Giải Toán 10 Ôn tập chương 3 | Hay nhất Giải bài tập Toán lớp 10

Ôn tập chương III Câu hỏi và bài tập

Bài 1 trang 93 Toán lớp 10 Hình học: Cho hình chữ nhật ABCD. Biết các đỉnh A(5; 1), C(0; 6) và phương trình CD: x + 2y – 12 = 0. Tìm phương trình các đường thẳng chứa các cạnh còn lại.

Lời giải:

+) Cạnh AB là đường thẳng đi qua A(5; 1) và song song với CD.

Vì CD có phương trình x + 2y – 12 = 0 nên phương trình của AB có dạng: x + 2y + m = 0 (m ≠ –12).

AB đi qua A(5; 1) nên ta có: 5 + 2.1 + m = 0 hay m = −7 (t/m).

Vậy phương trình của AB là: x + 2y – 7 = 0.

+) AD là đường thẳng qua A và vuông góc với CD.

Phương trình của CD là: x + 2y – 12 = 0 nên phương trình của AD có dạng: 2x – y + n = 0.

AD đi qua A(5; 1) cho ta: 2.5 – 1 + n = 0 hay n = −9.

Vậy phương trình của AD: 2x – y – 9 = 0.

+) CB là đường thẳng qua C và song song với AD nên phương trình của CB có dạng: 2x – y + p = 0.

CB đi qua C(0; 6) nên: 2.0 – 6 + p = 0 suy ra p = 6.

Phương trình của CB là: 2x – y + 6 = 0.

Vậy AB: x + 2y – 7 = 0;

BC: 2x – y + 6 = 0;

AD: 2x – y – 9 = 0.

Bài 2 trang 93 Toán lớp 10 Hình học: Cho A(1; 2), B(–3; 1) và C(4; –2). Tìm tập hợp các điểm M sao cho MA² + MB² = MC².

Lời giải:

*) Gọi (x; y) là tọa độ của điểm M.

*) Ta có:

+) ^AM=

(

) (

)

 AM² = (x − 1)² + (y − 2)²

= x² − 2x + 1 + y² – 4y + 4

= x² + y² − 2x – 4y + 5.

+) ^BM=

(

) (

)

 BM² = (x + 3)² + (y − 1)²

= x² + 6x + 9 + y² − 2y + 1

= x² + y² + 6x − 2y + 10.

+) ^CM=

(

) (

)

CM² = (x − 4)² + (y + 2)²

= x² − 8x + 16 + y² + 4y + 4

= x² + y² − 8x + 4y + 20.

*) Theo giả thiết, ta có: MA² + MB² = MC²

AM² + BM² = CM²

 (x² + y² − 2x − 4y + 5) + (x² + y² + 6x − 2y + 10) = x² + y² − 8x + 4y + 20

 (2x² + 2y² + 4x − 6y + 15) − (x² + y² − 8x + 4y + 20) = 0

x² + y² + 12x − 10y – 5 = 0

 (x² + 12x + 36) + (y² − 10y + 25) – 66 = 0

 (x + 6)² + (y − 5)² = 66.

Vậy quỹ tích các điểm M thỏa mãn đẳng thức MA² + MB² = MC² là đường tròn tâm I(−6; 5) và bán kính R = 66.

Bài 3 trang 93 Toán lớp 10 Hình học: Tìm tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng

1: 5x + 3y – 3 = 0 và ₂: 5x + 3y + 7 = 0.

Lời giải:

*) Gọi M(x; y) là một điểm bất kì trong mặt phẳng, ta có:

(

)

5x 3y 3 5x 3y 3

d M,

5 3 34

+ − + −

 = =

+ ;

(

)

5x 3y 7 5x 3y 7

d M, 5 3 34

+ + + +

 = =

+

*) Điểm M cách đều hai đường thẳng  ₁, ₂ nên:

5x 3y 3 5x 3y 7

34 34

+ − + +

=

|5x + 3y − 3| = |5x + 3y + 7|

*) Ta xét hai trường hợp:

+) TH1: 5x + 3y – 3 = −(5x + 3y + 7)

5x + 3y – 3 = −5x − 3y – 7

10x + 6y + 4 = 0

5x + 3y + 2 = 0.

+) TH2: 5x + 3y – 3 = 5x + 3y + 7

0x + 0y – 10 = 0

0x + 0y – 10 = 0 (vô nghiệm).

Vậy tập hợp các điểm M cách đều hai đường thẳng  ₁, ₂ là đường thẳng : 5x + 3y + 2 = 0.

Dễ thấy  song song với  ₁, ₂ và hai đường thẳng  ₁, ₂ nằm về hai phía đối với .

