Chuyên đề hàm số – Bùi Trần Duy Tuấn - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

“Nơi nào có ý chí, nơi đó có con đường.”

Tài liệu gần 500 trang bao gồm các chủ đề sau:

Chủ đề 1. Tính đơn điệu của hàm số Chủ đề 2. Cực trị của hàm số

Chủ đề 3. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Chủ đề 4. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Chủ đề 5. Đồ thị của hàm số

Chủ đề 6. Tương giao giữa hai đồ thị

Chủ đề 7. Bài toán tiếp tuyến, sự tiếp xúc của đồ thị hàm số Chủ đề 8. Điểm đặc biệt của đồ thị hàm số

Bố cục của các chủ đề gồm các phần sau:

1. Kiến thức cơ bản cần nắm

2. Các dạng toán và phương pháp giải (kèm theo các bài toán minh họa) 3. Thủ thuật Casio giải nhanh

4. Bài tập trắc nghiệm rèn luyện (có lời giải chi tiết)

Tài liệu được tôi sưu tầm và biên soạn để làm tư liệu cho các em lớp 12 ôn thi kỳ thi

THPT Quốc gia tham khảo, giúp các em ôn lại kiến thức nhanh chóng và hiệu quả hơn.

Trong quá tình tổng hợp và biên soạn không tránh khỏi những sai sót đáng tiếc do số lượng kiến thức và bài tập khá nhiều. Mong các đọc giả thông cảm và đóng góp ý kiến để những tài liệu sau của tôi được chỉnh chu hơn! Mọi đóng góp xin gửi về:

Facebook: https://web.facebook.com/duytuan.qna.

Hoặc qua Gmail: btdt94@gmail.com.

Các em có thể xem thêm các chuyên đề luyện thi Đại học môn Toán tại Website:

https://toanhocplus.blogspot.com/

Xin chân thành cảm ơn!!!

Quảng Nam  02.2018

Bùi Trần Duy Tuấn

MỤC LỤC

CHỦ ĐỀ 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ... 7

A. LÝ THUYẾT VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ... 7

I. LÝ THUYẾT CƠ BẢN CẦN NẮM ... 7

II. CÁC KIẾN THỨC VÀ KỸ NĂNG BỔ TRỢ ... 8

III. CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ... 9

1. Xét tính đơn điệu của hàm số y f x( ) trên tập xác định... 9

2. Tìm m để hàm số tăng hoặc giảm trên từng khoảng xác định ... 14

3. Tìm m để hàm số tăng hay giảm trong khoảng con của  ... 16

4. Tìm m để hàm số yax³bx²cx d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) bằng l . ... 21

5. Tìm tập nghiệm của phương trình ... 23

6. Tìm tập nghiệm của bất phương trình ... 28

7. Giải hệ phương trình ... 31

B. THỦ THUẬT CASIO GIẢI ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN ... 34

I. KIẾN THỨC CẦN NẮM ... 34

II. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA ... 34

C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ... 43

I. ĐỀ BÀI ... 43

II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI ... 52

CHỦ ĐỀ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ ... 70

A. LÝ THUYẾT VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ ... 70

B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ ... 73

I. TÌM CỰC TRỊ CỦA CÁC HÀM SỐ ... 73

II. TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC ... 82

1. Hàm số bậc 3: ^{yax3 bx2cx d a}



^{0 .}



... 82

2. Hàm trùng phương : ^{yax4 bx2c a}



^0



... 94

3. Hàm số dạng a2 bx c y mx n     ... 103

C. THỦ THUẬT CASIO GIẢI CỰC TRỊ ... 106

I. KIẾN THỨC CẦN NẮM ... 106

II. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA ... 106

D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ... 112

I. ĐỀ BÀI ... 112

II. ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT... 125

CHỦ ĐỀ 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ ... 148

A. LÝ THUYẾT ... 148

I. ĐỊNH NGHĨA ... 148

II. PHƯƠNG PHÁP TÌM GTLN, GTNN ... 148

B. CÁC DẠNG TOÁN TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ ... 150

I. TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP KHẢO SÁT TRỰC TIẾP ... 150

II. TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG MIỀN GIÁ TRỊ ... 153

III. TÌM GTNN, GTLN CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN... 155

IV. TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ, BIỂU THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ... 161

V. ỨNG DỤNG GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ TRONG BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH THAM SỐ ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM ... 174

