Phân loại dạng và phương pháp giải nhanh nguyên hàm – tích phân – Nguyễn Vũ Minh (Tập 1) - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

PHÂN LOẠI DẠNG VÀ

PHƯƠNG PHÁP GIẢI NHANH

BIÊN HOÀ – Ngày 27 tháng 11 năm 2017

Chuyên đề

TẬP 1

1) Định nghĩa : F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a; b)  ...

2) Họ nguyên hàm : , với C là ...

3) Bảng nguyên hàm :

Hàm cơ bản : Hàm chứa (ax + b)

dx x C



α 1

α x

x .dx C

α 1

  





 

^{axb dx}



^{α 1 (ax}_{a α 1}^_^{b)α 1 C}

dx ln x C

x  

 

_ax^dx_b ^1_a^{ln ax b C}

2

dx 1

x  x C

 

_(ax^dx_b)^{2  1}_{a ax}^{. 1}_b^C

dx 2 x C

x  

 

_ax^dx_b ^{ 2}_a ^{ax b C}

x

x a

a dx C

 lna

 

^{aax b dx1 a}_{a lna}^{ax b C}

x x

e dxe C

 

^{eax b dx1}_a^{eax b C}

sinx.dx cosxC

 

^{sin(axb).dx 1}_a^{cos(ax b) C}

cosx.dxsinxC

 

^{cos(axb).dx1}_a^{sin(ax b) C}

2

dx tanx C cos x  

 

_{cos (ax}^2dx _b) ^1_a^{tan(ax b) C}

2

dx cotx C

sin x   

 

_{sin (ax}^2dx_b) ^{ 1}_a^{cot(ax b) C}

Phần 01 : NGUYÊN HÀM (TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH)

2018

2 2

dx 1 x a

ln C

x a 2a x a

  

 



Công thức chú ý :

4) Cách tìmnguyên hàm : Biến đổi tích hoặc thương, tổng, bạ bậc, khai triển lũy thừy, chia đa thức<.. Căn thức thành lũy thừa :

m m

n m n n m n

n n

1 x

x x ; x ; x

x x

 

  

5) Công thức thường dùng :

2

2

1 cos2u cos u

2 1 cos2u sin u

2

 

 

2 2

2 2

1 1 tan u cos u

1 1 cot u sin u

 

 

3

3

3cosu cos3u cos u

4 3sinu sin3u sin u

4

 

 

2 2

2

2

sin2u 2sinu.cosu

cos2u cos u sin u

cos2u 2cos u 1

cos2u 1 2sin u



 

 

 

Ví dụ 01: TÌM HỌ NGUYÊN HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ SAU:

a/ f(x)(2x²1)³ b/ f(x)(tan x cot x) ² c/

3 2

2x 5x 2

f(x) x

 

 d/

2x x

x

e 3e 2

f(x) e 1

 

 

♥Giải : a/ Ở đây ta sử dụng công thức :

α 1

α x

x .dx C

α 1

  



 ^{Ta có f(x)8x612x46x21,}

Suy ra :



f(x)dx8 x dx 12 x dx



⁶ 



⁴ 6 x dx



² 



1dx ^8₇^{x7 12}₅ ^{x52x3 x C}

b/ Ta có f(x) tan x² cot x² 2 ¹₂ 1 ¹₂ 1 2

cos x sin x

   

          ^{2 2}

1 1

cos x sin x

 

Suy ra: 1₂ 1₂

f(x)dx dx dx tan x cot x C

cos x sin x

    

  

c/ Ta có 5 2₂

f(x) 2x .

x x

   Suy ra: 1 ^{2 2} 2

f(x)dx 2 xdx 5 dx 2 x dx x 5ln x C

x x

       

   

d/ Ta có

2x x x x x x

x x

e e 2(e 1) e (e 1) 2(e 1)

f(x) e 1 e 1

     

 

 

x x

x x

(e 1)(e 2)

e 2

e 1

 

  



Suy ra:



f(x)dx



e dx^x 



2dxe^x 2xC

Ví dụ 02 (THPT chuyên Phan Bội Châu lần 2):

Biết hàm số ^{F x}

 

^{ax3 }



^{a b x}



^2



^{2a b c x }



^1là một nguyên hàm của hàm số

 

^{3 26 2}

f x x x . Tổng a^{ }b c là:

A. 3. B. 2. C. 4. D. 5.

♥Giải : Đạo hàm : ^{F x}

 

^3ax22



^{a b x}

 

^{ 2a b c }



.

