.

 A có nghĩa khi A0 và A có nghĩa.

B- CÁC VÍ DỤ Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau

a) 2

sin 1

y x

x

 

  

  . b) tan

y x 6

   

 . Lời giải

a) Hàm số xác định khi x 1 0x1. Vậy tập xác định của hàm số là ^{D\ 1}

 

^.

b) Hàm số xác định khi ²

6 2 3

x   k x  k

 

      ,



^k



^.

Vậy tập xác định của hàm số là 2

\ 3

D  k k

  

    

 

  .

Bài 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau a) tan .cos

y 2 x

  

 . b) y sinx  1 2 cos² x. Lời giải

a) Hàm số xác định khi cos 1

.cos cos 1 2

cos 1

2 2

x k x k x x l

x

 

   

       

  

,



^l



^.

Vậy tập xác định của hàm số là ^D\



^{l l}



^.

b) Hàm số xác định khi sin 1 0 sin 1 sin 1 2

x x x x 2 k



         ,



^k



^.

Vậy tập xác định của hàm số là \ 2

D 2 k k

  

    

 

  .

Bài 3. Tìm tập xác định của các hàm số sau

a) y cosxsinx. b) ^{tan cot}

cos 2

x x

y x

  .

Lời giải

a) Hàm số xác định khi cos sin 0 2 sin 0 sin 0

4 4

x x x   x  

         

   

2 2 2 ³ 2

4 4 4

k x  k  k x  k

    

           ,



^k



^.

Vậy tập xác định của hàm số là 3

2 2 ,

4 4

D x  k x  k k

 

 

        

  .

b) Hàm số xác định khi

cos 0

sin 2 0 sin 0

cos 2 0 cos 2 0

x x

x x

x

 

 

  

 

 

 



sin 4 0 4

x x k x k4



      ,



^k



^.

Vậy tập xác định của hàm số là \

D k4 k 

   

 

  .

Bài 4. Tìm tập xác định của các hàm số sau

a) y sinx 1 cosx1. b) 1 cos

2 sin y x

x

 

 . Lời giải

a) Hàm số xác định khi sin 1 0 sin 1 sin 1

cos 1 0 cos 1 cos 1

x x x

x x x

   

  

 

  

   

  

: vô lý.

Vậy tập xác định của hàm số là D .

b) Hàm số xác định khi 2 sin x0sinx2 x . Vậy tập xác định của hàm số là D.

Bài 5. Tìm tập xác định của các hàm số sau

a) ₂ tan

cos 2 cos 4

y x

x x

   . b) ^{y 1 sin}



^x22x1



^.

Lời giải

a) Hàm số xác định khi ^tan₂ ⁰ ₂

cos 2 cos 4 0

x k x k

x x

x

  

 

    

 

  

   

k x 2 k

 

    ,



^k



^.

Vậy tập xác định của hàm số là ,

D x k x 2 k k

 

 

      

  .

b) Hàm số xác định khi



²

 

²



²

1 sin x 2x1 0sin x 2x1  1 x 2x 1  x . Vậy tập xác định của hàm số là D.

VẤN ĐỀ 02. XÉT TÍNH CHẴN, LẺ CỦA HÀM SỐ A- PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Để xét tính chẵn, lẻ của các hàm số ta dựa vào khái niệm sau:

 Hàm số ^{y f x}

 

được goi là hàm số chẵn nếu

 Tập xác định của các hàm số có tính đối xứng, nghĩa là  x D suy ra  x D.

 ^f



^x



^{ f x}

 

^{,  x D.}

 Hàm số ^{y f x}

 

được goi là hàm số lẻ nếu

 Tập xác định của các hàm số có tính đối xứng, nghĩa là  x D suy ra  x D.

 ^f



^x



^{ f x}

 

^{,  x D.}

 Chú ý: Nếu hàm số ^{f x}

 

vi phạm một trong hai điều kiện thì ta kết luận hàm số ^{f x}

 

không chẵn, không lẻ.

B- CÁC VÍ DỤ Bài 6. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau

a) y3x²cos 2x. b) y x²sinxtanx. Lời giải

a) Tập xác định D suy ra  x D thì  x D.

Ta có ^f



^x



^3



^x



^2cos



^2x



^{3x2cos 2x f x}

 

^.

Do đó hàm số đã cho là hàm số chẵn.

b) Tập xác định \

D 2 k k

  

    

 

  . Ta thấy  x D thì  x D.