Bài 4 trang 93 Toán lớp 10 Hình học: Cho đường thẳng : x – y + 2 = 0 và hai điểm O(0; 0), A(2; 0).

a) Tìm điểm đối xứng của O qua ;

b) Tìm điểm M trên  sao cho độ dài đường gấp khúc OMA ngắn nhất.

Lời giải:

a)

+) Gọi d là đường thẳng đi qua O và vuông góc .

 nhận ⁿ =

(

)

( )

( )

d⊥  nd =u_ = 1;1 là VTPT của d.

Mà d đi qua O(0; 0) nên 1(x − 0) + 1(y − 0) = 0 hay x + y = 0.

+) Gọi H=  d thì tọa độ điểm H thỏa mãn:

x y 0 x 1

x y 2 0 y 1

+ = = −

  

 − + =  =

  H(−1;1)

+) O′ đối xứng O qua  hay H là trung điểm OO′

( )

O' H O

O' H O

x 2x x 2. 1 0 2

y 2y y 2.1 0 2

= − = − = − = −

 

= − = − =



Suy ra O′(−2; 2).

b)

+) Quan sát hình vẽ ta thấy,

A và O nằm cùng phía so với  hay A, O′ nằm khác phía so với . +) Gọi M'=AO'  thì OM′ = O′M do  là đường trung trực của OO′.

Với điểm M bất kì thuộc  thì OM + AM = O′M + AM OA'

(

)

 + = khi MM' là giao điểm của AO′ với . +) A(2; 0); O′(−2; 2) ^{AO '= −}

(

)

( )

nAO ' 2;4

 = là VTPT của AO′

Mà AO′ đi qua A(2; 0) nên 2(x − 2) + 4(y − 0) = 0

2x + 4y – 4 = 0

x + 2y – 2 = 0.

+)

x 2

x 2y 2 0 3

M AO '

x y 2 0 4

y 3

 = − + − = 

 

=    − + =  =



Vậy M ^{2 4}; 3 3

− 

 

 .

Bài 5 trang 93 Toán lớp 10 Hình học: Cho ba điểm A(4; 3), B(2; 7) và C(–3; –8).

a) Tìm toạ độ của trọng tâm G và trực tâm H của tam giác ABC;

b) Gọi T là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh T, G và H thẳng hàng.

c) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Lời giải:

a)

+) Gọi G(xG; yG) là trọng tâm tam giác ABC. Khi đó ta có:

A B C

G

x x x 4 2 3

x 1

3 3

+ + + −

= = =

A B C

G

y y y 3 7 8 2

y 3 3 3

+ + + −

= = =

Vậy G 1;² 3

 

 

 .

+) Ta có: ^{BC= − −}

(

)

AH⊥BC nên AH nhận 1

( )

n 1BC 1;3

5

= − = làm VTPT.

Mà AH đi qua A(4; 3) nên 1(x − 4) + 3(y − 3) = 0

 x + 3y – 13 = 0.

+) Ta có: ^{AC= − −}

(

)

BH⊥AC nên BH nhận n2 = −AC=

(

)

Mà BH đi qua B(2; 7) nên 7(x − 2) + 11(y − 7) = 0  7x + 11y – 91 = 0.

+) H AH BH ^{x 3y 13 0 x 13} 7x 11y 91 9 y 0

+ − = =

 

=   + − =  = Vậy H(13; 0).

b)

+) Tâm T của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thỏa mãn điều kiện TA = TB = TC suy ra TA² = TB² = TC²

+) Xét TA² = TB²  (x − 4)² + (y − 3)² = (x − 2)² + (y − 7)²

 x² – 8x + 16 + y² − 6y + 9 = x² −4x + 4 + y² −14y + 49

 −4x + 8y – 28 = 0

 x − 2y + 7 = 0

+) Xét TA² = TC²  (x − 4)² + (y − 3)² = (x + 3)² + (y + 8)²

 x² − 8x + 16 + y² − 6y + 9 = x² + 6x + 9 + y² + 16y + 64

 −14x − 22y – 48 = 0

7x + 11y + 24 = 0

+) Do đó tọa độ tâm T của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là nghiệm của hệ:

(

)

x 2y 7 0

7x 11y 2 0 T 5;

4

  = −

 +



− + =

+ =

Ta có: ^TH

(

)

3

 

= − = −  Nhận thấy: TH=3TG

Vậy ba điểm H, G, T thẳng hàng.

c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm T(−5; 1), bán kính R = AT R² = AT² = (−5 − 4)² + (1 − 3)² = 85

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:

(x + 5)² + (y – 1)² = 85.

Bài 6 trang 93 Toán lớp 10 Hình học: Lập phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng 3x – 4y + 12 = 0 và 12x + 5y – 7 = 0.

Lời giải:

+) Gọi M(x; y) thuộc đường phân giác của góc tạo bởi đường thẳng trên.