1. Tìm m để phương trình có nghiệm ... 174

2. Tìm m để bất phương trình có nghiệm ... 185

VI. BÀI TOÁN THỰC TẾ LIÊN QUAN ĐẾN GTLN, GTNN ... 191

C. THỦ THUẬT CASIO GIẢI BÀI TOÁN MIN MAX ... 203

I. PHƯƠNG PHÁP ... 203

II. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA ... 203

D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ... 211

I. ĐỀ BÀI ... 211

II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI ... 223

CHỦ ĐỀ 4. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ ... 251

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN ... 251

I. ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG ... 251

II. ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG ... 251

III. QUY TẮC TÌM GIỚI HẠN VÔ CỰC... 251

B. THỦ THUẬT CASIO GIẢI TIỆM CẬN ... 253

I. KIẾN THỨC CẦN NẮM ... 253

II. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA ... 253

C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ... 263

I. ĐỀ BÀI ... 263

II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI ... 270

CHỦ ĐỀ 5. KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ ... 284

A. KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ DẠNG ĐỒ THỊ CỦA CÁC HÀM SỐ ... 284

I. SƠ ĐỒ BÀI TOÁN KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ ... 284

II. CÁC DẠNG ĐỒ THỊ CỦA CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP ... 284

III. MỘT SỐ BÀI TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ ... 286

B. MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ ... 292

C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ... 295

I. ĐỀ BÀI ... 295

II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI ... 318

CHỦ ĐỀ 6. SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ ... 328

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN ... 328

B. CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN THƯỜNG GẶP ... 329

I. SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA ... 329

1. Kiến thức trọng tâm ... 329

2. Một số bài toán minh họa ... 330

II. SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VỚI ĐỒ THỊ HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG 333 1. Kiến thức trọng tâm ... 333

2. Một số bài toán minh họa ... 333

III. SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VỚI ĐỒ THỊ HÀM SỐ ax b y cx d    ... 337

1. Kiến thức trọng tâm ... 337

2. Một số bài toán minh họa ... 337

C. THỦ THUẬT CASIO GIẢI BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO ... 340

I. NHẮC LẠI KIẾN THỨC CẦN NẮM ... 340

II. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA ... 340

D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ... 347

I. ĐỀ BÀI ... 347

II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI ... 360

CHỦ ĐỀ 7. BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN, TIẾP XÚC CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ ... 394

A. KIẾN THỨC CẦN NẮM ... 394

B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN ... 395

I. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN THƯỜNG GẶP ... 395

1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

 

^{C :y f x}

 

^tại M x y



o^; o



^. ... 395

2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

 

^{C :y f x}

 

có hệ số góc kcho trước. ... 308

3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

 

^{C :y f x}

 

biết tiếp tuyến đi qua điểm



A^; A



^. A x y ... 401

4. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị hàm số

 

C1 :y f x

 

và

 

^{C :yg x}

 

. ... 403

II. MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH NHANH VÀ TÍNH CHẤT CẦN BIẾT ... 404

C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ... 408

I. ĐỀ BÀI ... 408

II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI ... 416

CHỦ ĐỀ 8. ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ ... 430

A. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP ... 430

I. BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM CỐ ĐỊNH CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG ... 430

II. BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM CÓ TỌA ĐỘ NGUYÊN ... 433

III. BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM CÓ TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG ... 435

IV. BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM ĐẶC BIỆT KHÁC, BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH ... 439

B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ... 444

I. ĐỀ BÀI ... 444

II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI ... 453

Chủ đề 1

 

TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ



   

A. LÝ THUYẾT VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

I. LÝ THUYẾT CƠ BẢN CẦN NẮM

1. Định nghĩa :

Cho hàm số  y f x( ) xác định trên K. 

o Hàm số  y f x( ) đồng biến trên K nếu x x₁, ₂K x: ₁x₂ f x( )₁  f x( )₂   o Hàm số  y f x( ) nghịch biến trên K nếu x x₁, ₂K x: ₁x₂ f x( )₁  f x( )₂   2. Định lý :  

Cho hàm số y f x( ) xác định trên K.   

o Nếu   '( ) 0,  f x   x K thì  hàm số  ( )f x  đồng biến trên K. 

o Nếu  f x'( ) 0,    x K thì  hàm số  f x( ) nghịch biến trên K. 

o Nếu   '( ) 0,  f x   x K thì  hàm số  ( )f x  không đổi trên K. 

3. Định lý mở rộng :  

Giả sử hàm số y f x( ) có đạo hàm trên K. 

o Nếu  f x'( ) 0,    x K  và f x'( ) 0  chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến  trên K. 

o Nếu  f x'( ) 0,    x K  và f x'( ) 0  chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số nghịch   biến trên K. 

o Nếu   '( ) 0,f x   x K thì  ( )f x  không đổi trên K. 