Ta có ^f



^x

 

^{ x}



^2sin



^x



^tan



^x



^{ x2sinxtanx }



^{x2sinxtanx}



^{ f x}

 

^.

Do đó hàm số đã cho là hàm số lẻ.

Bài 7. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau a) 5 cos 2

y  x 3

   

 . b) ¹ cos²

y 1 x

 x 

 .

Lời giải a) Tập xác định D suy ra  x D thì  x D.

Ta có

5 cos 5 cos 5 3

12 12

12 6 3 6 3 2

5cos 5cos 0

12 12

12 6 3 2

f f

f

f f

f

 

    

 

   

           

 

       

           

           

 

   

     

             

           



.

Do đó hàm số đã cho không chẵn, không lẻ.

b) Tập xác định ^{D\ 1}

 

^.

Ta có x  1 D nhưng   x 1 D nên D không có tính đối xứng.

Do đó hàm số đã cho không chẵn, không lẻ.

Bài 8. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau a) ^{sin tan}

sin cot

x x

y x x

 

 . b)

3 2

cos sin

cos 2

x x

y x

  .

Lời giải

a) Hàm số xác định khi

2

cos 0 cos 0

cos 0

sin 0 sin 0

sin 0 2

sin cot 0 sin cos 0

x x

x x x x k

x x x x x

 

 

  

 

     

  

 

     

 

,



^k



^.

Tập xác định \

D k2 k 

   

 

  suy ra  x D thì  x D.

Ta có

     

     

sin tan sin tan sin tan

sin cot sin cot sin cot

x x x x x x

f x f x

x x x x x x

     

    

      .

Do đó hàm số đã cho là hàm số chẵn.

b) Hàm số xác định khi cos 2 0 2

2 4 2

x x  k x  k



       ,



^k



^.

Tập xác định \

4 2

D  k k 

    

 

  suy ra  x D thì  x D.

Ta có

     

   

3 2 3 2

cos sin cos sin

cos 2 cos 2

x x x x

f x f x

x x

   

   

 .

Do đó hàm số đã cho là hàm số chẵn.

VẤN ĐỀ 03. XÉT TÍNH TUẦN HOÀN VÀ TÌM CHU KỲ CỦA HÀM SỐ A- PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Để xét tính tuần hoàn của các hàm số ta dựa vào khái niệm sau:

 Hàm số ^{y f x}

 

xác định trên tập D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu 0

T

  sao cho

   

^,

x D x T D

f x T f x x D

    



    



.

 Nếu tồn tại số T 0 nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì T được gọi là chu kỳ của hàm số tuần hoàn ^{y f x}

 

^.

 Chú ý: ● ^ysin



^axb



có chu kỳ ₀ 2

T a

  .

● ^ycos



^axb



có chu kỳ ₀ 2

T a

  .

● ^ytan



^{ax b}



có chu kỳ T₀ a

  .

● ^ycot



^{ax b}



có chu kỳ T₀ a

  .

● y f x1

 

có chu kỳ T₁ và y f2

 

x có chu kỳ T₂ thì hàm số

   

1 2

y f x  f x có chu kỳ T₀ là bội chung nhỏ nhất của T₁ và T₂.

B- CÁC VÍ DỤ Bài 9. Xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ của các hàm số sau

a) y 1 sin 2² x. b) ¹

sin 2 y x . Lời giải

a) Ta có

 

^{1 sin 22 1 1 cos 4 3 1cos 4}

2 2 2

y f x x  x x

       .

Tập xác định D.

Giả sử ^{f x T}



^



^{ f x}

 

^{,  x D}

 

3 1 3 1

cos 4 cos 4

2 2 x T 2 2 x

     ,  x D

 

cos 4x 4T cos 4x

   ,  x D.

 

^*

Khi cho x0 thì

 

^* cũng phải đúng, tức là cos 4 cos 0 cos 4 1 4 2

T T T k T k2



       ,



^k



^.

Ngược lại, dễ thấy

 

3 1 3 1 3 1

cos 4 cos 4 2 cos 4

2 2 x k2 2 2 x k 2 2 x

  

       

  ,  x D.

Vậy khi

T k2

 ,



^k



thì ta có

   

^,

x D x T D

f x T f x x D

    



    



. Tức là ^{y f x}

 

^{ 1 sin 22 x} làm hàm số tuần hoàn.

Mặt khác trong các số

T k2

 thì số dương nhỏ nhất là T 2

 . Do đó hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn có chu kỳ

T 2

 . b) Hàm số xác định khi sin 2 0 2

x x k x k2



     ,



^k



^.

