LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2020
hoctoanonline.vn
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2020 MÔN TOÁN SỞ GD VÀ ĐT - THANH
HOÁ, NĂM 2019 - 2020
Đề thi có 50 câu trắc nghiệm Thời gian: 90 phút (không kể phát đề)
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Câu 1. Một lớp học có25học sinh nam và 20học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một học sinh trong lớp học này đi dự trại hè của trường?
A. 25. B. 20. C. 45. D. 500.
Câu 2. Cho 3số x; 3; 7 theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Khi đó giá trị củax là
A. x=−4. B. x= 10. C. x= 4. D. x=−1.
Câu 3. Nghiệm của phương trình log3(2x−1) = 2 là A. x= 4. B. x= 7
2. C. x= 9
2. D. x= 5.
Câu 4. Khối hộp chữ nhật có ba kích thước lần lượt là 2a, a, 3a. Thể tích của khối hộp chữ nhật bằng
A. 6a3. B. 3a3. C. 5a3. D. a3. Câu 5. Tập xác định D của hàm số y= log2(2x−3)
A. D = Å3
2; +∞
ã
. B. D =
Å
−∞;3 2
ã
. C. D = [2; 3]. D. D =R\ ß3
2
™ . Câu 6. Cho hàm sốf(x), g(x) có nguyên hàm trên khoảng K. Xét trên K, chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?
A.
Z
[f(x) +g(x)] dx= Z
f(x) dx+ Z
g(x) dx.
B.
Z
[f(x)−g(x)] dx= Z
f(x) dx− Z
g(x) dx.
C.
Z
[f(x)·g(x)] dx= Z
f(x) dx· Z
g(x) dx.
D.
Z
f(u(x))u’(x) dx= Z
f[u(x)] d[u(x)].
Câu 7. Khối chóp có thể tíchV = 18, diện tích đáyS = 3. Chiều cao h của khối chóp đó là
A. 54. B. 6. C. 18. D. 1
6.
Câu 8. Hình nón có bán kính đáyR = 2, chiều cao h= 3. Diện tích xung quanh của hình nón đó là
A. 26π. B. 52π. C. 2π√
13. D. 4π√
13.
Câu 9. Khối cầu có thể tích bằng 36π. Bán kính mặt cầu đó là
A. 3. B. 9. C. 3π. D. 9π.
Câu 10. Cho hàm sốy=f(x) có bảng biến thiên như sau:
x y0 y
−∞ −1 2 5 +∞
− − 0 + 0 −
2 2
−∞
+∞
0 0
1 1
−∞
−∞
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (−∞; 2). B. (−1; 0). C. (2; +∞). D. (2; 5).
Câu 11. Với a là số thực dương tùy ý, log√2(a2) bằng A. log2a. B. 4log2a. C. 1
4log2a. D. 1 + log2a.
Câu 12. Diện tích của mặt cầu có bán kính đáy R bằng A. πR2. B. 4πR2. C. 4
3πR2. D. 1
3πR2. Câu 13. Cho hàm sốf(x)có bảng biến thiên như sau:
x f0(x) f(x)
−∞ −1 1 3 +∞
+ 0 − − 0 +
−∞
−∞
−1
−1
−∞
+∞
7 7
+∞
+∞
Hàm số đã cho có giá trị cực tiểu là
A. y= 0. B. y= 7. C. y= 3. D. y=−1.
Câu 14.
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?
A. y=x3−3x+ 1. B. y=−x3+ 3x.
C. y=x4−2x2+ 1. D. y=−x4+ 2x2+ 1.
x y
O
Câu 15. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y= 2x−4
(x−1) (x−2) là
A. x= 1;x= 2. B. y= 2. C. x= 1. D. x= 2.
Câu 16. Tập nghiệm của bất phương trìnhlog3(x−1)<2 là
A. (−∞; 10). B. (1; 9). C. (1; 10). D. (10; +∞).
Câu 17.
Cho hàm sốy=f(x)có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Phương trìnhf(x) = 3 có bao nhiêu nghiệm?
A. 2. B. 0. C. 1. D. 3.
O x
y
−1 1 3 4
Câu 18. Nếu
1
Z
−1
f(x) = 2,
1
Z
−1
g(x) dx=−3 thì
1
Z
−1
[2f(x)−g(x)] dx bằng
A. 7. B. 1. C. 5. D. −5.
Câu 19. Cho hàm sốf(x)có bảng biến thiên như sau:
x f0(x)
f(x)
−∞ 1 2 +∞
+ 0 − 0 +
−∞
−∞
3 3
1 1
+∞
+∞
Tổng số đường tiệm cận của đồ thị hàm số g(x) = 1
2f(x)−3 là
A. 2. B. 4. C. 1. D. 3.
Câu 20. Cho hai số phứcz1 = 4i−5,z2 = 7−3i. Phần ảo của số phức z1−z2 là
A. −12. B. 7. C. 1. D. 2.
Câu 21. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức z = 8−3i là điểm nào dưới đây?
