Chuyên đề phép nhân phân số, tính chất cơ bản của phép nhân phân số - THCS.TOANMATH.com

(1)

Trang 1 BÀI 8. PHÉP NHÂN PHÂN SỐ.

TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÉP NHÂN PHÂN SỐ Mục tiêu

 Kiến thức

+ Hiểu được các quy tắc nhân hai phân số.

+ Nắm vững các tính chất của phép nhân phân số.

 Kĩ năng

+ Thành thạo nhân hai phân số.

+ Biết cách thực hiện phép tính có chứa phép nhân, phép cộng, phép trừ phân số.

I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Quy tắc nhân hai phân số

Muốn nhân hai phân số ta nhân các tử với nhau các mẫu với nhau

Tính chất của phép nhân phân số 1. Tính chất giao hoán: a c. c a. .

b d  d b 2. Tính chất kết hợp: a c. .e a. c e.

b d f b d f

 

    

 

   

3. Nhân với số 1: .1 1.a a a b  b b

4. Tính chất phân phối phép nhân đối với phép cộng:

. . .

a c e a c a e b d f b d b f

   

 

 

Minh họa:

Mở rộng: Muốn nhân một số nguyên với phân số ta nhân số nguyên với tử số và giữ nguyên mẫu số.

.b a b. a c c

(2)

Trang 2 SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Thực hiện phép nhân phân số Bài toán 1. Thực hiện phép nhân hai phân số

Phương pháp giải

Quy tắc nhân hai phân số . .

. a c a c b d b d

(nhân tử với tử, nhân mẫu với mẫu) Chú ý rút gọn kết quả.

Nhân một số nguyên với một phân số .b a b.

a c  c

(nhân số nguyên với tử của phân số và giữ nguyên mẫu)

Ví dụ: 2 5 ^{2. 5}

 

10 5

. .

3 4 3.4 12 6

     

Ví dụ : 3 ^{2. 3}

 

6 3

2. .

4 4 4 2

     

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Nhân các phân số (chú ý rút gọn nếu có thể):

(3)

Trang 3



a 1 3 . ; 5 7

 ^b



^{25 2}^.

16 15

 ;



c

 

^{3 .} ⁴

 27; ^d



⁵^.12

9 . Hướng dẫn giải



a 1 3 ^{1. 3}

 

3

. .

5 7 5.7 35

    



b ^^{25 2}^{16 15}^. ^



^^25.2^{16 .15}



^

 

^^5.1^{8 .3}^ ^⁵²⁴^ ²⁴^⁵^.



c

 

4

 

^{3 .4}

 

^{1 .4} 4

3 . .

27 27 9 9

  

   



d 5.12 5.12 5.4 20. 9  9  3  3

Ví dụ 2. Thực hiện các phép tính:



a 3 2

5 ;

 

 

  ^b



²^. ⁷ ^;

5 16

 



c 1 3 . 1 5 .

2 5 8

     

   

    Hướng dẫn giải



a 3 ² 3 3.

   

^{3 . 3} 9 .

5 5 5 5.5 25

 

  

    

 

 



b 2. 7 2 7.

 

^{2 .7}

 

^{1 .7} 7.

5 16 5 16 5.16 5.8 40

 

       



c 1 3 5 5 6 8 5 1 3 3

. 1 . . .

2 5 8 10 10 8 8 10 8 80

  

            

       

       

Ví dụ 3. Hãy viết mỗi phân số sau thành tích của hai phân số: 4; 6 ; 6 ; 9.

15 35 49 22

 

 Hướng dẫn giải

Ta có: 4 2.2 15 3.5

  . Suy ra có rất nhiều cách viết 4 15

 thành tích của hai phân số.

Chẳng hạn, 4 2 2. 2 2. 2 2. ...

15 3 5 5 3 5 3

      

Tương tự, 6 2.3 2 3. 2 3. 2 3. ...

35 5.7 5 7 7 5 7 5

      

6 2.3 2 3 2 3

. . ...

49 7.7 7 7 7 7

    

  

9 3.3 3 3. 3 3. ...

22 2.11 2 11 11 2

     

(4)

Trang 4 Bài toán 2. Thực hiện phép nhân nhiều phân số

Phương pháp giải

Sử dụng các tính chất của phép nhân để tính hợp lí các biểu thức.

Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Tính tích:



a ⁷ . ^{3 11}. ; 11 41 7

A  ^b



^{5 13 13 4}^. ^.

9 28 28 9

B  .

Hướng dẫn giải



a Ta có:

7 . 3 11. 11 41 7 A  7 11 3. .

11 7 41

  (Tính chất giao hoán)

7 11 3 . . 11 7 41

  

   (Tính chất kết hợp) 3

1.41

  (Nhân với số 1)

3 41

 



b Ta có:

5 13 13 4. . 9 28 28 9 B   13. 5 4

28 9 9

 

    (Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng).

13

 

⁵ ⁴

28. 9

   13 9 28 9.

  13

 

28. 1

 

13. 28

 

Ví dụ 2. Tính giá trị của các biểu thức sau một cách hợp lí :



a 7 8 7 3 12

. . ;

19 11 19 11 19

A  



b ⁶⁷ ² ¹⁵ . ^{1 1} ¹

111 33 117 3 4 12 B         ; Hướng dẫn giải

(5)

Trang 5



a Ta có:

7 8 7 3 12 7 8 3 12 7 11 12

. . . .

19 11 19 11 19 19 11 11 19 19 11 19 A        

7 12 19.1 19

 

7 12 19 19

 

19

19

1.



b Ta có:

67 2 15 1 1 1

111 33 117 . 3 4 12 B         

67 2 15 . 4 3 1

111 33 117 12 12 12

   

        

67 2 15 4 3 1

111 33 117 . 12

   

   

67 2 15

111 33 117 .0

 

    0.

Ví dụ 3^*. Tính giá trị của các biểu thức sau:



¹ ¹ ¹

a . . .

2 3 4

M a a a với 4 5 ; a



³ ⁴ ¹

b . . .

4 3 2

N  b b b với 6 19; b



³ ⁵ ⁹

c . . .

4 6 12

P c c c với 2022 2020. c Hướng dẫn giải



a Ta có:

1 1 1 1 1 1 6 4 3 6 4 3 7

. . . .

2 3 4 2 3 4 12 12 12 12 12

M a a a a   a   a   a

Thay 4

a 5 vào M, ta được : 4 7

 

^{4 .7}

 

^{1 .7} 7

. .

5 12 5.12 5.3 15

M       



b Ta có:

3. 4. 1. . 3 4 1 . 9 16 6 .9 16 6 .19.

4 3 2 4 3 2 12 12 12 12 12

N  b b b b    b   b   b Thay 6

b19 vào N, ta được : 6 9. 6.9 1.9 9 . 19 12 19.12 19.2 38

N    

(6)

Trang 6



c Ta có: 3 5 9 3 5 9 9 5 9 5

. . . .

4 6 12 4 6 12 12 6 12 6

P c c c c    c   c Thay 2022

c2020 vào P, ta được: 2022 5. 2022.5 337. 2020 6 2020.6 404

P  

Ví dụ 4. Tính tích 1 1 1 1

1 . 1 . 1 ... 1

2 3 4 99

P                 . Hướng dẫn giải

Ta có: 1 1 1 1 1 2 3 98 1.2.3...98 1

1 . 1 . 1 ... 1 . . ... .

2 3 4 99 2 3 4 99 2.3.4...99 99

P                   

Bài tập tự luyện dạng 1 Câu 1: Thực hiện các phép tính



a 4. ³; 8

 ^b



^{1 2}^. ³ ^;

2 3 10



c ^{7 1 2}. ;

8 4 3 ^d



³ ⁷ . ² ¹² .

4 2 11 22

     

   

   

Câu 2: Tính giá trị của các biểu thức:



a . ³ .¹ .⁵

2 4 6

A a  a a với 3 5; a



b 2. 1. . 1

5 3 2

B b b b  với 6 ; b13



c .^{5 3}. ¹¹.

6 4 12

C c  c c với 2019 2020.

c

Câu 3: Áp dụng tính chất cơ bản của phép nhân để tính nhanh



a ^{17 8 23}^. ^. ^{. 80 . ;}

 

³

23 16 17  4 ^b



^{5 18}^. ^{5 8}^. ^{5 19}^. ^;

11 29 11 29 11 29 



c 13 1313 131313 1 1 7

. .

