2) Phương trình cos x  a

(1)

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 1) Phương trình sin x  a

Trường hợp a 1  phương trình vơ nghiệm, vì  1 sinx1 với mọi x. Trường hợp a 1  phương trình cĩ nghiệm, cụ thể:

▪ 0; 1; 2; 3; 1

2 2 2

a     . Khi đĩ

sin sin 2 ,

sin 2

x k

x a     

  

     

   .

▪ 0; 1; 2; 3; 1

2 2 2

a     . Khi đĩ arcsin 2

sin ,

arcsin 2

x a k



 

  

     .

2) Phương trình cos x  a

Trường hợp a 1  phương trình vơ nghiệm, vì  1 cosx1 với mọi x. Trường hợp a 1  phương trình cĩ nghiệm, cụ thể:

▪ 0; 1; 2; 3; 1

2 2 2

a     . Khi đĩ

cos cos 2 ,

cos 2

x k

x a   

  

   

     .

▪ 0; 1; 2; 3; 1

2 2 2

a     . Khi đĩ arc cos 2

cos ,

arc cos 2

x a k



  

    .

3) Phương trình tan x  a

Điều kiện: ^x^{ }^₂ ^k^



^k^^



^.

● 0; 1 ; 1; 3

a  3   . Khi đĩ t na x a tanxtanx  k, k.

● 1

0; ; 1; 3

a  3   . Khi đĩ tanx  a x arctana k , k.

4) Phương trình cot x  a

Điều kiện: ^x^{ }^ ^k^



^k^^



^.

● 0; 1 ; 1; 3

a  3   . Khi đĩ cotxacotxcotxk, k.

● 1

0; ; 1; 3

a  3   . Khi đĩ cotx  a x arccotak, k.

(2)

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Giải phương trình 2

sin 0

3 3

x 

 

  

 

  . A. ^x^^k^



^k^^



^.^B.^x^²₃^^^k³₂^



^k^^



^.

C. ^x^{ }^₃ ^k^



^k^^



^. ^D.^x^{ }^₂ ^k³₂^



^k^^



^.

Lời giải. Phương trình sin 2 0 2

3 3 3 3

x  x  k

 

     

 

 

 

2 3

.

3 3 2 2

x k

k x k

   

       Chọn D.

Câu 2. Số nghiệm của phương trình ^{sin 2}



^x^⁴⁰⁰



^ ₂³^với^¹⁸⁰⁰^{ }^x ¹⁸⁰⁰^là?

A. 2. B. 4. C. 6. D. 7.

Lời giải. Phương trình ^{sin 2}



^x^⁴⁰⁰



^ ₂³ ^^{sin 2}



^x^⁴⁰⁰



^^{sin 60}⁰

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

2 40 60 360 2 100 360 50 180

2 40 180 60 360 2 160 360 80 180 .

x k x k x k

         

  

          

 Xét nghiệm x50⁰k180 .⁰ Vì 180⁰  x 180⁰ 180⁰50⁰k180⁰180⁰

0 0

1 130

23 13

18 18 0 50 .

k k x

    

       



 Xét nghiệm x80⁰k180 .⁰ Vì 180⁰  x 180⁰ 180⁰80⁰k180⁰180⁰

0 0

1 100

13 5

9 9 0 80 .

k k x

    

       



Vậy có tất cả 4 nghiệm thỏa mãn bài toán. Chọn B.

Cách 2 (CASIO). Ta có 180⁰ x 180⁰360⁰2x360 .⁰

Chuyển máy về chế độ DEG, dùng chức năng TABLE nhập hàm ^{f X}

 

^{sin 2}



^X ⁴⁰



 ₂³ với các thiết lập Start 360, End360, Step40. Quan sát bảng giá trị của ^{f X}

 

^{ta suy}

ra phương trình đã cho có 4 nghiệm.

Câu 3. Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình 1 sin 2

3 2

x 

 

  

 

  trên đường tròn lượng giác là?

A. 1. B. 2. C. 4. D. 6.

Lời giải.

Phương trình ^{sin 2} ₃ ^sin₆ ² ³ ⁶ ² ¹²

 

^.

2 2

3 6 4

x k x k

x k

x k x k

    

 

     

 

       

   

            

 Biểu diễn nghiệm

x  12 k trên đường tròn lượng giác ta được 2 vị trí (hình 1).

Biểu diễn nghiệm

x 4 k trên đường tròn lượng giác ta được 2 vị trí (hình 2).