Ta có:

     

3 3 1

2 6 2

2 2 2

 

 

 

      

     



a a

F x f x a b b

a b c c

   a b c 5. Chọn đáp án D

Ví dụ 03 (Cụm 1 – Tp.HCM): Biết một nguyên hàm của hàm số ^{y f x}

 

là ^{F x}

 

^{x24x1}. Khi đó, giá trị của hàm số ^{y f x}

 

^{tại x3 là.}

A. ^f

 

^{3 30. B. f}

 

^{3 22. C. f}

 

^{3 10. D. f}

 

^{3 6.}

♥Giải :

Cách 1 : Ta có: ^{F x}

 

^{ f x}

 

^{ f x}

 

^



^x24x1



^{2x4.}

 

^{3 2.3 4 10}

f    . Chọn đáp án C

Cách 2 : sử dụng máy tính Casio.

2018

Bài Tập 1: Tìm họ nguyên hàm các hàm số sau

1/ ^{5 2} 1

f(x) x 3x 5

   x 2/ 3₅ 7₄ 9₃ 20₂

f(x) x x x x 3/

5 7 9

2

x 4x 2x 8 7x

f(x) x

   

 4/ f(x) x³ x4 x⁴

5/ f(x)( x 1)(x  x 1) 6/

x x

2

f(x) e 2 e

sin x

  

   

 

♥Giải :

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

Bài Tập 2 (SỞ GD ĐT HÀ TĨNH): Biết rằng ^{F x}

 

^{m x. 4 2} là một nguyên hàm của hàm số

 

³

f x x , giá trị của m là. A. 1

4. B. 1. C. 0. D. 4.

♥Giải :

...

...

Bài Tập 3: a/ Nguyên hàm của hàm số f x( ) x² 3x ¹

  x là:

A.

3 2

3 ln

3 2

x x

x C

   B.

3 2

2

3 1

3 2

x x

x C

   C. x³3x²lnx C . D.

3 2

3 ln

3 2

x x

x C

  

b/ Họ nguyên hàm của f x( )x²2x1là

A. ( ) ^{1 3} 2

F x 3x   x C B. F x( )2x 2 C C. ( ) ^{1 3 2}

F x 3x x  x C D. ( ) ^{1 3} 2 ²

F x 3x  x  x C

c/ Nguyên hàm của hàm số f x( ) ^{1 1}₂

x x

  là :

A. lnxlnx²C B. lnx – ¹

x + C C. ln|x| + ¹

x + C D. ln x ¹ C

 x

♥Giải :

...

...

...

Bài Tập 4: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau a/

x

x x

2

f(x) e (7 3e e ) cos x

 

   b/ ^f(x)



^{2x 3 .2x}



^{2x 1 c/ f(x)e (5 3e )x  x}

♥Giải :

...

...

...

...

2018

...

...

...

Bài Tập 5: Tìm họ nguyên hàm các hàm số sau

1/ 7

f(x) 2sinx 3cosx

  x 2/ f(x)tan x 3cot x²  ² 3/ f(x)(2tanx cotx) ²

4/ ₂ 1 ₂

f(x)sin x.cos x 5/ ^f(x)



^x53x



²



^{x 1}



^{6/ f(x)}3sinx 7cosx 8/

15 4 6

3

3x 7x 2x 8 10x

f(x) x

   

 7/f(x)2 x3e^x 4sin x 8 / x ³ 9/ ₂ 6 ₂ f(x)sin x.cos x

♥Giải :

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

Bài Tập 6: a/ Nguyên hàm của hàm số

 

^{x 1}x

f x 3 4

  là:

A.

 

4 x

F x 3 3 C

ln3 4

  

    B.

 

3 x

F x 4 C

ln3 4

  

   C. ^{F x}

 

^{x C}

 2  D.

 

3 x

F x 3 4 C

ln3 4

  

   

b/



2 .3 .7 dx^{2x x x là} A.

84x

ln 84C B.

2x x x

2 .3 .7

ln 4.ln 3.ln 7C C. 84^x C D. 84 ln 84 C^x 

♥Giải :

...

...

...

Bài Tập 6: Tìm họ nguyên hàm các hàm số sau

1/ f(x)x³3x²4x 3 ; 2/ f(x)2x(x²3x)² 3/ x x

f(x) 4sin cos

2 2



4/ f(x)2sin x 3cos x 5e  ^x 5/f(x)tan x²3 6/ 1 ² f(x) (2 )

 x 7/

( x 2)3

f(x) x

  8/ f(x)2^{2x 1}.3^{3x 2} 9/ f(x)(3^x2)²

♥Giải :

...

2018

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

Bài Tập 7: Chứng minh F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trong các trường hợp sau:

a/ F x( )5x³4x²7x120và f x( ) 15 x²8x7.

b/ F x( )ln(x x²3)và

2

( ) 1 .

