Bài 3. Những hằng đẳng thức đáng nhớ CÂU HỎI
Câu hỏi 1 trang 9 Toán 8 tập 1: Với hai số a, b bất kì, thực hiện phép tính (a + b)(a + b).
Lời giải
(a + b).(a + b)
= a(a + b) + b(a + b) (Sử dụng phép nhân đa thức với đa thức)
= a.a + a.b + b.a + b.b
= a2 + 2ab + b2.
Vậy (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2.
Câu hỏi 2 trang 9 Toán 8 tập 1: Phát biểu hằng đẳng thức (1) bằng lời Lời giải
Hằng đẳng thức (1) là: (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 được phát biểu bằng lời là:
Bình phương của tổng hai biểu thức bằng bình phương biểu thức thứ nhất cộng hai lần tích hai biểu thức và cộng với bình phương biểu thức thứ hai.
Áp dụng trang 9 Toán 8 tập 1:
a) Tính (a + 1)2;
b) Viết biểu thức x2 + 4x + 4 dưới dạng bình phương của một tổng;
c) Tính nhanh: 512; 3012. Lời giải
a) Ta có: (a + 1)2 = a2 + 2.a.1 + 12 = a2 + 2.a + 1.
b) x2 + 4x + 4 = x2 + 2.x.2 + 22 = (x + 2)2.
c) 512 = (50 + 1)2 = 502 + 2.50.1 + 12 = 2 500 + 100 + 1 = 2 600 + 1 = 2 601.
3012 = (300 + 1)2 = 3002 + 2.300.1 + 12 = 90 000 + 600 + 1 = 90 600 + 1 = 90 601.
Câu hỏi 3 trang 10 Toán 8 tập 1: Tính [a + (-b)]2 (với a, b là các số tùy ý) Từ đó rút ra (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Lời giải
Ta có: [a + (-b)]2 = a2 + 2.a.(-b) + (-b)2 = a2 – 2ab + b2. Mà [a + (-b)]2 = (a – b)2 nên (a – b)2 = a2 – 2ab + b2.
Câu hỏi 4 trang 10 Toán 8 tập 1: Phát biểu hằng đẳng thức (2) bằng lời Lời giải
Bình phương của một hiệu hai biểu thức bằng bình phương của biểu thức thứ nhất trừ đi hai lần tích biểu thức thứ nhất và biểu thức thứ hai cộng với bình phương biểu thức thứ hai.
Áp dụng trang 10 Toán 8 tập 1:
a) Tính
1 2
x 2 ; b) Tính (2x – 3y)2; c) Tính nhanh 992. Lời giải
a) Ta có:
2 2
2 2
1 1 1 1
x x 2.x. x x .
2 2 2 4
b) Ta có: (2x – 3y)2 = (2x)2 – 2.2x.3y + (3y)2 = 4x2 – 12xy + 9y2.
c) Ta có: 992 = (100 – 1)2 = 1002 – 2.100.1 + 12 = 10 000 – 200 + 1 = 8 000 + 1 = 8 001.
Câu hỏi 5 trang 10 Toán 8 tập 1: Thực hiện phép tính (a + b)(a – b) Lời giải
Ta có: (a + b)(a – b)
= a(a – b) + b(a – b)
= a2 – ab + ba – b2
= a2 – b2.
Câu hỏi 6 trang 10 Toán 8 tập 1: Phát biểu hằng đẳng thức số (3) bằng lời Lời giải
Hiệu bình phương hai biểu thức bằng tích của tổng hai biểu thức và hiệu hai biểu thức.
Áp dụng trang 10 Toán 8 tập 1:
a) Tính (x + 1)(x – 1);
b) Tính (x – 2y)(x + 2y);
c) Tính nhanh 56.64.
Lời giải
a) Ta có: (x + 1)(x – 1) = x2 – 12 = x2 – 1.
b) Ta có (x – 2y)(x + 2y) = x2 – (2y)2 = x2 – 4y2.
c) Ta có: 56.64 = (60 – 4)(60 + 4) = 602 – 42 = 3 600 – 16 = 3 584.
Câu hỏi 7 trang 11 Toán 8 tập 1: Ai đúng, ai sai ? Đức viết:
x2 – 10x + 25 = (x - 5)2. Thọ viết:
x2 – 10x + 25 = (5 - x)2.
Hương nêu nhận xét: Thọ viết sai, Đức viết đúng.
Sơn nói: Qua ví dụ trên mình rút ra được một hằng đẳng thức rất đẹp!
