PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 MỘT ẨN SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC 2
I-
Kiến thức trọng tâm
1-Phương trình bậc hai một ẩn:
ĐN: Phương trình bậc hai một ẩn là pt cĩ dạng a x2 + bx + c = 0 trong đĩ x là ẩn số ; a , b , c là những số cho trước a0
V í dụ : (sgk ) phương trình bậc hai một ẩn
a) x2+50x-15000= 0: các hệ số a=1; b=50; c=-15000.
b) - 2x2 + 5x = 0: các hệ số a= -2; b= 5; c= 0 c) 2x2 - 8 = 0: các hệ số là a=2; b=0; c = - 8 . 2-Cơng thức nghiệm phương trình bậc hai
Cơng thức nghiệm phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a 0 ) và biệt thức = b2- 4ac
.> 0 : pt cĩ 2 nghiệm phân biệt x1 = +
2a
b
x2 = -
2a
b
.= 0 : pt cĩ nghiệm kép x1 = x2 =
2 b a
. < 0 : pt vơ nghiệm
Ví dụ: Áp dụng cơng thức nghiệm để giải các phương trình a) 5x2 – x + 2 = 0
a = 5; b = -1; c = 2
= (-1)2 – 4.5.2 = 1 - 40 = -39
< 0 nên phương trình vơ nghiệm:
b) 4x2 – 4x + 1 = 0 a = 4; b = -4; c = 1
= (-4)2 – 4.4.1 = 16 – 16 = 0
= 0 nên phương trình cĩ 2 nghiệm kép x1= x2 = 4 1
8 2
c) -3x2 + x + 5 = 0 a = -3; b = 1; c = 5
= 12 – 4. (-3.)5 = 1 + 60 = 61
> 0 Phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt: x1= -1 61
-6
; x2 = 1 61
6
3-
Cơng thức nghiệm thu gọn
* Phương trình ax2 + bx + c = 0 (a0) Có b = 2b’, ' b2ac
. '> 0 : Phương trình cĩ 2 nghiệm phân biệt
x1 = , + ,
a
b ; x2 = ,- ,
a
b
.'= 0 : pt có nghiệm kép x1 = x2 = b,
a
. '< 0 : pt vô nghiệm
Ví dụ : Giải PT: a) 5x2 +4x -1 = 0 ( a = 5 ; b’ = 2 ; c = -1 )
' = 22 -5. (-1) =4+ 5 = 9 > 0 ' 3 Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
1 2
2 3 1 2 3
; 1
5 5 5
x x
b) Giải PT 3x2 + 8x + 4 = 0 ( a = 3; b’ = 4; c = 4 )
'= b’–ac =16 – 12 = 4 > 0 ' = 2 Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
1 2
4 2 2 4 2
; 2
3 3 3
x x
4/ Phương trình trùng phương
*Phương trình trùng phương là phương trình có dạng ax4 + bx2 + c = 0 (a0) Ví dụ :Ví dụ 1: Giải phương trình
x4 – 13x2 + 36 = 0
Giải: Đặt x2 = t. ĐK: t 0 Phương trình trở thành:
t2 -13t +36 = 0
= (-13)2 -4. 1. 36 = 25 5
1 1
13 5 13 5
4; 9
2 2
t t
(TMĐK t 0)
.t1= x2 = 4 x1,2 = 2 t2= x2 = 9 x3,4 = 3
Vậy phương trình có 4 nghiệm: x1 = -2, x2 = 2, x3 = -3, x4 = 3 5/ Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức
Ví dụ : Giải phương trình :
2 6
5 3 2 x
x x
(ĐK: x 5; x 2)
(x + 2)(2 - x) + 3(x - 5)(2 - x) = 6(x-5)
4 – x2 – 3x2 + 21x – 30 = 6x -30
4x2 – 15x – 4 = 0
= (-15)2 + 4. 4. 4 = 225 + 64 = 289 =17
1
15 17 8 4
x (TMĐK)
1
15 17 1
8 4
x (TMĐK) 6/ Phương trình tích
Ví dụ : Giải phương trình : x3 + 3x2 + 2x = 0
x( x2 + 3x + 2 ) = 0
x1 = 0 hoặc x2 + 3x + 2 = 0
*Giải x2 + 3x + 2 = 0 Có a- b + c = 1- 3 +2 = 0 x2 = - 1; x3 = -2
Phương trình có 3 nghiệm là: x1 = 0; x2 = - 1; x3 = -2 II- Bài tập mẫu
Bài 12/42 SGK: Giải các phương trình:
a) x2 – 8 = 0 x2 = 8
x = 8 hoặc x = 8
Vậy phương trình có 2 nghiệm : x1= 8 hoặc x2 = - 8
b) – 0,4x2 + 1,2x = 0 x(-0,4x + 1,2) = 0
x = 0 hoặc x = -1, 20, 4= -3
Vậy phương trình có nghiệm x1= 0 hoặc x2 = -3 c) (2x - 2)2 – 8 = 0 (2x - 2)2 = 8