Khi đó, khoảng cách từ M đến d1: 3x − 4y + 12 = 0 là:

(

)

| 3x 4y 12 | | 3x 4y 12 | d M,d

9 16 5

− + − +

= =

+

Khoảng cách từ M đển d2: 12x + 5y – 7 = 0 là:

(

)

|12x 5y 7 | |12x 5y 7 | d M,d

144 25 13

+ − + −

= =

+

+) Ta có: M thuộc đường phân giác của góc tạo bời hai đường thẳng d1 và d2 nên cách đều hai đường thẳng đó.

Suy ra:

d(M, d1) = d(M, d2)

| 3x 4y 12 | |12x 5y 7 |

5 13

− + + −

 =

3x 4y 12 12x 5y 7

5 13

3x 4y 12 12x 5y 7

5 13

− + + −

 =

 

− + + −

 = −



13(3x 4y 12) 5(12x 5y 7) 13(3x 4y 12) 5(12x 5y 7)

− + = + −

  − + = − + −

39x 52y 156 60x 25y 35 39x 52y 156 60x 25y 35

− + = + −

  − + = − − +

21x 77y 191 0 99x 27y 121 0

+ − =

  − + =

Vậy ta có phương trình của hai đường phân giác của các góc tạo bởi d1 và d2 là:

1:21x + 77y – 191 = 0;

2: 99x – 27y + 121 = 0.

Bài 7 trang 93 Toán lớp 10 Hình học: Cho đường tròn (C) có tâm I(1; 2) và bán kính bằng 3. Chứng minh rằng tập hợp các điểm M mà từ đó ta vẽ được hai tiếp tuyến với (C) tạo với nhau một góc 60 là một đường tròn. Hãy viết phương trình đường tròn đó.

Lời giải:

Theo tính chất của tiếp tuyến cắt nhau ta có MI là tia phân giác góc M AMI 30

 = 

Tam giác IAM vuông tại A (vì IA⊥MA) có:

IA IA 3

sin IAM IM 6

IM sin IAM sin 30

=  = = =



Suy ra M luôn cách I cố định một khoảng bằng 6.

Vậy quỹ tích M là đường tròn tâm I(1; 2), bán kính R = 6 Phương trình đường tròn là: (x − 1)² + (y − 2)² = 36.

Bài 8 trang 93 Toán lớp 10 Hình học: Tìm góc giữa hai đường thẳng ₁và ₂ trong các trường hợp sau:

a) ₁: 2x + y – 4 = 0 và ₂: 5x – 2y + 3 = 0;

b) ₁: y = –2x + 4 và ₂: y ¹x ³

2 2

 = + . Lời giải:

a) Vector pháp tuyến ₁ là n₁ =(2;1) Vector pháp tuyến ₂ là n₂ =(5; 2)−

(

)

1 2

n n cos ,

n n

  = 



2 2 2 2

| 2 5 1 ( 2) |

2 1 5 ( 2)

 +  −

= +  + −

8

= 145

(

)

     . b)

+ Hệ số góc của ₁ là k = −2 + Hệ số góc của ₂ là k ' ¹

= 2

Vì k.k′ = −1   ⊥ _{1 2}.

Vậy góc giữa hai đường thẳng đã cho là 90°.

Bài 9 trang 93 Toán lớp 10 Hình học: Cho elip (E):

2 2

x y

16 + 9 =1. Tìm toạ độ các đỉnh, các tiêu điểm và vẽ elip đó.

Lời giải:

Ta có: (E):

2 2

x y

16 + 9 =1

2 2

a 16 a 4

b 3 b 9

= =

 

 =  =



Lại có: c² = a² – b² = 16 – 9 = 7  =c 7 Do đó:

+) Tọa độ các đỉnh A1(−4; 0), A2(4; 0), B1(0; −3) và B2(0; 3) +) Tọa độ các tiêu điểm ^F1

(

)

(

)

Bài 10 trang 94 Toán lớp 10 Hình học: Ta biết rằng Mặt Trăng chuyển động quanh Trái Đất theo một quỹ đạo là một elip mà Trái Đất là một tiêu điểm. Elip đó có chiều dài trục lớn và trục nhỏ lần luợt là 769 266 km và 768 106 km. Tính khoảng cách ngắn nhất và khoảng cách dài nhất từ Trái Đất đến Mặt Trăng, biết rằng các khoảng cách đó đạt được khi Trái Đất và Mặt Trăng nằm trên trục lớn của elip.

Lời giải:

+) Khoảng cách ngắn nhất từ Mặt Trăng M đến Trái Đất F2 là F2A2. Khoảng cách dài nhất từ Mặt Trăng M đến Trái Đất F2 là F2A1

+) Ta thấy:

F2A2 = OA2 – OF2 = a – c F2A1 = OA1 + OF2 = a + c +) Ta biết:

2a = 769266 suy ra a = 384633 2b = 768106 suy ra b = 384053 c² = a² – b² suy ra c21115(km)

Suy ra: F2A2  384633 – 21115 = 363518 (km) F2A1  384633 + 21115 = 405748 (km).

