Chuyên đề số phức – Lê Văn Đoàn - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

(1)

MỤC LỤC

Trang

§ 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC ... 1

N¨m häc 2017 – 2018

Biªn so¹n & Gi¶ng d¹y:

Ths. Lª V¨n §oµn 0933.755.607

Tài liệu luyện thi Thpt Quốc Gia

(2)

MỤC LỤC

Trang

§ 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC ... 1

Nhóm 1. Sử dụng hai số phức bằng nhau ... 3

Nhóm 2. Tìm các thuộc tính của số phức loại 1 ... 3

Nhóm 3. Tìm các thuộc tính của số phức loại 2 ... 5

Nhóm 4. Tìm số phức thỏa biểu thức số phức là số thuần ảo, số thực ... 9

Nhóm 5. Lấy môđun hai vế của số phức ... 12

Nhóm 6. Chuẩn hóa số phức ... 14

Nhóm 7. Bài toán sử dụng bất đẳng thức trong số phức ... 15

Bài tập trắc nghiệm dạng đại số của số phức ... 24

Bảng đáp án trắc nghiệm ... 40

§ 2. DẠNG HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC ... 41

Nhóm 1. Bài toán xác định điểm biểu diễn của số phức ... 42

Nhóm 2. Tập hợp điểm là đường thẳng ... 49

Nhóm 3. Tập hợp điểm là đường tròn, hình tròn, hình vành khăn ... 52

Nhóm 4. Tập hợp điểm là một elip ... 59

Nhóm 5. Bài toán liên quan đến giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ... 61

Phương pháp 1. Lượng giác hóa ... 61

Phương pháp 2. Bình phương vô hướng ... 67

Phương pháp 3. Hình chiếu và tương giao ... 72

Bài tập trắc nghiệm dạng hình học của số phức ... 79

Đáp án trắc nghiệm ... 102

§ 3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRÊN TẬP SỐ PHỨC ... 103

Bài tập trắc nghiệm ... 108

Đáp án trắc nghiệm ... 117

(3)

Chuyên đề

§ 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC & CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC



1. Định nghĩa

— Đơn vị ảo: Số i mà i²  1 được gọi là đơn vị ảo.

—Số phức z  a bi_vớia b,  . Gọi a là phần thực, b là phần ảo của số phức z.

—Tập số phức {a bi a b| , ; i²  1}. Tập số thực . Ví dụ. Số phức z  3 2i cĩ phần thực là ………… phần ảo là …………

Đặc biệt:

 Khi phần ảo b   0 z a z là số thực.

 Khi phần thực a   0 z bi z là số thuần ảo.

 Số 0 0 0i vừa là số thực, vừa là số ảo.

2. Hai số phức bằng nhau

Hai số phức là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau.

a c a bi c di

b d

 

      với a b c d, , , .

Ví dụ. Tìm các số thực x y, , biết rằng (2x  1) (3y2)i(x 2) ( y4) .i Giải. Từ định nghĩa, ta cĩ: ... ... ...

... ... ...

x y

 

   

  

 

   

 

 

3. Biểu diễn hình học của số phức Điểm M a b( ; ) trong hệ trục tọa độ vuơng gĩc của mặt phẳng được gọi là điểm biểu diễn của số phức z  a bi. Ví dụ. Quan sát hình vẽ bên cạnh, ta cĩ:

Điểm A biểu diễn cho số phức: ………

Điểm B biểu diễn cho số phức: ………

Điểm C biểu diễn cho số phức: ………

Điểm D biểu diễn cho số phức: ………

4. Mơđun của số phức

Giả sử số phức z  a bi được biểu diễn bởi điểm M a b( ; ) trên mặt phẳng tọa độ.

— Độ dài của véctơ OM

được gọi là mơđun của số phức z_{và được} kí hiệu là z . Khi đĩ: z OM  abi  a² b².