23 2323 232323 3 4 12

       

   

   

Bài tập nâng cao

Câu 4: Tính 1 1 1 1

1 . 1 . 1 ... 1 .

2 3 4 2020

P                  Câu 5: Tính:



a ^{3 8 15}. . ...⁹⁹ ; 4 9 16 100

A



b 1 ¹₂ . 1 ¹₂ . 1 ¹₂ ... 1 ¹₂ .

2 3 4 30

B                 

Câu 6: Chứng tỏ rằng: 1 1 1 1 2

... .

101 102 299 300 3

S      

(7)

Trang 7 Câu 7: Tính giá trị của biểu thức: 1 1 1 1

... .

1.2.3 2.3.4 3.4.5 10.11.12

P    

Câu 8: Lúc 8 giờ 10 phút, một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 80km/h. Lúc 8 giờ 30 phút, một người đi xe máy từ B đến A với vận tốc 50km/h. Họ gặp nhau ở C lúc 9 giờ 20 phút. Tính quãng đường AB.

LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài tập cơ bản

Câu 1:



a 4. 3 3.

8 2

 



b 1 2 3 1 3 10 9 19

. .

2 3 10  3 1030 30 30



c 7 1 2 7 1 21 4 17

. .

8 4 3   8 6 24 24  24



³ ⁷ ² ¹² ³ ¹⁴ ² ⁶ ^{11 8}

d . . . 2.

4 2 11 22 4 4 11 11 4 11

  

             

       

       

Câu 2:



a Ta có:

3 1 5

. . .

2 4 6

A a  a a

3 1 5

. 2 4 6

a 

     . 18 3 10

12 12 12

a 

     25

. .

a 12

 Thay 3

a5 vào A ta được: 3 25 ^{3. 25}

 

^{1. 5}

 

5

. .

5 12 5.12 1.4 4

A       



b Ta có :

2. 1. . 1

5 3 2

B b b b  2 1 1

. 5 3 2

b  

     12 10 15

. 30 30 30

b  

     . 13.

b 30



Thay 6

b13 vào B ta được: 6 13 1

. .

13 30 5

B   

(8)

Trang 8



c Ta có:

5 3 11

. . .

6 4 12

C c  c c 5 3 11

. 6 4 12

c  

     . 10 9 11

12 12 12

c  

     . 8

c 12

 2

. .3

c

Thay 2019

c2020 vào C ta được: 2019 2. 2019.2 673. 2020 3 2020.3 1010

C  

Câu 3:



a ^{17 8 23}. . . 80 .

 

³ ^{17 23}. . ^{8 3}. . 80

 

1. . 80³

 

30.

23 16 17 4 23 17 16 4 8

   

          



b ^{5 18}. ^{5 8}. ^{5 19}. ⁵ . ¹⁸ ⁸ ¹⁹ ^{5 29}. ⁵ .1 ⁵. 11 29 11 29 11 29 11 29 29 29 11 29 11 11

 

        



c Ta có: 1 1 7 4 3 7 3 4 12 12 12 12     0.

Suy ra 13 1313 131313 . 1 1 7 0.

23 2323 232323 3 4 12

       

   

   

Bài tập nâng cao Câu 4:

Ta có: 1 1 1 1

1 . 1 . 1 ... 1

2 3 4 2020

P                  3 4 5 2021

. . ...

2 3 4 2020



3.4.5...2021  2.3.4...2020 2021.

 2 Câu 5:



a Ta có: 3 8 15. . ...99 4 9 16 100 A

3 8 15 24 35 48 63 80 99

. . . .

4 9 16 25 36 49 64 81 100



1.3 2.4 3.5 4.6 5.7 6.8 7.9 8.10 9.11

. . . .

2.2 3.3 4.4 5.5 6.6 7.7 8.8 9.9 10.10



(9)

Trang 9 1.2.3...9 3.4.5...11

.

2.3.4...10 2.3.4...10

 1 11.

10 2 11.

 20



b Ta cĩ: 1₂ 1₂ 1₂ 1₂

1 . 1 . 1 ... 1

2 3 4 30

B                 

1 1 1 1

1 . 1 . 1 ... 1

4 9 16 900

       

               3 8 15 899

. . ...