Bài tập trắc nghiệm

Bài 1 trang 94 Toán lớp 10 Hình học: Cho tam giác ABC có toạ độ các đỉnh là A(1; 2), B(3; 1) và C(5; 4). Phương trình nào sau đây là phương trình đường cao của tam giác vẽ từ A?

(A) 2x + 3y – 8 = 0;

(B) 3x –2y – 5 = 0;

(C) 5x – 6y + 7 = 0;

(D) 3x – 2y + 5 = 0.

Lời giải:

Đường cao từ A vuông góc với BC nên nhận ^BC=

( )

Đường cao đi qua A(1; 2)

Suy ra phương trình đường cao từ A:

2(x – 1) + 3(y – 2) = 0 hay 2x + 3y – 8 = 0.

Chọn A.

Bài 2 trang 94 Toán lớp 10 Hình học: Cho tam giác ABC với các đỉnh là A(–1;

1), B(4; 7) và C(3; –2), M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Phuơng trình tham số của trung tuyến CM là:

(A) ^{x 3 t} y 3 4t

 = +

 = − +

 ;

(B) ^{x 3 t} y 2 4t

 = +

 = − −

 ;

(C) ^{x 3 t} y 4 2t

 = −

 = +

 ;

(D) ^{x 3 3t} y 2 4t

 = +

 = − +

 .

Lời giải:

Trung điểm M của AB có tọa độ: ³;4 2

 

 

 

( )

3 3

CM ;6 1; 4

2 2

 

= − = − −

Đường thẳng CM đi qua C và nhận vector ^{a =}

(

)

y 2 4t

 = +

 = − −

 Chọn B.

Bài 3 trang 94 Toán lớp 10 Hình học: Cho phương trình tham số của đường thẳng d: ^{x 5 t}

y 9 2t

 = +

 = − −

 .

Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình tổng quát của (d) (A) 2x + y – 1 = 0;

(B) 2x + 3y + 1 = 0;

(C) x + 2y + 2 = 0;

(D) x + 2y – 2 = 0.

Lời giải:

+) d nhận ^u=

(

)

( )

Vậy phương trình tổng quát của d: 2(x – 5) + 1(y + 9) = 0 Hay d: 2x + y – 1 = 0.

Chọn A.

Bài 4 trang 94 Toán lớp 10 Hình học: Đường thẳng đi qua điểm M(1; 0) và song song với đường thẳng d: 4x + 2y + 1 = 0 có phương trình tổng quát là:

(A) 4x + 2y + 3 = 0;

(B) 2x + y + 4 = 0;

(C) 2x + y – 2 = 0;

(D) x – 2y + 3 = 0.

Lời giải:

d có VTPT ⁿ⁼

(

)

Vì d′ // d nên d′ nhận ^{n =}

( )

Mà d′ đi qua M(1; 0) nên:

4(x – 1) + 2(y – 0) = 0 hay 2x + y – 2 = 0.

Chọn C.

Bài 5 trang 94 Toán lớp 10 Hình học: Cho đường thẳng d có phương trình tổng quát: 3x + 5y + 2006 = 0. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

(A) d có vectơ pháp tuyến ⁿ⁼

( )

(B) d có vectơ chỉ phương ^{a =}

(

)

(C) d có hệ số góc 5 k=3;

(D) d song song với đuờng thẳng 3x + 5y = 0 Lời giải:

Đường thẳng d: 3x + 5y + 2006 = 0 có:

+ Vector pháp tuyến là: ^{n =}

( )

+ Vector chỉ phương là: ^{a =}

(

)

+ Hệ số góc là 3

k = −5 nên C sai.

+ Đường thẳng 3x + 5y = 0 song song với d vì 3 5 0

3= 5 2006 nên D đúng.

Do đó mệnh đề sai là C.

Chọn C.

Bài 6 trang 95 Toán lớp 10 Hình học: Bán kính của đường tròn tâm I(0; –2) và tiếp xúc với đường thẳng : 3x – 4y – 23 = 0 là:

(A) 15; (B) 5; (C) 3

5; (D) 3.

Lời giải:

Bán kính của đường tròn tâm I(0; 2) và tiếp xúc với đường thẳng Δ: 3x – 4y – 23 = 0 là:

( )

( )

R d I; 3

9 16 5

− − −

=  = = =

+ Chọn D.

Bài 7 trang 95 Toán lớp 10 Hình học: Cho hai đường thẳng d1: 2x + y + 4 – m = 0 và

d2: (m + 3)x + y – 2m – 1 = 0 d1 song song với d2 khi:

(A) m = 1; (B) m = –1; (C) m = 2; (D) m = 3.

