Cộng trừ số hữu tỉ

(1)

Trang 1 Mục tiêu

 Kiến thức

+ Nắm vững cách thực hiện cộng, trừ hai số hữu tỉ, quy tắc “chuyển vế” trong _.

 Kĩ năng

+ Thực hiện được cộng, trừ hay hai nhiều số hữu tỉ. Có kĩ năng thực hiện phép tính một cách hợp lí.

+ Viết được một số hữu tỉ dưới dạng tổng hay hiệu của hai số hữu tỉ.

+ Áp dụng được quy tắc “chuyển vế” trong bài toán tìm thành phần chưa biết của phép tính.

(2)

Trang 2 I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Cộng, trừ hai số hữu tỉ

Ta có thể cộng, trừ hai số hữu tỉ x, y bằng cách viết chúng dưới dạng hai phân số rồi áp dụng quy tắc cộng, trừ phân số.

Với ^x ^p^;^y ^q



^{p q m}^{, ,} ^,^m ⁰



m m

    ta có:

    

    

; . p q p q

x y m m m

p q p q

x y m m m

Tính chất

Phép cộng số hữu tỉ có tính chất của phép cộng phân số: giao hoán, kết hợp, cộng với 0, cộng với số đối.

Với a b c, ,  ta có:

a) Tính chất giao hoán: a b b a  

b) Tính chất kết hợp: ^a^



^{b c}^

 

^ ^{a b}^



^^c

c) Cộng với số 0: a   0 0 a a d) Cộng với số đối: ^a^{  }

 

^a ⁰

Quy tắc “chuyển vế”

Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức, ta phải đổi dấu số hạng đó.

Với mọi a b c, , , nếu a b c  thì a  b c

Chú ý: Trong _ ta có tổng đại số, trong đó có thể đổi chỗ các số hạng, đặt dấu ngoặc để nhóm các số hạng một cách tùy ý như các tổng đại số trong _.

Với x y z, ,  ta có:

 

Ph¸ ngoÆc §æi chç vµ z

§Æt dÊu ngoÆc

y

x y z x y z x z y x y z x y z



       

    

 



SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Cộng, trừ số hữu tỉ

1. Phương pháp

+ Viết số hữu tỉ dưới dạng phân số có mẫu dương.

+ Cộng, trừ phân số.

    

    

; . a b a b

x y m m m

a b a b

x y m m m

2. Tính chất

+ Giao hoán: a b b a  

+ Kết hợp: ^a^



^{b c}^

 

^ ^{a b}^



^^c

+ Cộng với 0: a   0 0 a a

3. Quy tắc chuyển vế: Tìm thành phần chưa biết: x a b    x b a. II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Thực hiện phép tính của hai hay nhiều số hữu tỉ

(3)

Trang 3 Bài toán 1: Cộng, trừ hai số hữu tỉ

Phương pháp giải

Để cộng (trừ) hai số hữu tỉ, ta thực hiện các bước sau: Ví dụ: ¹ ⁸ A 5 15

 Hướng dẫn giải Bước 1. Viết hai số hữu tỉ dưới dạng hai phân số có mẫu dương

và thực hiện quy đồng hai phân số. Bước 1. ^1 8 ^3 8 5 15 15 15 A

Bước 2. Cộng (trừ) hai tử và giữ nguyên mẫu. Bước 2. ^{ }3 8 5 15 15 A

Bước 3. Rút gọn kết quả về dạng phân số tối giản. Bước 3. ¹ A3 Ví dụ mẫu

Ví dụ. Tính a) ¹ ³

12 12

 b) ^{7 5}

8 4 c) 1² 3³

5 5 d) ¹⁴ 0,6 20

  Hướng dẫn giải

 

1 3

1 3 2 1

)12 12 12 12 6 7 5 7 10 7 10 3 )8 4 8 8 8 8

2 3 2 3 2 3 5

) 1 3 1 3 1 3 4 4 1 5

5 5 5 5 5 5

14 14 6 7 6 7 6 1

) 0,6

20 20 10 10 10 10 10

a b c d

    

   

 

    

             

        

Bài toán 2. Cộng, trừ nhiều số hữu tỉ Phương pháp giải

Để cộng (trừ) nhiều số hữu tỉ, ta có thể thực hiện như sau:

Ví dụ. Thực hiện phép tính sau:

- Nếu biểu thức không chứa dấu ngoặc, ta thực hiện quy đồng các phân số rồi cộng, trừ các phân số cùng mẫu.