3 f x

x

  c/ F x( )(4x 5) e^x và f x( )(4x 1) e^x. Phương pháp: Đ F x( ) à t nguyên hà c a hà s f x( ), ta cần chứng minh:

♥Giải :

...

...

...

...

...

...

Ví dụ 03: TÌM HỌ NGUYÊN HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ SAU:

a/ f(x)(2x 1) ³ ; b/ ^{f(x)cos 3x 2}



^



^{; c/ f(x) 2}

7x 1

 ; d/ f(x)e^x ; e/ f(x) (7 3x)¹⁰

Giải : a/ sử dụng công thức



^{ax b dx}



^{α 1 (ax b)α 1 C}

a α 1

 

  





4 3 1 (2x 1)

f(x)dx (2x 1) dx . C

2 4

    

 

b/ sử dụng công thức 1

cos(ax b).dx sin(ax b) C

  a  



^f(x)dx cos 3x 2 dx

 

¹.sin 3x 2

 

C

  3  

 

c/ sử dụng công thức dx 1

ln ax b C ax b a  





2 dx 2

f(x)dx dx 2 .ln 3x 2 C

7x 1 7x 1 7

    

 

  

d/ sử dụng công thức ^{ax b} 1 ^{ax b}

e dx e C

a

   



x 1 x x

f(x)dx e dx e C e C

1

  

     

 

 ( chú ý hệ số a trong bài này là -1 )

e/ giống bài a/

11 10 1 (7 3x)

f(x)dx (7 3x) dx . C

3 11

    

 



Điền vào ô trống

a/



(7 4x) dx = ^{5 b/}



_2x^dx_7⁼

c/

 

⁵

dx = 4 1



_x ^d/



^{e8x 7 dx =}

e/



e dx =^{x f/}



_cos^2dx



_x



⁼

2018

Bài tập 01 (THPT Hoàng Văn Thụ - Khánh Hòa): Tìm nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{e2017x.}

A.



^{f x}

 

^dx^e2017x^{C. B.}



^{f x}

 

^{dx e2017x.ln 2017C.}

C.

 

^{d 1 2017}

2017

f x x  e^ xC



^{. D.}



^{f x}

 

^{dx 2017.e2017xC.}

♥Giải :

...

Bài tập 02 (THPT Trần Hưng Đạo – Nam Định): Tìm nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^32x1.

A.



^{f x}

 

^{dx32x1ln 3C. B.}



^{f x}

 

^dx3_{ln 3}^2x1C.

C.

 

^{d 32 1}

ln 9

x

f x x C

  



^{. D.}



^{f x}

 

^dx



^{2x1 3}



^2xC.

♥Giải :

...

Bài tập 03 (THPT chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định): Tìm nguyên hàm F x của hàm số 1000 .^x

f x A. ^{F x 1000x C} B. ^{F x 3.10 ln103x}

C.

1000 1

1

x

F x C

x D.

103

3ln10

x

F x C

♥Giải :

...

Bài tập 04 (Sở GD-ĐT Long An): Tìm nguyên hàm F x

 

của hàm số f x

 

x⁴e^3xcos 2x. A.

 

^{5 3 sin 2}

5 3 2

x e x x

F x    C B.

 

^{4 3 3 sin 2}

3 2

e x x

F x  x   C

C.

 

^{5 3 sin 2}

5 3 2

x e x x

F x    C D.

 

^{5 3 3 sin 2}

5 2

x x x

F x   e  C

♥Giải :

...

Bài tập 05 : Tìm họ nguyên hàm các hàm số sau

1/f(x)sin x² 2 /f(x)sin 7x² 3/f(x)cos 4 x² 4/f(x)cos x⁴ 5/f(x)sin 2 x⁴ 6/ f(x)7sin x.cos x^{2 2}

♥Giải : Lưu ý các công thức sử dụng cho phần này là : HẠ BẬC

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

Bài tập 06: Tìm họ nguyên hàm các hàm số sau

1/ f(x)sin 2 x.cos x 2/f(x)sin 4 x.sin 6x 3 /f(x)cos 6 x.cos 2 x

2018

♥Giải : Lưu ý các công thức sử dụng cho phần này là :TÍCH THÀNH TỔNG

♥Giải :

...

...

...

...

...

...

