Chuyên đề phép chia các phân thức đại số - THCS.TOANMATH.com

(1)

PHÉP CHIA CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

- Hai phân thức được gọi là nghịch đảo nếu tích của chúng bằng 1. Phân thức nghịch đảo của A

B là B A.

- Muốn chia phân thức A

B cho phân thức C

D khác 0, ta nhân A

B với phân thức nghịch đảo củaC

D - Ta có:

: .

A C A D

B D  B C với C D≠ 0.

II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN A.CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA

Dạng 1. Sử dụng quy tắc chia để thực hiện phép tính Phương pháp giải: Áp dụng công thức:

: .

A C A D

B D  B C với C D≠ 0.

Chú ý:

- Đối với phép chia có nhiều hơn hai phân thức, ta vẫn nhân với nghịch đảo của các phân thức đứng sau dấu chia theo thứ tự từ trái sang phải.

- Ưu tiên tính toán đối vói biểu thức trong dấu ngoặc trước (nếu có).

Bài 1: Làm tính chia các phân thức a) 7 14 ²

3 1 6: 2 xy x y x x b) 34₂ ^{2 3} ₂ 17

2 2 :3 3

x y xy

xy  y x c) ^x³_x^_²⁷₃ ^:



^x²^⁶^x^⁹



d)



^x²^²^x^^{1 :}



₂^x_x²_^¹₃

(2)

Bài 2: Chia các phân thức sau a) 9 ² 4 3₂ 2

3 1 6: 2

x x

x x x

 

 

b) 5₂ 15 3 4 : 2

x x

 

 

c) 2³



²



8: 2 4

4

x x x

x

  



d) 2 ₂ 4 ² 4 ² 4 1

: 1

x x x x

x x x

  

 

Bài 3: Thực hiện phép chia a)



³^x²^^{48 :}



₉²_x^x_^⁸₆

b)



^{3 6}^ ^x^³^x²



^:^x²_x^¹

c)

  

2

1 3

1 2

: :

2 3 4

x x

x x x

 

  

d) ^x_x³_^₁¹^:



^x²^{ }^x ^{1 :}



^x_x^_₁¹

Bài 4: Làm tính chia a) ₂9 ² 6 1₂ 12₃ 4 ₃

2 4 :4 32

x x x

x xy y x y

  

  

b) ²₂ 3 2 ₂ ²

6 : 4 4

x x x x

  

   

c) ₂⁴ ⁴ 3 ² 3 ²

4 4 1: 6 12

x y x y xy

x x x

 

  

d) ²₂ 4 4 ²₂ 10₃ 20₃

2 2 2 : 5 5

x xy y x y

  

  

Dạng 2: Tìm phân thức thỏa mãn đẳng thức cho trước.

Phương pháp giải: Thực hiện theo hai bước:

Bước 1. Đưa phân thức cần tìm về riêng một vế;

(3)

Bước 2. Sử dụng quy tắc nhân và chia các phân thức đại số, từ đó suy ra phân thức cần tìm.

Bài 5: Tìm phân thức A, thoả mãn:

  

2

3 2

4 5 4

3 3: 2 3

x x x

x x x A x x

   

    

Bài 6: Tìm phân thức B, biết: 12 ²₃ 18 8 ³ 36₂ ² 54 27 .

1 1

8 4 2

x x x x x

B x x x

    

  

Bài 7: Tìm phân thức C, thoả mãn: ⁶₂ ⁶ : ⁴₂ ² ² ⁴₂

10 10 5 10 5

x y x x y y

x xy C x xy y

   

  

Bài 8: Tìm phân thức D, biết:

 

²

 

²

2 3

1 6 1 9 16

3 3 . 3 3

x x x

x x D x x

     

 

Dạng 3: Bài toán nâng cao.

Bài 9: Tìm giá trị của x để phân thứcA chia hết cho phân thứcBbiết:

3 2

11 2

x x x

A x

  

  ; 2

2 B x

x

 

 .

Bài 10: Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức 15₂ 5 16 1 4: 1

M  x x

  là số nguyên.

HƯỚNG DẪN Dạng 1: Sử dụng quy tắc chia để thực hiện phép tính.