1 5 1 3 5 2 3 5 2 6

) 1

2 6 3 6 6 6 6 6

a A          

- Nếu biểu thức chứa dấu ngoặc, ta thực hiện trong ngoặc trước, ngoài ngoặc sau hoặc phá dấu ngoặc (chú ý đổi dấu nếu trước dấu ngoặc có dấu “-”).

1 3 7 1 3 14 1 3 14

) 2 8 4 2 8 8 2 8

1 11 1 11 4 11 4 11 15

2 8 2 8 8 8 8 8

b B         

 

       

Ví dụ mẫu

Ví dụ. Thực hiện phép tính:

a) ² ¹⁰ ⁴

3 6 3

 

  b) ^{7 5 2}

3 6 3  c) ^{5 3 15}

8 4  6 d) ⁷ ¹ ⁵ 3 4 12

 

   Hướng dẫn giải

(4)

Trang 4

   

2 5 4

2 10 4 2 5 4 7

)3 6 3 3 3 3 3 3

7 5 2 14 5 4 14 5 4 5

)3 6 3 6 6 6 6 6

5 3 15 5 3 5 5 6 20 5 6 20 19

)8 4 6 8 4 2 8 8 8 8 8

7 1 5 7 1 5 28 3 5 36

) 3

3 4 12 3 4 12 12 12 12 12 a

b c d

   

    

      

        

           

 

          Bài toán 3. Thực hiện phép tính một cách hợp lí

Ta có thể sử dụng các tính chất của phép cộng số hữu tỉ để tính hợp lí (nếu có thể).

Ví dụ. Thực hiện phép tính (hợp lí nếu có thể):

24 19 2 20

11 13 11 13

A           Hướng dẫn giải

Bước 1. Áp dụng tính chất giao hoán, tính chất kết

hợp của số hữu tỉ để nhóm các số hạng. Bước 1.  ^  ^{ }   ^  ^ 24 2 19 20 11 11 13 13 A

Bước 2. Thực hiện cộng, trừ số hữu tỉ.

Bước 2.

 

19 20

24 2 22 39

11 13 11 13

2 3 5

A A

  

   

   

      Ví dụ mẫu

Ví dụ. Thực hiện phép tính (hợp lí nếu có thể):

a) ²⁵ ⁹ ¹² ²⁵

13 17 13 17

       

     

      b) ² ¹ ¹ ¹

3 4 21 12

  

 Hướng dẫn giải

   

25 9 12 25 25 12 9 25

) 13 17 13 17 13 13 17 17

9 25

25 12 13 34

1 2 3

13 17 13 17

2 1 1 1 2 1 1 1 8 3 1 1 1 22

) 1

3 4 21 12 3 4 12 21 12 21 21 21 a

b

               

         

         

  

   

         

     

            Bài tập tự luyện dạng 1

Chọn đáp án đúng nhất từ câu 1 đến câu 7.

Câu 1: Kết quả của phép tính ^{2 3} 3 5 là:

A. ¹⁹

15 B. ⁹

4

 C. ⁹

16 D. ⁹

16 Câu 2: Phép tính nào dưới đây có kết quả bằng ¹¹

4

 ?