Bài tập 07: Tìm họ nguyên hàm các hàm số sau

1 /

3 2

x 3x 6x 5

f(x) x 1

  

  2/ 1

f(x)

x 9 x

   3/

3x2 6x 5 f(x) 2x 1

 

 

4/

2

f(x) 3

cos 2x π 4

   

5 / 6x 5

f(x) 2x 5

 

 6/ f(x)cos x sin x⁴  ⁴

♥Giải :

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

Bài tập 08: Tìm họ nguyên hàm các hàm số sau

1/ (ĐH Ngoại Thương – 1998- Khối A)

4 2

2

x x 1

f(x) x x 1

 

  

2018

2/ (ĐH Ngoại Thương – 1998- Khối D)

4 2

2

x 2x 2 x

f(x) x x 1

  

  

3/ (ĐH Ngoại Thương – 2000 - Khối D) cos2x

f(x)sinx cosx

 4 /

x 1 2

f(x) x 2

  

   

♥Giải :

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

Bài tập 09 (THPT chuyên Hưng Yên lần 2): Tìm giá trị của m để hàm số

 

^{2 3}



^{3 2}



^{2 4 3}

F x m x  m x  x là một nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{3x210x4..}

A. m2 B. m1 C. m 1 D. m 1

♥Giải :

...

...

...

Bài tập 10 (THPT chuyên Thái Bình): Tìm nguyên hàm của hàm số

 

2 2

cos

x

x e

f x e

x

  

   

 ?

A. ^{F x}

 

^{2extanx} B. ^{F x}

 

^{2extanx C}

C. ^{F x}

 

^{2excotx C} D. ^{F x}

 

^{2extanx C}

♥Giải :

...

...

Bài tập 11: Hàm số ^{F x}

 

^ex2 là một nguyên hàm của hàm số:

A. ^{f x}

 

^{x e2 x2 1} B.

 

²

2 ex

f x  x C. ^{f x}

 

^e2x D. ^{f x}

 

^2xex2

♥Giải :

...

...

Bài tập 12 (Cụm 1 HCM): Nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{ x 2x là:}

A.

 

^{2 2}

2 ln 2 x x

f x x  C



^{d B.}



^{f x}

 

^{dx 1} _{ln 2}^{2x C}

C.

 

^{2 2}

2 x x

f x x  C



^{d D.}



^{f x}

 

^{dx x}₂^{2 2 ln 2x C}

♥Giải :

...

Bài tập 13: a/ Nguyên hàm của hàm số f x

 

e^{1 3x} là:

A. ^{F x}

 

_{1 3x}^{3 C}

e^

  B. ^{F x}

 

^{e1 3x C}

3

   C. ^{F x}

 

^3e_3x ^C

 e  D. ^{F x}

 

^e_3x ^C

 3e 

2018

b/ Nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

_{2 5x}¹

e ^

 là:

A. ^{F x}

 

_{2 5x}^{5 C}

e ^

  B. ^{F x}

 

_{2 5x}^{5 C}

e ^

   C. ^{F x}

 

^{e2 5x C}

5

    D. ^{F x}

 

^e5x₂ ^C

5e 

♥Giải :

...

...

...

Bài tập minh họa cho phương pháp :

a/ Tìm A, B sao cho ₂3x 7 A B

x 4x 3 x 1 x 3

  

    (x  1; 3)

b/ Tính ₂3x 7

I dx

x 4x 3

 

 



Giải : a/ 2

   

3x 7 A B

3x 7 A x 3 B x 1

x 4x 3 x 1 x 3

        

   

 

^{A B 3 A 2}

3x 7 A B .x 3A B

3A B 7 B 1

  

 

          

Phương pháp Xê Hắc E :

Hai công thức cần chú ý cho dạng này

PHƯƠNG PHÁP XÊ HẮC E

b/ I ₂^{3x 7} dx ^{2 1} dx 2 ln x 1 ln x 3 C

x 4x 3 x 1 x 3

  





  



         

Bài tập 7 : Tính các nguyên hàm số sau ( sử dụng pp Xê Hắc E )

2

3x 4

A dx

x 4x 5

 

 



; ₂x 7

B dx

x 8x 9

 

 



^{; C}



_x²_{ }¹_{x 2}^dx



^dx



D x x 1



 ^{; F}



_x²_{ }^_{x 6}^{x dx} ; ₂ 3

G dx

x 7x 12





  ^{; F}



_x²_{10x 9}^8 _ ^dx

♥Giải :

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

2018

...

...

Trắc nghiệm bổ sung

TN1 (THPT Hà Huy Tập): Công thức nào sau đây sai?

A. 1

ln dx x C

 x



^B.



¹_x^{dxln x C C.}



_cos¹² _x^{dxtanx C D.}



^{sin 2 dx x 1}₂^{cos 2x C}

TN2 : Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) biết ₂2 3

( ) 4 3

 

  f x x

x x

A.

2 2

3

4 3

 

 

x x

x x C B.