(3)

Vậy cĩ tất cả 4 vị trí biểu diễn các nghiệm các nghiệm của phương trình. Chọn C.

Cách trắc nghiệm. Ta đưa về dạng 2

x k

n

 

   số vị trí biểu diễn trên đường trịn lượng giác là n.

 Xét 2

12 12 2

x   k   x  k  cĩ 2 vị trí biểu diễn.

 Xét 2

4 4 2

x  k  x  k  cĩ 2 vị trí biểu diễn.

Nhận xét. Cách trắc nghiệm tuy nhanh nhưng cẩn thận các vị trí cĩ thể trùng nhau.

Câu 4. Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số ysin 3x và ysinx bằng nhau?

A. ² ₂

 

^.

4 x k

x k k



 

  

  

  B.

 

^.

4 2

x k

x k k



 

  

  

 

C. ^x^k₄^



^k



^. D. ^x^k₂^



^k



^.

Lời giải. Xét phương trình hồnh độ giao điểm: sin 3xsinx

 

3 2

.

3 2

4 2

x k x x k

x x k x k k

 

    

 

        Chọn B.

Câu 5. Gọi x₀ là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 2 cos 2 0 1 sin 2

x x 

 . Mệnh đề nào sau

đây là đúng?

A. ₀ 0; .

x  4 B. ₀ ; .

x    4 2 C. ₀ 3

; .

x  2 4  D. ₀ 3 4 ; . x     Lời giải. Điều kiện: 1 sin 2 x 0 sin 2x1.

Phương trình

 

2 2

sin 2 cos 2 1 sin 2 1

2 cos 2 0 cos 2 0

1 sin 2 sin 2 1

x x x

x x

   

   

   

loại thỏa mãn

 

sin 2 1 2 2 .

2 4

x x  k  x  k k

           

Cho 1

4 k 0 k 4

 

     .

Do đĩ nghiệm dương nhỏ nhất ứng với 1 3 3 ; .

4 4

k  x     Chọn D.

Hình 1

O

4



O

12

 sin

cos

sin

cos

Hình 2

(4)

Câu 6. Hỏi trên đoạn



^2017;2017



, phương trình



^sin^x^^{1 sin}

  x 20 có tất cả bao nhiêu nghiệm?

A. 4034. B. 4035. C. 641. D. 642.

Lời giải. Phương trình

   

sin 1

sin 1 2 .

sin 2 vo nghiem 2

x x x k k

x

 

  

         

Theo giả thiết 2017 2017

2 2

2017 2 2017

2 k 2 k 2

 

  

      

 

xap xi 320,765 k 321, 265 ^k^ k 320; 319;...;321 .

   ^   

Vậy có tất cả 642 giá trị nguyên của k tương úng với có 642 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn D.

Câu 7. Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình sin 3 3

4 2

x 

 

  

 

  bằng:

A. 9

. B.

6

. C.

6

. D.

9

.

Lời giải. Ta có

3 2

3 4 3

sin 3 sin 3 sin

4 2 4 3 3 2

4 3

x k

x x

x k

  

   

   

    

        

   

 

        

 

7 2

3 7 2

36 3

12 .

11 11 2

3 2

12 36 3

x k

k k

x k x

 

   



 

     

      



TH1. Với ^Cho ^min

max

7 7

0 0

7 2 24 36 .

7 17

36 3 0 1

24 36

x k k x

x k

x k k x

  



       

  

         



TH2. Với ^Cho ^min

max

11 11

0 0

11 2 24 36 .

11 13

36 3 0 1

24 36

x k k x

x k

x k k x

  



       

   

         



So sánh bốn nghiệm ta được nghiệm âm lớn nhất là 13

x  36 và nghiệm dương nhỏ nhất là 7

x36. Khi đó tổng hai nghiệm này bằng 13 7

36 36 6

  

    .Chọn B.

Câu 8. Gọi x₀ là nghiệm âm lớn nhất của phương trình ^{cos 5}



^x^⁴⁵⁰



^ ₂³ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. ^x⁰^{ }



^{30 ;0}⁰ ⁰



^{. B.}^x⁰^{ }



^{45 ; 30}⁰ ^ ⁰



^.

C. ^x⁰ ^{ }



^{60 ; 45}⁰ ^ ⁰



^. ^D.^x⁰^{ }



^{90 ; 60}⁰ ^ ⁰



^.

