Lý thuyết Ôn tập chương 3 (mới 2022 + Bài Tập) – Toán 12

Ôn tập chương 3.

A. Lý thuyết

1. Hệ tọa độ trong không gian 1.1. Tọa độ của điểm và của vecto 1.1.1. Hệ tọa độ

Trong không gian, xét ba trục tọa độ x’Ox; y’Oy; z’Oz vuông góc với nhau từng

đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi i; j ; k lần lượt là các vectơ đơn vị, trên các

trục x’Ox; y’Oy; z’Oz.

Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ Đề- các vuông góc Oxyz trong không gian,

hay đơn giản gọi là hệ trục tọa độ Oxyz.

Điểm O được gọi là gốc tọa độ.

Các mặt phẳng (Oxy); (Oyz); (Ozx) đôi một vuong góc với nhau được gọi là các mặt

phẳng tọa độ.

Không gian với hệ tọa độ Oxyz còn gọi là không gian Oxyz.

- Vì i; j; k là các vecto đơn vị đôi một vuông góc với nhau nên:

2 2 2

i  j k 1 và i. j j. k k.i 0. 1.1.2. Tọa độ của một điểm

- Trong không gian Oxyz, cho một điểm M tùy ý. Vì ba vecto i; j; k không đồng phẳng nên có một bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho:

OM x.i y. j z.k 

- Ngược lại, với bộ ba số (x; y; z) ta có một điểm M duy nhất trong không gian thỏa mãn hệ thức OM x.iy. j z.k .

- Ta gọi bộ ba số (x; y; z) là tọa độ của điểm M đối với hệ trục tọa độ Oxyz đã cho và viết: M = ( x; y; z) hoặc M (x; y; z).

1.1.3. Tọa độ của vecto

- Trong không gian Oxyz cho vecto a , khi đó luôn tồn tại duy nhất bộ ba số (a1; a2 ; a3) sao cho a a .i₁ a . j a .k₂  ₃ .

Ta gọi bộ ba số (a1; a2 ; a3) là tọa độ của vecto a đối với hệ tọa độ Oxyz cho trước và viết a (a1; a2 ; a3) hoặc a (a1; a2 ; a3).

- Nhận xét : Trong hệ tọa độ Oxyz, tọa độ của điểm M chính là tọa độ của vecto OM .

Ta có: M(x; y; z) OM (x; y; z)

1.2. Biểu thức tọa độ của các phép toán của vecto - Định lí: Trong không gian Oxyz, cho hai vecto

1 2 3 1 2 3

a(a ;a ;a ), b(b ;b ;b ), k , ta có:

a) a b (a  ₁b ; a_{1 2} b ; a_{2 3} b )₃ b) a b (a  ₁b ; a_{1 2} b ; a_{2 3} b )₃ ; c) ka (ka ; ka ; ka )_{1 2 3} .

Ví dụ 1. Cho u (2;3;4); v ( 4; 2;0) a) Tính u  v;

b) 2v ; c) u 2 v. Lời giải:

a) u  v (2 4; 3 2;4 0) (6; 5; 4) ; b) Ta có: 2v = ( 2.4; 2. (-2); 2.0) = ( 8; - 4; 0).

c) Ta có: u 2 v= ( 2 – 8; -3 + 4; 4 - 0) = (- 6; 1; 4) - Hệ quả:

a) Cho hai vecto a(a ;a ;a ), b_{1 2 3} (b ;b ;b )_{1 2 3} , ta có:

1 1

2 2

3 3

a b

a b a b

a b

 

   

  .

b) Vecto 0 có tọa độ ( 0; 0; 0).

c) Với b0thì hai vecto a; b cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số k sao cho:

 akb (k )

1 1

1 2 3

2 2 1 2 3

1 2 3

3 3

a kb

a a a

a kb ,(b , b , b 0)

b b b

a kb

 

      

 

d) Cho A(x ; y ; z ), B(x ; y ; z )_{A A A B B B} + AB (x _B x ; y_{A B}y ;z_{A B} z )_A

+ Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: x^A x^B y^A y^B z^A z^B

M ; ;

2 2 2

  

 

 

 

Ví dụ 2. Cho u (2m;3; 1); v(4; 3;n 2). Tìm m và n để u v Lời giải:

Để u  v 2m 4

m 2

3 3

n 1 1 n 2

 

 

     

Vậy m = 2 và n = 1.