Tập xác định \

D k2 k 

   

 

  .

Giả sử ^{f x T}



^



^{ f x}

 

^{,  x }

 

1 1

sin 2 x T sin 2x

 

 ,  x D ^{sin 2}



^x2T



^{sin 2x,  x D.}

 

^*

Khi cho x 4

 thì

 

^* cũng phải đúng, tức là

sin 2 sin sin 2 1 2 2

2 T 2 2 T 2 T 2 k T k

    

 

   

          

   

    ,



^k



^.

Ngược lại, dễ thấy

   

1 1 1

sin 2 x k sin 2x 2k sin 2x

  ,  x D.

Vậy khi T k ,



^k



thì ta có

   

^,

x D x T D

f x T f x x D

    



    



.

Tức là

 

¹

sin 2 y f x

  x làm hàm số tuần hoàn.

Mặt khác trong các số T k thì số dương nhỏ nhất là T  . Do đó hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn có chu kỳ T  . Bài 10. Xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ của các hàm số sau

a) y x sinx. b) ysin 2² xcos 2² x. Lời giải

a) Tập xác định D.

Giả sử ^{f x T}



^



^{ f x}

 

^{,  x D}



^{x T}



^sin



^{x T}



^{x sinx}

      ,  x D

 

sin sin

T x T x

    ,  x D.

 

^*

Cho x0 và x , ta được

 

sin sin 0 0

sin sin 0

T x

T  T 

  



    



suy ra ^{2TsinTsin}



^T



^{0T 0.}

Điều này trái với định nghĩa là T 0. Vậy hàm số y x sinx không phải là hàm số tuần hoàn.

b) Tập xác định D.

Ta có ^{sin 22}



^{x T}



^{cos 22}



^{x T}



^{ 1 sin 22 xcos 22 x,  x D}

hay ^{f x T}



^



^{ f x}

 

^{,  x D.}

Vậy hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn. Nhưng trong các số thực T dương không có số nhỏ nhất nên hàm số đã cho tuần hoàn nhưng không có chu kỳ.

VẤN ĐỀ 04. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

A- PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

 Nếu phải tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số trên một khoảng, đoạn (nhỏ hơn một chu kỳ của hàm số đó) ta có thể lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng, đoạn đó rồi dựa vào bảng biến thiên suy ra kết quả.

 Nếu phải tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số trên toàn bộ tập xác định của nó ta có thể biến đổi hàm số về dạng đơn giản nhất rồi dựa vào miền giá trị của hàm số đã cho để suy ra kết quả.

 Chú ý:  Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số ^{f x}

 

^{trên X nếu}

 

 

0 0

: :

x X f x M

x X f x M

  



  



. Kí hiệu: ^max

 

X

M  f x .

 Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số ^{f x}

 

^{trên X nếu}

 

 

0 0

: :

x X f x m

x X f x m

  



  



. Kí hiệu: ^min

 

X

m f x .

B- CÁC VÍ DỤ

Bài 11. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau a) ysinx trên đoạn 2

3; 3

 

 

 

 . b) cos 2 cos 2

4 4

y  x    x  

      

    trên ;

3 6

  

 

 . Lời giải

a) Ta có bảng biến thiên của hàm số ysinx trên đoạn 2 3; 3

 

 

 

 .

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy

2

 

3 3;

max 1

f x f 2

 



 

 

 

 

  

  và

 

;2 3 3

min 3

3 2

f x f

 



 

 

 

 

   

  .

b) Ta có cos 2 cos 2 2 sin 2 .sin 2 sin 2

4 4 4

y  x   x  x  x

         

    .

Bảng biến thiên của hàm số y  2 sin 2x trên đoạn ; 3 6

  

 

 .

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy

 

3 6;

max 2

f x f 4

 



 

 

 

 

  

  và

 

3 6;

min 6

6 2

f x f

 



 

 

 

 

   

  .

Bài 12. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau a) 3 sin 2

y  x 4

    

 . b) y 5 4sin 2 cos 2x x.

c) ^{y 1 sin}

 

^{x2 1. d) ytanxcotx.}

Lời giải a) Hàm số có tập xác định D.

Ta có 1 sin 2 1 1 sin 2 1

4 4

x  x 

   

           

   

4 3 sin 2 x   2 4 y 2

         . 2 sin 2x

 x 2x

3



6

 4

 0

2

 2

3

  0

3



6 2

2

0 6

 2 sinx

x 3

 3

0 0 2

3

 2

0

1

3 2

● 2 sin 2 1 2 2

4 4 2 8

y x  x   k x  k

 

 

           

  ,



^k



^.