 Chú ý :

o Nếu K là một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung giả thiết “ Hàm số y f x( ) liên  tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”. Chẳng hạn: Nếu hàm số y f x( ) liên tục trên  đoạn a b;  và có đạo hàm  ^{f x}

 

^{0, x K}trên khoảng 



^{a b;}



 thì hàm số đồng biến  trên đoạn a b; . 

o Nếu  ^{f x}

 

^{0, x K( hoặc  f x}

 

^{0, x K) và f x}

 

^0 chỉ tại một số điểm hữu  hạn của K thì hàm số đồng biến trên khoảng K (hoặc nghịch biến trên khoảng K). 

II. CÁC KIẾN THỨC VÀ KỸ NĂNG BỔ TRỢ

1. Lập bảng xét dấu của một biểu thức P x( )

Bước 1. Tìm nghiệm của biểu thức P x( ), hoặc giá trị của x làm biểu thức P x( ) không xác  định.  

Bước 2. Sắp xếp các giá trị của x tìm được theo thứ tự từ nhỏ đến lớn. 

Bước 3. Sử dụng máy tính tìm dấu của P x( ) trên từng khoảng của bảng xét dấu. 

2. Một số kiến thức liên quan đến tam thức bậc hai  Cho tam thức g x( )ax²bx c a ( 0)

 Định lí về dấu của tam thức bậc hai g x( )ax²bx c a ( 0):    ( ) 0, 0

0

g x x  a

    

 

      0

  ( ) 0,

0

g x x  a

    

 

   

  ( ) 0, 0

0

g x x  a

    

 

      0

  ( ) 0,

0

g x x  a

    

 

   

 So sánh các nghiệm x₁,  x₂ của tam thức bậc hai g x( )ax²bx c  với số 0: 

1 2

0

  0 0

0

x x P

S

 

   

 

     _{1 2}

0

 0 0

0

x x P

S

 

   

 

    x₁0x₂ P0 

 So sánh các nghiệm x₁,  x₂ của tam thức bậc hai g x( )ax²bx c  với số a bất kỳ: 

   

1 2

2 1 1 2

0

   . 0

2

x x a x a x

x

a

x a

 

   

  

 





        

   

1 2

1 2 1 2

0

   . 0

2

x x a x a x

x

a

x a

 

   

  

 





  



1

  

1 2

2

  0

 x a x a . 0

x x a



   

 

 

 



  

3. Kiến thức liên quan đến xác định tham số m.

 

   

( ; )

  ( ) , ( ; ) max ( ) f x h m  x a b  a b f x h m

  

  ^{  ( )f x h m}

 

^{, x ( ; )a b min ( )}_{( ; )a b} ^{f x h m}

 

 

4. Đạo hàm một số hàm số thường gặp

 

¹

1. x^{ } .x^{   7.}

 

^{ex ex  13. sin}



^x



^{ cosx  19. cot}



^x



^{  }_sin¹²_x 

 

¹

2. u^{ }.u^ .u^{  8.}

 

^{eu u e u  14. sin}



^u



^{u.cosu  20. cot}



^u



^{  }_sin^u2_u 

 

¹

3. x 2

x

   ^9.

 

^{ax axlna  15. cos}



^x



^{  sinx  21. ln}



^x



^{  1}_x 

 

4. 2

u u

u

 

   ^10.

 

^{au u a ulna  16. cos}



^u



^{  u.sinu  22. ln}



^u



^u

u

   

2

1 1

5. x x

 

   

    ^{11. log}

 

¹

ax .ln

x a

   

 

2

17. tan 1 x cos

  x   

2

6. 1 u

u u

 

 

   

 

  ^{12. log}

 

a .ln u u

u a

     ^{18. tan}

 

₂

cos u u

u

      

Công thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức: 

 

²

23. ax b ad bc cx d cx d

   

   

  

       

 

2 2

2 2

2

           

    2      

24.   

a b a

x x

d e

c b

ax bx c d d

c

f e

x ex f dx ex f

  f

   

  

 

   

 

III. CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 

1. Xét tính đơn điệu của hàm số y f x( ) trên tập xác định

 Phương pháp

Bước 1: Tìm tập xác định D. 

Bước 2: Tính đạo hàm y f x( ). 

Bước 3: Tìm nghiệm f x( ) 0  hoặc những giá trị x làm cho f x( ) không xác định. 

Bước 4: Xác định dấu của  ( )f x  tại các khoảng giá trị vừa tìm được. 

Bước 5: Kết luận.

MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA

Bài toán 1: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: y x³6x²9x4.  Lời giải:

Hàm số đã cho xác định trên  D. 

Ta có: y  3x²12x9. Cho  ² 1

0 3 12 9 0

3

y x x x

x

         

  .  Bảng xét dấu của y: 

x      1    3     

y      0    0     

Kết luận: Dựa vào bảng xét dấu trên, hàm số nghịch biến trên 



^;1



 ^và 



^3;



, đồng biến  trên  



^{1; 3 .} 



 

Bài toán 2: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: y x⁴4x²3.  Lời giải:

Hàm số đã cho xác định trên  D.  Ta có: y  4x³8x. 