A. Q(3;−8). B. P(−3; 8). C. N(8; 3). D. M(8;−3).
Câu 22. Trong không gianOxyz, hình chiếu vuông góc của điểmM(5;−2; 9)trên mặt phẳng(Oyz) có tọa độ là
A. (0; 2; 9). B. (0;−2; 9). C. (5; 0; 9). D. (5;−2; 0).
Câu 23. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : (x−5)2 + (y−7)2+ (z+ 8)2 = 25. Tâm của (S) có tọa độ là
A. (5; 7; 8). B. (−5;−7; 8). C. (5; 7;−8). D. (5;−7;−8).
Câu 24. Trong không gianOxyz, cho mặt phằng(P) : −2x+ 5y+ 9z+ 1 = 0. Véc-tơ nào dưới đây là một véc-tơ pháp tuyến của (P)?
A. #»n3 = (2; 5; 9). B. #»n1 = (2;−5; 9). C. #»n2 = (−2; 5; 9). D. #»n4 = (−2;−5; 9).
Câu 25. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳngd: x−4
−3 = y−1
5 = z+ 2
−2 . Điểm nào dưới đây thuộc d?
A. P(4; 1;−2). B. M(−4;−1; 2). C. N(−4; 1;−2). D. Q(−4; 1; 2).
Câu 26. Cho hình lăng trụ đứngABC.A0B0C0 có đáy tam giácABC vuông, AB=BC = 2a, cạnh bênA0A=a√
2,M là trung điểm củaBC. Tính tan của góc giữa A0M với (ABC).
A.
√10
5 . B. 2√
2
3 . C.
√3
3 . D. 2√
10 5 .
Câu 27. Cho hàm sốf(x)xác định trênRvà có bảng xét dấu f0(x)như hình bên. Khẳng định nào sau đây sai?
x f0(x)
−∞ −3 1 2 +∞
+ 0 + 0 − 0 +
A. Hàm số đạt cực tiểu tại x= 2. B. Hàm số đạt cực đại tại x=−3.
C. x= 1 là điểm cực trị của hàm số. D. Hàm số có hai điểm cực trị.
Câu 28. Cho hàm số y = 3x−1
x−3. Gọi giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [0; 2] lần lượt làM và m. Khi đó S=m+M có giá trị là
A. S = 14
3 . B. S = 4. C. S=−14
3 . D. S = 3
5.
Câu 29. Cho các số thực dươnga,b thỏa mãn3 loga+ 2 logb = 1. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a3+b2 = 1. B. 3a+ 2b = 10. C. a3b2 = 10. D. a3+b2 = 10.
Câu 30. Cho hàm sốy=x4−4x2 có đồ thị(C). Tìm số giao điểm của đồ thị(C)và trục hoành.
A. 0. B. 2. C. 3. D. 1.
Câu 31. Tập nghiệm của bất phương trình4·9x+ 12x <3·16x là
A. [0; +∞). B. (0; +∞). C. (1; +∞). D. [1; +∞).
Câu 32. Trong không gian, cho hình vuông ABCD cạnh 4a. Gọi I và H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Tính diện tích toàn phần của hình trụ tròn xoay tạo thành khi quay hình vuông ABCD xung quanh trục IH.
A. 24πa2. B. 24a2. C. 12πa2. D. 60πa2. Câu 33. Xét
π
Z2
0
sin(2x)esin2xdx nếu đặt u= sin2x thì
π
Z2
0
sin(2x) esin2xdx bằng
A. −
1
Z
0
eudu. B.
1
Z
0
eudu. C. 2
1
Z
0
eudu. D.
π
Z2
0
eu du.
Câu 34. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đườngy =x2−15, y = 0, x= 0 và x= 2. Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) quanh trục hoành.
A. V =
2
Z
0
x2−152
dx. B. V =
2
Z
0
x2−15 dx.
C. V =π
2
Z
0
x2−152
dx. D. V =π
2
Z
0
15−x2 dx.
Câu 35. Cho số phứcz = (m+ 1−2i) (2m+ 3 +i)với m là tham số. Tổng các giá trị của m đểz có phần thực bằng 5 là
A. −5
2. B. 5
2. C. 2
5. D. −2
5.