— Kết quả:  z _{ta cĩ:}z 0, z   0 z 0, z²  z² và

1. 2 1 . 2 ,

z z  z z z z.  z², z  z , ¹ ¹

2 2

z z

z  z 

SỐ PHỨC

4

3 2 1O

D

C B

A y

-3 -2 -1 x

-3 -2

-1 1 2 3

y

x b M

O a

(4)

Ví dụ. Tìm môđun của các số phức sau:

z  3 2i  z  32i  ... ...



z  1 i 3  z  1 i 3  ... ...



5. Số phức liên hợp

—Định nghĩa. Cho số phức z  a bi a b, ( , ). Ta gọi a bi là số phức liên hợp của z và được kí hiệu là z  a bi.

Ví dụ. Cho z   3 2i z ...

Cho z  4 3i  z ...

—Trên mặt phẳng tọa độ, các điểm biểu diễn z_vàz đối xứng với nhau qua trục Ox.

—Từ định nghĩa, ta có các kết quả sau:

z z z;  z .

  z₁ z₂ z₁ z₂.  .z z₁ ₂ z z₁. .₂

1 1

2 2

z z

  

  

  

  z là số thực  z z.  z là số thuần ảo   z z.

6. Cộng, trừ, nhân, chia số phức Cho hai số phức z₁  a bi và z₂  c di.

—Phép cộng và phép trừ hai số phức được thực hiện theo quy tắc cộng, trừ đa thức.

 Phép cộng: z₁ z₂ (a bi)(cdi)(a c)(b d i) .

 Phép trừ: z₁z₂ (abi) ( cdi)(a  c) (b d i) .

Số phức đối của số phức z  a bi_là   z a bi._{Do đó}z      ( z) ( z) z 0.

Ví dụ. Cho hai số phức là z₁  5 2i và z₂  3 7 .i Tìm phần thực, phần ảo và môđun của số phức w z₁z₂ và số phức w z₂z₁...

...

—Phép nhân số phức được thực hiện theo quy tắc nhân đa thức, rồi thay i²  1 trong kết quả nhận được. Cụ thể z z₁. ₂ (abbd)(adbc i) .

Ví dụ. Cho hai số phức: z₁  5 2i và z₂  4 3 .i Hãy tính:

1 2

w z z. 

 ...

1 2

z

r  z 

 ...

1 2

.z z 

 ...

—Phép chia: ¹ ¹ ² ¹ ₂² ₂ ₂ ₂ ₂ ₂

2 2 2 2

. .

, ( 0).

.

z z z z z ac bd bc ad i z

z z z z c d c d

 

     

 

—Số phức nghịch đảo của z   a bi 0_là¹ ^z₂ ₂ ^z ₂

z z a b

  



- b b O a y

x z = a - bi z = a + bi

(5)

Bài tập vận dụng

BT 1. Tìm các số thực x_vày thỏa các điều kiện sau (nhĩm sử dụng 2 số phức bằng nhau) a) 2x   1 (1 2 )y i 2(2 i) yix.

Lời giải tham khảo Từ điều kiện (2x   1) (1 2 )y i  4 2iyix

2 1 4 1

(2 1) (1 2 ) (4 ) ( 2)

1 2 2 1

x x x

x y i x y i

y y y

 

     

 

              

Nhận xét: Ở trên đã sử dụng kết quả của hai số phức bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau.

b) (1 2 ) i x  (1 2 )y i  1 i. _ĐS:x 1, y 1.

...

c) 3x 2iyix5y  7 5 .i _ĐS:x  1, y 2.

...

d) 3 2 .

1 x yi

i i

  

 ^ĐS:x 5, y  1.

...

e) 3 3

3 3 .

x y

i i i

 

 

  ĐS: x  2, y 8.

...

BT 2. Nhĩm bài tốn tìm phần thực, phần ảo, số phức liên hợp và mơđun của z, w_{(loại 1)}

a) Cho z_thỏa(2 ) ¹ 5 .

