ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU
---
KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2018 – 2019 MÔN THI : TOÁN
KHỐI 11 – CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO Ngày thi : Thứ Hai 02/5/2019
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian giao đề ---
Bài 1. (1,5đ) Tính các giới hạn sau:
a)
xlim 9 x
212 x 3 x
. b)
2 3 2
3 7 4( 3)
lim .
( 3)
x
x x x
x
Bài 2. (1đ) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y (1 2 ) 1 x x 2 x
2. b y ) cos (1 2
2 x
2).
Bài 3. (1đ) Chứng minh phương trình (m
2 2 m 3)( x
3 3 x 4)
3 m x
2 0 có ít nhất một nghiệm với mọi số thực m.
Bài 4. (1đ) Tìm m để hàm số ( ) 2 2 , 2 0
2 , 0 2
x x
khi x
y f x x
m x khi x
liên tục trên [ 2;2] .
Bài 5. (1,5đ) Cho hàm số 2 1 ( ) 1 y f x x
x
(C).
a) Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị hàm số (C) và đường thẳng y 2 x 1 . b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C ) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
3 1 0
x y .
Bài 6. (4đ) Hình chóp S.ABCD có O là tâm của hình thoi ABCD, AB = a, , SA ⊥ (𝐴𝐵𝐶𝐷), SA a 3 . Dựng OK ⊥ SC ( K thuộc SC).
a) Chứng minh BD (SAC) . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC.
b) Tính góc tạo bởi đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD).
c) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD).
d) Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng (KBC) và (OBC).
HẾT
Đáp án và cho điểm Bài 1 Tìm giới hạn
a)
b)
2
22
lim 9 12 3 lim 12
9 12 3
lim 12
9 12 3
2
x x
x
x x x x
x x x
x
2 2
2 3
3
3 2
3 7 4( 3) 7 4
lim
lim ( 3) ( 3)
lim 3 4
7
3 4
x x
x
x x x x
x x
x x
Bài 2
Tính đạo hàm hàm số
2
2 2
2
2 2 2
2 2
(1 2 ) 1 2 .
y' (1 2 )' 1 2 (1 2 ) 1 2
2 1 2 (1 2 ) 1 4
2 1 2
16 10 3
4(1 2 ) (1 2 )(1 4 )
2 1 2 2 1 2
y x x x
x x x x x x
x x x x
x x
x x
x x x x
x x x x
'
2 2
2 2
2 2
2
2 2
2
) cos (1 2 )
2cos(1 2 ).sin(1 2 ). (1 2 )'
= 8 cos(1 2 ).sin(1 2 ).
4 .sin(2 4 ).
b y x
x x x
x x x
x x
y' 2 cos(1 2x ). cos(1 2x ) '
Bài 3 Chứng minh rằng phương trình
(m
2 2 m 3)( x
3 3 x 4)
3 m x
2 0
(1) có ít nhất một nghiệm với mọi số thực m.Đặt
f x ( ) (m
2 2 m 3)( x
3 3 x 4)
3 m x
2 .Hàm số
f x ( )
xác định và liên tục trên R Hàm sốf x ( )
liên tục trên [-1;1]2
3 2 2
(1) 0
( 1) ( 8) ( 2 3) 0
f m
f m m m
1 1
( 1). (1) 0,
[ 1;1] sao c ho ( ) 0.
f f m
x f x
Vậy pt (1) có ít nhất 1 nghiệm với mọi m.
Bài 4
(1đ) Tìm m để hàm số
2 2
, 2 0
( )
2 , 0 2
x x
khi x
y f x x
m x khi x
liên tục trên
[ 2;2]
.0 0 0
0
2 2 2 1
lim ( ) lim lim
2 2 2
lim ( 2 ) (0)
x x x
x
x x
f x x x x
m x m
f m
Hàm số liên tục trên
[ 2;2]
khi và chỉ khi0 0
lim ( ) lim ( ( ) (0) 1
2
x x
f x f x f
m
Bài 5
Cho hàm số
2 1
( ) 1 y f x x
x
có đồ thị (C).a)Viết pt tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị hàm số (C) và đường thẳng
y 2 x 1
.2
' '( ) 3
(1 ) y f x
x
.Pthđ giao điểm :
2 1 1
2 1; ( 1) 2
1 0
x x
x x
x x
1 1 4
0; '( )
2 2 3
0 1; '(0) 3
x y f
x y f
Tại 1
1 2 ;0 M
,4 2
: 3 3
pttt y x
Tại M2(0;1),
pttt y : 3 x 1
b)Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C ) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
x 3 y 1 0
.Gọi M(xo;yo) là tọa độ tiếp điểm. tt song song với (d):
2 0
0 0
3 1
(1 ) 3
2 1
4 3
x
x y
x y
pttt tại M(-2;-1);
1 1
3 3
y x
( loại)pttt tại M(4;-3);
1 13
3 3
y x
Bài 6
(4đ) Hình chóp S.ABCD có O là tâm của hình thoi ABCD, AB = a, , SA ⊥
(𝐴𝐵𝐶𝐷),
SA a 3
. Dựng OK ⊥ SC ( K thuộc SC).a) Chứng minh
BD (SAC)
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC.b) Tính góc tạo bởi đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD).
c) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD).
d) Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng (KBC) và (OBC).
BD (SAC)
*Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC là OK.
a)Học sinh chứng minh
O
C D
A B
S
H K
I
* Tam giác SAC có
SA AC a 3
. Gọi M là trung điểm SCSuy ra
1 1 6
2 4 4
OK AM SC a
b)Tính góc tạo bởi đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD).Xác định SH là hình chiếu vuông góc của SA lên (SBD), suy ra góc
[ SA SBD ;( )] ASH ASO
1
0tan 26 34'
ASO 2 ASO
c)Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD).
d[C;(SBD)] d[A;(SBD)]
AH (SBD) d[A;(SBD)] AH
2 2 2
1 1 1 15
5 AH a
AH SA AO
d)Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng (KBC) và (OBC).
Xác định đúng
[( KBC );( OBC )] [( SBC );( ABC )] SIA
2
3
. . 2
4 3
2
ABC
AI BC AC BO S a
AI a
tan SIA SA 2 AI
[(KBC );(OBC)] [(SBC);( ABC)] SIA 6 3
026 '