Lời giải:

Xét hệ phương trình:

2x y 4 m 0

(m 3)x y 2m 1 0 + + − =

 + + − − =



Để d1 // d2 thì hệ phương trình trên vô nghiệm.

m 3 1 2m 1

2 1 4 m

+ − −

 = 

−

m 3 2

2m 1 4 m

 + =

 − −  −

m 1

m 5

 = −

   −

m 1

 = − Chọn B.

Bài 8 trang 95 Toán lớp 10 Hình học: Cho (d1): x + 2y + 4 = 0 và (d2): 2x – y + 6

= 0. Số đo của góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 là

(A) 30; (B) 60; (C) 45; (D) 90.

Lời giải:

Vector pháp tuyến của d1 là n=(1;2) và của d2 là u=(2; 1)− Ta có: n u =1.2+  − =  ⊥ 2 ( 1) 0 n u

(

)

Chọn D.

Bài 9 trang 95 Toán lớp 10 Hình học: Cho hai đường thẳng₁: x + y + 5 = 0 và

2: y = –10. Góc giữa ₁và ₂là:

(A) 45; (B) 30; (C) 88 57'52'' ; (D) 1 13'8'' . Lời giải:

Vector pháp tuyến của ₁ là n =(1;1) và của ₂ là j=(0;1)

(

)

|1.0 1.1| 1 cos ,

1 1 0 1 2

  = + =

+  +

(

)

   = Chọn A.

Bài 10 trang 95 Toán lớp 10 Hình học: Khoảng cách từ điểm M(0; 3) đến đường thẳng

( )

: x cos ysin 3 2 sin 0

  +  + −  = là:

(A) 6; (B) 6;

(C) 3sin;

(D) 3

sin +cos . Lời giải:

Khoảng cách từ điểm M(0; 3) đến đường thẳng : x cos ysin 3(2 sin ) 0

  +  + −  = là:

2 2

| 0 cos 3 sin 3(2 sin ) | | 6 |

d(M, ) 6

sin cos 1

  +   + − 

 = = =

 +  Chọn B.

Bài 11 trang 95 Toán lớp 10 Hình học: Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn?

(A) x² + 2y² – 4x – 8y + 1 = 0;

(B) 4x² + y² – 10x – 6y – 2 = 0;

(C) x² + y² – 2x – 8y + 20 = 0;

(D) x² + y² – 4x + 6y – 12 = 0.

Lời giải:

+) Phương trình 4x² + y² – 10x – 6y – 2 = 0 và x² + 2y² – 4x – 8y + 1 = 0 không thuộc dạng:

x² + y² – 2ax – 2by + c = 0 nên không phải là phương trình của đường tròn.

+) Phương trình x² + y² – 2x – 8y + 20 = 0 không phải là phương trình của một đường tròn vì:

a² + b² – c = 1 + 16 – 20 = −3 < 0

+) Phương trình x² + y² – 4x + 6y – 12 = 0 là phương trình đường tròn a² + b² – c = 4 + 9 + 12 = 25 > 0.

Chọn D.

Bài 12 trang 95 Toán lớp 10 Hình học: Cho đường tròn (C): x² + y² + 2x + 4y – 20 = 0. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

(A) (C) có tâm I(1; 2) (B) (C) có bán kính R = 5;

(C) (C) đi qua điểm M(2; 2)

(D) (C) không đi qua điểm A(1; 1).

Lời giải:

Ta có: x² + y² + 2x + 4y – 20 = 0

 (x² + 2x + 1) + (y² + 4y + 4) = 25

 (x + 1)² + (y +2)² = 5

Do đó đường tròn có tâm I(−1; −2) và bán kính R = 5.

Chọn A.

Bài 13 trang 95 Toán lớp 10 Hình học: Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(3; 4) với đường tròn (C) : x² + y² – 2x – 4y – 3 = 0 là

(A) x + y – 7 = 0;

(B) x + y + 7 = 0;

(C) x – y – 7 = 0;

(D) x + y – 3 = 0.

Lời giải:

+) Đường tròn (C): x² + y² – 2x – 4y – 3 = 0 có

a = 1, b = 2, c = −3 nên có tâm I(1; 2) và bán kính R = 1² +2² + =3 8. +) ^IM=

( )

Gọi d là phương trình tiếp tuyến tại M với (C) Suy ra IM ⊥ d

Suy ra d đi qua M(3; 4) và nhận ^{IM =}

( )

Suy ra d: 2(x – 3) + 2(y – 4) = 0 hay x + y – 7 = 0.

Chọn A.

Bài 14 trang 96 Toán lớp 10 Hình học: Cho đường tròn (C): x² + y² – 4x – 2y = 0 và đường thẳng : x + 2y + 1 = 0.