A. ^{3 7}

4 2 B. ^{3 7}

4 2 C. ^{3 7}

4 2

  D. ^{3 7}

 4 2

(5)

Trang 5 Câu 3: Kết quả của phép tính ^{1 2}

2 3 là:

A. ⁷ 6

 B. ⁷

6 C. ⁹

16 D. ⁹

16 Câu 4: Phép tính nào dưới đây có kết quả bằng ¹

6? A. ^{1 2}

2 3 B. ^{1 2}

2 3 C. ^{1 2}

2 3

  D. ^{1 2}

 2 3 Câu 5: Giá trị của biểu thức ² ⁴ ¹

5 3 2

   

       là:

A. ³³ 30

 B. ³¹

30

 C. ⁴³

30 D. ⁴³

30



Câu 6: Số nào dưới đây là giá trị của biểu thức ² ⁵ ⁹ ⁸ 11 13 11 13 B    ?

A. 2. B. 1. C. 1. D. 0.

Câu 7: Kết luận nào đúng khi nói về giá trị của biểu thức ¹ ⁵ ^{1 3}

3 4 4 8

A        ?

A. A0 B. A1 C. A2 D. A2

Câu 8: Thực hiện các phép tính sau:

a) ^{2 5}

3 6 b) ^{1 7}

4 6 c) ^{19 5}

2 6 d) ^{2 5} ¹

3 6 12  e) ³ ³ ¹

4 16 2  f) ^{2 4 1} 5 7 2  Câu 9: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) ¹ ¹

21 28

A  b) ^{8 15} 18 27

B  c) ⁵ 0,75

C12  d) 3,5 ²

D   7  Câu 10: Thực hiện phép tính (hợp lí có thể):

a) ^{5 6 1 7}

6 7 6 3   b) 1² 0,25 ^{8 7 3}

3   3 4 2 Dạng 2: Viết một số hữu tỉ dưới dạng tổng hoặc hiệu của hai số hữu tỉ

Để viết một số hữu tỉ dưới dạng tổng hoặc hiệu của hai số hữu tỉ, ta thường thực hiện các bước sau:

Ví dụ. Tìm hai cách viết số hữu tỉ ⁴

17 dưới dạng tổng của hai số hữu tỉ âm.

Hướng dẫn giải Bước 1. Viết số hữu tỉ dưới dạng phân số có mẫu

dương.

Bước 1. Ta có ⁴ ⁴ 17 17



 Bước 2. Viết tử của phân số thành tổng hoặc thành

hiệu của hai số nguyên.

Bước 2. Ta có         ⁴ ¹

 

³ ²

 

² nên

(6)

Trang 6

   

1 3 2 2

4

17 17 17

     

 

 Bước 3. “Tách” số hữu tỉ thành hai phân số có tử là

các số nguyên tìm được. Bước 3. ⁴ ¹ ³ ² ²

17 17 17 17 17

    

   

Bước 4. Rút gọn từng phân số (nếu có thể) và kết luận.

Bước 4. Vậy ⁴ ¹ ³ 17 17 17

   hoặc ⁴ ² ² 17 17 17

  

Ví dụ mẫu

Ví dụ. Viết số hữu tỉ sau dưới dạng tổng hoặc hiệu của hai số hữu tỉ khác:

a) ³

8 b) ⁵

12 c) ¹

11 d) ¹ 4 Hướng dẫn giải

3 4 1 4 1 1 1 )8 8 8 8 2 8

5 4 1 4 1 1 1 )12 12 12 12 3 12

1 11 10 11 10 10

) 1

11 11 11 11 11

1 3 4 3 4 3

) 1

4 4 4 4 4

a b c d

     

     

     

   

    

Bài tập tự luyện dạng 2 Câu 1: Tìm hai số hữu tỉ có tổng là ⁵

3. Câu 2: Tìm hai số hữu tỉ có tổng là ⁴

19. Câu 3: Tìm ba cách viết số hữu tỉ ¹¹

15

 dưới dạng tổng của hai số hữu tỉ âm.

Dạng 3: Tìm số hữu tỉ x thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp giải

Ta sử dụng quy tắc “chuyển vế” biến đổi số hạng tự do sang một vế, số hạng chứa x sang một vế khác.