Cho  ^{3 2} 4 ₂ 0 ₂ 0 0

0 4 8 0 4 ( 2) 0

2 0 2 2

x x x

y x x x x

x x x

     

             

      

  

.  Bảng xét dấu của y_:  

 

x       2    0    2     

y    _  0    0    0     

Kết luận: Dựa vào bảng xét dấu trên, hàm số đồng biến trên: 



^{ ; 2}



 ^và 



^{0; 2}



^{, hàm số} 

nghịch biến trên:  



^{ 2; 0}



 ^và 



^{2 ;}



^. 

Bài toán 3: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:  3 2 7 y x

x

 

 .  Lời giải:

Ta có:  3 2 2 3

7 7

x x

y x x

  

 

   

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên: ^D\

 

^{7 .} 

Ta có: 

 



^{2 .7 1.3}



₂



¹⁷



₂ ^{0, D \ 7}

 

7 7

y x

x x

  

       

 

 .  Bảng xét dấu của y_:  

x      7      

y               

Kết luận: Dựa vào bảng xét dấu trên, hàm số luôn nghịch biến trên: 



^{ ; 7}



 ^và 



^7;



^. 

Bài toán 4: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: 

2 2 1

2 x x

y x

  

  ^. 

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định trên: ^D\

 

^{2 .} 

Ta có: 

 

2 2

4 5

, D

2

x x

y x

x

  

   



. 

Cho 

 

2

2 2

4 5 5

' 0 0 4 5 0

2 1 x x x

y x x

x x

  

  

         

  

.  Bảng xét dấu y_: 

x      5   

 2

    1     

y      0          0     

Kết luận:  Dựa vào bảng xét dấu, hàm số nghịch biến trên: 



^{ ; 5}



 ^và 



^1;



, hàm số đồng  biến trên 



^{ 5; 2}



 ^và 



^{2; 1}



^. 

Bài toán 5: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: ^y



^{4 3 x}



^6x21. 

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định trên  D. 

Ta có:   ₂

 

²

2 2

6 4 3 36 24 3

3 6 1

6 1 6 1

x x x x

y x

x x

   

     

 

. 

Cho 

2

2 2

1

36 24 3 2

0 0 36 24 3 0

6 1 1

6 x x x

y x x

x x

 

   

          



 



. 

Bảng xét dấu của y_: 

x      1 6   

1

2    ^ 

y    _  0    0      Kết luận: Dựa vào bảng xét dấu, hàm số đã cho đồng biến trên  1

;6

 

 

  và  1 2;

 

 

 , hàm số  nghịch biến trên:  1 1

6 2;

 

 

 . 

Bài toán 6: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: y x²2x.  Lời giải:

Hàm số đã cho xác định khi:  ² 0

2 0

2 x x x

x

    

 

 Tập xác định: ^{D }



^{; 0}_^_^2;



^. 

Ta có:  ₂ ^{1 ,}



^{; 0}

 

^2;



2

y x x

x x

       



.  Hàm số không có đạo hàm tại: x0;x2. 

Cho  2

0 1 0 1 0 1

2

y x x x

x x

         



. 

Bảng xét dấu y_: 

x      0    1    2     

y           

Kết luận: Dựa vào bảng xét dấu, hàm số nghịch biến trên 



^{; 0}



 và đồng biến trên



^2;



^. 

Bài toán 7: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: yxsin  ,  x x 0;.  Lời giải:

Hàm số đã cho xác định trên đoạn  0; .  Ta có: y  1 cosx.  

Trên đoạn 0; 

 

0; 0; 0;

: 0 0

1 cos 0 cos 1 2 ,

x x x

y x

x k k

x x

  



  

     

        

      

 

  

  

    . 

Bảng xét dấu y_: 

x  0       y    _   

Kết luận: Dựa vào bảng xét dấu, hàm số đã cho đồng biến trên 0; . 

Bài toán 8: Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số: y2 sinxcos 2  ,x x 0;  Lời giải:

Hàm số đã cho xác định trên đoạn  0; . 

Ta có:  ^{y2 cosx2 sin 2x2 cosx4 cos .sinx x2 cosx}



^{1 2 sin x x}



^,  ^0;. 

Trên đoạn

0; 2

cos 0

0; : 0

1 6

sin 2 5

6 x x

y x x

x x





 



 

    

  

     

   

  

 

 



. 