Câu 36. Gọi z1, z2 là nghiệm của phương trình z2 − 2z + 3 = 0. Điểm biểu diễn cho số phức (z1+i) (z2+i) có tọa độ
A. (2; 4). B. (2; 2). C. (−2; 3). D. (1;−1).
Câu 37. Trong không gian Oxyz, cho điểmM(2; 1; 0), N(2;−3; 4). Phương trình mặt phằng trung trực của đoạn thẳng M N là
A. −4z+ 4y= 0. B. 2x−y+ 2z+ 4 = 0.
C. 2x−y+ 2z−4 = 0. D. y−z+ 3 = 0.
Câu 38. Trong không gianOxyz, cho điểmM(2; 1; 0)và mặt phẳng(P) : x+ 4y−2z+ 3 = 0. Đường thẳng đi qua M đồng thời song song với (P) và vuông góc với trục Oy có phương trình là
A.
x= 2−2t y= 1−t z = 0
. B.
x= 2 + 2t y= 1 +t z =t
. C.
x= 2−2t y = 1 z = 0
. D.
x= 2 + 2t y= 1 z =t
.
Câu 39. Hai bạn Bình và Lan cùng dự thi trong Kỳ thi THPT Quốc Gia năm2019và ở hai phòng thi khác nhau. Mỗi phòng thi có 24 thí sinh, mỗi môn thi có 24mã đề khác nhau. Đề thi được sắp xếp và phát cho thí sinh một cách ngẫu nhiên. Xác suất để trong hai môn thi Toán và Tiếng Anh, Bình và Lan có chung đúng một mã đề thi.
A. 32
235. B. 46
2209. C. 23
288. D. 23
576.
Câu 40. Cho hình chópS.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 3a, BC = 4a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Góc tạo bởi giữa SC và đáy bằng 60◦. Gọi M là trung điểm của AC, tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SM
A. a√
3. B. 10a√
√ 3
79 . C. 5a
2 . D. 5a√
3.
Câu 41. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham sốm để hàm số y= 1
4x4+mx− 3
2x đồng biến trên khoảng (0; +∞).
A. 2. B. 1. C. 3. D. 0.
Câu 42. Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi h(t) là thể tích nước bơm được sau t giây. Cho h0(t) = 6at2+ 2bt và ban đầu bể nước không có nước. Sau 3 giây thì thể tích nước trong bể là 90m3, sau 6 giây thì thể tích nước trong bể là 504 m3. Tính thể tích nước trong bể sau khi bơm được 9giây?
A. 1458 m3. B. 600 m3. C. 2200m3. D. 4200 m3. Câu 43. Cho hàm sốf(x) = ax+ 2020
bx+c (a, b, c∈R) có bảng biến thiên như sau:
x f0(x)
f(x)
−∞ 4 +∞
+ +
−1
−31 3
+∞
−∞
−1
−31 3
Kết quả nào sau đây đúng?
A. a <0, b >0, c >0. B. a <0, b >0, c <0.
C. a >0, b >0, c <0. D. a >0, b >0, c >0.
Câu 44. Cho hình nón đỉnhS, đáy là hình tròn tâm O, độ dài đường sinh bằng2a. Một mặt phẳng qua đỉnhS cắt hình nón theo thiết diện là tam giácSAB có diện tích lớn nhất. Biết khoảng cách từ O đến đường thẳngAB bằng a. Thể tích của khối nón tạo bởi hình nón trên bằng
A. 4πa3
3 . B. 3πa3. C. 4πa3. D. πa3.
Câu 45. Cho hàm số y = f(x) có f(0) = 4 và f0(x) = 2cos2x + 3,∀x ∈ R, khi đó
π
Z4
0
f(x)dx bằng
A. π2+ 2
8 ·. B. π2+ 8π+ 8
8 ·. C. π2+ 8π+ 2
8 ·. D. π2+ 6π+ 8
8 ·.
Câu 46.
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên m để phương trình f(2 cosx−1) = m có hai nghiệm thuộc −π
2;π 2
.
A. 3. B. 2. C. 4. D. 5.
O x
y
−1 1
1
−3
−1
Câu 47. Chox, y là các số thực dương thỏa mãn logx+ log (20y)≥1 + log (x+ 16y3). Giá trị nhỏ nhất của P = log2x−log2(2y)bằng
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 48. Cho hàm sốf(x)có bảng biến thiên
x f0(x)
f(x)
−∞ −2 0 2 +∞
− 0 + 0 − 0 +
+∞
+∞
−2
−2
1 1
−2
−2
+∞
+∞
Gọi S là tập các giá trị của tham số m sao cho hàm số g(x) = ||2f(x)−2|+f(x) + 10−m| có tổng giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên đoạn[−2; 2] bằng 2. Tính tích các phần tử của S.
A. 575
4 . B. 154. C. 156. D. 621
4 .
Câu 49. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1. Trên các cạnh AB và CD lần lượt lấy các điểm M và N sao cho # »
M A+# »
M B = #»0 và # »
N C =−2# »
N D. Mặt phẳng (P)chứa M N và song song với AC chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích là V. Tính thể tíchV.