Ví dụ 3. Các cặp vecto sau có cùng phương không?

a) u( 2;3;7); v ( 4; 6; 14)  ; b) a (1;0; 2); b( 3;0; 6). Lời giải:

a) Ta thấy 2 3 7 4  6 14

 

Do đó, hai vecto trên không cùng phương.

b) Ta thấy: b 3anên hai vecto trên cùng phương.

Ví dụ 4. Cho hai điểm A( - 3; 4; 0) và B( -1; 0; 8).

a) Tính AB ;

b) Tìm tọa độ trung điểm M của AB.

Lời giải:

a) Ta có: AB = ( -1 + 3; 0 - 4; 8 -0) = ( 2; -4; 8).

b) Tọa độ trung điểm M của AB là:

M

M

M

3 ( 1)

x 2

2

y 4 0 2 M( 2;2;4)

2

0 8

z 4

2

  

   



     



   



1.3. Tích vô hướng.

1.3.1. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng.

- Định lí:

Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vecto

1 2 3 1 2 3

a(a ;a ;a ), b(b ;b ;b ) được xác định bởi công thức:

1 1 2 2 3 3

a.ba .b a .b a .b

Ví dụ 5. Cho a (1; 3;4); b (1;2;1) . Tính a.b ? Lời giải:

Ta có: a.b = 1.1 + ( -3). 2 + 4.1 = -1 1.3.2. Ứng dụng

a) Độ dài của một vecto.

Cho vecto a(a ;a ;a )_{1 2 3} .

Ta biết rằng: a²a² hay a  a² . Do đó,

2 2 2

1 2 2

a  a a a

b) Khoảng cách giữa hai điểm.

Trong khong gian Oxyz, cho hai điểm A(x_A ; yA ; zA)

và B(xB; yB ; zB). Khi đó, khoảng cách giữa hai điểm A và B chính là độ dài của vecto AB . Do đó, ta có:

2 2 2

B A B A B A

AB AB  (x x ) (y y ) (z z ) . c) Góc giữa hai vecto.

Nếu là góc góc giữa hai vecto a (a ;a ;a )_{1 2 3} và b(b ;b ;b )_{1 2 3} với a; b 0 thì

Từ đó, suy ra a b a b_{1 1}a b_{2 2} a b_{3 3}0

Ví dụ 6. Cho tam giác ABC có A(2; 3; 1); B( 2; 1; 0); C( 0; -1; 2).

a) Tính AB; AC

b) Tính cosin của góc A.

Lời giải:

a) Ta có:

2 2 2

2 2 2

AB (2 2) (1 3) (0 1) 5

AC (0 2) ( 1 3) (2 1) 21

      

        b) Ta có: AB(0; 2; 1); AC( 2;   4;1) Cosin của góc A là:

 

5. 21 105

     

  

1.4. Phương trình mặt cầu - Định lí.

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I(a; b; c) bán kính r có phương trình là:

( x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = r²

- Nhận xét. Phương trình mặt cầu nói trên có thể viết dưới dạng:

x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 với d = a² + b² + c² – r² Từ đó, ta chứng minh được rằng phương trình dạng:

x² + y² + z² + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 với điều kiện A² + B² + C² – D > 0 là phương trình mặt cầu có tâm I( -A; -B; - C) có bán kính r A²  B² C² D. Ví dụ 7. Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình sau đây:

1 1 2 2 3 3

2 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3

a.b a b a b a b

cos(a, b)

a . b a a a . b b b

 

 

   

a) x² + y² + z² – 4x + 2y - 1 = 0;

b) x² + y² + z² – 8x – 2y + 2z + 2 = 0 Lời giải:

a) Ta có: a = 2; b = -1; c = 0; d = -1

Tâm mặt cầu là I(2; -1; 0) và bán kính R 2²  ( 1)²    0² ( 1) 6 b) Ta có: a = 4; b = 1; c = -1; d = 2

Tâm mặt cầu là I( 4; 1; -1) và bán kính R 4²   1² ( 1)² 2 4. 2. Phương trình mặt phẳng

2.1. Vecto pháp tuyến của mặt phẳng.

2.1.1. Định nghĩa:

Cho mặt phẳng (α). Nếu vecto n 0và có giá vuông góc với mặt phẳng (α) thì n được gọi là vecto pháp tuyến của (α)