Vậy miny2

 khi

x 8 k



  ,



^k



^.

● 3

4 sin 2 1 2 2

4 4 2 8

y x  x   k x  k

 

 

              

  ,



^k



^.

Vậy maxy4

 khi ³

x 8 k



   ,



^k



^.

b) Hàm số có tập xác định D.

Ta có y 5 4sin 2 cos 2x x 5 2sin 4x.

Do  1 sin 4x1   2 2 sin 4x2  3 5 2sin 4x7  3 y7.

● 3 sin 4 1 4 2

2 8 2

y x x  k x  k



            ,



^k



^.

Vậy miny3

 khi

8 2

x  k

   ,



^k



^.

● 7 sin 4 1 4 2

2 8 2

y x x  k x  k



         ,



^k



^.

Vậy maxy7

 khi

8 2

x  k

  ,



^k



^.

c) Hàm số có tập xác định D.

Ta có ^{ 1 sin}

 

^{x2 1  1 sin}

 

^{x2  1  2 1 sin }

 

^{x2 0}

^{ 2 1 sin}

 

^{x2 0  2 1  1 sin}

 

^{x2   1 1  2 1  y 1.}

● ^{1 sin}

 

^{2 1 2 2 2}

2 2

y x x  k x  k

 

          ,



^k



^.

Vậy miny 1

 khi 2

x 2 k



  ,



^k



^.

● 2 1 sin ² 1 ² 2 2

2 2

y x x  k x  k

 

             ,



^k



^.

Vậy maxy 2 1

 khi 2

x 2 k



   ,



^k



^.

d) Hàm số có tập xác định \

D k2 k 

   

 

  .

Ta có

2 2

sin cos sin cos 2

tan cot

cos sin sin cos sin 2

x x x x

y x x

x x x x x

       .

Với xD thì  1 sin 2x0 hoặc 0sin 2x1.

● Trường hợp 1 sin 2 0 ¹ 1 ² 2

sin 2 sin 2

x x x

         hay ^{y  }



^{; 2}



^.

● Trường hợp 0 sin 2 1 ¹ 1 ² 2

sin 2 sin 2

x x x

      hay ^y



^2;



^.

Vậy hàm số ytanxcotx không có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất.

Bài 13. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau

a) y cos² x2sinx2. b) y sin⁴x2 cos²x1. c) y 3sin⁴xcos 4x. d) y2 sin⁴xcos⁴x.

Lời giải a) Hàm số có tập xác định D.

Ta có

   

²

2 2 2

cos 2sin 2 1 sin 2sin 2 sin 2 sin 3 sin 1 4

y  x x   x  x   x x   x  . Do ^{ 1 sinx1   2 sinx 1 0  4}



^sinx1



^{2 0}

^{   4}



^sinx1



^{20  0 }



^sinx1



^{2 4 4  0 y4.}

● 0 sin 1 2

y x x 2 k



        ,



^k



^.

Vậy miny0

 khi 2

x 2 k



   ,



^k



^.

● 4 sin 1 2

y x x 2 k



      ,



^k



^.

Vậy maxy4

 khi 2

x 2 k



  ,



^k



^.

b) Hàm số có tập xác định D.

Ta có ^{y }



^{1 cos 2x}



^{22 cos2 x 1 cos4 x4 cos2 x 2}



^{cos2 x2}



^22.

Do ^{0cos2x1   2 cos2 x  2 1  4}



^{cos2 x2}



^{2 1}

^{ 2}



^cos2x2



^{2  2 1  2 y 1.}

● y  1 cos²x 1 cosx  1 xk ,



^k



^.

Vậy miny 1

 khi xk ,



^k



^.

● 2 cos² 0 cos 0

y x x x 2 k



        ,



^k



^.

Vậy maxy2

 khi

x 2 k



  ,



^k



^.

c) Hàm số có tập xác định D. Ta có

2

4 1 cos 2 2

3sin cos 4 3 2 cos 2 1

2

y x x   x x

      

 

2

11 2 3 1 11 3 5

cos 2 cos 2 cos 2

4 x 2 x 4 4  x 11 11

       

  .

Do

14 3 8 3 2 196

1 cos 2 1 cos 2 0 cos 2

11 11 11 11 121

x x  x 

            

 

2 2

11 3 49 5 11 3 5 5

0 cos 2 cos 2 4 4

4  x 11 11 11 4  x 11 11 11 y

                 

    .

