Bài 6: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình I. Lý thuyết
1. Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình Bước 1: Lập phương trình
- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết - Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải phương trình Bước 3: Trả lời
Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.
2. Các lưu ý
- Đối với một số bài sau khi ta đã tìm được hệ phương trình giữa các ẩn với nhau ta cần đặt ẩn phụ để giải hệ.
- Lưu ý tới điều kiện của ẩn phụ.
- Sau khi giải xong ẩn phụ cần trả về ẩn chính.
II. Bài tập vận dụng
Bài 1: Hai người cùng làm một công việc trong 7h 12 phút thì xong công việc nếu người thứ 1 làm trong 4h người thứ 2 làm trong 3h thì được 50% công việc Hỏi mỗi người làm một mình trong mấy giờ thì xong ?
Lời giải :
Đổi 7h 12 phút = 36 5 (h)
Gọi thời gian người thứ 1 làm 1 mình xong công việc là x (h) (x > 0) Gọi thời gian người thứ 2 làm 1 mình xong công việc là y (h) (y > 0) 1h người thứ nhất 1 làm được 1
x (công việc), người thứ 2 làm được 1
y (công việc) Vì hai người cùng làm thì công việc xong sau 36
5 (h) nên 1 h cả hai người làm được 36 5
1: 5 =36 (công việc)
Ta có phương trình : 1 1 5 x + =y 36 (1) Trong 4h người thứ 1 làm được 4
x (công việc), trong 3h người thứ 2 làm được3 y (công việc) mà khi đó hoàn thành được 1
2 công việc nên ta có phương trình :
4 3 1
x + =y 2 (2).
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :
1 1 5
x y 36
4 3 1
x y 2
+ =
+ =
Đặt
1 a x 1 b y
=
=
khi đó ta có hệ :
a b 5 36 4a 3b 1
2
+ =
+ =
4a 4b 5 9 4a 3b 1
2
+ =
+ =
( ) ( )
a b 5 36
5 1
4a 4b 4a 3b
9 2
+ =
+ − + = −
a b 5 36 b 1
18
+ =
=
1 5 5 1
a a
18 36 36 18
1 1
b b
18 18
+ = = −
= =
a 1 12 b 1
18
=
=
1 1
x 12 x 12
1 1 y 18
y 18
= =
= =
(thảo mãn điều kiện)
Vậy người thứ nhất nếu làm một mình thì 12h xong công việc, người thứ hai làm một mình thì 18h xong công việc.
Bài 2: Một chiếc thuyền di chuyển xuôi và ngược dòng trên một khúc sông dài 40km hết tất cả 4h 30 phút. Biết thời gian thuyền xuôi dòng 5km bằng thời gian thuyền ngược dòng 4 km. Tính vận tốc dòng nước?
Lời giải:
Gọi vận của thuyền khi nước yên lặng là: x (km/h) (x > y > 0) Gọi vận tốc của dòng nước là: y (km/h)
Vận tóc xuôi dòng là x + y (km/h), Vận tốc ngược dòng là x –y (km/h) Thời gian thuyền xuôi dòng 5km là: 5
x+y (h) Thời gian thuyền ngược dòng 4km là: 4
x −y (h)
Vì thời gian thuyền xuôi dòng 5 km bằng thời gian thuyền ngược dòng 4 km, nên ta có phương trình: 5 4
x y = x y
+ − (1)
Vì chiếc thuyền xuôi và ngược dòng trên khúc sông dài 40 km hết 4 h 30 phút h, nên ta có phương trình: 40 40 9
x y +x y = 2
+ −
Ta có hệ phương trình:
5 4
x y x y
40 40 9
x y x y 2
=
+ −
+ =
+ −
Đặt
1 a
x y
1 b
x y
=
+
=
−
5a 4b 40a 40b 9
2
=
+ =
a 4b 5
4b 9
40. 40b
5 2
=
+ =
a 4b 5 32b 40b 9
2
=
+ =
4b
4b a
a 5 5
1
9 b
72b 2 16
= =
= =
4 1 1
a . a
5 16 20
1 1
b b
16 16
= =
= =
9
= 2
1 1
x y 20 x y 20
1 1 x y 16
x y 16
=
+ + =
= − =
−
2x 36 x 18
x y 16 y 2
= =
− = =
Vậy vận tốc của thuyền là 18km/h, vận tốc của nước là 2km/h.