Tìm mệnh đề đứng trong các mệnh đề sau:

(A)  đi qua tâm của (C);

(B)  cắt (C) tại hai điểm;

(C)  tiếp xúc với (C) ;

(D)  không có điểm chung với (C).

Lời giải:

Đường tròn (C): x² + y² – 4x – 2y = 0

 (x − 2)² + (y − 1)² = 5 có tâm I(2; 1) và bán kính R= 5. Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng Δ: x + 2y + 1 = 0 là:

( )

d I, 5 R

5

 = + + = =

Do đó  tiếp xúc với (C).

Vậy C đúng.

Chọn C.

Bài 15 trang 96 Toán lớp 10 Hình học: Đường tròn (C): x² + y² – x + y – 1 = 0 có tâm I và bán kính R là:

(A) I(–1; 1), R = 1;

(B) 1 1 6

I ; , R

2 2 2

 −  =

 

  ;

(C) 1 1 6

I ; , R

2 2 2

−  =

 

 

(D) I(1; –1), R= 6; Lời giải:

Ta có: a ¹, b ¹

2 2

= =− , c = –1

nên (C) có tâm I ¹; ¹ 2 2

 − 

 

  bán kính

2 2

1 1 6

R 1

2 2 2

  − 

=    +  + = . Chọn B.

Bài 16 trang 96 Toán lớp 10 Hình học: Với giá trị nào của m thì phương trình sau đây là phương trình của đường tròn x² + y² – 2(m + 2)x + 4my + 19m – 6 = 0?

(A) 1 < m < 2; (B) –2 < m < 1;

(C) m < 1 hoặc m > 2; (D) m < –2 hoặc m > 1.

Lời giải:

Ta có: a = m + 2; b = −2m; c = 19m – 6

Phương trình đã cho là phương trình đường tròn:

 a² + b² – c > 0

 (m + 2)² + (−2m)² − (19m − 6) > 0

 m² + 4m + 4 + 4m² − 19m + 6 > 0

 5m² − 15m + 10 > 0

 m < 1 hoặc m > 2.

Chọn C.

Bài 17 trang 96 Toán lớp 10 Hình học: Đường thẳng : 4x + 3y + m = 0 tiếp xúc với đường tròn (C): x² + y² = 1 khi:

(A) m = 3; (B) m = 5; (C) m = 1; (D) m = 0.

Lời giải:

(C) là đường tròn tâm O(0; 0) bán kính R = 1.

Để đường thẳng : 4x + 3y + m = 0 tiếp xúc với đường tròn (C): x² + y² = 1 thì:

2 2

| 4.0 3.0 m |

d(O, ) R 1

4 3 + +

 =  =

+

| m |

1 | m | 5

 5 =  =

m 5 m 5

 =   = Chọn B.

Bài 18 trang 96 Toán lớp 10 Hình học: Cho hai điểm A(1; 1) và B(7; 5). Phương trình đường tròn đường kính AB là:

(A) x² + y² + 8x + 6y + 12 = 0;

(B) x² + y² – 8x – 6y + 12 = 0;

(C) x² + y² – 8x – 6y – 12 = 0;

(D) x² + y² + 8x + 6y – 12 = 0.

Lời giải:

Gọi M(x; y) là điểm thuộc đường tròn.

( )

AM= x 1; y 1− − , ^BM=

(

)

Đường tròn đường kính AB thì AMB= 90 . Do đó AM⊥BM

Suy ra (x – 1)(x – 7) + (y – 1)(y – 5) = 0

 x² + y² − 8x − 6y + 12 = 0 Chọn B.

Bài 19 trang 96 Toán lớp 10 Hình học: Đường tròn đi qua ba điểm A(0; 2), B(–2;

0) và C(2;0) có phương trình là:

(A) x² + y² = 8;

(B) x² + y² + 2x + 4 = 0;

(C) x² + y² – 2x – 8 = 0;

(D) x² + y² – 4 = 0.

Lời giải:

+) Gọi phương trình đường tròn cần tìm (C): x² + y² – 2ax – 2by + c = 0 với a² + b² – c > 0.

+) A(0; 2)  (C)

 0² + 2² − 2a.0 − 2b.2 + c = 0

 4 − 4b + c = 0 +) B(−1; 0)  (C)

 (−2)² + 0² − 2a.(−2) − 2b.0 + c = 0

 4 + 4a + c = 0 +) C(2; 0)  (C)

 2² + 0² − 2a.2 − 2b.0 + c = 0

 4 − 4a + c = 0 +) Ta có hệ:

4 4b c 0 a 0 4 4a c 0 b 0

4 4a c 0 c 4

− + = =

 

 + + =  =

 

 − + =  = −

 

Vậy phương trình đường tròn (C) là: x² + y² – 4 = 0.