Bảng xét dấu của y: 

x  0    6



    2



    5

6



     

y    _  0    0    0     

Kết luận: Dựa vào xét dấu trên, hàm số đồng biến trên  0;

6



 

 

  và  5 2; 6

 

 

 

 , hàm số nghịch biến  trên:  ;

6 2

 

 

 

  và  5 6 ;

 

 

 

 . 

Bài toán 9: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số: y x²2x3 .  Lời giải:

Ta có:  

 

 

2 2

2

2 3           ; 1 3;

2 3

2 3        1; 3        

x x khi x

y x x

x x khi x

       

  

    

    



  TXĐ:    D. 

Tìm 

   

 

2 2      khi    ; 1 3;

2 2    khi    1; 3        

x x

y x x

      

  

   



.  Hàm số không có đạo hàm tại x 1 và x3.  Ta lại có: Trên khoảng 



^{1; 3}



^{: y  0 x1.} 

Trên khoảng 



^{ ; 1}



^{: y 0}. Trên khoảng 



^3;



^{: y 0} 

 Bảng xét dấu y_: 

x      1   

1

    3     

y        0       

Kết luận: Dựa vào bảng xét dấu, hàm số nghịch biến trong các khoảng 



^{ ; 1}



^và 



1; 3 , hàm số 



đồng biến trong các khoảng 



^1;1



^và 



^3;



^. 

   

2. Tìm m để hàm số tăng hoặc giảm trên từng khoảng xác định

 Phương pháp

Nếu ^{y f x m}



^,



^{ax3bx2cx d a}



^0



^{, y f x m( , ) 3 a x2 22bx c}  có biệt thức   o Hàm số đồng biến trên  0

0 a

  

 

  

o Hàm số nghịch biến trên  0 0 a

  

 

  

Nếu ^{y f x m}



^,



^{ax b}

cx d

  

  có 

 

 

²

, ad bc y f x m

cx d

   

   

o Hàm số đồng biến trên Dy f x m( , ) 0,  x Dad bc 0   o Hàm số nghịch biến trên Dy f x m( , ) 0,  x D ad bc 0 

MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA

Bài toán 1: Tìm tham số m để hàm số:yx³3x²3(m2)x3m1 đồng biến trên .  Lời giải:

Hàm số đã cho xác định trên  D. 

Ta có: ^{y 3x26x3}



^m2



^{có    9 9}



^m2



 

Hàm số đồng biến trên 0 3 0      

   1 

0 9 9( 2) 0

a m

m

   

    

    

 



.  Kết luận: m 1 thì hàm số đồng biến trên . 

Bài toán 2: Tìm tham sốmđể hàm số: ^{y x33x23}



^m21



^x3m21 nghịch biến trên .  Lời giải:

Hàm số đã cho xác định trên D. 

Ta có: ^{y  3x26x3}



^m21



 ^{có    9 3.3}



^m21



^9m2 

Hàm số luôn giảm trên

2

0 3 0

0 9 0 0

a a

m m

   

  

   

 

    

 

.  Kết luận: m0 thì hàm số nghịch biến trên . 

Bài toán 3:

Tìm tham sốmđể hàm số:  ¹



³



³



³



²



²



³

y3 m x  m x  m x  luôn tăng trên .  Lời giải:

Hàm số đã cho xác định trên  D. 

Xét a 3 m 0 m3 khi đó a0 loại m3 vì hàm số bậc 2 với hệ số a0 không đồng  biến hoặc không nghịch biến trên . 

Xét a 3 m0m3 

Ta có: ^{y }



^{3m x}



^22



^m3



^x



^m2



 ^{có  }



^m3

 

^{2 3m m}



^2



^{2m25m3.} 

Hàm số luôn tăng trên

2

3 0 3 3

3 1

2

2 5 3 0 1

2 a m m

m m m m

 

   

 

      

        

 



. 

Kết luận:  3 2 m 1

     thì hàm số luôn tăng trên . 

Bài toán 4:

Tìm tham số mđể hàm số:  2 1 y mx

x m

 

   nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó. 

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định trên: ^D\



^m1



^. 

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định 

 

2

2 2

2 1

0, 1 2 0

1 2 m m m

y x m m m

x m m

  

  

            

   

 . 

Kết luận: ^{m  }



^{; 1}

 

^{ 2;}



 thì hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.

3. Tìm m để hàm số tăng hay giảm trong khoảng con của 

 Phương pháp

Nếu y f x( )ax²bx c  hoặc y f x( ) là một hàm bất kỳ nào khác, mà ta cần  ( ) 0

y f x   hay y f x( ) 0  trên khoảng 



^{a b,}



 hoặc đoạn a b,  (hoặc trên nửa đoạn hay  nửa khoảng nào đó). 