Lời giải. Ta có



⁰

 

⁰



⁰ ⁰0 ⁰ 0 ⁰ 0

5 45 30 360

cos 5 45 3 cos 5 45 cos30

2 5 45 30 360

x k

x x

x k

   

         

(5)

 

0 0 0 0

5 75 360 15 72

.

5 15 360 3 72

x k x k

x k x k k

     

 

      

TH1. Với ⁰ ⁰ 5 _max ⁰

15 72 0 1 57 .

x k   k 24k     x

TH2. Với 3⁰ 72⁰ 0 1 _max 1 69 .⁰

x k   k 24k     x

So sánh hai nghiệm ta được nghiệm âm lớn nhất của phương trình là x 57 .⁰ Chọn C.

Câu 9. Hỏi trên đoạn ;2 2 

 

 

 

 , phương trình cos 13

x14 có bao nhiêu nghiệm?

A. 2. B. 3. C. 4. D. 5.

Lời giải. Phương trình ^cos^x^¹³₁₄^{  }^x ^arccos¹³₁₄^^k²^



^k^^



^.

 Với 13

arccos 2

x 14k . Vì 13

;2 arccos 2 2

2 2 14

x     k  

CASIO xapxi

0,3105 0, 9394 0 arccos13.

14

k k^ k x

   ^   

 Với 13 arccos 2 .

x  14k  Vì 13

;2 arccos 2 2

2 2 14

x     k  

 

CASIO xapxi

13 13

0,1894 1, 0605 0;1 arccos ; arccos 2 .

14 14

k k^ k x  k 

          



Vậy có tất cả 3 nghiệm thỏa mãn. Chọn B.

Cách 2 (CASIO). Dùng chức năng TABLE nhập hàm ^{f X}

 

^^cos^X ^¹³₁₄ với các thiết lập Start , End 2 , Step

2 7

  

    . Ta thấy ^{f X}

 

đổi dấu 3 lần nên có 3 nghiệm.

Cách 3. Dùng đường tròn lượng giác

Vẽ đường tròn lượng giác và biểu diễn cung từ 2

 đến 2. Tiếp theo ta kẻ đường thẳng 13

x14 . Nhìn hình vẽ ta thấy đường thẳng 13

x14 cắt cung lượng giác vừa vẽ tại 3 điểm.

Câu 10. Gọi X là tập nghiệm của phương trình cos 15⁰ sin . 2

x x

 

  

 

  Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. 290⁰X. B. 20⁰ X. C. 220⁰X. D. 240⁰X. O

sin 13

x14

cos

(6)

Lời giải. Ta có ^cos^^₂^x^¹⁵⁰^^^^^sin^x^^cos^^₂^x^¹⁵⁰^^^^^{cos 90}



⁰^^x



   

0 0 0

0 0

0 0 0 0

15 90 360 50 240

2 .

210 720

15 90 360

2

x x k x k

x x k x k k

       

 

         

Nhận thấy 290⁰X (do ứng với k1 của nghiệm x50⁰k240⁰). Chọn A.

Câu 11. Tính tổng T các nghiệm của phương trình sin 2xcosx0 trên



^{0;2 .}



A. T 3 . B. 5 2 .

T   C. T 2 . D. T . Lời giải. Ta có sin 2 cos 0 sin 2 cos sin 2 sin

x x  x x x 2 x

2 2 2

2 6 3

2 2 2

2 2

x x k x k

   

 

  

 

      

 

           .

Vì ^x^



^0;2^



^{, suy ra}

 

2 1 11

0 2 0;1;2

6 3 4 4 .

1 3

0

0 2 2

4 4

2

k k k

k k

k

  

 

        

 

 

        

 

 



Từ đó suy ra các nghiệm của phương trình trên đoạn



^0;2^



^là_{6 6}^{   }^;⁵ ^;³_{2 2}^; ^{ }^T ^{3 .}^

Chọn A.

Câu 12. Trên khoảng ;2 2 

 

 

 , phương trình cos 2 sin

6 x x

 

  

 

  có bao nhiêu nghiệm?

A. 3. B. 4. C. 5. D. 2.

Lời giải. Ta có cos 2 sin cos 2 cos

6 x x 6 x 2 x

  

     

         

     

  

     

 

2 2 2

6 2 3 .

2 2

6 2 9 3

x x k x k

k k

x x k x

    

 

        

 

           



Vì ;2

x2 , suy ra

 

7 5

2 2 1

2 3 6 12 .

2 2 8 5

2 2; 1

2 9 3 3 12

k

k k k

   



 

         

 

 

          

 

 



Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm trên khoảng ;2 .