Hãy nêu ý kiến của em. Sơn rút ra được hằng đẳng thức nào ? Lời giải
- Đức và Thọ đều viết đúng vì:
Ta có (x – 5)2 = x2 – 2.x.5 + 52 = 52 – 2.x.5 + x2 = (5 – x)2 Do đó Hương nhận xét sai;
- Sơn rút ra được hằng đẳng thức là: (x - 5)2 = (5 - x)2 BÀI TẬP
Bài 16 trang 11 Toán 8 tập 1: Viết các biểu thức sau đây dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu:
a) x2 + 2x + 1;
b) 9x2 + y2 + 6xy;
c) 25a2 + 4b2 – 20ab;
d) 2 1
x x
4. Lời giải
a) x2 + 2x + 1
= x2 + 2.x.1 + 12
= (x + 1)2 (Áp dụng hằng đẳng thức (1) với A = x và B = 1) b) 9x2 + y2 + 6xy
= 9x2 + 6xy + y2
= (3x)2 + 2.3x.y + y2
= (3x + y)2 (Áp dụng hằng đẳng thức (1) với A = 3x và B = y) c) 25a2 + 4b2 – 20ab
= 25a2 – 20ab + 4b2
= (5a)2 – 2.5a.2b + (2b)2
= (5a – 2b)2 (Áp dụng hằng đẳng thức (2) với A = 5a và B = 2b)
d) 2 1
x x
4
2
2 1 1
x 2.x.
2 2
1 2
x .
2 (Áp dụng hằng đẳng thức (2) với A = x và 1 B 2 ) Bài 17 trang 12 Toán 8 tập 1: Chứng minh rằng:
(10a + 5)2 = 100a(a + 1) + 25
Từ đó em hãy nêu cách tính nhẩm bình phương của một số tự nhiên có tận cùng bằng chữ số 5.
Áp dụng để tính: 252; 352; 652; 752 Lời giải
Ta có:
(10a + 5)2 = (10a)2 + 2.10a.5 + 52
= 100a2 + 100a + 25
= 100a(a + 1) + 25
Đặt A = a(a + 1), ta có: (10a + 5)2 = 100.A + 25 = A25.
Số tự nhiên có chữ số tận cùng bằng 5 là số có dạng a5, theo chứng minh trên ta có:
2 2
a5 10a 5 100a a 1 25 100A 25 A25.
Do đó, để tính bình phương của một số tự nhiên có chữ số tận cùng bằng 5 hay có dạng a5, ta chỉ cần tính A = a.(a + 1) rồi viết 25 vào đằng sau kết quả vừa tìm được.
Áp dụng:
252 = (10.2 + 5)2 do đó a = 2 ⇒ A = a(a + 1) = 2.3 = 6 sau đó viết 25 vào đằng sau ta được 625. Vậy 252 = 625
352 = (10.3 + 5)2 do đó a = 3 ⇒ A = a(a + 1) = 3.4 = 12 sau đó viết 25 vào đằng sau ta được 1225. Vậy 352 = 1225
652 = (10.6 + 5)2 do đó a = 6 ⇒ A = a(a + 1) = 6.7 = 42 sau đó viết 25 vào đằng sau ta được 4225. Vậy 652 = 4225
752 = (10.7 + 5)2 do đó a = 7 ⇒ A = a(a + 1) = 7.8 = 56 sau đó viết 25 vào đằng sau ta được 5625. Vậy 752 = 5625
Bài 18 trang 11 Toán 8 tập 1: Hãy tìm cách giúp bạn An khôi phục lại những hằng đẳng thức bị mực làm nhòe đi một số chỗ:
a) x2 + 6xy + ... = ( ... + 3y)2 b) ... - 10xy + 25y2 = ( ... - ...)2 Hãy nêu một đề bài tương tự.
Lời giải:
a) Dễ dàng nhận thấy đây là hằng đẳng thức (1).
Xét vế trái: x2 + 6xy + ... = x2 + 2.x.3y + … Với A = x ; 2.AB = 6xy ⇒ B = 3y.
Vậy ta có hằng đẳng thức:
x2 + 2.x.3y + (3y)2 = (x + 3y)2 hay x2 + 6xy + 9y2 = (x + 3y)2
b) Nhận thấy đây là hằng đẳng thức (2) với :
B2 = 25y2 = (5y)2 ⇒ B = 5y 2.AB = 10xy = 2.x.5y ⇒ A = x.
Vậy ta có hằng đẳng thức : x2 – 10xy + 25y2 = (x – 5y)2 c) Đề bài tương tự:
4x2 + 4xy + ... = (... + y2) ... – 8xy + y2 = ( ...– ...)2
Bài 19 trang 12 Toán 8 tập 1: Đố. Tính diện tích phần hình còn lại mà không cần đo.
Từ một miếng tôn hình vuông có cạnh bằng a + b, bác thợ cắt đi một miếng cũng hình vuông có cạnh bằng a – b (cho a > b). Diện tích phần hình còn lại là bao nhiêu? Diện tích phần hình còn lại có phụ thuộc vào vị trí cắt không?