Chọn D.

Bài 20 trang 96 Toán lớp 10 Hình học: Cho điểm M(0; 4) và đường tròn (C) có phương trình x² + y² – 8x – 6y + 21 = 0. Tìm phát biểu đứng trong các phát biểu sau:

(A) M nằm ngoài (C);

(B) M nằm trên (C);

(C) M nằm trong (C);

(D) M trùng với tâm của (C).

Lời giải:

Đường tròn: x² + y² − 8x – 6y + 21 = 0 có

a = 4; b = 3; c = 21 nên có tâm I(4; 3) và bán kính R = 4² +3² −21=2 Ta có: ^MI=

(

) (

)

Chọn A.

Bài 21 trang 96 Toán lớp 10 Hình học: Cho elip (E):

2 2

x y

25+ 9 =1 và cho các mệnh đề:

(I) (E) có các tiêu điểm F1 (–4; 0) và F2 (4; 0);

(II) (E) có tỉ số c 4 a = 5; (III) (E) có đỉnh A1(–5; 0);

(IV) (E) có độ dài trục nhỏ bằng 3.

Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau (A) (I) và (II);

(B) (II)và (III);

(C) (I) và (III);

(D) (IV) và (I).

Lời giải:

(E):

2 2

x y

25 + 9 =1 có a² = 25, b² = 9, c² = a² – b² = 16 Suy ra a = 5; b = 3 và c = 4.

Tiêu điểm F1(−4; 0) và F2(4; 0) nên (I) đúng.

Đỉnh A1(−5; 0), A2(5; 0), B1(0; −3), B2(0; 3) nên (III) đúng Độ dài trục nhỏ là 2b = 6 nên (IV) sai

(E) có tỉ số c 4

a = 5 nên (II) đúng Từ đó suy ra, mệnh đề sai là (IV).

Chọn D.

Bài 22 trang 97 Toán lớp 10 Hình học: Phương trình chính tắc của elip có hai đỉnh là (–3; 0), (3; 0) và hai tiêu điểm là (–1; 0), (1; 0) là:

(A)

2 2

x y

9 + 1 =1; (B)

2 2

x y

8 + 9 =1; (C)

2 2

x y

9 + 8 =1; (D)

2 2

x y

1 + 9 =1. Lời giải:

(E) có hai đỉnh A1(−3; 0) và A2(3; 0) nên a = 3 (E) có hai tiêu điểm F1(−1; 0) và F2(1; 0) nên c = 1 a = 3 và c = 1, suy ra: b² = a² – c² = 8

Phương trình chính tắc của (E):

2 2

x y

9 + 8 =1 Chọn C.

Bài 23 trang 97 Toán lớp 10 Hình học: Cho elip (E): x²+ 4y² = 1 và cho các mệnh đề

(I) (E) có trục lớn bằng 1;

(II) (E) có trục nhỏ bằng 4;

(III) (E) có tiêu điểm F 0;₁ ³ 2

 

 

 ; (IV) (E) có tiêu cự bằng 3.

Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

(A) (I); (B) (II) và (IV); (C) (I) và (III); (D) (IV).

Lời giải:

Elip:

x² + 4y² = 1

2 2

x y

1 1 1

4

 + =

a² = 1; b^{2 1}

= 4; c² a² b^{2 3}

= − =4 Suy ra a = 1, b = 1

2, c = ³ 2

+) Độ dài trục lớn 2a = 2 nên (I) sai +) Độ dài trục nhỏ 2b = 1 nên (II) sai +) Tiêu cự 2c= 3 nên (IV) đúng +) Tiêu điểm ₁ 3

F ;0

2

 

− 

  và F₂ ³;0 2

 

 

  nên (III) sai.

Vậy chỉ có mệnh đề (IV) đúng.

Chọn D.

Bài 24 trang 97 Toán lớp 10 Hình học: Dây cung của elip (E):

2 2

2 2

x y

a + b =1 (0 < b

< 0) vuông góc với trục lớn tại tiêu điểm có độ dài là:

(A) 2c2

a ; (B)

2b2

a ; (C)

2a2

c ; (D)

a2

c . Lời giải:

Gọi đường thẳng  đi qua tiêu điểm F2(c; 0) của elip (E) và vuông góc với trục lớn.

Khi đó  // Oy và F2(c; 0)  nên :x – c = 0

 cắt (E) tại hai điểm M và N có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình:

2 2

2 2

x c

c y

a b 1

 =

 

+ =



2 2 2

2 2

x c

a b y

a b 1

 =

  − + =

2 2

2 2

x c

b y

1 1 0

a b

 =

 

− + − =



2 2

2 2

x c

y b

b a

 =

 

 =

4 2

2

x c y b

a

 =

 

 =

2

x c y b

a

 =

 

 = 

2 2

b b

M c; , N c;

a a

   

    − 

( )

MN 0

c a

a a

c a

 

 = − + − −  = + =



Vậy độ dài dây cung của (E) là độ dài đoạn thẳng MN = 2b2

a . Chọn B.