1

i z i i

i

    

 Tìm các thuộc tính của w 1 2z z².

Lời giải tham khảo Từ điều kiện cĩ

2 2

2

(1 ) 1 2

(2 ) 5 (2 ) 5

(1 )(1 ) 1

i i i

i z i i z i

i i i

  

        

  

2 5 5(2 )

(2 ) 5 (2 ) 5

2 2 (2 )(2 )

i i

i z i i z z z

i i i

 

           

  

(6)

2

10 5 10 5

2 .

4 5

i i

z z i

i

 

     



Suy ra w 1 2z z²  1 2(2 i) (2i)²  8 6i có phần thực là 8, ảo là

6.

Số phức liên hợp của w_làw 8 6i _môđunw  w  8² 6² 10.

Nhận xét:

 Về phương pháp tự luận, để thực hiện phép chia 2 số phức, ta cần nhân thêm số phức liên hợp của mẫu số, chẳng hạn trong lời giải trên có

1 (1 )2

1 (1 )(1 )

i i

i i i

 

 

  

 Nếu sử dụng casio, ta chuyển về chế độ CMPLX(mode 2) (i tương ứng ENG).

Chuyển vế tìm z_{và nhập} 5 1

1 2 i i

i i

  



 sẽ được kết quả 2i, nghĩa là tìm được số phức z  2 i. Các phép toán còn lại thao tác tương tự trên casio.

b) z (24 )i 2 (1 3 ).i  i _ĐS:z  8 6 .i

...

c) (1i z) 142 .i _ĐS:z  6 8 .i

...

d) (1i z) (2  i) 4 5 .i _ĐS:z  3 i.

...

e) wz₁2z₂ biết rằng z₁  1 2 , i z₁  2 3 .i ĐS: w  3 8 .i

...

f) w z z_{1 2} biết rằng z₁  2 5 , i z₂  3 4 .i ĐS: w267 .i

...

(7)

g) 9 7

(1 2 ) 5 2 .

3

i z i i

i

    

 ^ĐS:z  1 3 .i

...

h) (1i) (2² i z)   8 i (12 ) .i z ĐS: z  2 3 .i

...

BT 3. Nhóm bài toán tìm phần thực, phần ảo, số phức liên hợp và môđun của z_{(loại 2)} a) Cho số phức z_{thỏa mãn}(23 )i z (1 2 )i z  7 i. Tìm môđun của z.

Lời giải tham khảo Gọi z  a bi   z a bi a b ( , ).

Ta có (23 )i z  (1 2 )i z   7 i (23 )(i abi) (1 2 )(i abi) 7 i

2 2

2a 2bi 3ai 3bi a bi 2ai 2bi 7 i

          (a5 )b (a3 )b i 7 i

2 2

5 7 2

2 2 2 ( 1) 5.

3 1 1

a b a

z i z i

a b b

 

    

 

                

Phần thực của số phức z_là2, phần ảo bằng 1, số phức liên hợp z  2 i.

Nhận xét: Khi bài toán yêu cầu tìm các thuộc tính của số phức (phần thực, phần ảo, môđun hoặc số phức liên hợp) mà đề bài cho giả thiết chứa hai thành phần trong ba thành phần z z, , z thì ta sẽ gọi số phức z  a bi  z  a bi, z  a² b², với a b, , rồi sau đó thu gọn và sử dụng kết quả hai số phức bằng nhau, giải hệ.

b) 2ziz  2 5 .i _ĐS:z  3 4 .i

...

c) z (2i z)  3 5 .i ĐS: z  2 3 .i

(8)

...

d) 2z 3(1i z)  1 9 .i ĐS: z  2 3 .i

...

e) (3z z)(1 i) 5z 8i1. ĐS: z  3 2 .i

...

f) (23 )i z (4i z)   (1 3 ) .i ² ĐS: z   2 5 .i

...

g) (32 )i z 5(1i z)  1 5 .i ĐS: z  1 i.