Lời giải:
Diện tích của miếng tôn ban đầu là (a + b)2. Diện tích của miếng tôn phải cắt là : (a – b)2. Phần diện tích còn lại (a + b)2 – (a – b)2. Ta có: (a + b)2 – (a – b)2
= (a2 + 2ab + b2) – ( a2 – 2ab + b2 ) (áp dụng HĐT số (1) và HĐT số (2))
= a2 + 2ab + b2 – a2 + 2ab – b2
= 4ab
Hoặc: (a + b)2 – (a – b)2
= [(a + b) + (a – b)].[(a + b) – (a – b)] (Áp dụng hằng đẳng thức (3))
= 2a.2b
= 4ab.
Vậy phần diện tích hình còn lại là 4ab và không phụ thuộc vào vị trí cắt.
Luyện tập chung
Bài 20 trang 12 Toán 8 tập 1: Nhận xét sự đúng, sai của kết quả sau :
x2 + 2xy + 4y2 = (x + 2y)2 Lời giải:
Kết quả trên sai.
Ta có: (x + 2y)2 = x2 + 2.x.2y + 4y2 = x2 + 4xy + 4y2 ≠ x2 + 2xy + 4y2.
Bài 21 trang 12 Toán 8 tập 1: Viết các đa thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu:
a) 9x2 – 6x + 1.
b) (2x + 3y)2 + 2.(2x + 3y) + 1.
Hãy tìm một đề bài tương tự.
Lời giải
a) 9x2 – 6x + 1
= (3x)2 – 2.3x.1 + 12
= (3x – 1)2 (Áp dụng hằng đẳng thức (2) với A = 3x; B = 1) b) (2x + 3y)2 + 2.(2x + 3y) + 1
= (2x + 3y)2 + 2.(2x + 3y).1 + 12
= [(2x + 3y) +1]2 (Áp dụng hằng đẳng thức (1) với A = 2x + 3y ; B = 1)
= (2x + 3y + 1)2 c) Đề bài tương tự:
Viết các đa thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc hiệu : x2 – 12x + 36;
(2x + y)2 - 2(2x + y).(1 – 2x) + (1 – 2x)2. Bài 22 trang 12 Toán 8 tập 1: Tính nhanh:
a) 1012 ; b) 1992 ; c) 47.53 Lời giải
a) 1012 = (100 + 1)2 = 1002 + 2.100 + 1 = 10 000 + 200 + 1 = 10 201 b) 1992 = (200 – 1)2 = 2002 – 2.200 + 1 = 40 000 – 400 + 1 = 39 601 c) 47.53 = (50 – 3)(50 + 3) = 502 – 32 = 2 500 – 9 = 2 491.
Bài 23 trang 12 Toán 8 tập 1: Chứng minh rằng:
(a + b)2 = (a – b)2 + 4ab (a – b)2 = (a + b)2 – 4ab
Áp dụng:
a) Tính (a – b)2, biết a + b = 7 và a.b = 12.
b) Tính (a + b)2, biết a – b = 20 và a.b = 3.
Lời giải
+ Chứng minh (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab Ta có:
VP = (a – b)2 + 4ab = a2 – 2ab + b2 + 4ab = a2 + (4ab – 2ab) + b2
= a2 + 2ab + b2
= (a + b)2 = VT (đpcm)
+ Chứng minh (a – b)2 = (a + b)2 – 4ab Ta có:
VP = (a + b)2 – 4ab = a2 + 2ab + b2 – 4ab = a2 + (2ab – 4ab) + b2
= a2 – 2ab + b2
= (a – b)2 = VT (đpcm) + Áp dụng, tính:
a) (a – b)2 = (a + b)2 – 4ab = 72 – 4.12 = 49 – 48 = 1
b) (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab = 202 + 4.3 = 400 + 12 = 412.
Bài 24 trang 12 Toán 8 tập 1: Tính giá trị của biểu thức 49x2 – 70x + 25 trong mỗi trường hợp sau:
a) x = 5;
b) x 1. 7 Lời giải:
A = 49x2 – 70x + 25
= (7x)2 – 2.7x.5 + 52
= (7x – 5)2
a) Thay x = 5 vào A, ta được: A = (7.5 – 5)2 = 302 = 900.
Vậy với x = 5 thì A = 900.
b) Thay x 1
7 vào biểu thức A, ta được:
2
2 2
A 7.1 5 1 5 4 16.
7 Vậy với x 1
7 thì A = 16.
Bài 25 trang 12 Toán 8 tập 1: Tính:
a) (a + b + c)2 ; b) (a + b – c)2 ; c) (a – b – c)2. Lời giải
a) (a + b + c)2
= [(a + b) + c]2
= (a + b)2 + 2(a + b)c + c2
= a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2
= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac
b) (a + b – c)2
= [(a + b) – c]2
= (a + b)2 – 2(a + b)c + c2
= a2 + 2ab + b2 – 2ac – 2bc + c2
= a2 + b2 + c2 + 2ab – 2bc – 2ac c) (a – b – c)2
= [(a – b) – c]2
= (a – b)2 – 2(a – b)c + c2
= a2 – 2ab + b2 – 2ac + 2bc + c2
= a2 + b2 + c2 – 2ab + 2bc – 2ac.
