Chứng minh rằng có ít nhất 5 con chim đậu trong một đường tròn bán kính 1m

UBND TỈNH THÁI NGUYÊN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2014 - 2015

Môn thi: Toán (Dành cho thí sinh thi chuyên tin) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (1,5 điểm): Cho biểu thức: ^{1 3 5}

3 2 6

A x

x x x x

   

   

a. Rút gọn biểu thức A.

b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A.

Câu 2 (1,0 điểm): Cho phương trình: ^x2



^2m3



^{x m 23m0, m} là tham số.

Tìm giá trị của m để phương trình trên có hai nghiệm x x₁, ₂ sao cho 1  x₁ x₂ 6. Câu 3 (1,0 điểm): Lập phương trình bậc hai với hệ số nguyên có hai nghiệm là

1

5 18 và 1

53 2 . Câu 4 (1,5 điểm): Giải hệ phương trình sau:

3

1 1

2 1

x y

x y

y x

   

 

  



Câu 5 (1,0 điểm): Có 65 con chim đậu trên một cái sân hình vuông cạnh 4m.

Chứng minh rằng có ít nhất 5 con chim đậu trong một đường tròn bán kính 1m.

Câu 6 (1,0 điểm): Cho hình vuông ABCD có cạnh 10cm. Trên cạnh CD lấy điểm M sao cho CM4cm. Đường vuông góc với BM tại M cắt ADtại N. Tính độ dài đoạn thẳng DN.

Câu 7 (3,0 điểm): Cho đường tròn



^{O R;}



và đường thẳng d là tiếp tuyến với đường tròn tại điểm A. Từ điểm M bất kì (M khác A) trên đường thẳng d kẻ tiếp tuyến thứ hai với đường tròn

 

^{O tại điểmB} và cát tuyến cắt

 

^{O tại N P, .}

Kẻ ACvuông góc với MB tại C, BD vuông góc với MA tại D. Gọi K là trung điểm của NP, H là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng:

a. Năm điểm O K A M B, , , , cùng nằm trên một đường tròn.

b. Tứ giác OAHBlà hình thoi.

c. Ba điểm O H M, , thẳng hàng.

---HẾT---

Họ và tên thí sinh:... Số báo danh:...

ĐỀ CHÍNH THỨC