A. V =
√2
18. B. V = 7√
2
216. C. V =
√2
108. D. V = 11√ 2 216 . Câu 50. Có bao nhiêu cặp số nguyên(x, y)thỏa mãnlog√3 x+y
x2+y2 +xy+ 2 =x(x−3)+y(y−3)+
xy.
A. 1. B. 2. C. 4. D. 6.
ĐÁP ÁN
1. C 2. D 3. D 4. A 5. A 6. C 7. C 8. C 9. A 10. B 11. B 12. B 13. B 14. C 15. C 16. C 17. D 18. A 19. B 20. B 21. D 22. B 23. C 24. C 25. A 26. A 27. B 28. C 29. C 30. C 31. C 32. A 33. B 34. C 35. A 36. B 37. D 38. D 39. C 40. B 41. A 42. A 43. B 44. D 45. C 46. A 47. C 48. C 49. D 50. D
ĐÁP ÁN CHI TIẾT Câu 1. Số cách chọn ra 1 học sinh từ 45học sinh là C451 = 45.
Chọn đáp án C
Câu 2. Vì 3 sốx; 3; 7 theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên 3 = x+ 7
2 ⇔x=−1.
Chọn đáp án D
Câu 3. Ta có log3(2x−1) = 2⇔2x−1 = 9⇔x= 5.
Chọn đáp án D
Câu 4. Thể tích khối hộp chữ nhật có kích thước là a, b, c là V =abc.
Thể tích khối hộp chữ nhật có ba kích thước lần lượt là 2a, a, 3a làV = 2a·a·3a= 6a3.
Chọn đáp án A
Câu 5. Điều kiện xác định của hàm số là 2x−3>0⇔x > 3 2. Vậy tập xác định làD =
Å3 2; +∞
ã .
Chọn đáp án A
Câu 6. Phương án Z
[f(x)·g(x)] dx= Z
f(x) dx· Z
g(x) dxlà sai.
Chọn đáp án C
Câu 7. Công thức tính thể tích khối chóp là V = 1
3Sh⇒h= 3V
S = 3·18 3 = 18.
Chọn đáp án C
Câu 8.
Giả sử hình nón đỉnhS, O là tâm đáy và AB là một đường kính như hình vẽ.
Ta có 4SOB vuông tại O nên SB = √
SO2+OB2 = √
32+ 22 = √ 13.
(hình vẽ).
Chu vi đáy là C = 2·π·R= 2π·2 = 4π.
Diện tích xung quanh của hình nón có chu vi đáy là C, đường sinh l được tính theo công thức Sxq = 1
2 ·C·l = 1
2 ·4π·√
13 = 2π√ 13.
S
A B
O l
h=3
r= 2
Chọn đáp án C
Câu 9. Thể tích khối cầu có bán kính R làV = 4
3πR3 ⇒R3 = 3V
4π = 3·36π
4π = 27 ⇒R= 3.
Chọn đáp án A
Câu 10. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; 2) nên hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; 0).
Chọn đáp án B
Câu 11. Ta có log√2(a2) = 2
1 2
log2a= 4log2a.
Chọn đáp án B
Câu 12. Công thức tính diện tích mặt cầu là S = 4πR2.
Chọn đáp án B
Câu 13. Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có giá trị cực tiểu là y = 7.
Chọn đáp án B
Câu 14. Đồ thị của hàm số có dạng y=ax4+bx2+ccó3 cực trị và có lim
x→−∞y = +∞ nên a >0.
Vậy chỉ có hàm số y=x4 −2x2+ 1 có đồ thị dạng hình bên.
Chọn đáp án C
Câu 15. Tập xác định D =R\ {1; 2}.
Ta có lim
x→1+y = lim
x→1+
2x−4
(x−1)(x−2) = lim
x→1+
2
x−1 = +∞
và lim
x→1−y= lim
x→1−
2x−4
(x−1)(x−2) = lim
x→1−
2
x−1 =−∞
nên đồ thị hàm sốy= 2x−4
(x−1)(x−2) có tiệm cận đứng x= 1.
Xét lim
x→2+y= lim
x→2+
2x−4
(x−1)(x−2) = lim
x→2+
2 x−1 = 2 và lim
x→2−y= lim
x→2−
2x−4
(x−1)(x−2) = lim
x→2−
2 x−1 = 2
nên x= 2 không phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
Chọn đáp án C
Câu 16. Điều kiện của bất phương trình là D = (1; +∞).
Ta có log3(x−1)<2⇔x−1<9⇔x <10.
Vậy nghiệm của bất phương trình là x∈(1; 10).
Chọn đáp án C
Câu 17.
Ta có số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hai đồ thị y =f(x) như hình vẽ và đường thẳng y= 3 song song với Ox.
Nhìn vào ta thấy đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng y = 3 cắt nhau tại 3 điểm. Do đó phương trìnhf(x) = 3 có3 nghiệm.