...

(9)

h) (3i z) (12 )i z  3 4 .i ĐS: z  2 5 .i

...

i) (12 )i z²  z 4i20. ĐS: z  4 3 .i

...

j) z²  z 0. ĐS: z 0; z  i.

...

k) z (z 3)i 1. _ĐS:z  3 4 .i

...

l) z z 10_vàz 13. ĐS: z  5 12 .i

...

(10)

m) z (2i)  10 và z z. 25. _ĐS:z  3 4 , i z 5.

...

n) z  1 2i  z  2 i _vàz  1 5. ĐS: 2 2

1

z i

  

 

   



...

o) z ² 2 .z z  z ²  8 và z  z 2. _ĐS:z  1 i z,  1 i.

...

p) w  1 iz z² với z (2i z).  5 i. ĐS: w 3 .i

...

q) w  z 2z với (1i z) 2iz  5 3 .i ĐS: w 6 i.

(11)

...

r) z  1 (1i)(1i)² (1i)³         (1 i) .²⁰ ĐS: z (2¹⁰ 1)i2 .¹⁰ ...

...

BT 4. Nhóm bài toán tìm các số phức z thỏa mãn biểu thức số phức là số thực, số thuần ảo a) (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017 – Mã đề 102 câu 44) Có bao nhiêu số phức z_thỏa

mãn z   2 i 2 2 và (z 1)² là số thuần ảo ? Lời giải tham khảo Gọi z  a bi a b ( , ).

Ta có (z1)² z²2z 1 (a bi)² 2(a bi)1

2 2 2 2 2 2

(z 1) a 2abi b i 2a 2bi 1 (a b 2a 1) (2ab 2 )b i

             

Vì (z1)² là số thuần ảo nên phần thực của nó bằng 0, nghĩa là có:

2 2 2 1 0 ( 1)2 2 0

a b  a   a b  (1)

Ta có z   2 i 2 2  abi  2 i 2 2  (a2)(b1)i 2 2

2 2 2 2

(a 2) (b 1) 2 2 (a 2) (b 1) 8

          (2)

Từ (1),(2) hệ phương trình

2 2

1

( 2) ( 1) 8

( 1)

( 2) ( 1) 8 1

( 2) ( 1) 8

b a

a b

b a

a b b a

a b

  

 

       

  

 

       

 

     

2 2 2

1 1 0

( 2) ( 2) 8 2 0 1

1 3

1 1

( 2) 8 2 2 0 2 3

b a b a a

a a a b

a

b a b a

a a a a b

       

  

         

  

                 

Có ba số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán là z  i z,   1 3(2 3) .i

(12)

Nhận xét: Số phức z  a bi được gọi là số phức thuần ảo  phần thực a 0 và z là số thực  phần ảo b 0.

b) z 5 và phần thực bằng 2 lần phần ảo. ĐS: z   3 i.

...

c) z  2 và z² là số thuần ảo. ĐS: 1

1

z i

  

 

   



...

d) z  i 2 và (z 1)(z i) là số thực. ĐS: z 1, z   1 2 .i ...

...

e) 2z z  13 và (12 )i z là số thuần ảo. ĐS: z   (2 i).

...

(13)

...

f) (z1)(z 2 )i là số thực và z  1 5. ĐS: z 2 , i z  2 2 .i ...

...

g) z z 6_vàz² 2z 8i là số thực. ĐS: z  3 2 .i

...

h) z 3i  1 iz _và 9

z z là số thuần ảo. ĐS: 2

5 2

z i

  

   



...

(14)

BT 5. Nhóm bài toán lấy môđun hai vế của đẳng thức số phức (đề cần tính |z| hoặc P(|z|) a) Cho số phức z_{thỏa mãn}z 4 (1i z) (43 ) .z i Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A. 0 z 1. _B.1 z 3. _C.3 z 10. _D.10 z 50.