2x - 2 = ± 8
*2x - 2 = 2 2 2x = 3 2 x = 3
2 2
*2x - 2 = -2 2 2x = - 2 x = - 2
2
Vậy phương trình có 2 nghiệm x1 = 3
2 2; x2 = - 2
2
Bài 16/45 SGK : Giải các phương trình a) 2x2 -7x + 3 = 0 (a = 2, b = -7; c = 3 )
= (-7)2 – 4.2.3 = 49 – 24 = 25 > 0, 5
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
x1 = 7 5 12 3
2.2 4
, x2 = 7 5 2 1
2.2 4 2
b) 6x2 + x + 5 = 0 (a = 6, b = 1; c = 5)
= (1)2 – 4.6.5 = 1 – 120 = -119 < 0 Phương trình vô nghiệm
c) y2 – 8y + 16 = 0 (a = 1, b = - 8 ; c = 16 )
= (-8 )2 – 4.1.16 = 64 - 64 = 0 Vậy phương trình có 2 nghiệm kép:
y1 = y2 = 8 4
2.1
*Bài 21/49 Giải các phương trình:
a, x2 = 12x + 288
2 12 288 0
x x
' = 36 + 288 = 324 > 0
' = 18
Phương trình có hai nghiệm:
x1 = 6 + 18 = 24; x2 = 6 - 18 = -12
Bài 35b/56: Giải phương trình: x 2 3 6 x 5 2 - x
(1) Điều kiện : x 5; x 2
) 2 )(
5 (
) 5 ( 6 )
2 )(
5 (
)) 2 )(
5 ( 3 ) 2 )(
2 (
x x
x x
x
x x
x x
-4x2 + 15x + 4 = 0
= 152 – 4.(4).(-4) = 225 + 64 = 289 > 0
= 17
x1= 15 17 4 8
x2 = 15 17 1
8 4
(không thỏa mãn điều kiện) Vậy: Phương trình có một nghiệm x = 4
Bài 39/57: Giải phương trình:
x3 + 3x -2x – 6 = 0 x2(x + 3)- 2(x + 3) = 0
(x2 – 2)(x + 3) = 0
hoặc x + 3 = 0
vàx3 = - 3 Bài 40a/57 :Giải phương trình:
3(x2 + x)2 -2(x2 + x) -1 = 0 Nếu t = x2 + x, ta có pt 3t2 – 2t - 1 = 0
’ = (-1)2 – 3.(-1) = 4 > 0 ; '= 2 t1 = 1 2
3
= 1 t2 = 1 2
3
= 1
3(không thỏa mãn điều kiện) t = 1, ta có: x2 = 1 x1= 1, x2 = -1
Vậy: pt có hai nghiệm : x1= 1, x2 = -1 III-Bài tập đề nghị và hướng dẫn giải
Bài 25a/41: Giải phương trình có chứa tham số Hướng dẫn giải
mx2 +(2m – 1 )x +m + 2 =0 a = m, b = 2m – 1, c = m + 2
+ Nếu m = 0 thì phương trình trở thành –x +2 = 0
+Nếu m 0 thì = (2m- 1)2 – 4m(m + 2) = 1- 12m
Phương trình có nghiệm khi 0
1- 12m 0 m 1
12
x2 2 = 0
1 2
x 2; x 2
*Bài 24/50-Sgk.
Cho phương trình:
x2 - 2(m-1)x + m2 = 0 Hướng dẫn giải
' = (m - 1) 2 - m2
= m2 - 2m + 1 - m2 = 1- 2m
+ Phương trình có hai nghiệm phân biệt ' > 0 + Phương trình có nghiệm kép ' = 0
+ Phương trình vô nghiệm ' < 0
Bài tập1 : Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu : 120
x 1 = 125 x - 5 Hướng dẫn giải - TìmĐKXĐ
- Quy đ đđồng và bỏ mẫu x2 – 10 x – 600 = 0 - Giải phương trình
Bài 2 : Giải phương trình trùng phương : 3(x2 + x)2 -2(x2 + x) -1 = 0
Hướng dẫn giải
Nếu t = x2 + x, ta có pt 3t2 – 2t - 1 = 0 Giải phương trình
Bài 3 : Đưa pt về dạng pt tích Hướng dẫn giải
b) x3 + 3x -2x – 6 = 0
Phân tích đa thức thành nhân tử bằng PP nhóm hạng tử , đưa pt về dạng pt tich (x2 – 2)(x + 3) = 0
Giải phương trình
V- Bài tập học sinh tự giải
Bài tập 1 Xác định hệ số a , b , c của các pt sau : a) x2 - 2= 0
c) 2x2 + 3,7x = 0 e ) - 15x2 = 0
Bài tập 2: Giải các phương trình:
a) 2x2 -7x +5 = 0 b) 6x2 + x + 5 = 0 c) 3x2 + 8x + 4 = 0 d) 3x2 - 4 6x – 4 = 0
Bài tập 3: Giải các phương trình:
a) x(x - 7) 1 x x - 4 3 2 3 b)
c) 5x4 +3x2 - 8 = 0 d) 2x - x + 3x + 6 = 0 3 2
Bài tập 4: Giải các phương trình chứa tham số m:
a) x2 + 2mx + m2 – 1 = 0 b) mx2 + ( 2m-1) x + m+2 = 0
Chúc các em thành công