O x
y
−1 1 3 4
y= 3
Chọn đáp án D
Câu 18. Ta có
1
Z
−1
[2f(x)−g(x)] dx= 2
1
Z
−1
f(x) dx−
1
Z
−1
g(x) dx= 2·2−(−3) = 7.
Chọn đáp án A
Câu 19. Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình 2f(x)−3 = 0 ⇔f(x) = 3
2 có 3 nghiệm x1; x2; x3 và hàm sốy=f(x) là hàm số bậc ba y=ax3+bx2+cx+d cóa >0.
• Ta có lim
x→x+1
g(x) = +∞ và lim
x→x−1
g(x) =−∞.
• Ta có lim
x→x+2
g(x) = +∞ và lim
x→x−2
g(x) =−∞.
• Ta có lim
x→x+3
g(x) = +∞ và lim
x→x−3
g(x) =−∞.
suy ra hàm số y=g(x) có ba tiệm cận đứng.
Ta có lim
x→±∞g(x) = 0, suy ra hàm sốy=g(x)có TCN là y= 0.
Vậy hàm số có 4 tiệm cận.
Chọn đáp án B
Câu 20. Ta có z1−z2 =−12 + 7i⇒ phần ảo của z1−z2 là7.
Chọn đáp án B
Câu 21. Điểm biểu diễn số phức z = 8−3i là điểm M(8;−3).
Chọn đáp án D
Câu 22. Hình chiếu vuông góc của điểmM(5;−2; 9)trên mặt phẳng (Oyz)có tọa độ là (0;−2; 9).
Chọn đáp án B
Câu 23. Mặt cầu (S)có tâm I(5; 7;−8).
Chọn đáp án C
Câu 24. Mặt phẳng (P) có một véc-tơ pháp tuyến là #»n2 = (−2; 5; 9).
Chọn đáp án C
Câu 25. Vì 4−4
−3 = 1−1
5 = −2 + 2
−2 nên điểm P(4; 1;−2)thuộc d.
Chọn đáp án A
Câu 26.
Vì A0A vuông góc với (ABC) nên AM là hình chiếu của A0M lên (ABC). Khi đó (A0M; (ABC)) = (A0M;AM) = A\0M A.
Ta có AM =√
AB2+BM2 =a√
5và A0A=a√ 2.
Vậy tanA\0M A= A0A AM =
√10 5 .
B0
B M A0
A
C0
C
Chọn đáp án A
Câu 27. Quan sát bảng xét dấu ta thấy qua điểm x = −3 đạo hàm không đổi dấu nên x = −3 không phải là điểm cực trị của hàm số.
Chọn đáp án B
Câu 28. Hàm số đã cho liên tục trên [0; 2].
Ta có y0 = −8
(x−3)2 <0, ∀x∈[0; 2].
Vậy hàm số nghịch biến trên [0; 2].
Suy ra max
x∈[0;2]y=y(0) = 1 3, min
x∈[0;2]y=y(2) =−5.
Vậy M +m =−14 3 .
Chọn đáp án C
Câu 29. Ta có 3 loga+ 2 logb = 1⇔loga3+ logb2 = 1⇔log(a3b2) = 1 ⇔a3b2 = 10.
Chọn đáp án C
Câu 30. Xét phương trình hoành độ giao điểm
x4−4x2 = 0⇔x2(x2−4) = 0⇔
x= 0 x=±2.
Vậy độ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm.
Chọn đáp án C
Câu 31. Bất phương trình tương đương 4·
Å 9 16
ãx
+ Å3
4 ãx
−3<0.
Đặt t= Å3
4 ãx
>0, bất phương trình trở thành
4t2+t−3<0⇔0< t < 3 4. Suy ra
Å3 4
ãx
< 3
4 ⇔x >1.
Chọn đáp án C
Câu 32.
Hình trụ tạo thành có chiều cao bằngIH = 4avà bán kính đáyR=IB= 2a.
Vậy Stp= 2πR(h+R) = 24πa2.
H I
C B
D A
h
R
Chọn đáp án A
Câu 33. Đặt u= sin2x⇒ du= 2 sinxcosxdx= sin 2xdx.
Đổi cận: x= 0⇒u= 0, x= π
2 ⇒u= 1.
Thế thì
π
Z2
0
sin(2x)esin2xdx=
1
Z
0
eudu.
Chọn đáp án B
Câu 34. Ta có
V =π
2
Z
0
x2 −152
dx.
Chọn đáp án C
Câu 35. Ta có z = 2m2 +m(3 +i) + 2m(1−2i) + (3 +i)(1−2i) = 2m2 + 5m−3mi+ 5−5i= (2m2+ 5m+ 5) + (−3m−5)i.
Yêu cầu đề bài suy ra 2m2+ 5m+ 5 = 5⇔
m= 0 m=−5
2. Vậy tổng các giá trị của m để z có phần thực bằng 5là −5
2.