Trường hợp 1: Tách được tham số m (Phương pháp cô lập tham số)  o Bước 1: Tìm miền xác định của y f x( ). 

o Bước 2: Độc lập (tách) m (hay biểu thức chứa m) ra khỏi biến x và chuyển m về một  vế. Đặt vế còn lại  là g x( ). Lưu ý khi chuyển vế thành phân thức thì phải để ý điều  kiện xác định của biểu thức để khi xét dấu  ( )g x  ta đưa vào bảng xét dấu  ( )g x .  o Bước 3: Tínhg x( )_. Cho g x( ) 0  và tìm nghiệm. 

o Bước 4: Lập bảng biến thiên của ( )g x . 

o Bước 5: Kết luận: “Lớn hơn số lớn – Bé hơn số bé”. Nghĩa là: khi ta đặt ^{mg x( )  1}

 

 

hoặc ^{mg x( )  2}

 

 thì dựa vào bảng biến thiên ta sẽ lấy giá trị m số lớn nhất trong  bảng biến thiên ứng với 

 

^{1  hoặc m} số nhỏ nhất trong bảng ứng với 

 

^{2 .} 

Trường hợp 2: Không tách được tham số m. (Phương pháp delta)  ( ) 2

y f x ax bx c  

o  0: y f x( ) sẽ cùng dấu với a    a0

  thì ^{f x}

 

^{0, x }nên hàm số đồng biến trên , suy ra hàm số đồng biến  trên 



^{a b;}



^. 

 a0

  thì ^{f x}

 

^{0, x }nên hàm số nghịch biến trên , suy ra hàm số nghịch biến  trên 



^{a b;}



^. 

o   0: y f x( ) có 2 nghiệm x x₁, ₂ và đổi dấu khi qua hai nghiệm. 

      x            x₁       x₂       

      f x( )   cùng dấu với a    0      trái dấu với a       0     cùng dấu với a        Lúc đó bài toán đưa về dạng “So sánh hai nghiệm của phương trình bậc hai 

( ) 2 0

g x ax bx c   với 1 số a bất kì “. 

   

2 1 1 2

1 2

0

. 0

2

x x a x a x a

x x a

 

   





 





        1 2



1

 

2



1 2

0

. 0

2

x x a x a x a

x x a

 

   





 





       

   

1 2

2 1

0

. 0

x a x

x a x a

 





  

 

 



 

Nếu  ^{f x}

 

^{ax b}

cx d

 

  có tập xác định  \ d

D c

 

  

 

 ,  ' ₂

( )

ad bc y cx d

 

 . 

Tìm điều kiện để hàm số đồng biến hay nghịch biến trên ( ;x₀ ),  (;x₀). 

o Hàm số đồng biến trên  ₀

0

0 ( ; )

ad bc

x d

c x

  

  

 



, trên  ₀

0

0 ( ; )

ad bc

x d

c x

  

  

 



 

o Hàm số nghịch biến trên  ₀

0

0 ( ; )

ad bc

x d

c x

  

 

 





, trên  ₀

0

0 ( ; )

ad bc

x d

c x

  

 

 





MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA

Bài toán 1: Tìm tham sốmđể hàm số: ^{yx32mx2}



^m1



^x1 đồng biến trên đoạn  0; 2 . 

Lời giải:

Hàm số ^{yx32mx2}



^m1



^x1đồng biến (tăng) trên đoạn 0; 2  

3 2 4 1 0 , 0; 2

y x mx m x  

          ^{3x2 1 m}



^{4x1 ,}



_{  }^{x 0; 2}_ 

 

3 2 1

, 0; 2

4 1

m x x

x

  

      .  Đặt 

 

 

3 2 1

4 1

g x x x

 

  , ta có 

 

2 2

12 6 4

( ) 0, 0; 2

4 1

x x

g x x

x

 

      



.  Bảng biến thiên của ^{g x}

 

 

x  0     2   

 

g x     _   

 

g x   1

   

  11

9   

Dựa vào bảng biến thiên: m 1 (Vì mg x( ) nên lấy mnhỏ hơn số nhỏ trong bảng biến thiên). 

Bài toán 2:

Tìm tham sốmđể hàm số: ^{yx33x2}



^m1



^x4m nghịch biến trên khoảng 



^1;1



^. 

Lời giải:

Hàm số: ^{yx33x2}



^m1



^x4m nghịch biến trên khoảng 



^1;1



 

3 2 6 1 0, 1;1

y x x m x

          

   

3 2 6 1 , 1; 1

m x x g x x

         . 

Đặt ^{g x}

 

^{ 3x26x1. Ta có g x}

 

^{ 6x6. Cho g x}

 

^{0 6x 6 0x 1.} 

Bảng biến thiên: 

x         1        1        

 

g x   0          

 

g x   2    

10

    

Dựa vào bảng biến thiên, để hàm số nghịch biến trên khoảng 



^1;1



 ^{thì m 10.} 

Bài toán 3: Tìm m để hàm số ^yx3



^m1



^x2



^2m23m2



^x2m2m đồng biến trên nửa  khoảng ^^2;



.