 

2 2 2

3

4 3

  

 

x x

C

x x

C. ¹



^{ln 1 3ln 3}



2 x  x C D. (2x3) ln x²4x 3 C TN3 : Xét các mệnh đề: (I) ₂ cot

sin  



^dx_x ^{x C (II)}



^e_e^3xx_^₁^1dx1₂^{e2x  ex x C}

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.(I) đúng , (II) sai B.(I) sai, (II) đúng

C. Cả (I) và (II) đều đúng D. Cả (I) và (II) đều sai

TN4 : Cho F(x) là một nguyên hàm của f(x) = cos 2x.

Khi đó, hiệu số ( ) (0)

4

 

F F bằng:

A. 15 B.1

2 C. 2 D. ²

4

TN5 (THPT Chuyên Tuyên Quang): Nguyên hàm của hàm số f x

 

7x⁵ là :

A. ^{F x}

 

^5x6C B. ^{F x}

 

^35x6C

C. F x

 

35x⁴C D.

 

^{7 6}

F x  6x C

TN6 (THPT Lý Nhân Tông): Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai ?

A.



0dxC ^(Clà hằng số). B. 1 ¹

d 1

x^ x x^ C



  



 ^(Clà hằng số).

C. 1

dx ln x C

x  



^(Clà hằng số). D.



dx x C ^(Clà hằng số).

TN7 (THPT chuyên Vĩnh Phúc lần 5): Tính nguyên hàm 1 1 dx

x



^.

A. log 1 x C. B. ^{ln 1}



^{ x}



^C. C. ln 1 x C. D.

 

²

1

1 C

x

 

 .

TN8: Hàm số

4 2

2x 3

y x

  có một nguyên hàm là

A.

2 3 3 3 3

x

 x B. ³3 3x 2

 x C.

2 3 3 3 1

x

 x D.

3 3

3 2017 x

 x TN9 (THPT chuyên LTV): Cho hàm số ^{y f x}

 

liên tục trên và thoả mãn

 

^{d 4 3 3 2 2}

f x x x  x  x C



^{. Hàm số f x}

 

^là:

A. ^{f x}

 

^{x4 x3 x2Cx C }. B. ^{f x}

 

^{12x26x 2 C.}

C. f x

 

x⁴ x³ x²Cx. D. ^{f x}

 

^{12x26x2}.

TN10 (THPT chuyên Lê Thánh Tông): Biết ^{f x}

 

có một nguyên hàm là 17^x. Xác định biểu thức ^{f x}

 

^.

A. ^{f x}

 

^x.17x1. B. ^{f x}

 

^{17 ln17x C}.

C.

 

¹⁷

ln17

x

f x  . D. ^{f x}

 

^{17 ln17x} .

TN11 (THPT Tiên Du 1): Nguyên hàm của hàm số

 

^{3 3}₂ ^2x

f x x  x  là.

A.

4 3

2 .ln 2 4

x x

x C

   . B.

4 3 2

4 ln 2

x x

x C

   . C.

3 3

1 2 3

x x

x C

   . D.

4

3ln 2 2 .ln 2 4

x x

x C

   .

TN12 (Sở GDĐT Lâm Đồng lần 04): Nguyên hàm của hàm số

 

^{3 2}

2 f x  x x là:

2018

A.

3 2

3 4

x x

 C. B.

2 3

4

x  x C. C.

2 3

2

x x C. D.

2 3

2 x x C

TN13 (THPT Nguyễn Khuyến –NĐ): Hàm số ^{F x}

 

là nguyên hàm của ^{f x}

 

^{ ex 3x2} trên tập số thực. Tìm ^{F x}

 

.

A.

 

^{3 3}

2

F x ex x . B. ^{F x}

 

^{ ex x21}. C. F x

 

  e^x x³ 1. D. F x

 

  e^x x³ 1.

TN14 (THPT Hùng Vương–PT): Tìm nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{2x 1}

 x. A.



^{f x}

 

^{dxx2ln x C. B.}



^{f x}

 

^dxx2_x^{12 C.}

C. ^{f x}

 

^{dx x2 1}₂ ^C

  x 



^{. D.}



^{f x}

 

^{dxx2ln x C.}

TN15 (THPTQG – 2017): Tìm nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^2sinx. A.



2sinxdx2 cosx C ^{. B.}



^{2sinxdxsin2x C .}

C.



2sinxdxsin 2x C ^{. D.}



^{2sinxdx 2 cosx C .}

TN16 (THPT chuyên Phan Bội Châu): Hàm số nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số

 

^{1 ?}

f x 1

 x

 .

A.