Bài 25 trang 97 Toán lớp 10 Hình học: Một elip có trục lớn bằng 26, tỉ số c 12

a =13. Trục nhỏ của elip bằng bao nhiêu?

(A) 5; (B) 10; (C) 12; (D) 24.

Lời giải:

Elip có trục lớn bằng 26 nên 2a = 26 suy ra a = 13 Ta có: c 12 c 12

a =1313=13 c = 12

Lại có: b² = a² − c² = 13² – 12² = 25 suy ra b = 5.

Trục nhỏ bằng: 2b = 10.

Chọn B.

Bài 26 trang 97 Toán lớp 10 Hình học: Cho elip (E): 4x² + 9y² = 36. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

(A) (E) có trục lớn bằng 6;

(B) (E) có trục nhỏ bằng 4;

(C) (E) có tiêu cự 5; (D) (E) có tỉ số ^{c 5}

a = 3 . Lời giải:

4x² + 9y² = 36

2 2

x y

9 4 1

 + =

2 2

2 2 2

a 9 a 3

b 4 b 2

c a b 5 c 5



 = =

 =  =

 

 = − =  =

 

+) Độ dài trục lớn 2a = 6, độ dài trục nhỏ 2b = 4 nên A, B đúng.

+) Tiêu cự 2c=2 5 nên C sai.

+) Tỉ số ^{c 5}

a = 3 nên D đúng.

Vậy C sai.

Chọn C.

Bài 27 trang 98 Toán lớp 10 Hình học: Cho đường tròn (C) tâm F1 bán kính 2a và một điểm F2ở bên trong của (C). Tập hợp tâm M của các đường tròn (C’) thay đổi nhưng luôn đi qua F2 và tiếp xúc với (C) (h.3.29) là đường nào sau đây?

(A) Đường thẳng; (B) Đường tròn;

(C) Elip; (D) Parabol.

Lời giải:

Gọi bán kính của đường tròn (C′) là r

Ta có: (C′) tiếp xúc trong với đường tròn (C) nên F1M = 2a – r F2  (C′) nên F2M = r

Ta có: F1M + F2M = 2a – r + r = 2a

Suy ra: Tập hợp tâm M của đường tròn (C′) là một elip có hai tiêu điểm F1, F2 cố định và độ dài trục lớn bằng 2a.

Chọn C.

Bài 28 trang 98 Toán lớp 10 Hình học: Khi cho t thay đổi, điểm M(5cost; 4sint) di động trên đường nào sau đây?

(A) Elip; (B) Đường thẳng;

(C) Parabol; (D) Đường tròn.

Lời giải:

Ta có:

M M

M M

x cos t x 5 cos t 5

y 4 sin t y

sin t 4

 =

= 

 

 = 

  =



2 2

2 2

M M

x y

cos t sin t

5 4

   

  +  = +

   

2 2

M M

x y

25 16 1

 + =

Vậy điểm M di động trên Elip

2 2

x y

25+16 =1 Chọn A.

Bài 29 trang 98 Toán lớp 10 Hình học: Cho elip (E):

2 2

2 2

x y

a + b =1 (0 < b < a). Gọi F1, F2 là hai tiêu điểm và cho điểm M(0; –b). Giá trị nào sau đây bằng giá trị của biểu thức MF1.MF2 – OM²?

(A) c²; (B) 2a²; (C) 2b²; (D) a² – b². Lời giải:

Ta có:

1 2

M(0; b),F ( c;0),F (c;0)− −

2 2 2 2

MF1 = ( c)− +b = b +c =a

2 2

MF2 = c +b =a OM² = 0² + (−b)² = b²

MF1 .MF2 – OM² = a² – b² = c². Vậy chọn A và D đều đúng.

Bài 30 trang 98 Toán lớp 10 Hình học: Cho elip (E):

2 2

x y

16 + 9 =1 và đường thẳng

: y + 3 = 0. Tính các khoảng cách từ hai tiêu điểm của (E) đến đường thẳng  bằng giá trị nào sau đây:

(A) 16; (B) 9; (C) 81; (D) 7.

Lời giải:

Ta có:

2 2

2 2 2

a 16 a 4

b 9 b 3

c a b c 7

= 

 =

 =  =

 

 = −  =

 

Hai tiêu điểm ^{F1 = −}

(

)

(

)

(

)

d F , 0 3 3

0 1

 = + = +

(

)

d F , 0 3 3

0 1

 = + = +

(

) (

)

d F , .d F , 3.3 9

   = =

Chọn B.