● ⁵ cos 2 ³ 2 arccos ³ 2 ¹arccos ³

11 11 11 2 11

y   x  x  k   x  k ,



^k



^.

Vậy min ⁵

y 11

 khi ¹arccos ³

2 11

x  k ,



^k



^.

● 4 cos 2 1 2 2

y x x k x 2 k

  

          ,



^k



^.

Vậy maxy4

 khi

x 2 k



  ,



^k



^.

d) Hàm số có tập xác định D. Ta có

2 2

4 4 1 cos 2 1 cos 2

2sin cos 2

2 2

x x

y x x      

      

   

2

3 2 1 3 3 1 2

cos 2 cos 2 cos 2

4 x 2 x 4 4 x 3 3

       

  .

Do

4 1 2 1 2 16

1 cos 2 1 cos 2 0 cos 2

3 3 3 3 9

x x  x 

            

 

2 2

3 1 4 2 3 1 2 2

0 cos 2 cos 2 2 2

4 x 3 3 3 4 x 3 3 3 y

               

    .

● ² cos 2 ¹ 2 arccos¹ 2 ¹arccos¹

3 3 3 2 3

y  x  x  k   x  k ,



^k



^.

Vậy min ² y3

 khi ¹arccos¹

2 3

x  k,



^k



^.

● 2 cos 2 1 2 2

y x x k x 2 k

  

          ,



^k



^.

Vậy maxy2

 khi

x 2 k



  ,



^k



^.

Bài 14. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau a) 4 sin² 2 sin 2

y x  x 4

    

 . b) ysin⁶ xcos⁶x. Lời giải

a) Hàm số có tập xác định D.

Ta có ^{4sin2 2 sin 2 2 1 cos 2}

 

^{sin 2 cos 2}

y x  x 4 x x x

       

 

sin 2 cos 2 2 2 sin 2 2

x x  x 4

      

  .

Do 1 sin 2 1 2 2 sin 2 2

4 4

x  x 

   

          

   

2 2 2 sin 2 2 2 2

x 4

 

       

  .

● 2 2 sin 2 1 2 2

4 4 2 8

y x  x   k x  k

 

 

               

  ,



^k



^.

Vậy miny 2 2

 khi

x 8 k



   ,



^k



^.

● 3

2 2 sin 2 1 2 2

4 4 2 8

y x  x   k x  k

 

 

            

  ,



^k



^.

Vậy maxy 2 2

 khi ³

x 8 k



  ,



^k



^.

b) Hàm số có tập xác định D.

Ta có ^{sin6 cos6}



^{sin2 cos2}



^{3 3sin2 cos2}



^{sin2 cos2}



^{1 3sin 22}

y x x x x  x x x x  4 x.

Do 0 sin 2² 1 0 ³sin 2^{2 3} 1 1 ³sin 2^{2 1} 1 ¹

4 4 4 4 4

x x x y

              .

● ¹ sin 2² 1 sin 2 1 2

4 2 4 2

y x x x  k x  k



            ,



^k



^.

Vậy min ¹ y 4

 khi

4 2

x  k

  ,



^k



^.

● 1 sin 2² 0 sin 2 0 2

y x x x k x k2



         ,



^k



^.

Vậy maxy1

 khi xk ,



^k



^.

Bài 15. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau

a) y asinx b cosxc. b) y sinx 3 cosx3. Lời giải

a) Hàm số có tập xác định D.

Ta có y asinx b cosx c  sina x b cosx c y0.

 

^*

Nhận xét. Ta xem phương trình

 

^* như phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx nên để phương trình có nghiệm khi và chỉ khi



^cy



^{2 a2b2   a2b2 y c a2b2  c a2b2 y c a2b2}

.

● y c a²b²  c a²b² asinx b cosx c 0

2a 2 sin 2b 2 cos 1

x x

a b a b

   

 

 

sin 1 2 2

2 2

x x  k x  k

    

              ,



^k



^.

với  thỏa mãn

2 2 2 2

cos a ;sin b

a b a b

   

 

.

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng c a²b² khi 2

x 2 k

 

    ,



^k



^.

● y c a²b²  c a²b² asinx b cosx c 0

2a 2 sin 2b 2 cos 1

x x

a b a b

  

 

 

sin 1 2 2

2 2

x x  k x  k

    

            ,



^k



^.

với  thỏa mãn

2 2 2 2

cos a ;sin b

a b a b

   

 

.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng c a²b² khi 2

x 2 k

 

    ,



^k



^.

b) Cách 1. Tương tự như câu a.