 

^{1ln( 2 2 1) 5}

F x 2 x  x  . B. ^{F x}

 

^{ ln 2x 2 4}. C. ^{F x}

 

^{ln 1 x 2}. D.

 

^{1ln 4 4 3}

F x  4  x  .

TN17 : Cho F(x) và G(x) là các nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a,b). Khi đó

(I) F(x) = G(x) + C (II) G(x) = F(x) + C

Với C là một hằng số nào đó. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. (I) đúng, (II) sai B. (I) sai, (II) đúng

C.Cả (I) và (II) đều đúng D. Cả (I) và (II) đều sai

TN18 (THPT chuyên Nguyễn Trãi lần 2): Tính nguyên hàm 1 2 3 dx

x

 

  

 



^.

A. 1

ln 2 3

2 x C B. ln 2x 3 C C. ^{1ln 2}



³



2 x C D. 2ln 2x 3 C TN19 (THPT Nguyễn Tất Thành): Tìm họ nguyên hàm của hàm số

 

2

1

4 3

f x  x x

  .

A. ¹ln ³

2 1

x C

x

 

 . B. ¹ln ³

2 1

x C

x

 

 .

C. 1 3

2ln 1

x C

x

  

 . D. 1 3

2ln 1

x C

x

 

 .

TN20 (THPT chuyên LHP): Cho ^{F x}

 

là một nguyên hàm của hàm số

 

¹

2 1

f x  x

 trên 1

\ 2

  

 . Phát biểu nào sau đây sai ?

A.

 

^{ln 6 3}

2

F x x C

  . B.

 

^{ln 2 1}

2

F x x C

  .

C.

 

^{ln 2}



¹



²

4

F x x C

  . D. ^{F x}

 

^{ln 2x 1 C.}

TN21 (THPT chuyên Bến Tre): Tìm nguyên hàm của hàm số

 

¹

f x 1 2

 x

 . A.



^{f x}

 

^{dx2 ln 1 2 x C. B.}



^{f x}

 

^dx₂^{1ln 1 2 x C.}

C.



^{f x}

 

^{dxln 1 2 x C. D.}



^{f x}

 

^dx1₂^{ln 1 2 x C.}

TN22 (Sở GD-ĐT Đồng Nai): Tìm nguyên hàm của hàm số

 

⁵

g x 4 3

 x

 . A.

 

^{5ln 4 3}

g x dx3  x C



^{. B.}



^{g x dx}

 

^{ }₃^{5ln 4 3 x C.}

C.



^{g x dx}

 

^{5ln 4 3} ^x ^{C. D.}



^{g x dx}

 

^{5ln 4 3}



^{ x}



^C.

TN23 (Cụm 7 – Tp.HCM): Tìm d

2 1

x x



^{, ta được:}

A. ^{1ln 2}



¹



2 x C. B. 1

ln 2 1 2 x C.

C.

 

²

2

2 1 C

x

 

 . D. ln 2x 1 C.

TN24 (THPT chuyên LTV): Nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^e2x là:

2018

A.

 

^{d 1 2}

2

f x x e^ xC



^{. B.}



^{f x}

 

^{dx 1}₂^e2xC.

C.



^{f x}

 

^dx ^2e2x^{C. D.}



^{f x}

 

^{dx e2xC.}

TN25 (THPT Tiên Lãng): Tìm nguyên hàm _{I }



_2e^3x²_dx^.

A. 4 ³ 1 ⁶

4 3 6

x x

I  x e  e C B. 4 ³ 5 ⁶

4 3 6

x x

I  x e  e C.

C. 4 ³ 1 ⁶

4 3 6

x x

I  x e  e C. D. 4 ³ 1 ⁶

3 3 6

x x

I  x e  e C. TN26 (Sở GD-ĐT Đồng Nai): Cho hàm số ^{h x}

  

^{ 15 12 x}



^{8. Tìm}



^{h x}

 

^dx.

A.

 

^{d 1}



^{12 15}



⁹

h x x108 x C



^{. B.}



^{h x}

 

^{dx8 15 12}



^{ x}



^7C.

C.



^{h x}

 

^{dx 96 15 12}



^{ x}



^{7C. D.}



^{h x}

 

^{dx }₉₆¹



^{15 12 x}



^9C.

TN27 (Sở GDĐT Lâm Đồng lần 05): Tìm nguyên hàm của hàm số ^{f x( )}



^3x1



⁵.

A. ^{( ) 1}



^{3 1}



⁵

f x dx18 x C



^{. B.}



^{f x dx( ) 1}₆



^3x1



^6C.

C. ^{( ) 1}



^{3 1}



⁶

f x dx18 x C



^{. D.}



^{f x dx( ) 1}₃



^3x1



^6C.