 2

 

 

  Chọn A.

Câu 13. Tổng các nghiệm của phương trình ^{tan 2}



^x^¹⁵⁰



^¹ trên khoảng



^^{90 ;90}⁰ ⁰



^bằng:

A. 0 .⁰ B. 30 .⁰ C. 30 .⁰ D. 60 .⁰

Lời giải. Ta có ^{tan 2}



^x^¹⁵⁰



^{ }¹ ²^x^¹⁵⁰^⁴⁵⁰^^k¹⁸⁰⁰ ^{ }^x ³⁰⁰^^k⁹⁰⁰



^k^^



^.

Do ^x^{ }



^{90 ;90}⁰ ⁰



^^⁹⁰⁰^³⁰⁰^^k⁹⁰⁰^⁹⁰⁰ ^{   }⁴₃ ^k ²₃

(7)

0

0 0 0

0

1 60

60 30 30 .

0 30

k k x

k x

     

       

 Chọn B.

Câu 14. Giải phương trình ^{cot 3}



^x^{  }¹



^3.

A. ^x^{ }¹₃ ⁵₁₈^^^k^₃



^k^^



^. ^B.^x^{  }¹₃ ₁₈^ ^k^₃



^k^^



^.

C. ^x^⁵₁₈^^^k^₃



^k^^



^. ^D.^x^{  }¹₃ ₆^ ^k^



^k^^



^.

Lời giải. Ta có ^{cot 3}



^x^{   }¹



³ ^{cot 3}



^x^{ }¹



^cot^^  ^₆^

 

¹

1 1 5

3 1 .

6 3 18 3 3 18

x  k x  k k k^ x 

             Chọn A.

Câu 15. Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số tan

y 4 x và ytan 2x bằng nhau?

A. ^x^{ }₄^ ^k₂^



^k^^



^. ^B.^x^₁₂^ ^^k^₃



^k^^



^.

C. ^x^₁₂^^^k^



^k^^



^. ^D.^x^₁₂^ ^^k₃^^^^k^³^m₂^¹^{; ,}^{k m} ^^^.

Lời giải. Điều kiện: cos 4 0 4 .

4 2

cos 2 0

4 2

x m

x x m

x m

x

    

 

   

     

    

 

      

 

 

   

  

 

Xét phương trình hoành độ giao điểm: tan 2 tan x 4 x

 

2 .

4 12 3

x  x k x  k k

       

Đối chiếu điều kiện, ta cần có ₁₂^ ^^k^{ }₃^{ }₄ ^m^₂ ^{ }^k ³^m₂^¹^,



^{k m}^^



^.

Vậy phương trình có nghiệm 3 1

; , .

12 3 2

x  k k m k m  Chọn D.

Câu 16. Số nghiệm của phương trình tan tan3

x 11 trên khoảng ;2

 4

 

 

  là?

A. 1 B. 2. C. 3. D. 4.

Lời giải. Ta có ^tan^x^^tan³₁₁^^{ }^x ³₁₁^^^k^



^k^^



^.

Do ^CASIOxap xi

 

;2 3 2 0, 027 1,72 0;1 .

4 4 11

x    k   k k^^ k Chọn B.

Câu 17. Tổng các nghiệm của phương trình tan 5xtanx0 trên nửa khoảng

 

^0;^ ^bằng:

A. . B. 3 2

. C. 2. D. 5 2

.

Lời giải. Ta có ^{tan 5}^x^^tan^x^{ }⁰ ^{tan 5}^x^^tan^x^⁵^x^{ }^x ^k^^{ }^x ^k₄^



^k^^



^.

Vì ^x

 

^0; ^{, suy ra}⁰^k₄^{ }    ⁰ ^k ⁴ ^k^^ ^k



^0;1;2;3



.

(8)

Suy ra các nghiệm của phương trình trên

 

^0;^ ^là^^^^{0; ; ;}^{  }_{4 2 4}³ ^^^^.

Suy ra 3 3

0 .

4 2 4 2

   

    Chọn B.

Câu 18. Giải phương trìnhtan 3 .cot 2x x1.

A. ^x^^k₂^



^k^^



^. ^B.^x^{  }₄^ ^k^₂



^k^^



^.

C. ^x^^k^



^k^^



^. D. Vô nghiệm.

Lời giải. Điều kiện: ^{cos 3}_{sin 2} ₀⁰ ⁶ ³

 

^.