Cách 2. Ta có 1 3

sin 3 cos 3 2 sin cos 3 2sin 3

2 2 3

y x x  x x x  

           .

Do 1 sin 1 2 2 sin 2 1 2 sin 3 5 1 5

3 3 3

x  x  x  y

     

                   

      .

● 5

1 sin 1 2 2

3 3 2 6

y x  x   k x  k

 

 

              

  ,



^k



^.

Vậy miny1

 khi ⁵ 2

x 6 k



   ,



^k



^.

● 5 sin 1 2 2

3 3 2 6

y x  x   k x  k

 

 

           

  ,



^k



^.

Vậy maxy5

 khi 2

x 6 k



  ,



^k



^.

Bài 16. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau

a) y Asin²xBsin cosx x C cos²x. b) y2 sin²x3sin cosx x5 cos²x. Lời giải

a) Hàm số có tập xác định D.

Ta có ^{2 2} 1 cos 2 sin 2 1 cos 2

sin sin cos cos

2 2 2

x x x

y A x B x x C x A   B C  

        

   

sin 2 cos 2

2 2 2

B C A A C

x    x 

   

  .

Đến đây bạn đọc giải hoàn toàn như bài 14 a).

b) Cách 1. Tương tự như câu a.

Cách 2. Ta có ^{2sin2 3sin cos 5 cos2}



^{1 cos 2}



^{3sin 2 5 1 cos 2}

2 2

y x x x x x x   x

        

 

3 3 7 3 2 7

sin 2 cos 2 sin 2

2 x 2 x 2 2  x 4 2

      

  .

Do 3 2 3 2 3 2

1 sin 2 1 sin 2

4 2 2 4 2

x  x 

   

          

   

7 3 2 3 2 7 3 2 7

sin 2

2 2 x 4 2 2

   

     

  .

● 7 3 2 3

sin 2 1 2 2

2 4 4 2 8

y x  x   k x  k

 

  

              

  ,



^k



^.

Vậy 7 3 2

miny 2

  khi ³

x 8 k



   ,



^k



^.

● 7 3 2

sin 2 1 2 2

2 4 4 2 8

y x  x   k x  k

 

  

           

  ,



^k



^.

Vậy 7 3 2

maxy 2

  khi

x 8 k



  ,



^k



^.

Bài 17. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau

a) ^{sin cos}

sin cos

a x b x c

y A x B x C

 

   . b) ^{sin 2 cos 1}

sin cos 2

x x

y x x

 

   .

Lời giải

a) Điều kiện: AsinxBcosx C 0.

Ta có ^{sin cos}



^{sin cos}



^{sin cos}

sin cos

a x b x c

y y A x B x C a x b x c

A x B x C

 

      

 

^



^Aya



^sinx



^{By b}



^{cosx Cy  c 0.}

Đến đây các em giải hoàn toàn như bài 14 a).

b) Hàm số có tập xác định D.

Ta có ^{sin 2 cos 1}



^{sin cos 2}



^{sin 2 cos 1}

sin cos 2

x x

y y x x x x

x x

 

      

 

^



^1y



^sinx



^2y



^{cosx 1 2y0.}

 

^*

Nhận xét. Ta xem phương trình

 

^* như phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx nên để phương trình có nghiệm khi và chỉ khi



^{1 2 y}



^{2 }



^1y



^2



^2y



^{2 2y22y 4 0   2 y1.}

● y 2. Thay vào

 

^{* , ta được 3sin 4 cos 5 0 3sin 4cos 1}

5 5

x x   x x 

 

sin 1 2

x x 2 k

  

         ,



^k



^{với  thỏa mãn cos 3;sin 4}

5 5

    . Vậy miny 2

 khi 2

x 2 k

 

    ,



^k



^.

● y1. Thay vào

 

^{* , ta được cosx 1 xk2 .}

Vậy maxy1

 khi xk2 ,



^k



^.

VẤN ĐỀ 05: VẼ ĐỒ THỊ CỦA MỘT HÀM SỐ SUY RA TỪ MỘT ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ ĐÃ BIẾT

A- PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Giả sử hàm số ^{y f x}

 

có đồ thị là

 

^{C .}

 Đồ thị

 

^C của hàm số ^{yk f x k.}

 

^{, } được suy ra từ

 

^C bằng cách biến mỗi điểm



^{x y;}



^của

 

^C thành điểm



^{x ky;}



^của

 

^{C .}

 Đồ thị

 

^C của hàm số ^{y f kx k}

 