TN28 (THPT Nguyễn Thị Minh Khai – KH): Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số

x 2 y e ?

A. ye^2x2x. B. y e^x 2x1.

C. y e^x 2x1. D. y e^x x.

TN29 (Cụm 1 – Tp.HCM): Nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{ x 2x} là:

A.

 

^{d 2 2}

2 ln 2 x x

f x x  C



^{. B.}



^{f x}

 

^{dx 1} _{ln 2}^{2x C.}

C.

 

^{d 2 2}

2 x x

f x x  C



^{. D.}



^{f x}

 

^{dx x}₂^{2 2 ln 2x C.}

TN30 (THPT chuyên Nguyễn Trãi lần 2): Tìm nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{sin 2x}. A. 2cos 2x C . B. 1

cos 2

2 x C . C. 2cos 2x C . D. 1

cos 2

2 x C

  .

TN31 (THPT chuyên Nguyễn Trãi lần 1): Hàm số ysinx là nguyên hàm của hàm nào trong các hàm sau ?

A. ycosx. B. ytanx. C. ycotx. D. ysinx1. TN32 (THPT chuyên Nguyễn Trãi lần 1): Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A.



e^xdxe^xC^{. B.}



^{sin xdxcosx C .}

C.



2 dxx x²C^{. D.}



¹_x^{dxln x C.}

TN33(THPT Nguyễn Tất Thành): Tính ^{I }



^{cos 4}



^{x3 d}



^x.

A. I sin 4



x 3



C. B. I  sin 4



x 3



C. C. ^{I 4sin 4}



^{x 3}



^C. D. ^{1sin 4}



³



I  4 x C. TN34 (Đề Minh Họa lần 2): Tìm nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^{cos 2x}. A.

 

^{d 1sin 2}

f x x2 x C



^{. B.}



^{f x}

 

^{dx 2sin 2x C .}

C.

 

^{d 1sin 2}

f x x 2 x C



^{. D.}



^{f x}

 

^{dx2sin 2x C .}

TN35 (THPT chuyên Võ Nguyên Giáp): Kết quả nào đúng trong các phép tính sau?

A.



cos 2 dx x 2 cos²x C ^{. B.}



^{cos 2 dx xsin cosx x C .}

C.



cos 2 dx xsin 2x C ^{. D.}



^{cos 2 dx x2sin 2x C .}

TN36: 3 2 5dx

x



^bằng:

A. 2 ln 2x 5 C B. 3

ln 2 5

2 x C C. 3ln 2x 5 C D. 3

ln 2 5 2 x C TN37:

 

²

1 5 3 dx

x



^bằng:

A. ^{5 5}



^x13



^{C B. 5 5}



^x13



^{C C. }



^5x13



^{C D. 5 5}



^x13



^C

TN38: 3 1 2 x dx x





 ^bằng:

A. 3x7 ln x 2 C B. 3xln x 2 C C. 3xln x 2 C D. 3x7 ln x 2 C

2018

TN39:

 

^x1



^1x2



^{dx bằng:}

A. ln x 1 ln x 2 C B. 1

ln 2

x C

x

 



C. ln x 1 C D. ln x 2 C

TN40: ₂ 1

3 2

x dx

x x



 



^bằng:

A. 3ln x 2 2ln x 1 C B. 3ln x 2 2ln x 1 C

C. 2ln x 2 3ln x 1 C D. 2ln x 2 3ln x 1 C

TN41: ₂ 1

4 5dx x  x



^bằng:

A. ln ⁵

1

x C

x

 

 B. 6 ln ⁵

1

x C

x

 

 C. ¹ln ⁵

6 1

x C

x

 

 D. ¹ln ⁵

6 1

x C

x

  

 TN42: Tìm nguyên hàm: ¹

( 3)dx x x



^.

A. ¹ln

3 3

x C

x 

 B. ¹ln ³

3

x C

x

  C. ¹ln

3 3

x C

x 

 D. ¹ln ³

3

x C

x

 

TN43: ₂ 1

6 9dx x  x



^bằng:

A. 1

3 C

x 

 B. 1

3 C x 

 C. 1

3 C

x 

 D. 1

3 C

x

 TN44: Cho hàm

 

2

1

3 2

f x  x x

  . Khi đó:

A.

 

^{ln 1}

2

f x dx x C

x

  



 ^B.



^{f x dx}

 

^ln _x^x_^1₂ ^C

C.

 

^{ln 2}

1

f x dx x C

x

  



 ^D.