Bài 1: Làm tính chia các phân thức

a) ²

 

2 2

2. 3 1

7 14 7 6 2 7 1

: . . .

3 1 6 2 3 1 14 3 1 14

xy x y xy x xy x

x x x x y x x y x

 

  

   

b)

     

 

2 3 2 3 2 3 2 3

2 2 2 2 2 3

3 1 102 . 1

34 17 34 3 3 34

: . . 3

2 2 3 3 2 2 17 2 1 17 34 1

x x y x

x y xy x y x x y

xy y x xy y xy y x xy xy x x

 

    

    

c)

     

 

3 3 3 2

2

2 2

3 3 9

27 3 1 1

: 6 9 . .

3 3 6 9 3 3

x x x

x x

x x x x x x

  

      

     

  

2 2

2

3 9 3 9

3 3 9

x x x x

x x x

   

 

  

d)



²



²



²



2

    

²

  

1 2 3

1 2 3 2 3

2 1 : 2 1 . 1 .

2 3 1 1 1 1

x x

x x x

x x x x x

 

  

       

    

(4)

Bài 2: Chia các phân thức sau

a) ² 2

 

² ² ²

      

3 2 3 2 3 2 2 3 1

9 4 3 2 6 2

: . . 2 3 2

3 1 6 2 3 1 3 2 3 1 3 2

x x x x x

x x x x

x x x x x x x x x

   

      

     

b)

 

  

2

5. 3

5 15 3 2 5

: .

4 2 2 2 3 2

x x x x

x x x x x x

     

     

c)

     

  

3 3 3 2

2

2 2 2 2 2

2 2 4

8 2 1 1 1

: 2 4 . .

4 2 2 4 2 2 2 4 2

x x x

x x

x x x x x x x x x

  

      

        

d)

 

   

2 2 2

2

2 2 2

2 . 1 2

2 4 4 4 1 2 4 1 1 2

: . .

1 4 4 1 . 1 2 1 2 1

x x

x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x

      

  

       

Bài 3: Thực hiện phép chia

a)



³^x²^^{48 :}



₉²_x^x_^⁸₆^



³^x²^^{48 .}



⁹₂^x_x^_⁶₈^^3.



^x²^^{16 .}



^{3. 3}_2.

 

_x^x_^₄²

 

    

    

3. 3 2 9. 4 3 2

3. 4 4 .

2. 4 2

x x x

x x

x

  

   



b)



²



²



²



2

    

²

 

3 . 1

3 6 3 : 1 3. 1 2 . 3. 1 .

1 1 1 1

x x x x x

 

       

   

c)

     

  

2

1 3 1 3

1 2 1 3

: : . :

2 3 4 2 2 2 2

x x x x

x x x x x x x

   

       

  

    

  

2

1 3 2 2 2

. 1 3 2

2

x x x x x

x x x

x

    

 

  



d) ³



2

   

²



2

1 1

1 1 1 1 1 1

: 1 : . : . 1

1 1 1 1 1 1 1

x x x

x x x x x

x x

x x x x x x x x

  

         

       

Bài 4: Làm tính chia

a)

     

 

2 2 3 3

2 3 3

2 2 3 3 2 2 2 2

4. 8

3 1 3 1

9 6 1 12 4 4 32

: . .

2 4 4 32 2 4 12 4 2 4 4. 3 1

x y

x x

x x x x y

x xy y x y x xy y x x xy y x

  

     

        

     

    

2 2 2

2 2

4. 2 2 4

3 1

. 3 1 2

2 4 4. 3 1

x y x xy y

x x x y

x xy y x

  

    

  

b)

  

    

    

 

2 2 2 2 2

2 2 2 2

1 2 2 2 2

3 2 3 2 4 4

: . .

6 4 4 6 3 2 . 1 . 3

x x x x x

x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x

    

         

          

(5)

c)

  

 

2 2 2 2

4 4 2 2 4 4

2

2 2 2 2

6. 1 2

3 3 6 12

: . .