Ví dụ. Tìm x, biết ¹⁶ ⁴ ³ 5   x 5 10 Hướng dẫn giải

Bước 1. Sử dụng quy tắc chuyển vế 16 4 3 16 4 3

5   x 5 10 x 5  5 10 Bước 2. Thực hiện tính toán để tìm x. 12 3 24 3 27

5 10 10 10 10 x    

Bước 3. Kết luận. Vậy ²⁷

x10 Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Tìm x, biết

(7)

Trang 7 1 3

) 5 7

a x  3 1

) 4 2 b x  Hướng dẫn giải

1 3 3 1 15 7 15 7 8

) 5 7 7 5 35 35 35 35

a x     x     3 1 1 3 2 3 2 3 5

) 4 2 2 4 4 4 4 4

b x       x  

Vậy ⁸

x35 Vậy ⁵

x4 Ví dụ 2. Tìm x, biết

1 8 1

) ;

20 5 10

a x 

11 2 2

)12 5 3 b  x Hướng dẫn giải

 

  

   

  

     

1 8 1

)20 5 10 8 1 1 5 20 10 8 1 2 5 20 20 8 1 5 20

8 1 32 1 31 5 20 20 20 20

a x

x x x x

 

  

   

   

   

      

11 2 2

)12 5 3 2 11 2 5 12 3 11 2 2 12 5 3

55 24 40 55 24 40 9 3 60 60 60 60 60 20

b x

x x x

Vậy ³¹

x20 Vậy ³

x20 Bài tập tự luyện dạng 3

Câu 1: Tìm x, biết

a) ³ ²

4 7

x  b) ² ⁷

3 x 5 c) ¹ ³ 8 4 x  Câu 2: Tìm x, biết

a) ¹ ³

3 4

x  b) ² ⁵

5 7

x  c) ¹ ³

32 4 x  Câu 3: Tìm x, biết

a) ⁷ ⁵ ¹²

4x35 b) ¹⁷ ^{3 5} ¹

2 7 3 3

x    c) ⁹ ² ⁷ ⁵ 23x4  4 Dạng 4: Tính tổng dãy số có quy luật

Để tính tổng dãy số có quy luật ta cần tìm ra tính chất đặc trưng của từng số hạng trong tổng, từ đó biến đổi và thực hiện phép tính.

Ví dụ: Tính ¹ ¹ ¹ ... ¹

1.2 2.3 3.4 2019.2020

S    

Hướng dẫn giải Bước 1. Ở ví dụ bên, ta thấy các giá trị ở tử không

thay đổi và chúng đúng bằng hiệu hai thừa số ở

Bước 1. Tách mỗi số hạng của tổng

(8)

Trang 8 mẫu.

Mỗi số hạng đều có dạng



¹ ¹



n n

Do đó ta thực hiện tách các số hạng của tổng S theo công thức



¹ ¹



¹ ¹¹

n n  n n

 

1 1 1 1.2 1 2; 1 1 1 2.3 2 3; ...

1 1 1

2019.2020 2019 2020.

 

Bước 2. Vì tổng sau khi tách có đặc điểm: các số hạng liên tiếp luôn đối nhau, nên ta dùng tính chất kết hợp để nhóm các số hạng. Khi đó các số hạng trong tổng được khử liên tiếp đến khi trong tổng chỉ còn số hạng đầu và số hạng cuối.

Bước 2. Áp dụng tính chất kết hợp, nhóm các số hạng:

1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 2 3 3 4 ... 2019 2020

1 1 1 1 1 1 1

1 ...

2 2 3 3 2019 2019 2020 1 2019

1 2020 2020 S

S S

        

     

          

  

Tổng quát: Nếu trong tổng xuất hiện các số hạng dạng



^k



n n k thì ta tách các số hạng theo công thức sau:



^k



¹ ¹

n n k  n n k

  .

Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Tính nhanh

1 1 1 1

) ...

1.3 3.5 5.7 19.21

1 1 1 1 1 1

) . ...

99 99.98 98.97 97.96 3.2 2.1 a A

b B

    

      

Hướng dẫn giải

1 1 1 1 1 2 2 2 2

) ... ...