Chọn đáp án A
Câu 36. Phương trình z2−2z+ 3 = 0 có hai nghiệm là z1 = 1 +√
2i; z2 = 1−√ 2i.
Khi đó(z1+i)(z2+i) =z1z2+i(z1+z2) +i2 = 3 + 2i−1 = 2 + 2i.
Vậy số phức có điểm biểu diễn là(2; 2).
Chọn đáp án B
Câu 37. Gọi I là trung điểm của M N, suy ra I(2;−1; 2).
Mặt phẳng(P) trung trực của M N nghĩa là (P) đi qua I và nhận # »
M N = (0;−4; 4) là véc-tơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng (P)là −4(y+ 1) + 4(z−2) = 0⇔y−z+ 3 = 0.
Chọn đáp án D
Câu 38. Mặt phẳng (P) có véc-tơ pháp tuyến #»n = (1; 4;−2), trụcOy có véc-tơ chỉ phương #»u = (0; 1; 0).
Vì đường thẳng∆song song với (P)và vuông góc với Oy nên véc-tơ chỉ phương của ∆là #»u∆ vuông góc với #»n và #»u, suy ra
#»u∆= [#»n;#»u] = (2; 0; 1).
Vậy phương trình đường thẳng ∆là
x= 2 + 2t y= 1 z=t.
Chọn đáp án D
Câu 39. Vì mỗi môn thi cả An và Bình đều có24khả năng được phát các mã đề thi nên|Ω|= 244. Gọi A là biến cố “Trong hai môn thi Toán và Tiếng Anh, Bình và Lan có chung đúng một mã đề thi.”, ta có các trường hợp sau:
• TH1: An và Bình chung mã môn Toán và khác mã môn Tiếng Anh – Số cách chung mã môn Toán là 24.
– An có24cách nhận mã môn Tiếng Anh, khi đó Bình có23cách nhận mã môn Tiếng Anh (khác mã của An).
Suy ra số cách là24×24×23.
• TH2: An và Bình chung mã môn Tiếng Anh và khác mã môn Toán, tương tự TH1.
Do đó, kả năng xẩy ra biến cố A là 24×24×23.
Vậy xác suất là P= 2×24×24×23
244 = 23
288.
Chọn đáp án C
Câu 40.
Vì SQ⊥(ABC), suy ra
(SC,(ABC)) = (SC, AC) = SCA[ = 60◦ và SA=AC·tanSCA[ = 5a√
3.
Gọi N là trung điểm BC, suy ra M N kAB.
Lấy điểm E đối xứng với N qua M, suy ra ABN E là hình chữ nhật.
Do đó d(AB, SM) =d(AB,(SM E)) =d(A,(SM E)). Kẻ AK ⊥SE. Khi đó
d(A,(SM E)) =AK = SA.AE
√SA2+AE2 = 10a√
√ 3 79 .
A C
K E
M S
B
N 60◦
Chọn đáp án B
Câu 41. Ta có y0 =x3 +m+ 3 2x2.
Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞)⇔y0 ≥0, ∀x >0⇔m ≥ −x3− 3
2x2 , ∀x >0.
Đặt f(x) =−x3− 3
2x2, x∈(0; +∞).
Ta có f0(x) =−3x2+ 3
x3, f0(x) = 0⇔x= 1.
BBT
x f0(x)
f(x)
0 1 +∞
+ 0 −
−∞
5 2 5 2
−∞
−∞
Dựa vào BBT, ta cóm ≥f(x), ∀x >0⇔m≥ max
(0;+∞)f(x)⇔m≥ −5 2. Với m nguyên âm nên m∈ {−2;−1}.
Chọn đáp án A
Câu 42. Ta có h0(t) = 6at2+ 2bt⇒h(t) = 2at3+bt2 +c.
Theo đề bài, ta có hệ:
h(0) = 0 h(3) = 90 h(6) = 504
⇔
c= 0
54a+ 9b= 90 432a+ 36b = 504
⇔
c= 0 a= 2
3 b = 6.
Suy ra h(t) = 4
3t3+ 6t2. Ta tính được h(9) = 1458 m3.
Chọn đáp án A
Câu 43. Vì đồ thị có tiệm cận ngang y=−1
3 nên a b =−1
3 hay b=−3a. (1) Vì đồ thị có tiệm cận đứng x= 4 nên −c
b = 4 hay c=−4b= 12a. (2) Khi đóf(x) = ax+ 2020
−3ax+ 12a ⇒f0(x) = 12a2+ 6060a (−3ax+ 12a)2. Từ f0(x)<0⇒12a2+ 6060a <0⇔ −505< a <0. (3) Từ (1), (2) và (3) ta suy raa <0, b >0và c < 0.
Chọn đáp án B
Câu 44.