2.1.2. Chú ý. Nếu n là vecto pháp tuyến của một mặt phẳng thì kn (k 0) cũng là vecto pháp tuyến của mặt phẳng đó.

2.1.3. Tích có hướng của hai vectơ

- Định nghĩa: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ a(a ;a ;a )_{1 2 3} ,

1 2 3

b(b ;b ;b ). Tích có hướng của hai vectơ a và b kí hiệu là a,b , được xác định bởi

 

2 3 3 1 1 2

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

2 3 3 1 1 2

a a a a a a

a, b ; ; a b a b ;a b a b ;a b a b

b b b b b b

 

      

   

 

- Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.

Ví dụ 8. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(2; 1;1); B(-1; 2; 0) và C(0; 1; - 2).

Hãy tìm tọa độ của một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).

Lời giải:

Ta có: AB ( 3;1; 1); AC ( 2;0; 3)   

Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là : n AB; AC   ( 3; 7;2).

2.2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

2.2.1. Định nghĩa.

- Phương trình có dạng Ax + By + Cz + D = 0 trong đó A; B; C không đồng thời bằng 0 , được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.

- Nhận xét.

a) Nếu mặt phẳng (α) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 thì nó có một vecto pháp tuyến là n (A;B;C) .

b) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M (x₀; y0; z0) và nhận vectơ n (A;B;C) khác 0 là vecto pháp tuyến là: A(x- x₀ ) + B( y – y₀) + C(z – z₀) = 0.

Ví dụ 9. Mặt phẳng 2x – y + 3z – 10 = 0 có một vecto pháp tuyến là n (2; -1; 3).

Ví dụ 10. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC) với A(0; 1; -2);

B(2; 1; 0); C ( -2; 1; 1) Lời giải:

Ta có: AB( 2;0;2); BC ( 4;0;1)

Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là n  AB; BC (0; 10;0) Phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC) là:

0(x – 0) – 10(y – 1) + 0(z + 2) = 0 hay y – 1 = 0.

2.2.2. Các trường hợp riêng

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) : Ax + By + Cz + D = 0.

a) Nếu D = 0 thì mặt phẳng (α) đi qua gốc tọa độ O.

b)

- Nếu A0,B0,C0 thì mặt phẳng (α) song song hoặc chứa trục Ox.

- Nếu A0,B0,C0 thì mặt phẳng (α) song song hoặc chứa trục Oy.

- Nếu A0,B0,C0 thì mặt phẳng (α) song song hoặc chứa trục Oz.

c)

- Nếu A = B = 0; C 0 thì mặt phẳng (α) song song hoặc trùng với (Oxy).

- Nếu A = C = 0; B0 thì mặt phẳng (α) song song hoặc trùng với (Oxz).

- Nếu B = C = 0; A0 thì mặt phẳng (α) song song hoặc trùng với (Oyz).

- Nhận xét:

Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

 

a b c

    . Ở đây (α) cắt các trục tọa độ tại các điểm (a; 0; 0); (0; b; 0); (0; 0; c) với abc 0 .

Ví dụ 11. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm M(2; 0; 0); N(0; 3; 0); P(0; 0;

1). Phương trình đoạn chắn của mp(MNP) là:

x y z

2  3  1 1

2.3. Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc.

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (α) và (β) có phương trình:

(α): A1x + B1y + C1z + D1 = 0 (β): A₂x + B2y + C2z + D2 = 0

Hai mặt phẳng (α); (β) có hai vecto pháp tuyến lần lượt là:

1 1 1 1 2 2 2 2

n (A ; B ;C ); n (A ; B ;C )

2.3.1. Điều kiện để hai mặt phẳng song song.

1 2

1 2

1 1 1 2 2 2

1 2

n k.n ( ) / / ( )

D kD

(A ;B ;C ) k(A ; B ;C )

D kD

 

   

 

 

  

1 2

1 2

1 1 1 2 2 2

1 2

n k.n ( ) ( )

D kD

(A ;B ;C ) k(A ; B ;C )

D kD

 

    

 

 

  

- Chú ý: Để (α) cắt (β) n₁ k.n₂ (A ;B ;C )_{1 1 1} k(A ; B ;C )_{2 2 2} .

Ví dụ 12. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua A(2; 1; 2) và song song với mặt phẳng (P): x – y + 2z – 1 = 0.