1.3 3.5 5.7 19.21 2 1.3 3.5 5.7 19.21

1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 1 3 3 5 5 7 ... 19 21

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10

1 ... 1

2 3 3 5 5 19 19 21 2 21 21

a A           

       

              

         

               

Vậy ¹⁰

A21.

 

              

 

       

 

            

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

) . ... ...

99 99.98 98.97 97.96 3.2 2.1 99 99.98 98.97 97.96 3.2 2.1

1 1 1 1 1 1

99 2.1 3.2 ... 97.96 98.97 99.98

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

99 1 2 2 3 ... 96 97 97 98 98 99 b B

(9)

Trang 9

          

                  

1 1 1 1 1 1 ... 1 1 1 1 1 1 1 98 97

99 2 2 3 3 98 98 99 99 99 99 99 99

Vậy ⁹⁷

B99

Ví dụ 2. Tính ⁴ ⁴ ... ⁴ ⁴ 1.5 5.9 92.96 96.100

S    

Hướng dẫn giải Áp dụng công thức



^k



¹ ¹

n n k  n n k

  với k4 ta có:

            

   

           

4 4 4 1 1 1 1 1 1 1

... 1 ...

1.5 5.9 96.100 5 5 9 92 96 96 100

1 1 1 1 1 1 99

1 ... 1

5 5 96 96 100 100 100 S

Vậy ⁹⁹

S100.

Bài tập tự luyện dạng 4

Câu 1: Tính giá trị biểu thức ¹ ¹ ¹ ... ¹ 3.4 4.5 5.6 20.21

S     .

Câu 2: Tính giá trị biểu thức ¹ ¹ ¹ ... ¹ 2.4 4.6 6.8 28.30

B     .

ĐÁP ÁN

Dạng 1. Thực hiện phép tính của hai hay nhiều số hữu tỉ Câu 1: Chọn A.

Ta có: 2 3 2.5 3.3 10 9 10 9 19 3 5 15 15 15 15 15 15

       

Câu 2: Chọn B.

A. ^{3 7} ^{3 14 17};

4 2  4 4  4 B. ^{3 7} ^{3 14} ¹¹; 4 2 4 4 4

   

C. ^{3 7} ^{3 14 11};

4 2 4 4 4

     D. ^{3 7} ³ ¹⁴ ¹⁷

4 2 4 4 4

  

     .

Câu 3: Chọn B.

1 2 3 4 7 2 3   6 6 6. Câu 4: Chọn C.

A. ^{1 2} ^{3 4} ⁷;

2 3   6 6 6 B. ^{1 2} ^{3 4} ¹; 2 3 6 6 6

   

C. ^{1 2} ^{3 4} ¹; 2 3 6 6 6

     D. ^{1 2} ³ ⁴ ⁷.

2 3 6 6 6

  

     Câu 5: Chọn D.

(10)

Trang 10 2 4 1 2.6 10.4 15 12 40 15 43

5 3 2 30 30 30 30 30

  

   

           Câu 6: Chọn D.

2 5 9 8 2 9 5 8 11 13

1 1 0.

11 13 11 13 11 11 13 13 11 13

B                Vậy B0.

Câu 7: Chọn C.

1 5 1 3 1 5 1 3 1 5 1 3

3 4 4 8 3 4 4 8 3 4 8

1 3 3 1 3 3 8 3.12 3.3 53 5

3 2 8 3 2 8 24 24 224

A                 

  

 

         Vậy A2.