2

x k

x x k

 



  

  

 

  

 

  

   

Phương trình ^{tan 3}^x_{cot 2}¹ _x ^{tan 3}^x^{tan 2}^x³^x²^x^k ^x ^k



^k



^.

Đối chiếu điều kiện, ta thấy nghiệm xk không thỏa mãn . xk2 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Chọn D.

Câu 19. Cho tan 1 0

x 2

 

   

 

  . Tính sin 2

x 6

 

  

 

 .

A. 1

sin 2 .

6 2

x 

 

   

 

  B. 3

sin 2 .

6 2

x 

 

  

 

 

C. sin 2 3.

6 2

x 

 

  

 

  D. sin 2 1.

6 2

x 

 

  

 

 

Lời giải. Phương trình tan 1 0 tan 1

2 2

x  x 

   

       

   

 

   

 

.

2 4 4

x   k x  k k

        

Suy ra ²^x^{  }₂^ ^k²^^^{   }²^x ₆^ ²₃^^^k²^



^k^^



^.

Do đó 2 2 3

sin 2 sin 2 sin .

6 3 3 2

x   k  

     

         

     

  

      Chọn C.

Câu 20. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình tanx1?

A. sin 2

x 2 . B. cos 2

x 2 . C. cotx1. D. cot²x1. Lời giải. Ta có ^tan^x^{   }¹ ^x ^₄ ^k^



^k^^



^.

Xét đáp án C, ta có ^cot^x^{   }¹ ^x ^₄ ^k^



^k^^



^.^{Chọn C.}

Cách 2. Ta có đẳng thức 1

cot .

x tan

 x Kết hợp với giả thiết tanx1, ta được cotx1. Vậy hai phương trình tanx1 và cotx1 là tương đương.

Câu 21. Giải phương trình cos 2 tanx x0.

(9)

A. ^x^^k₂^



^k^^



^. ^B. ^x ² ^k



^k



^.

x k

 



  

 

   C. ^x ⁴ ^k²



^k



^.

x k

 



  

 

   D. ^x ^₂ ^k



^k



^.

Lời giải. Điều kiện: ^cos^x   ⁰ ^x ₂^ ^k



^k



^.

Phương trình cos 2 0

cos 2 tan 0

tan 0

x x x

x

 

   

 

   

2x 2 k x 4 k2 .

k x k

x k

 



   

   

     thỏa mãn  thỏa mãn

Chọn C.

Câu 22. Tìm tất các các giá trị thực của tham số m để phương trình sinxm cĩ nghiệm.

A. m1. B. m1. C.   1 m 1. D. m1.

Lời giải. Với mọi x, ta luơn cĩ  1 sinx1.

Do đĩ, phương trình sinxm cĩ nghiệm khi và chỉ khi   1 m 1. Chọn C.

Câu 23. Tìm tất các các giá trị thực của tham số m để phương trình cosx m 0 vơ nghiệm.

A. ^m    



^{; 1}

 

^1;



^. ^B.^m^{ }



^1;



^.

C. ^m^{ }



^{1;1 .}



^D.^m^{  }



^{; 1 .}



Lời giải. Áp dụng điều kiện cĩ nghiệm của phương trình cosxa.

 Phương trình cĩ nghiệm khi a1^.

 Phương trình vơ nghiệm khi a1^. Phương trình cosx m  0 cosxm.

Do đĩ, phương trình cosxm vơ nghiệm 1

1 .

1 m m

m

 

     Chọn A.

Câu 24. Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình cosx m 1 cĩ nghiệm?

A. 1. B. 2. C. 3. D. Vơ số.

Lời giải. Áp dụng điều kiện cĩ nghiệm của phương trình cosxa.

 Phương trình cĩ nghiệm khi a1^.

 Phương trình vơ nghiệm khi a1^.

Do đĩ, phương trình cosx m 1 cĩ nghiệm khi và chỉ khi m 1 1

 

1 m 1 1 2 m 0 ^m^ m 2; 1;0

         ^    ^{. Chọn C.}

Câu 25. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình

cos 2 2

x 3 m

 

   

 

  cĩ nghiệm. Tính tổng T của các phần tử trong S.

A. T 6. B. T 3. C. T  2. D. T  6.

Lời giải. Phương trình cos 2 2 cos 2 2.

3 3

x  m x  m

   

        

   

 

   

Phương trình cĩ nghiệm         1 m 2 1 3 m 1



^{3; 2; 1}

      

³ ² ¹ ^6.

m^ S T

^              ^{Chọn D.}