Lời giải:

Vì mp(α) song song với mặt phẳng (P): x – y + 2z – 1 = 0 nên n_ (1; 1;2) Mặt phẳng (α) đi qua A(2;1; 2) nên có phương trình:

1( x – 2) – 1(y – 1) + 2( z – 2) = 0 hay x – y + 2z – 5 = 0.

2.3.2. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc.

1 2

1 2 1 2 1 2

( ) ( ) n n

A A B B C C 0

    

   

Ví dụ 13. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A(1; 0; 1); B( 2; 1; -1) và vuông góc với mặt phẳng (Q): x – y + 2z – 1 = 0

Lời giải:

Ta có vecto pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là: n_Q(1; 1;2) Và AB (1;1; 2)

Vì n_P n ; n_{Q P} AB nên n_P n ; AB_Q  (0;4;2) Phương trình mặt phẳng (P) là:

0(x – 1) + 4(y – 0) + 2(z – 1) = 0 hay 4y – 2z – 2 = 0 2.4. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

- Định lí: Trong không gian Oxyz, cho điểm M0(x0; y0; z0) và mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 .

Khi đó khoảng cách từ điểm M₀ đến mặt phẳng (α) được tính:

0 0 0

0 2 2 2

| Ax By Cz D | d(M ,( ))

A B C

  

   .

Ví dụ 14. Tính khoảng cách từ điểm M(2; 3; 0) và N( 1; 1; 1) đến mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + 1 = 0.

Lời giải:

Theo công thức tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng ta có:

2 2 2

2.2 3 2.0 1 2 d(M; (P))

2 ( 1) 2 3

  

 

  

2 2 2

2.1 1 2.1 1 4 d(N; (P))

2 ( 1) 2 3

  

 

  

Ví dụ 15. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được cho bởi phương trình: (P): x – 2y +2z + 3 = 0 và (Q): x – 2y + 2z – 7= 0.

Lời giải:

Ta biết khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

Lấy điểm A(-3; 0; 0) thuộc mặt phẳng (P).

Ta có:

2 2 2

3 2.0 2.0 7 10 d((P);(Q)) d(A;(Q))

1 ( 2) 2 3

   

  

   . 3. Phương trình đường thẳng trong không gian.

3.1. Phương trình tham số của đường thẳng - Định lí:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆ đi qua điểm M₀ (x0 ; y0; z0) và nhận vectơ a 





y; z) nằm trên đường thẳng ∆ là có số thực t thỏa mãn:

0 1

0 2

0 2

x x a t

y y a t

z z a t

 

  

  



. - Định nghĩa:

Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M₀ (x0 ; y0; z0) và nhận vectơ a 





0 1

0 2

0 2

x x a t

y y a t

z z a t

 

  

  

 Trong đó, t là tham số.

- Chú ý:

Nếu a₁ ; a2; a3 đều khác 0 thì ta có thể viết phương trình ∆ dưới dạng chính tắc như sau:

^{0 0 0}

1 2 3

x x y y z z

a a a

     .

Ví dụ 16. Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua A(1; 2;2) và có vecto chỉ phương là u (1;2; 1)

Lời giải:

Phương trình tham số của ∆ là:

x 1 t y 2 2t

z 2 t

  

  

  



.

Ví dụ 17. Viết phương trình tham số của đường thẳng AB với A(0;1; 2); B(2; 2;

1).

Lời giải:

Đường thẳng AB nhận AB (2;1; 1) làm vecto chỉ phương.

Phương trình tham số của AB là:

x 2t y 1 t z 2 t

 

  

  



.

3.2. Điều kiện để hai đường thẳng song song, cắt nhau và chéo nhau.

3.2.1. Điều kiện để hai đường thẳng song song.

Gọi a (a ; a ;a );a ' (a ' ; a ' ;a ' )_{1 2 3}  _{1 2 3} lần lượt là vecto chỉ phương của d và d’.

Lấy điểm M(x₀; y0; z0) trên d.

Ta có: d song song với d’ khi và chỉ khi a k.a ' M d '

 

 

 . Đặc biệt: d trùng với d’ khi và chỉ khi: a k.a '

M d '

 

 

 .

Ví dụ 18. Chứng minh hai đường thẳng sau đây song song với nhau:

x 3 2t x 1 4t

d : y 2 3t ; d ' : y 2 6t

z 2 t z 2t

     

     

 

     

 Lời giải:

Đường thẳng d có vecto chỉ phương u (2; 3;1) đi qua M(3; 2; 2).

Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương là v( 4; 6; 2)  Ta thấy: v 2u; M d ' .

Do đó, hai đường thẳng trên song song với nhau.

3.2.2. Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau.

- Hai đường thẳng d và d’ cắt nhau khi và chỉ khi hệ phương trình ẩn t và t’ sau:

0 1 0 1

0 2 0 2

0 3 0 3

x ta x ' t '.a ' y ta y ' t '.a ' z ta z ' t '.a '

  

   

   



(I) Có đúng một nghiệm.

- Chú ý: Giả sử hệ (I) có nghiệm (t₀ ; t’0), để tìm giao điểm M₀ của d và d’ ta có thể thay t₀ vào phương trình tham số của d hoặc thay t’0 vào phương trình tham số của d’.

Ví dụ 19. Tìm giao điểm của hai đường thẳng:

Lời giải:

Xét hệ phương trình:

3 t 3 t ' t t '

2 t 2 t ' t t ' t 1; t ' 1

2 t 3 t 1

    

 

          

 

    

 

Suy ra, d cắt d’ tại điểm A(4; 1; 3).

3.2.3. Điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau.

Hai đường thẳng d và d’ chéo nhau khi và chỉ khi a; a ' không cùng phương và hệ phương trình

0 1 0 1

0 2 0 2

0 3 0 3

x ta x ' t '.a ' y ta y ' t '.a ' z ta z ' t '.a '

  

   

   



vô nghiệm.

Ví dụ 20. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng:

x 3 t x 1 4t '

d : y 2 3t ; d ' : y 2 6t '

z 2 t z 2t '

     

     

 

     

 Lời giải:

Đường thẳng d có vecto chỉ phương a (1; 3;1) Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương là a '( 4; 6; 2) 

x 3 t x 3 t '

d : y 2 t ; d ' : y 2 t '

z 2 t z 3

     

     

 

    



Ta thấy, không tồn tại số thực k để a k a ' nên hai đường thẳng d và d’ cắt nhau hoặc chéo nhau.

Xét hệ phương trình:

3 t 1 4t ' (1) 2 3t 2 6t ' (2)

2 t 2t ' (3)

  

   

   



(I)

Giải hệ phương trình (1) và (2) ta được: t =2; t’ = -1.

Thay vào (3) ta thấy không thỏa mãn nên hệ phương trình (I) vô nghiệm.

Vậy hai đường thẳng d và d’ chéo nhau.

- Nhận xét:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 và đường thẳng d:

0 1

0 2

0 2

x x a t

y y a t

z z a t

 

  

  



.

Xét phương trình A(x0 + ta1 ) + B(y0 + ta2 ) + C (z0 + ta3 ) + D = 0 ( t là ẩn ) (1) - Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì d và (P) không có điểm chung.

Vậy d// (P).

- Nếu phương trình (1) có đúng một nghiệm t = t₀ thì d cắt (P) tại điểm M(x0 + t0 a1;y0 + t0 a2; z0 + t0 a3).

- Nếu phương trình (1) có vô số nghiệm thì d thuộc (P).

Ví dụ 21. Xét vị trí tương đối của đường thẳng

x 1 2t d : y t

z 2 t

  

  

   



và mặt phẳng (P):

2x – y – z = 0.

Lời giải:

Lấy điểm M(1+ 2t; -t; -2 + t) thuộc đường thẳng d.

Thay tọa độ điểm M vào phương trình (P) ta được:

2(1+ 2t) – (- t) – (-2+ t) = 0

 2 + 4t + t + 2 – t = 0

4t + 4 = 0t = - 1.

Suy ra , đường thẳng d cắt mặt phẳng (P) tại M( -1; 1; - 3).

B. Bài tập tự luyện

Các bài tập sau đây đều xét trong không gian Oxyz.

Bài 1. Cho ba vecto a (1;2;0); b(0; 2;3); c(3; 3;0)  a) Tính a 2b c;

b) Tính 1

2a b c

  3 Lời giải:

a) Ta có: 2b (0; 4;6)  a 2b (1 0; 2 4;0 6)     (1; 2;6) Do đó; a 2b c  = (1 -3; -2+ 3; 6 – 0) = ( -2; 1; 6).

b) Ta có: 1

c (1; 1; 0)

3  

2a (2; 4;0) 2a  b (2 0;4 2;0 3)  (2;6; 3)

Suy ra: 1

2a b c ( 2 1; 6 1; 3 0) (3;5; 3)

  3        .