4 4 1 6 12 4 4 1 3 3 2 1 3 .

x y x y x

x y x y xy x y x

x x x x x x y xy x xy x y

  

   

 

       

    

   

     

 

2 2 2 2

2

6. 1 2 2

.3 . . 1 2

1 2

x y x y x y x x y x y

xy x y xy x

x

     

 

 



d)

 

   

 

2 3 3

2 2

2 2 3 3 2 2

2 5.

4 4 10 20

: .

2 2 2 5 5 2. 10. 2

x y x y

x xy y x y

x xy y x y x xy y x y

 

   

     

 

     

    

2 2 2

2 2

2 5. 2

. 10. 2 4

2.

x y x xy y

x y x y x y

x y x xy y

  

  

 

  

Bài 5: Tìm phân thức A, thoả mãn:

  

2

3 2

4 5 4

3 3: 2 3

x x x

x x x A x x

  

     



  

2

3 2

4 5 4

3 3: 2 3

x x x

A x x x x x

  

     

  

3 2 2

2 3

4 .

3 3 5 4

x x

A x

x x x x x

 

 

    

    

2 2

2 3

4 .

3 3 4 4

x x

A x

x x x x x x

 

 

     



³^x

 42 1. x 12 x 43 

A x x x x

 

 

 

 



¹^x

  22 1

A x x

 

 

Bài 6: Tìm phân thức B, biết: 12 ²₃ 18 8 ³ 36₂ ² 54 27 .

1 1

8 4 2

x x x x x

B x x x

    

  

 8 ³ 36₂ ² 54 27 12 ²₃ 18 :

1 1

4 2 8

x x x x x

B x x x

   



  

(6)

 

3 3

2

2 3 2 1

.6 . 2 3 4 2 1

x B x

x x x x

  

   

   

 

2 3

2

1 1

2 3 2 4 2

. 6 . 2 3 4 2 1

x x x

B x

x x x x

 

    

  

   

   



² ^{3 .}



² ¹

2 6 x x

B x

 

   

 



Bài 7: Tìm phân thức C, thoả mãn: ⁶₂ ⁶ : ⁴₂ ² ² ⁴₂

10 10 5 10 5

x y x x y y

x xy C x xy y

   

  

 ⁶₂ ⁶ : ⁴₂ ² ² ⁴₂

10 10 5 10 5

x y x x y y

C x xy x xy y

  

   

   

3 3

2 2 2 2

4 2 2 4

5 2

10 .

x y x xy y

C x x y x x y y

  

   

  

   

²

2 2 4 2 2 4

4 2 2 4

. 5 10

x y x x y y x y

C x x y x x y y

   

   

  

 

_.

  

²



³

2 1 2

x y x y x y x y

C x x y x

   

 



Bài 8: Tìm phân thức D, biết:

 

²

 

²

2 3

1 6 1 9 16

3 3 . 3 3

x x x

x x D x x

     

 



 

²

 

²

2 3

1 6 1 9 16

3 3 :3 3

x x x

D x x x x

    

  

   

 

2 2 3

2

1 6 1 3 3 3

3 . 1 . 16

x x x x

D x x x

    

  

 

²



²



2 2

3 1

1 3 .

3 . 1 4

x x x

D x x x

  

  

(7)

 

     

   

4 2 3 . 1 . 1

3 . 1 . 4 . 4

x x x x

D x x x x

  

   



⁴



¹



4

x x

D x

 

 

Bài 9: Tìm giá trị của x để phân thứcA chia hết cho phân thứcBbiết:

3 2

11 2

x x x

A x

  

  ; 2

2 B x

x

 

 .

Ta có ³ ² 11 2 ³ ² 11 2 ³ ² 11 ² 1

: : . 3 5

2 2 2 2 2 2

x x x x x x x x x x x

A B x x

x x x x x x

          

      

     

Để phân thứcA chia hết cho phân thứcBthì

 

1 x2 ^ ^x^{ Ư}²

 

¹

 ^x^{  }²

 

^1;1 ^ ^x^{  }



^{3; 1}



Vậy ^x^{  }



^{3; 1}



thì phân thứcA chia hết cho phân thứcB.

Bài 10: Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức 15₂ 5 16 1 4: 1

M  x x

  là số nguyên.