^{f x dx}

 

^{ln x}_x^_²₁ ^C

TN45: Họ nguyên hàm F(x) của hàm số ₂ 1

( ) 4 3

f x  x x

  là

A. 1 3

( ) ln | |

2 1

F x x C

x

  

 B. 1 1

( ) ln | |

2 3

F x x C

x

  



C. F x( )ln |x²4x 3 | C D. 3 ( ) ln | |

1

F x x C

x

  

 TN46: Tính ₂ x

2x 3 d x  



A. ¹ln ¹

4 3

x C

x

 

  B. ¹ln ³

4 1

x C

x

 

  C. ¹ln ³

4 1

x C

x

 

 D. ¹ln ¹

4 3

x C

x

 

 TN47: Họ nguyên hàm của f(x) = 1

( 1) x x là:

A. F(x) = ln x 1 x C

  B. F(x) = ln

1

x C

x 

 C. F(x) = 1

2ln 1

x C

x 

 D. F(x) = ln x x(  1) C

TN48: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) biết ₂2 3

( ) 4 3

f x x

x x

 

 

A.

 

2 2 2

3

4 3

x x

C

x x

  

  B. (2x3) ln x²4x 3 C C.

2 2

3

4 3

x x

x x C

 

  D. ¹



^{ln 1 3ln 3}



2 x  x C

TN49: Cho hàm số ^{f x}

 

xác định trên K. Hàm số ^{F x}

 

được gọi là nguyên hàm của hàm số

 

f x trên K nếu:

A. ^{F x’}

 

^{ f x}

 

^{, x K} B. ^{F x’}

 

^{ f x}

 

^{, x K}

C. ^{f x}

 

^{F x}

 

^{, x K} D. ^{f x}

 

^{F x}

 

^{, x K}

TN50: Các tính chất nguyên hàm sau đây tính chất nào sai?

A.



f x dx'( )  f x( )C ^B.



^{Kf x dx( ) K f x dx K}



^{( )}



^0



C.

 

^{f x( )g x dx( )}



^



^{f x dx( ) }



^{g x dx( ) D.}



^{F x dx( )  f x( )C}

TN51: Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai A.

3

2 ( )

'( ) ( )

3 f x f x f x dx C



^B.

 

^{f x g x dx( ). ( )}







f x dx g x dx^{( ) .}



^{( )}

C.

 

^{f x( )g x dx( )}



^



^{f x dx( ) }



^{g x dx( ) D.}



kf x dx k f x dx^{( )} 



^{( ) (k} là hằng số)

2018

TN52: Cho



^{f x dx}

 

^{F x}

 

^C. Khi đó, với a0, ta có



^{f ax b dx}



^



^bằng

A. ¹

 

2 F ax b C

a   B. ^{1F ax b}

 

^C

a  

C. ^{F ax b}



^{ }



^{C D. a F ax b.}



^{ }



^C

Bài tập minh họa : Tính các nguyên hàm sau ( sử dụng pp đổi biến số )

a/ A



e^sinx.cosxdx ^{b/ B}



_x^22x_{4x 5}^4_ ^{dx c/ C}



^{ln x}_x^{5 dx d/ D}



_e^xex_1^dx

Giải : a/ A



e^sinx.cosxdx^{; đặt tsinxdtcosxdx ; Vậy A}



^{e .dtt   et C esinxC}

b/ ₂2x 4

B dx

x 4x 5

 

 



^{Đặt tx24x 5  dt}



^{2x4 dx}



Vậy dt ²

B ln t C ln x 4x 5 C





t       c/

ln x5

C dx





x ^{; đặt tln xdtdx}_x Vậy

6 6

5 t ln x

C t .dt C C

6 6





   

d/

x x

D e dx

e 1





 ^{; đặt tex   1 dt e dxx}

Vậy : dt ^x

D ln t C ln e 1 C





t     

Dạng Tích Phân Cách Giải

f(x).dx



g(x) + Nếu bậc tử  bậc mẫu ta chia đa thức

+ Nếu bậc tử  bậc mẫu ta xem tử có phải là đạo hà

CÁCH ĐỔI BIẾN SỐ CẦN NHỚ

PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

c a mẫu hay ko ? nếu có đặt t = mẫu số

+ Nếu ko có 2 trường hợp này ta sẽ làm theo dạng khác sẽ trình bày ở phần khác

n...dx



^{Đặt tn... tn ...}sau đó lấy đạo hàm 2 vế

f(lnx).dx



x ^{Đặt tlnx C dtdx}_x f(cosx).sinxdx



f(sinx).cosxdx



2

f(tanx) dx cos x



2

f(cotx) dx sin x



Đặt tcosx C dt sinxdx Đặt tsinx C dtcosxdx

Đặt tan ₂

   cosdx

t x C dt

x

Đặt cot ₂

    sindx

t x C dt

x

<