Lời giải tham khảo

Từ giả thiết, ta có ^z ^{ }⁴ ^z ^^{i z} ^⁴ⁱ ^³^iz ^⁽¹^^{3 )}^{i z} ^



^z ^⁴

 

^ ^z ^⁴



ⁱ

Lấy môđun hai vế, được ⁽¹^^{3 )}^{i z} ^



^z ^⁴

 

^ ^z ^⁴



ⁱ

  

²



²

  

²



²

(1 3 ) .i z z 4 z 4 10.z z 4 z 4

          

2 2 2 2

10z 2z 32 8z 32 z 4 z 2.

         Chọn đáp án B.

Nhận xét: Lấy môđun hai vế của một biểu thức số phức thực ra là việc sử dụng phép kéo theo của hai số phức bằng nhau z₁ z₂  z₁  z₂ . Do đó ta chỉ được thực hiện được nó khi biểu thức giả thiết của bài toán được đưa về các dạng chuẩn sau:

 abi c di, với a b c d, , , .

 (abi z)  c di_hoặc(abi z)  c di_vớia b c d, , , .

 a bi

ci d z

   _hoặca bi

ci d z

   _vớia b c d, , , .

Ta thường sử dụng các tính chất z  z , .z z  z²  z ² và z z₁. ₂  z₁ .z₂ . b) Tìm môđun của số phức z_{thỏa mãn}2z  2 (1i z) (2z 2) .i

...

c) Cho số phức z  0 thỏa mãn z (23 )i z  3 2i 26 0. Tính giá trị của z . ...

...

(15)

d) Cho số phức z  0 thỏa mãn 1 (2 3 )₂

2 .

i i z

z z i

 

   Tính giá trị của z .

...

e) Cho số phức ^z ^ ⁰ thỏa mãn 10

(1 2 )i z i 2.

  z   Tính giá trị của z .

...

f) Cho số phức ^z ^ ⁰ thỏa mãn 26

(2 3 )i z 3 2 .i

  z   Tính giá trị của z .

...

g) Cho số phức ^z ^ ⁰ thỏa mãn 4 10

(1 3 )i z 3 i.

  z   _TínhP  z ⁴  z ².

...

(16)

BT 6. Nhóm bài toán chuẩn hóa số phức

a) Cho các số phức z₁ 0, z₂ 0 thỏa mãn z₁  z₂  z₁z₂ . Tính giá trị của biểu thức

4 4

1 2

2 1

z z

P z z

   

   

 

    

Lời giải tham khảo

Chuẩn hóa z₁  1 z₁ 1_{và đặt}z₂  a bi a b ( , ) z₂  a² b².

Có

2 2 2 2

2 2

1 2

2 2 2 2

1 2

1 1 1 1

(1 ) 1 2 1 1

1 (1 ) 1

z z a b a b a b

a b a a b

z z a bi

   

           

  

   

   

               

   

  

 

2

1

1 3

2

2 2

3 2 a

z i

b

 

   

  



và sẽ chọn ₂ 1 3 ₁ ₂ 1 3

2 2 2 2 .

z   i z z   i

Kiểm tra z₁  z₂  z₁z₂ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Khi đó

2 2

casio

1 2

2 1

z z 1

P z z

     

     

        

là kết quả cần tìm.

b) Cho hai số phức z₁ và z₂ thỏa mãn z₁ 3, z₂ 4, z₁z₂  37. Xét số phức

1 2

z .

z a bi

z   _Tìmb .

A. 3

b  8 _B. 3

b  8  _C. 3 3

b  8  _D. 8

b  3

...

c) Cho hai số phức z z₁, ₂ thỏa mãn z₁ 2, z₂  2. Gọi M N, lần lượt là điểm biểu diễn số phức z₁ và iz₂. Biết rằng MON 45 với ^O là gốc tọa độ. Tính z₁² 4z₂² .