Lời giải:

Ta có: ^{y 3x22}



^m1



^x



^2m23m2



^. 

Để hàm số đồng biến trên nửa khoảng ^_^2;



^{y0, x }_^2;



 

Tam thức bậc hai y

 có   7m²7m 7 0, m  nêny 0có hai nghiệm là: 

1 2

1 1

3 ;   3

m m

x    x   

  _. 

Vì x₁x₂nên  ¹

2

0 x x

y x x

    

 

. 

Suy ra 



2

0, 2; 2 1 2 5

3

y x x m   m

             

 

^{2 2}

5 5 3

2 2

2 6 0

5

m m

m m m m

   

 

     

   

   



. 

Vậy  3

2 m 2

    thỏa YCBT. 

Bài toán 4:

Tìm tham số m để hàm số:  ^{1 3}



²



²



³



¹

3 3

y  x  m x m m x  nghịch biến trên 



^1;



^. 

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định trên.  Ta có: ^{y  x22}



^m2



^{x m m}



^3



^. 

Hàm số nghịch biến trên 



^1;



^{y0, x}



^1;



 

     

2 2 2 3 0, 1;

x m x m m x

           

Ta có ^{ }



^m2



^{2m m}



^3



^{ 4 m.} 

Trường hợp 1:   0 4 m0m4 

Mà a  1 0 nên ^{y0, x y0, x}



^1;



 

Vậy m4 thỏa mãn. 

Trường hợp 2:     0 4 m0m4. Khi đó y'có 2 nghiệm x₁x₂  x      x₁    x₂     

y      0    0      Dựa vào bảng xét dấu trên, hàm số đã cho nghịch biến trên 



^1;





1



2



1 2



1 2



1 2

1 2 1 2

1 1 0 1 0

1 2 0 2 0

x x x x x x

x x

x x x x

        

 

    

     

 

 

 

Theo Viet ta có: 

 

 

1 2

1 2

2 2

3

x x m

x x m m

   



 



 

Do đó 

   

 

3 2 2 1 0

2 2 2 0

m m m

m

     



  



2 5 5 0

2 1

m m

m

   

 

  



5 5

2

5 5

2 3 m m m

 

 



  

 



 



5 5

m 2

 

 

Vậy  5 5

2 4

m  m

    thỏa YCBT. 

Bài toán 5: Tìm tham số mđể hàm số: yx m cosx đồng biến trên.  Lời giải: 

Hàm số đã cho xác định trên .  Ta có: y  1 msinx. 

Hàm số đồng biến trên^{y0 , x  1 msinx0, x msinx1, , x }  

 

^  

Với m0thì 

 

^  luôn đúng. 

Với m0thì 

 

^{sinx 1 , x 1 1 0 m 1}

m m

         .  Với m0thì 

 

^{sinx 1 , x 1 1 1 m 0}

m m

           .  Vậy:   1 m1 thỏa yêu cầu bài toán. 

Bài toán 6: Tìm m để hàm số  2 2 y mx

x m

 

 đồng biến trên 



^2;



^. 

Lời giải: 

Hàm số  2

2 y mx

x m

 

  có tập xác định là ^{\ 2m}



^



 ^, 

 

2 2

2 2

2 y m

x m

  

  

Hàm số đồng biến trên 



^2;



2 2

2 2 0 1

2 2 1 1

m m

m m m

    

 

   

   

  . 

Vậy m1 thỏa YCBT. 

Bài toán 7:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số  tan 2 tan y x

x m

 

  đồng biến trên (0; ) 4

 .  A. m0 hoặc 1m2     B. m0     C. 1m2    D. m2 

( Đề minh họa Kỳ thi THPTQG 2017 của Bộ giáo dục đào tạo)  Lời giải:

Đặt ttanx thì với  (0; ) (0;1) x 4 t

    . 

Hàm số đã cho trở thành ^{y t 2 ,  t}



^0;1



t m

  

 , TXĐ: ^\

 

^m   

Ta có 

 

2

 

2 ,   0;1

y m t

t m

 

  



. Khi đó điều kiện bài toán 

2 0 2 0

(0;1) 1 1 2

0

m m m

m m m

m

 

     

   

   

   

 . 

Ta chọn đáp án A. 

    

 

4. Tìm m để hàm số yax³bx² cx d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) bằng l.

 Phương pháp

Bước 1: Tính y f x( ). 