Câu 8:

2 5 4 5 9 3 )3 6 6 6 6 2

19 5 57 5 52 26 ) 2 6 2.3 6 6 3

3 3 1 12 3 8 7 )4 16 2 16 16 16 16 a

c e

    

    

     

1 7 3 7.2 11 )4 6 4.3 6.2 12

2 5 1 8 10 1 1 )3 6 12 12 12 12 12 2 4 1 28 40 35 23 )5 7 2 70 70 70 70 b

d f

   

     

     

Câu 9:

      

      

  

      

1 1 1 1 4 3 1

) 21 28 7.3 7.4 7.3.4 7.3.4 12

5 5 3 5 9 1

) 0,75

12 4.3 4 4.3 4.3 3 a A

c C

8 15 8 15 24 30

) 1

18 27 9.2 9.3 9.2.3 9.3.2 2 7 2 49 4 53 ) 3,5

7 2 7 14 14 14 a B

c D

   

       

 

       Câu 10:

5 6 1 7 5 1 6 7 5 1 6 7 2 6 7 2 7 6 )6 7 6 3 6 6 7 3 6 7 3 3 7 3 3 3 7

2 7 6 6 21 6 27 3 7 3 7 7 7 7

2 8 7 3 5 8 1 7 3 5 8 1 7 3

) 1 0,25

3 3 4 2 3 3 4 4 2 3 4 2

3 6 3 3 3 3 3

1 1 1

3 4 2 2 2 2 2

a

b

      

               



 

      

 

   

             

   

               0 1

Dạng 2: Viết một số hữu tỉ dưới dạng tổng hoặc hiệu của hai số hữu tỉ Câu 1:

Ta có ⁵ ^{4 1 4 1}

3 3 3 3

    . Vậy hai số đó là ⁴ 3 và ¹

3. Câu 2:

Ta có ⁴ ^{1 3} ¹ ³ 19 19 19 19

    . Vậy hai số đó là ¹

19 và ³ 19. Câu 3:

(11)

Trang 11 Ta có: 11 ¹



¹⁰



²

 

⁹ ³

 

⁸

15 15 15 15

        

   

Vậy ¹¹ ¹ ¹⁰; ¹¹ ² ⁹; ¹¹ ³ ⁸

15 15 15 15 15 15 15 15 15

        

Dạng 3. Tìm số hữu tỉ x thỏa mãn điều kiện cho trước Câu 1:

3 2 ) 4 7

2 3 8 21 29 7 4 28 28 28 a x

x

 

     

2 7

)3 5

2 7 10 21 11 3 5 15 15 15

b x

x

 

     

1 3 ) 8 4

3 1 6 1 7

4 8 8 8 8 c x

x

 

       

Vậy ²⁹

x28 Vậy ¹¹

x15 Vậy ⁷

x8 Câu 2: Làm tương tự câu 1.

) 5;

a x12 39

) ;

b x35 23

) 32 c x . Câu 3:

7 5 12

)4 3 5

5 7 12 3 4 5

7 12 5 4 5 3

105 144 100 149

60 60

a x

x x

  

  

   

   

 

 

Vậy ¹⁴⁹ x 60

17 3 5 1

) 2 7 3 3

1 17 3 5

3 2 7 3

1 17 3 5

3 2 7 3

1 17 3 5 3 2 7 3

1 5 17 3

3 3 2 7

2 17 3 2 7 28 119 6 97

14 14

b x x

   

   

 

  

     

  

    

   

 

   

   

  

 

Vậy ⁹⁷

x14.

9 2 7 5

)2 3 4 4

9 2 7 5

2 3 4 4

9 2 7 5

2 3 4 4

5 9 2 7 4 2 3 4

5 7 9 2 4 4 2 3 12 9 2 4 2 3 18 27 4

6 41

6

c x

x x x x x x x

   

   

  

   

   

    

 

   

   

  



 

Vậy ⁴¹

x  6 . Dạng 4. Tính tổng dãy số có quy luật

Câu 1:

Ta có: ¹ ¹ ¹ ¹ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2

... ...

3.4 4.5 5.6 20.21 3 4 4 5 5 6 20 21 3 21 7

A                

Câu 2:

Ta có: ¹ ¹ ¹ ... ¹ ^{1 1 1} ^{1 1 1} ... ^{1 1} ¹ ^{1 1} ¹ ⁷

2.4 4.6 6.8 28.30 2 2 4 2 4 6 2 28 30 2 2 30 30 B                  