A. 4 2. B. ^4. C. ^6. D. 4 5.

...

(17)

...

d) Cho ba số phức z z₁, , ₂ z₃ thỏa mãn z₁  z₂  z₃ 1 và z₁z₂ z₃ 0. Tính giá trị của biểu thức P z₁² z₂² z²₃.

A. P  1. B. P  0. C. P 1. D. P  2.

...

BT 7. Nhóm bài toán sử dụng bất đẳng thức trong số phức

Vì số phức z  a bi được biểu diễn bởi điểm M a b( ; ) trên mặt phẳng tọa độ. Do đó ta có thể xem véctơ OM( ; )a b

cũng biểu diễn cho số phức z. Nghĩa là có thể sử dụng bất đẳng thức véctơ trong phép toán max – min của số phức.

Cho ba véctơ u ( ; ), a b v ( ; ), x y w ( ; )m n

và khi đó:

 u v u v .

Dấu ""_{xảy ra}u v, 

cùng chiều a b

x y

  hay x y

a  b

 u  v  uv .

Dấu ""_{xảy ra}u v, 

cùng chiều a b

x y

  hay x y

a  b

 u v.  u v. .

Dấu ""_{xảy ra}u v, 

cùng chiều a b

x y

  hay x y

a  b

 u  v  w  u v w .

Dấu ""_{xảy ra} ^a ^x ^m

b y n

    Các bất đẳng thức cổ điển thường được sử dụng:

 Bất đẳng thức Cauchy:

_Vớia b, 0_thì: .

2 a b

  ab _Dấu""_{xảy ra}  a b 0.

_Vớia b c, , 0_thì: ³ .

3 a b c

   abc _Dấu""_{xảy ra}   a b c 0.

 Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz (Bunhiacôpxki):

(18)

_Vớia b, 0_vàx y, bất kỳ ta luôn có

2 2 ( )2

x y x y

a b a b

  

 (Dạng cộng mẫu số).

Dấu ""_{xảy ra} a b hay x y

x y a b

   

_Vớia b x y, , , bất kỳ ta luôn có:

2 2 2 2 2

2 2 2 2

( . . ) ( )( )

. . ( ).( )

a x b y a b x y

    

 

    



Dấu ""_{xảy ra} a b hay x y

x y a b

   

_Vớix y z, , bất kỳ thì:

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

( . . . ) ( )( )

. . . ( )( )

a x b y c z a b c x y z

       

 

       



Dấu ""_{xảy ra} a b c hay x y z

x y z a b c

     

Lưu ý:

 Ta có thể sử dụng phương pháp hàm số (hoặc tam thức) để tìm max – min.

 Ngoài ra còn sử dụng phương pháp hình học (sẽ tìm hiểu kỹ ở bài học 2).

a) Cho số phức z_thỏaz  3 4i 4. Tìm giá trị lớn nhất P_max của P  z . Bài giải tham khảo

Cách giải 1. Áp dụng bất đẳng thức u v u  v,



hay z1 z2  z1 z2



. Ta có 4  z 3 4i  z (34 )i  z  3 4i  z  5 P  z 9.

Vậy giá trị lớn nhất của P _làP_max 9.

Cách giải 2. Sử dụng lượng giác hóa.

Gọi z  x yi x y ( , )._{Ta có}z  3 4i 4  (x3)(y4)i 4

2 2

2 2 3 4

( 3) ( 4) 16 1.

4 4

x y

x y      

          Đặt

3 sin 4 4 4 cos x y



  

 

 



4 sin 3 4 cos 4 x

y



  

    Khi đó P  z  x² y²  (4 sin3)² (4 cos4)²

2 2

41 24 sin 32 cos 41 24 32 sin( ) 41 40 sin( )

         

với 2 2 2 2

24 32

cos , sin .