Giải

Ta có ^M ^¹⁶^x¹⁵²^^{1 4}^: ^x⁵^¹^



⁴^x^^{1 4}¹⁵



^x^¹



^.⁴^x⁵^¹^ ⁴^x³^¹

Để giá trị của phân thức M là số nguyên thì

 

3 4 x1 ^⁴^x^{ Ư}¹

 

³

⁴^x^{   }¹



^{3; 1;1;3}



^ ¹^{;0; ;1}¹

2 2

x  

 

Vậy 1 1

;0; ;1

2 2

x  

 thì giá trị của phân thức M là số nguyên.

B.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN

Dạng 1: Sử dụng quy tắc chia để thực hiện phép tính.

Bài 1: Làm tính chia phân thức:

(8)

a)

2

3 2

15 :

7 2

x x

y y b)

2 4

2

3 11

8 : 4

x x

y y

 

 

  c)

3 2

20 4

3 : 5

x x

y y

 

  

 

    d)

2 5

25 2

3 :15

x y xy

 x

a)

 

2

3 3

4 12

: 4

4 x x x x

 

  b) 7 ³2 14 ² 4

3 :

x x

xy x y

 

c)



^{x y}



^: ^y² ^xy

x y

 

 d)

5 15 3

2 3 12 8:

xy xy

x  x Bài 3: Làm tính chia phân thức:

a) 2

 

5 10

: 2 4 7

x x

x

 

 b)



^x²^^{25 :}



²₃^x_x^_¹⁰₇ ^c)



⁴^x²^^{16 :}



³₇^x_x^_⁶₂ ^d)⁴^x²_x^¹^{: 1 2}



^ ^x



Bài 4: Làm tính chia phân thức (chú ý dấu trừ)

a)

 

²

2

4 3 3

3 : 1 3

x x x

 

  b) 8 12 ³

3 1 5 15:

xy xy

x  x c) d) 1 9₂ ² 6 2 4 : 3

x x

x x x

 



Bài 5: Làm tính chia phân thức (hẳng đẳng thức số 4) a) 27 ³ 3

5 10 3: 6 a a

a a

 

  b)



²^b²^^{32 :}



₇^b_b^_⁴₂

c) ³^x_x³_^₁³^:



^x²^{ }^x ¹



^d) ^y_y³_^₁⁸^:



^y²^²^y^⁴



e) 4 6 4 ² 12 ₃ 9 ²

1 : 1

x y x xy y

x x

  

  f) ₂ ² 3 3

5 10 5 5: 5

x x x

 

  

Bài 6: Tìm Q, biết: a³ ₄b³. b² ₂a²

a Q a

   .

Bài 7: Tìm Q, biết: ²₂ ²₂ 2 ₃ ₃

a b ab. a b

a b ab Q a b

   

   .

Bài 8: Tìm Q, biết: ₄ ⁴ _{2 2}⁴ ₄ : ²₂ ²₂ 2

a b a b

a a b b Q a b

  

   .

Bài 9: Tìm Q, biết:

a) ₃ ₃ ²₂ 2 ₂²

x y . x xy y x y Q x xy y

  

    . b) ₃ ₃ 3₂ ² 3 ₂

x y . x xy

x y Q x xy y

 

   

Bài 10: Thực hiện các phép tính sau:

a) ₂² 5 6 ² ₂ 6 9

7 12: 4

m m m m

   

  

(9)

b) ²₂ 4 4 ²₂ 4₃ 8 ₃

2 2 2 :6 6

u uv v u v

  

  

Bài 11: Rút gọn các biểu thức

a) 1 2 3

: :

2 3 1

x x x

  

   b) 1 2 3

: :

2 3 1

x x x

    

 

     HƯỚNG DẪN

Dạng 1: Sử dụng quy tắc chia để thực hiện phép tính.

a)

2

3 2

15 :

7 2

x x

y y b)

2 4

2

3 11

8 : 4

x x

y y

 

 

  c)

3 2

20 4

3 : 5

x x

y y

 

  

 

    d)

2 5

25 2

3 :15

x y xy

 x

Lời giải a)

2 2

3 2 3 2

15 15 2 30

: .

7 2 7 7

x x x y

y y  y x  xy b)

2 4 2 2

2 4 2

3 11 3 4 3

: .