Xét hình nón đỉnh S có thiết diện là tam giác SAB như hình vẽ.
Diện tích tam giácSAB là SSAB = 1
2SA·SB ·sinASB[ = 2a2·sinASB[. Do đóSSAB lớn nhất khi sinASB[ lớn nhất.
Nếu góc ở đỉnh của hình nón không vượt quá 90◦ thì sinASB[ lớn nhất khi AB là đường kính của đường tròn đáy. Điều này không xảy ra vì d(O, AB) =a >0. Do đó góc ở đỉnh của hình nón là góc tù. Khi đóSSAB lớn nhất khi sinASB[ = 1 hay ASB[ = 90◦.
Gọi I là trung điểm củaAB, ta có
• AB=SA·√
2 = 2a√ 2;
• SI =IB = 1
2AB=a√
2⇒OB =√
OI2+IB2 =a√ 3;
• SO=√
SI2−OI2 =a.
Thể tích khối nón là V = 1
3π·r2·h= 1
3π·OB2·SO=πa3.
O S
A I
B
Chọn đáp án D
Câu 45. Ta có Z
f0(x) dx=f(x)⇒f(x) = Z
2cos2x+ 3 dx=
Z
(cos 2x+ 4) dx= sin 2x
2 +
4x+C.
Vì f(0) = 4 nên C = 4 khi đó f(x) = sin 2x
2 + 4x+ 4.
Nên
π 4
Z
0
f(x)dx=
π 4
Z
0
Åsin 2x
2 + 4x+ 4 ã
dx= Å
−cos 2x
4 + 2x2+ 4x ã
π 4
0
= π2+ 8π+ 2
8 .
Chọn đáp án C
Câu 46. Đặt t= 2 cosx−1 vì x∈
−π 2;π
2
⇒t ∈(−1; 1).
Và với mỗi t∈(−1; 1) thì cho ta hai nghiệm x∈
−π 2;π
2
.
Khi đó ycbt trở thành tìm m để f(t) =m có 1nghiệm thuộc (−1; 1).
Dựa vào đồ thị ta suy ra −3< m <1.
Vì m∈Z nên m∈ {−2;−1; 0}.
Chọn đáp án A
Câu 47. Điều kiện x >0, y >0.
logx+ log (20y)≥1 + log x+ 16y3
⇔ log (20xy)≥log 10 x+ 16y3
⇔ 20xy≥10 x+ 16y3
⇔ 2xy≥x+ 16y3
⇔ x(2y−1)≥16y3. (1)
Vì x, y >0 ⇒2y−1>0, do đó (1) ⇔x≥ 16y3 2y−1. Khi đóP = log2x−log2(2y) = log2 x
2y ≥log2 8y2 2y−2. Xét hàm số f(y) = 8y2
2y−1 trên Å1
2; +∞
ã
⇒f0(y) = 16y2 −16y
(2y−1)2 ⇒f0(y) = 0⇔y= 1.
Bảng biến thiên
y f0(y)
f(y) 1
2 1 +∞
− 0 +
+∞
+∞
8 8
+∞
+∞
⇒f(y)≥8⇔ 8y2
2y−1 ≥8⇔log2 8y2
2y−1 ≥3.
Dấu “=” xảy ra khi y= 1.
Vậy Pmin = 3.
Chọn đáp án C
Câu 48. Đặt P =h(x) = |2f(x)−2|+f(x) + 10 và t=f(x).
Xét trên[−2; 2] có −2≤f(x)≤1⇒t∈[−2; 1].
Khi đóP = 2|t−1|+t+ 10 ⇒P0 = 2 (t−1)
|t−1| + 1 = 2 (t−1) +|t−1|
|t−1| (với t6= 1).
⇒P0 = 0⇔2 (t−1) +|t−1|= 0⇔t = 1 (loại).
Bảng biến thiên của hàm số P = 2|t−1|+t+ 10 trên [−2; 1].
t P0
P
−2 1
− 14
14
11 11
Vậy max
[−2;2] h(x) = 14; min
[−2;2] h(x) = 11.
Do đómax
[−2;2]g(x) = max{|14−m|;|11−m|}và min
[−2;2]g(x) = min{|14−m|;|11−m|}.
Đặt A= max
[−2;2]g(x) ;a= min
[−2;2] g(x).
• TH1: 11−m ≥0⇔m ≤11. Khi đó A= 14−m; a= 11−m.
⇒A+a = 2⇔14−m+ 11−m= 2 ⇔m = 23
2 (không thỏa mãn).
• TH2: 14−m ≤0⇔m ≥14. Khi đó A=m−14; a=m−11.
⇒A+a = 2⇔m−14 +m−11 = 2⇔m = 27
2 (không thỏa mãn).
• TH3: 11−m <0<14−m ⇔11< m <14. Khi đó a= 0.