Bước 2: Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến:  ⁰  

 

¹

0 a



 



.  Bước 3: Biến đổi  x₁x₂ l thành 



x1x2



²4 .x x1 2 l²      2

 

. 

Bước 4: Sử dụng định lý Viét đưa (2) thành phương trình theo m.  Bước 5: Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm. 

MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA Bài toán 1:

Tìm tham số mđể hàm số: yx³3x²mx m  nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1.

Lời giải:

Hàm số đã cho xác định trên D.  Ta có: y 3x²6x m  và   9 3m  

o Với   9 3 m0m3 

Lúc đó y 0,   x , do đó hàm số tăng trên, không thỏa YCBT. 

o Với   9 3 m0m3 

Khi đó y 0 có hai nghiệm phân biệt x x₁, ₂ (giả sử x₁x₂) và hàm số nghịch biến trong  đoạn x x₁; ₂ với độ dài l x₁x₂  

Theo định lý Vi – ét ta có:  ^{1 2}

 

1 2

2

   3 3   

x x m m x x

   

 

 



  Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng  1  . 

 

^{2 2}

1 2 1 1 2 1

l x x x x

      



1 2



² 1 2

4 9

4 1 4 1

3 4

x x x x m m

         (thỏa ĐK). 

Vậy  9

m 4 thỏa YCBT. 

Bài toán 2:

Tìm tham số mđể hàm số: ^{y x3x2}



^{2m x}



^1 đồng biến trên đoạn có độ dài bằng  2   Lời giải:

Hàm số đã cho xác định trên  D. 

 

3 2 2 2

y   x  x m  có     5 m. 

Nếu     5 m0 m5thì y 0,   x , do đó hàm số tăng trên, không thỏa YCBT. 

Nếu     5 m0m5. Khi đó y 0 có hai nghiệm phân biệt x x₁, ₂ (giả sử x₁x₂) và  hàm số nghịch biến trong đoạn x x₁; ₂ với độ dài l x₁x₂ . 

Theo định lý Viét ta có:   ^{1 2}

 

1 2

2   

3    5

2  

3 x x

m m x x

  



 

  



 

Hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 2 

 

²

1 2 2 1 2 4

l x x x x

        

       



1 2



² 1 2

4 2 14

4 4 4. 4

9 3 3

x x x x m m

         (thỏa). 

Vậy  14

m 3  thỏa YCBT. 

5. Tìm tập nghiệm của phương trình

 Phương pháp

Phương pháp 1

Bước 1: Đưa phương trình về dạng:  f x( )k, (1). 

Bước 2: Xét hàm số y f x( ). Dùng lập luận khẳng định hàm số đồng biến (nghịch biến). 

Bước 3: Lúc đó phương trình (1) có nghiệm duy nhất xx₀ ( mà ta nhẩm được). 

Phương pháp 2

Bước 1: Đưa phương trình về dạng:  ( )f x g x( ), (1) 

Bước 2: Xét hai hàm số y f x( ) và yg x( ). Dùng lập luận để khẳng định y f x( ) là  hàm đồng biến (nghịch biến) và yg x( ) là hàm nghịch biến (đồng biến). 

Bước 3: Lúc đó nếu phương trình (1) có nghiệm xx₀ là nghiệm duy nhất. 

Phương pháp 3

Bước 1: Đưa phương trình về dạng  f u( ) f v( ), (1) 

Bước 2: Xét hàm số : y f t( ). Dùng lập luận khẳng định hàm số đồng biến (nghịch biến).  

Bước 3: Khi đó từ (1) suy ra : uv.  MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA

Bài toán 1: Giải phương trình:  4x 1 4x² 1 1  Lời giải:

Điều kiện:  4 ₂ 1 0

4 1 0

x x

  

  



1 x 2

   

Nhận xét: Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hàm số ^{y f x}

 

^{ 4x 1 4x21} 

và y1 

Xét hàm số  ^{f x}

 

^{ 4x 1 4x21}, tập xác định :  1 2,

D  

  

  

Đạo hàm 

 

^{2 4}₂ ^{0, 1}

4 1 4 1 2

f x x x

x x

     

 

 

Suy ra hàm số đồng biến trên  1 2,

 

 

  và  1 2 1 f 

 

     Do đó hàm số có nghiệm duy nhất và đó là  1

x2. 

Bài toán 2: Giải phương trình:  3 sin x 2 sin x1.  Lời giải:

Đặt tsinx , điều kiện t 1 

Khi đó phương trình có dạng :  3 t 2 t 1 3  t 1 2t  

 

^*  

Xét hàm số : 

 Hàm số  f t( ) 3t là hàm đồng biến trên D  1,1 

 Hàm số  ( ) 1g t   2t là hàm nghịch biến trên D  1,1  Từ (*) suy ra :  f t( )g t