8 4 8 11 22

x x x y y

y y y x x

   

  

 

 

c)

3

2 2 3 2

20 4 20 5 25

: .

3 5 3 4 3

x x x y

y y y x x y

 

   

   

 

   

d)

2 5 2 5 3

2

25 25 1 5

:15 .

3 3 15 9

x y x y y

x xy x xy

   

a)

   

2

3 3

4 12

: 4

4 x x x x

 

  b) 7 ³2 14 ² 4

3 :

x x

xy x y

 

c)



^{x y}



^: ^y² ^xy

x y

 

 d)

5 15 3

2 3 12 8:

xy xy

x  x Lời giải

a)

     

2 2

3 3 4 3

4 12 4 4

: .

4 3 3 3 4

4 4

x x

x x x

x x

 

 

  

 

b)

 

2

3 2 3 2

7 2 14 4 7 2

: .

3 3 2 7 2 6

x x x x y x

xy x y xy x y

    



c)



^{x y}^



^: ^y^{x y}²^^^xy ^



^{x y}^



^.^y^{x y}²^^^xy ^



^{x y}^

  

^.^{y y x}^{x y}^^ ^ ^{x y}^^y

d) ³

   

3 3 3 2

4 3 2 4 2 3

5 15 5 12 8 5 5 4

: . . .

2 3 12 8 2 3 15 2 3 15 2 3 15 3

x x

xy xy xy x xy xy

x x x xy x xy x xy y

  

 

   

    

a) 2

 

5 10

: 2 4 7

x x

x

 

 b)



^x²^^{25 :}



²₃^x_x^_¹⁰₇ ^c)



⁴^x²^^{16 :}



³₇^x_x^_⁶₂ ^d)⁴^x²_x^¹^{: 1 2}



^ ^x



Lời giải

(10)

a)

   

2 2 2

5 2

5 10 1 5

: 2 4 .

7 7 2 2 2 7

x x

x x x x x

    

   

b)



^x²^^{25 :}



²₃^x_x^_¹⁰₇ ^



^x^⁵



^x^^{5 .}



₂³_x^x_^₁₀⁷ ^



^x^⁵



^x^^{5 .}

  

₂³^x_x^_⁷₅ ^



^x^^{5 3}



₂ ^x^⁷



c)



⁴^x²^^{16 :}



₇³^x_x^_⁶₂^⁴



^x²^^{4 .}



₃⁷



^x_x^_²₂



^⁴



^x^²



^x^^{2 .}

  

₃⁷^x_x^_²₂ ^ ⁴



^x^^{2 7}



₃ ^x^²



d)

    

   

2 2 1 2 1 2 1

4 1 1

: 1 2 .

2 1

x x x

x x

x x x x

   

   

 

Bài 4: Làm tính chia phân thức (chú ý dấu trừ)

a)

 

²

2

4 3 3

3 : 1 3

x x x

 

  b) 8 12 ³

3 1 5 15:

xy xy

x  x c) d) 1 9₂ ² 6 2 4 : 3

x x

x x x

 



Lời giải

a)

   

 

2

2 2

4 3 3 4 3 3 1 4

: .

3 1 3 3 1 3

x x x x x

x x x x x x x x

     

 

   

b) ³

   

3 3 2

5 1 3 5 3 1

8 12 8 8 10

: . .

3 1 5 15 3 1 12 3 1 12 3

x x

xy xy xy xy

x x x xy x xy y

   

  

   

c)

 

    

2

3 3 2

3 9 3 3

: .

4 2 2 2 3 2

x x

x x x x x x

  

  

 

     

d)

  

     

 

2 2

1 3 1 3 3 1 3

1 9 6 2 3

: .

4 3 4 2 3 1 2 4

x x x

x x x x x x x

   

   

   

Bài 5: Làm tính chia phân thức (hẳng đẳng thức số 4) a) 27 ³ 3

5 10 3: 6 a a

a a

 

  b)



²^b²^^{32 :}



₇^b_b^_⁴₂

c) ³^x_x³_^₁³^:



^x²^{ }^x ¹



^d) ^y_y³_^₁⁸^:



^y²^²^y^⁴



e) 4 6 4 ² 12 ₃ 9 ²

1 : 1

x y x xy y

x x

  

  f) ₂ ² 3 3

5 10 5 5: 5

x x x

 

  

Lời giải

a)

   

 

²

   2 

3 3 9 3 3 2 3 3 9

27 3

: .