•Nếu 14−m+ 11−m≥0⇔m≤ 25
2 thì A= 14−m.
⇒A+a = 2⇔14−m = 2⇔m= 12 (thỏa mãn).
•Nếu 14−m+ 11−m <0⇔m > 25
2 thì A=m−11.
⇒A+a = 2⇔m−11 = 2⇔m= 13 (thỏa mãn).
Do đó có 2giá trị m thỏa mãn là m={12; 13}.
Vậy tích các phần tử củaS là12·13 = 156.
Chọn đáp án C
Câu 49.
B
A
C
D M
P N
Q
I
Gọi mặt phẳng (α) là mặt phẳng chứaM N và song song vớiAC.
Ta có (α)∩(ABC) =M P kAC(P ∈BC) ; (α)∩(ACD) =N QkAC (Q∈AD).
Ta có
(ABD)∩(M P N Q) = M Q (BCD)∩(M P N Q) =P N (ABD)∩(BCD) =BD.
⇒M Q, P N, BD đồng quy tại một điểm, giả sử ba đường đồng quy tạiI.
Ta cũng có Q, N lần lượt là trọng tâm các tam giác 4ABI, 4CBI, D là trung điểm củaBI. Như vậy
• VIDQN VIBM P
= ID IB.IQ
IM · IN IP = 2
9 ⇒ VDQN.BM P VIBM P
= 7 9; (1)
• VIBM P
VDABC = 1
3d(I, (ABC))·S4BM P 1
3d(D , (ABC))·S4ABC
= 1 2. (2)
Nhân (1) và (2) theo vế ta được VDQN.BM P VDABC = 7
18 ⇔ V
VDABC = 11
18 ⇔V = 11 18·
√2
12 = 11√ 2 216 .
Chọn đáp án D
Câu 50.
log√3 x+y
x2+y2+xy+ 2 =x(x−3) +y(y−3) +xy
⇔ log√3 3x+ 3y
x2+y2+xy+ 2 = x2+y2+xy+ 2
−(3x+ 3y)
⇔ log√3(3x+ 3y) + (3x+ 3y) = log√3 x2+y2+xy+ 2
+ x2 +y2+xy+ 2 . (1)
Ta thấy hàm sốf(t) = log√3t+t đồng biến trên (0; +∞), do đó:
(1) ⇔ f(3x+ 3y) = f x2+y2+xy+ 2
⇔ 3x+ 3y=x2+y2+xy+ 2
⇔ 3 (x+y) = (x+y)2−xy+ 2. (2)
Đặt
x+y=S xy=P
, (2) thành3S =S2 −P + 2 ⇔P =S2−3S+ 2.
Để tồn tại cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn giả thiết, điều kiện cần là S2−4P ≥0
⇔ S2−4 S2−3S+ 2
≥0
⇔ −3S2+ 12S−8≥0
⇔ 6−2√ 3
3 ≤S ≤ 6 + 2√ 3 3 . Vì (x, y)là cặp số nguyên khi S nguyên, ta chọn S∈ {1 , 2, 3}.
• Với S = 1⇔P = 0 ta được
(x , y) = (0 , 1) (x , y) = (1 , 0).
• Với S = 2⇔P = 0 ta được
(x , y) = (0 , 2) (x , y) = (2 , 0).
• Với S = 3⇔P = 2 ta được
(x , y) = (2 , 1) (x , y) = (1 , 2). Vậy có6 cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cách 2:
log√3 x+y
x2+y2+xy+ 2 =x(x−3) +y(y−3) +xy
⇔ log√3 3x+ 3y
x2+y2+xy+ 2 = x2+y2+xy+ 2
−(3x+ 3y)
⇔ log√3(3x+ 3y) + (3x+ 3y) = log√3 x2+y2+xy+ 2
+ x2 +y2+xy+ 2 . (1) Ta thấy hàm sốf(t) = log√3t+t đồng biến trên (0; +∞), do đó
(1) ⇔ f(3x+ 3y) =f x2+y2+xy+ 2
⇔ 3x+ 3y =x2+y2+xy+ 2
⇔ x2+ (y−3)x+y2−3y+ 2 = 0. (2) Coi (2) là phương trình ẩnx và y là tham số, theo giả thiết (2) phải có
∆ = (y−3)2−4 y2−3y+ 2
≥0
⇔ −3y2+ 6y+ 1≥0
⇔ 3−2√ 3
3 ≤y≤ 3 + 2√ 3
3 .
• Với y∈Z ta chọn y∈ {0,1, 2}.
• Với y= 0, (2) thành x2−3x+ 2 = 0⇔
x= 1 x= 2 .
• Với y= 1, (2) thành x2−2x= 0⇔
x= 0 x= 2 .
• Với y= 2, (2) thành x2−x= 0 ⇔
x= 0 x= 1 .
Vậy có6 cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn đáp án D
