Giải Toán 10 Bài 3: Phương trình đường Elip | Hay nhất Giải bài tập Toán lớp 10

Bài 3: Phương trình đường Elip

Hoạt động 1 trang 85 Toán lớp 10 Hình học: Quan sát mặt nước trong cốc nước cầm nghiêng (h.3.18a). Hãy cho biết đường được đánh dấu bởi mũi tên có phải là đường tròn hay không?

Lời giải:

Đường được đánh dấu bởi mũ tên không phải là đường tròn.

Hoạt động 2 trang 85 Toán lớp 10 Hình học: Hãy cho biết bóng của một đường tròn trên một mặt phẳng (h.3.18b) có phải là một đường tròn hay không?

Lời giải:

Bóng của đường tròn trên mặt phẳng không phải là đường tròn.

Hoạt động 3 trang 86 Toán lớp 10 Hình học: Trong phương trình (1) hãy giải thích vì sao ta luôn đặt được b² = a² – c².

Lời giải:

Do F1(−c; 0), F2(c; 0) nên OF1 = OF2 = c B1(0; −b), B2(0; b)

Suy ra B2F1 = B2F2 = b² +c² Do B2 thuộc elip nên:

B2F1 + B2F2 = 2a 2 b² +c² =2a Suy ra b² + c² = a²

Hay b² = a² – c².

Hoạt động 4 trang 87 Toán lớp 10 Hình học: Hãy xác định toạ độ các tiêu điểm và vẽ hình elip trong ví dụ trên.

Lời giải:

Ta có:

2 2

x y

9 + 1 =1 Suy ra: a² = 9, b² = 1 Suy ra c= a² −b² =2 2

( )

( )

1

2

F 2 2;0 F 2 2;0

 = −

 

 = .

Bài tập

Bài 1 trang 88 Toán lớp 10 Hình học: Xác định độ dài các trục, toạ độ các tiêu điểm, toạ độ các đỉnh của các elip có phương trình sau:

a)

2 2

x y

25+ 9 =1; b) 4x² + 9y² = 1;

c) 4x² + 9y² = 36.

Lời giải:

a) Ta có: a² = 25 suy ra a = 5 độ dài trục lớn 2a = 10 b² = 9 suy ra b = 3 độ dài trục nhỏ 2b = 6

c² = a² – b² = 25 – 9 = 16 suy ra c = 4 Vậy hai tiêu điểm là: F1(−4; 0) và F2(4; 0)

Tọa độ các đỉnh A1(−5; 0), A2(5; 0), B1(0; −3), B2(0; 3).

b) Ta có: 4x² + 9y² = 1

2 2

x y

1 1 1

4 9

 + =

Suy ra a^{2 1} a ¹

4 2

=  = nên độ dài trục lớn là 2a = 1;

2 1 1

b b

9 3

=  = nên độ dài trục nhỏ là 2 2b= 3;

c² = a² – b^{2 1 1 5} c ⁵

4 9 36 6

= − =  = .

Suy ra ₁ 5

F ;0

6

 

− 

  và ₂ 5

F ;0

6

 

 

 

1 1 1 2

1 1 1 1

A ;0 , A ;0 , B 0; .B 0;

2 2 3 3

−  −   −   

       

       .

c) Chia 2 vế của phương trình cho 36 ta được:

2 2

x y

9 + 4 =1 Ta có:

a² = 9 suy ra a = 3 b² = 4 suy ra b = 2

c² = a² − b² = 5  =c 5 Suy ra:

+) Độ dài trục lớn 2a = 6 +) Độ dài trục nhỏ 2b = 4.

+) Tiêu điểm ^F1

(

)

( )

+) Các đỉnh A1(−3; 0), A2(3; 0), B1(0; −2), B2(0; 2).

Bài 2 trang 88 Toán lớp 10 Hình học: Lập phương trình chính tắc của elip, biết a) Độ dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là 8 và 6;

b) Độ dài trục lớn bằng 10 và tiêu cự bằng 6.

Lời giải:

a) Phương trình chính tắc của elip có dạng:

2 2

2 2

x y

a + b =1 Ta có a > b:

2a = 8  a = 4  a² = 16 2b = 6  b = 3  b² = 9

Vậy phương trình chính tắc của elip có dạng

2 2

x y

16+ 9 =1. b) Ta có: 2a = 10 suy ra a = 5 hay a² = 25

2c = 6 suy ra c = 3 c² = 9

Suy ra b² = a² − c²  b² = 25 – 9 = 16 Vậy phương trình chính tắc của elip có dạng

2 2

x y

25 +16 =1.