4 9 16 900



1.3 2.4 3.5 29.31

. . ...

2.2 3.3 4.4 30.30



1.2.3...29 3.4.5...31

.

2.3.4...30 2.3.4...30

 1 31.

30 2 31

.

60 Câu 6:

Ta thấy 1 1 1

; ;...

101 102 299 đều lớn hơn 1

300, S cĩ tất cả 200 số hạng.

Suy ra:       



200 số hạng

1 1 ... 1 1 200. 1 2.

300 300 300 300 300 3

S

Vậy 2 . S 3 Câu 7:

Ta cĩ : 1 1 3 1 2 1.2 2.3 1.2.3 1.2.3;

   

1 1 4 2 2

2.3 3.4 2.3.4 2.3.4;

   

1 1 5 3 2 ;

3.4 4.5 3.4.5 3.4.5

   

...

1 1 12 10 2

10.11 11.12 10.11.12 10.11.12.

   

Suy ra:

(10)

Trang 10

1 2 2 2 2

. ...

2 1.2.3 2.3.4 3.4.5 10.11.12

P      

1 1 1 1 1 1 1 1 1

. ...

2 1.2 2.3 2.3 3.4 3.4 4.5 10.11 11.12

 

          

1 1 1

.

2 1.2 11.12

 

    1 65.

2 132

 65 .

264 Câu 8:

Thời gian ô tô đi từ A đến C là :

9 giờ 20 phút  8 giờ 10 phút = 1 giờ 10 phút = 1 giờ 1

6 phút = 7 6giờ.

Quãng đường ô tô đi được là :

7 280

6.80 3 km.

Thời gian xe máy đi từ B đến C là:

9 giờ 20 phút  8 giờ 30 phút = 50 phút = 50

60giờ = 5 6giờ.

Quãng đường xe máy đi được là:

5.50 125 6  3 km.

Vậy quãng đường AB là:

280 125

3  3 135km.

Dạng 2: Tìm x Ví dụ 1. Tìm x biết:



a 2 1

7 4. ;

x  ^b



¹ ^{3 4}^. ^;

5 8 15 x 



c 3 1 15 . ;

4 x 2 9 ^d



^{5 4}. .

126 9 7 x  



a Ta có: 2 1.

 

^{2 .1}

 

^{1 .1} 1.

7 4 7.4 7.2 14

 

     Vậy 1.

x14



b Ta có : 3 4. 3.4 1 1 8 15 8.15  2.5 10 .

(11)

Trang 11 Khi đó 1 1

x 5 10 suy ra 1 1 1 2 3 10 5 10 10 10.

x    

Vậy 3 10. x



c Ta có: 1 15

 

^{1 .15}

 

^{1 .5} 5

. .

2 9 2.9 2.3 6

 

   

Khi đó 3 5

4 x 6 suy ra 3 5 9 10 19 4 6 12 12 12. x     Vậy 19

12.

x



d Ta có: 5 4

 

^{5 .4} 20 40

. .

9 7 9.7 63 126

      

Khi đó 40

126 126

x   suy ra x 40.

Vậy x 40.

Ví dụ 2. Tìm x biết:



a ^{3 5}. ⁷; 2 9 12

x   ^b



^{2 3}^. ⁵ ^;

7 8 14 x  



c 1 2 1

12 6 3 8. . x  



a Ta có: 3 5. 7 2 9 12 x  

5 7

6 12 x  

7 5 12 6 x  

17. x 12

Vậy 17

12 . x 



b Ta có: 2 3. 5 7 8 14 x   3 5

28 14 x  

5 3 14 28 x   13

x 28 13

28. x 

Vậy 13

x 28 hoặc 13 28. x



c Ta có: 1 2 1.

12 6 3 8

x  

1 1

12 6 12 x  

1 1 12 12 6

x   

(12)

Trang 12 1

12 12 x 

1

 x  1.

x  Vậy x 1 hoặc x1.

Ví dụ 3. Tìm các số nguyên x biết:



a 2 1 3 1. 7 1 1. ;

3 2 4 3 18 3 2 6

    x    

   

   



b ^{31 26} . ³⁶ ⁵¹ ⁸ ¹ . ⁸ .