5 10 3 6 5 2 3 5

a a a a a a

a a

a a a a

      

   

   

b)



²^b²^^{32 :}



₇^b_b^_⁴₂ ^²



^b²^^{16 .}



⁷_b^b_^₄²^²



^b^^{4 7}



^b^²



c)

       

     

3 2

3

2

2 2

3 1 3 1 1 3 1

3 3 1

: 1 .

1 1 1 1 . 1 1

x x x x x

x x x

x x x x x x x x

    

     

       

(11)

d)

 

     

2

2 2

1 5 1

3 3

: .

5 10 5 5 5 5 2 1 3 1 3(x 1)

x x x

x x x x

x x x x x x

 

   

      

Bài 6: Tìm Q, biết: a³ ₄b³. b² ₂a²

a Q a

 

 .

Lời giải

3 3 2 2

4 . 2

a b b a

a Q a

  

  

     

2 2 3 3 4 2

2 : 4 b a b a2 . 2 2 a a b2 2

b a a b a

Q a a a a b a ab b a ab b

  

 

    

 

  

Bài 7: Tìm Q, biết: ²₂ ²₂ 2 ₃ ₃

a b ab. a b

a b ab Q a b

  

    .

Lời giải Ta có: ²₂ ²₂ 2 ₃ ₃

a b ab. a b

a b ab Q a b

   

  

     

2 2 2 2

2

3 3 2 2 2 2 2 2

2 1

: .

a b a b ab a b a ab b

Q a b a b ab a b a ab b a b a b

     

   

       

Bài 8: Tìm Q, biết: ₄ ⁴ _{2 2}⁴ ₄ : ²₂ ²₂ 2

a b a b

a a b b Q a b

  

   .

Lời giải Ta có: ₄ ⁴ _{2 2}⁴ ₄ : ²₂ ²₂

2

a b a b

a a b b Q a b

  

  

  

 

2 2 2 2

4 4 2 2 2 2

2

4 2 2 4 : 2 2 2 2 . 2 2 1

2

a b a b

a b a b a b

Q a a b b a b a b a b

 

  

   

    

Bài 9: Tìm Q, biết:

a) ₃ ₃ ²₂ 2 ₂²

x y . x xy y x y Q x xy y

  

    . b) ₃ ₃ 3₂ ² 3 ₂

x y . x xy

x y Q x xy y

 

   

Lời giải

(12)

a) ₃ ₃ ²₂ 2 ₂² x y . x xy y x y Q x xy y

   

  

 

²

   2 2   

2 2

2 2 3 3 2 2

2 : x y . x y x xy y

x xy y x y

Q x y x y x y

  

   

       

     

b) ₃ ₃ 3₂ ² 3 ₂

x y . x xy

x y Q x xy y

  

  

     



²



²

 

2

2 2 3 3 2 2

3 3 3

: x x y . x y x xy y 3

x xy x y

Q x x y

  

  

    

     

Bài 10: Thực hiện các phép tính sau:

a) ₂² 5 6 ² ₂ 6 9

7 12: 4

m m m m

   

  

b) ²₂ 4 4 ²₂ 4₃ 8 ₃

2 2 2 :6 6

u uv v u v

  

  

Bài 11: Rút gọn các biểu thức

a) 1 2 3

: :

2 3 1

x x x

  

   b) 1 2 3

: :

2 3 1

x x x

    

 

     Lời giải

a)

 

2 2

1 2 3 1 3 1 1

: : . .

2 3 1 2 2 3 2

x x x x x x x

      

 

       .

b) 1 2 3 1 2 1 1 2 1

: : : . : .

2 3 1 2 3 3 2 3 3

x x x x x x x x x

              

              

   

     

 

2 2

2 . 1 3 3

1 1

: .

2 3 2 2 . 1 2

x x x x

x x

x x x x x x

   

 

  

      .

========== TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ==========

(13)