Bài 3 trang 88 Toán lớp 10 Hình học: Lập phương trình chính tắc của elip trong các trường hợp sau:

a) Elip đi qua các điểm M(0; 3) và N 3; ¹² 5

 − 

 

 ;

b) Elip có một tiêu điểm là ^F1

(

)

  nằm trên elip.

Lời giải:

a) Phương trình chính tắc của elip có dạng:

2 2

2 2

x y

a + b =1 +) Elip đi qua M(0; 3)

2 2

2

2 2 2

0 3 9

1 1 b 9

a +b =  b =  =

+) Elip đi qua N 3; ¹² 5

 − 

 

 

2

2

2

2 2

12

3 5 9 9

1 a 25

a 9 a 25

− 

 

 

+ =  =  =

Phương trình chính tắc của elip là:

2 2

x y

25 + 9 =1. b)

+) Ta có: ^F1

(

)

+) Elip đi qua điểm M 1; ³ 2

 

 

 

Suy ra

2

2 2 2 2

3

1 2 1 3

1 1

a b a 4b

 

 

 

+ =  + = (1)

Mặt khác: c² = a² − b²

Suy ra 3 = a² − b² hay a² = b² + 3 Thế vào (1) ta được: ₂1 3₂

b 3+4b =1 +

2 2

4 2

4b 3b 9

4b 12b 1 + +

 =

+

 4b² + 3b² + 9 = 4b⁴ + 12b²

 4b⁴ + 5b² – 9 = 0

( )

2

2

b 1 (tm)

b 9 loai

4

=



 = −



Suy ra a² = b² + 3 = 1 + 3 = 4 Phương trình chính tắc của elip là:

2 2

x y

4 + 1 =1.

Bài 4 trang 88 Toán lớp 10 Hình học: Để cắt một bảng hiệu quảng cáo hình elip có trục lớn là 80 cm và trục nhỏ là 40 cm từ một tấm ván ép hình chữ nhật có kích thước 80 cm x 40 cm, người ta vẽ hình elip đó lên tấm ván ép như hình 3.19. Hỏi phải ghim hai cái đinh cách các mép tấm ván ép bao nhiêu và lấy vòng dây có độ dài là bao nhiêu?

Lời giải:

+) Ta có: 2a = 80 suy ra a = 40 2b = 40 suy ra b = 20

c² = a² – b² = 1200 suy ra c=20 3. +) Phải đóng đinh tại các điểm F1, F2.

Khi đó khoảng cách từ hai chiếc đinh F1, F2 đến mép ván là:

F2A2 = F1A1 = OA2 – OF2 = a – c = 40−20 3

( )

2 2

F A 20 2 3 5, 4cm

 = − 

+) Chu vi vòng dây bằng:

F1F2 + MF1 + MF2 = 2c + 2a = 40 3+80

( )

40 2 3 149,3cm

= + 

Vậy phải ghim 2 đỉnh cách các mép tấm ván ép khoảng 5,4cm và lấy vòng dây có độ dài khoảng 149,3cm.

Bài 5 trang 88 Toán lớp 10 Hình học: Cho hai đường tròn C1(F1; R1) và C2(F2; R2). C1 nằm trong C2 vàF₁ F₂. Đường tròn C thay đổi luôn tiếp xúc ngoài với C1

và tiếp xúc trong với C2. Hãy chứng tỏ rằng tâm M của đường tròn C di động trên một elip.

Lời giải:

+) Gọi R là bán kính của đường tròn (C) +) Ta có:

(C) và C1 tiếp xúc ngoài với nhau suy ra MF1 = R1 + R (1) (C) và C2 tiếp xúc trong với nhau suy ra MF2 = R2 – R (2)

Từ (1) và (2) ta được: MF1 + MF2 = (R1 + R) + (R2 − R) = R1 + R2 không đổi.

+) Điểm M có tổng các khoảng cách MF1 + MF2 đến hai điểm cố định F1 và F2 bằng một độ dài không đổi R1 + R2.

Vậy tập hợp điểm M là đường elip, có các tiêu điểm F1 và F2 và độ dài trục lớn là R1 + R2.