20 45 35 x 56 21 3 13

       

   

   



a Ta có: 2 1 3 1 2 6 9 4 2 11 11

. . . .

3 2 4 3 3 12 12 12 3 12 18

        

   

   

7 1 1 7 6 2 7 4 7 1 7 14

. . . . .

3 2 6 3 12 12 3 12 3 3 9 18

        

   

   

Khi đó 11 14 18 18 18

 x  nên x. Suy ra x



11; 12; 13; 14 .





b Ta có: 31 26 36 279 104 36 175 36 35 36

. . . . 1.

20 45 35 180 180 35 180 35 36 35

   

         

   

   

51 8 1 8 153 64 56 8 273 8 13 8

. . . . 1.

56 21 3 13 168 168 168 13 168 13 8 13

          

   

   

Khi đó 1  x 1 và x. Suy ra x0.

Ví dụ 4. Tìm x biết:



a 2 . 5 0;

3 4

x x

     

   

   



b 1 1 . 1 1 . 1 1 . 1 1 . 1 1 .

2 3 4 5 6

x                       Hướng dẫn giải



a Ta có 2 5

. 0

3 4

x x

     

   

    suy ra 2

3 0

x  hoặc 5 4 0.

x  Vậy 2

x3 hoặc 5 4. x



b Ta có:

1 1 1 1 1

1 . 1 . 1 . 1 . 1

2 3 4 5 6

              

         

         

1 2 3 4 5. . . . 2 3 4 5 6



1.2.3.4.5 2.3.4.5.6



(13)

Trang 13 1.

6 Vậy 1

6. x

Bài tập tự luyện dạng 2 Câu 1: Tìm x biết:



a 3 2 1. 7 5 4

x  ; ^b



⁴ ^{5 3}^.

5 12 25

x   ; ^c



^{6 35}^.

182 14 91

x   .

Câu 2: Tìm x biết:



a 1 3 4

3 7. 9 x  

 ; ^b



² ^. ⁴ ⁰

7 11

x x

     

   

    .

Câu 3: Tìm các số nguyên x biết



a 24 1 1 1 7 3 1

. .9;

5 2 4 3 x 3 2 6

        



b ⁵ ^{3 2} ² 1 5 1 5 5 1

. . . . .

12 8 3 3 24 4 2 6 2 2 3

 x

       

 

 

LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1:



a ³ ^{2 1}. 7 5 4

x  suy ra 3 1

x 7 10, do đó 1 3 7 30 37 10 7 70 70 70.

x    



b 4 5 3

5 12 25.

x   , suy ra 4 1 5 20

x   , do đó 1 4 1 16 17 20 5 20 20 20 . x       



c 6 35

182 14 91.

x   , suy ra 15 30

182 91 182

x    , do đó x 30.

Câu 2:



a ¹ ^{3 4}.

3 7 9

x  

 , suy ra 1 4 3 21

x    hay 4 1 4 7 11

21 3 21 21 21

x        (vô lí vì x 0).

Vậy không có giá trị nào của x thỏa mãn đề bài.



b Ta có: 2 4

. 0

7 11

x x

     

   

    suy ra 2

7 0

x  hoặc 4 11 0 x  .

Vậy 2

x 7 hoặc 4 11. x

Câu 3:



a Ta có: 24 1 1 1 24 6 3 4 24 5

. . . 2;

5 2 4 3 5 12 12 12 5 12

           

(14)

Trang 14

7 3 1 14 9 1 4 2

.9 .9 .9 .9 6.

3 2 6 6 6 6 6 3

          

   

   

Khi đó 2  x 6 và x, suy ra x 



2; 1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 .





b Ta có: 5 3 2 . 2 10 9 16 . 2 3 . 2 2;

12 8 3 3 24 24 24 3 24 3 24

   

         

   

   

1 5 1 5 5 1. . . 5 1 1 1. 5. 3 2 4 5 1. 5 .

4 2 6 2 2 3 2 4 6 3 2 12 12 12 2 12 24

   

           

Khi đó 2 5

24 24 24

  x  và x, suy ra x 



1; 0; 1; 2; 3; 4 .