Bài 2. Cho tam giác MNP biết M(0; -2; 1); N( -2; 1; 2) và P( -1; -2; 3). Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác

Lời giải:

Tọa độ trọng tâm G của tam giác là:

G

G

G

0 ( 2) ( 1)

x 1

3 2 1 ( 2)

y 1 G( 1; 1;2)

3 1 2 3

z 2

3

   

   



   

      



    



Vậy tọa độ trọng tâm G là ( -1; -1; 2).

Bài 3. Cho các vecto a (1;2; 3); b ( 2;0;3); c ( 1;2;1)  Tính a.b; b.c .

Lời giải:

a.b 1.2 2.0 ( 3).3 7 b.c 2.( 1) 0.2 3.1 1

    

    

Bài 4. Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình sau:

a) x² + y² + z² + 6x - 2y + 4z - 3 = 0;

b) 2x² + 2y² + 2z² – 4x – 8y + 12z + 2 = 0.

Lời giải:

a) Ta có: a = -3; b = 1; c = -2; d = -3

Tâm mặt cầu là I( -3; 1; -2) và bán kính R ( 3) ²   1² ( 2)²  ( 3) 17. b) Ta có: 2x² + 2y² + 2z² – 4x – 8y + 12z + 2 = 0

 x² + y² + z² - 2x - 4y + 6z + 1 = 0;

a = 1; b = 2; c = -3; d = 1

Tâm mặt cầu là I(1; 2; -3) và bán kính R 1²   2² ( 3)² 1 13. Bài 5. Lập phương trình mặt cầu thỏa mãn điều kiện:

a) Đường kính MN trong đó M(2; 2; 2); N ( 4; 4; 0);

b) Tâm I(2; -1; 0) và đi qua A( 2; 3; 0) Lời giải:

a) Tâm của mặt cầu chính là trung điểm I của MN.

Tọa độ điểm I là

I

I

I

x 2 4 3

2

y 2 4 3 I(3;3;1) 2

2 0

z 1

2

   



    



   



Bán kính mặt cầu là: R MI  (3 2) ² (3 2) ² (1 2)²  3 Phương trình mặt cầu là: ( x – 3)² + ( y – 3)² + (z – 1)² = 3.

b) Vì mặt cầu đi qua A nên bán kính R = IA = (22)²  (3 1)² (0 0) ² 4. Phương trình mặt cầu là( x – 2)² + ( y + 1)² + z² = 16.

Bài 6. Viết phương trình mặt phẳng (P) biết:

a) Đi qua điểm M(0; 1; 2) và nhận n (2; 1; 1) làm vecto pháp tuyến.

b) Đi qua ba điểm A(1; 0; 0); B(0; -2: 0) và C (0; 0; - 3).

c) Đi qua ba điểm A(1; 1; 2); B(1; 0; 0) và C(0; 2; 1) Lời giải:

a) Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là:

2(x – 0) + 1(y – 1) + 1.(z – 2) = 0 hay 2x + y + z – 3 = 0.

b) Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng (P) là:

x y z

1  2 3 1

  .

c) Ta có: AB(0; 1; 2);AC( 1;1; 1)   

Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là : n AB; AC (3;2; 1) .

Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là:

3(x – 1) + 2(y -1) – 1(z – 2) = 0 hay 3x + 2y – z – 3 = 0 Bài 7. Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) thỏa mãn:

a) Đi qua M(2; 1; 1) và song song với mặt phẳng (Q): x – 2y + z – 3 = 0

b) Đi qua A(1; 2; 0); B( 0; -2; 1) và vuông góc với mặt phẳng (Q); 2x + z – 3 = 0.

Lời giải:

a) Vì mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) nên một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: n_P (1; 2;1) .

Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là:

1( x – 2) – 2(y – 1) + 1(z – 1) = 0 hay x – 2y + z – 1 = 0.

b) Ta có: n_Q (2;0;1); AB( 1; 4;1)

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) thỏa mãn: n_Pn ; n_{Q P}AB

P Q

n n ;AB (4; 3; 8)

     .

Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là:

4( x – 1) – 3( y -2) – 8(z – 0) = 0 hay 4x – 3y – 8z + 2 = 0.

Bài 8. Tính khoảng cách từ điểm M(-3; 2; 1) đến mỗi mặt phẳng sau:

a) Mặt phẳng (P): 2x + 2y - 3z – 1 = 0;

b) Mặt phẳng (Q): x + z – 4 = 0

c) Mặt phẳng (H): x – 6 = 0.

Lời giải:

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng ta được:

a) 2 2 2

2.( 3) 2.2 3.1 1 6 d(M; (P))

2 2 ( 3) 17

   

 

  

b) 2 2 2

3 1 4 6

d(M; (Q))

1 0 1 2

  

 

  .

c) 2 2 2

d(M; (H)) 3 6 9

1 0 0

   

 

Bài 9. Viết phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi trường hợp:

a) Đi qua hai điểm A( -2; 0; 1) và B(1; 1; 1).

b) Đi qua A( -2; 1; 1) và song song với đường thẳng

x 1 2t

y t

z 2 t

  

  

   



.

c) Đi qua M(0; -2; 1) và vuông góc với mặt phẳng (P): x + 2y – z + 3 = 0.

Lời giải:

a) Đường thẳng AB đi qua điểm A(-2; 0; 1) và nhận vecto AB(3; 1; 0) làm vecto chỉ phương nên có phương trình:

x 2 3t

y t z 1

  

 

 



.

b) Đường thẳng đã cho có vecto chỉ phương là a (2; 1;1) .

Vì đường thẳng d cần tìm song song với đường thẳng đã cho nên vecto chỉ phương của d là a (2; 1;1)

Phương trình tham số của d là

x 2 2t

y 1 t

z 1 t

  

  

  



c) Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến là: n(1;2; 1)

Vì d vuông góc với (P) nên vecto chỉ phương của d là n(1;2; 1)

Phương trình tham số của d là

x t

y 2 2t

z 1 t

 

   

  



.

Bài 10. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng sau:

a)

x 2 2t x 2 t '

d : y 1 t ; d ' : y t '

z 1 t z 3 t '

   

 

    

 

     

 

;

b)

x 2 2t x 2 t '

d : y 1 2t ; d ' : y 3 t ' z 1 4 t z 3 2 t '

   

 

     

 

     

 

. Lời giải:

a) Đường thẳng d và d’ có vecto chỉ phương lần lượt là:

a ( 2; 1; 1) ; a ' (1;1;1)

Không tồn tại số thực k để a k.a ' nên hai đường thẳng trên sẽ cắt nhau hoặc chéo nhau.

Xét hệ phương trình:

2 2t 2 t ' (1) 1 t t ' (2) ;

1 t 3 t ' (3)

   

  

   



(I)

Giải hệ phương trình (1) và (2) ta được: 5 2 t ; t '

3 3

 

Thay vào (3) ta thấy không thỏa mãn nên hệ phương trình (I) vô nghiệm nên hai đường thẳng đã cho chéo nhau.

b) Đường thẳng d và d’ có vecto chỉ phương lần lượt là:

a ( 2;2; 4) ; a ' (1; 1; 2)

Đường thẳng d đi qua điểm M(-2; 1;1)

Ta thấy: a 2.a 'và điểm M không thuộc đường thẳng d’ nên hai đường thẳng trên song song với nhau.

Bài 11. Tìm số điểm chung của đường thẳng d và mặt phẳng (P) biết:

a) d:

x 1 t

y 2t

z 4

  

  

 



và (P): x – y + 2z = 0

b) d:

x 2 t

y 2 t

z 2t

  

   

 



và (P): x +2z – 4 = 0 Lời giải:

a) Lấy điểm M( 1+ t; -2t; 4) thuộc d.

Thay tọa độ M vào (P) ta được:

1 + t – (- 2t) + 2. 4 = 0.

1 + t + 2t + 8 = 0 3t 9 0

   t = -3

Suy ra đường thẳng d cắt (P) tại M( -2; 6; 4).

b) Lấy điểm M( - 2- t; - 2 + t; 2t) thuộc d.

Thay tọa độ M vào (P) ta được:

- 2 – t + 2.2t – 4 = 0

3t – 6 = 0t = 2.

Suy ra, đường thẳng d cắt (P) tại M( -4; 0; 4).