24 32   24 32  

 

Vì  1 sin()  1 4040 sin()40 1 4140 sin()81

1 41 40 sin( ) 9 1 P 9.

        Suy ra P_min 1 và P_max 9.

Cách khác: Áp dụng bất đẳng thức a x. b y.  (a² b²)(x² y²) Ta có 24. sin ( 32).cos  (24²32 )(sin² ²cos²)40

(19)

40 24 sin 32 cos 40 1 41 24 sin 32 cos 81

         

1 41 24 sin 32 cos 9

     P_min 1 và P_max 9.

Cách giải 3. Sử dụng phương pháp hình học (sẽ tìm hiểu rộng ở bài học 2).

Gọi z  x yi x y ( , )._{Ta có}z  3 4i 4  (x 3)(y4)i 4

2 2

(x 3) (y 4) 16.

     Do đó tập hợp biểu diễn số phức z là một đường tròn

có tâm I(3; 4), _{bán kính}R 4.

Từ hình vẽ ^min ¹ ¹

2 1

max

1

2 9

z OM OI IM OI R

z OM OM R

      

 

    



Để tìm z có môđun lớn nhất và z có môđun nhỏ nhất chính là tọa độ hai điểm M₁, M₂ cũng là tọa độ giao điểm của đường thẳng OI và đường tròn.

Đường thẳng OI _quaO(0; 0) và có VTCP là OI (3; 4)

có dạng 4

3 4 3

x y

y x

   



3 4 27 36

( ; ) ; ; ;

5 5 5 5

x y     

      

Nhận xét: Cách 2 và 3 tổng quát hơn, có thể tìm P_max và P_min cùng một lúc. Tùy vào yêu cầu của bài toán mà ta chọn phương pháp cho phù hợp cho trắc nghiệm hoặc tự luận.

b) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện iz  4 3i 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của z . ...

...

(20)

...

c) Cho số phức z_thỏaz² i 1. Tìm giá trị lớn nhất P_max của biểu thức P  z . ...

...

(21)

...

d) Trong các số phức thỏa mãn z  2 4i  z 2 ,i tìm số phức có môđun nhỏ nhất ? Bài giải tham khảo

Gọi z  x yi x y ( , ). Từ điều kiện  x yi 2 4i  x yi2i

2 2 2 2

(x 2) (y 4)i x (y 2)i (x 2) (y 4) x (y 2)

             

4 0 4 .

x y y x

      

Cách giải 1. Sử dụng đánh giá hằng đẳng thức A² 0.

Ta có z  x² y²  x² (4x)²  2x² 8x 16  2(x 2)²  8 2 2.

min 2 2

 z  và dấu "" xảy ra khi và chỉ khi x     y 2 z 2 2 .i Cách giải 2. Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng cộng mẫu

2 2 ( )2

x y x y

a b a b

   

 Ta có

2 2 2 2

2 2 ( ) 4

1 1 1 1 2 2 2.

x y x y

z  x y      



min 2 2

 z  và dấu "" xảy ra khi và chỉ khi x     y 2 z 2 2 .i Cách giải 3. Sử dụng hình học

Tập hợp biểu diễn số phức z_{là đường}d x:   y 4 0.

Số phức có môđun nhỏ nhất  z_min OH và số phức cần tìm chính là tọa độ điểm H là hình chiếu của điểm O_lênd. Vì OH d x:    y 4 0 OH x:  y m 0.

(22)

Do O(0; 0)OH m  0 OH x:  y 0. Tọa độ điểm H  d OH_{thỏa mãn}

hệ phương trình 4 2 _min

(2;2) 2 2 2 2.

2

x y x

H z i z

x y y

 

    

       

 

   

 

 

e) Trong các số phức thỏa mãn z  i z  2 3 ,i tìm số phức có môđun nhỏ nhất ? ...

...

f) Trong các số phức thỏa mãn iz   3 z 2 i, tìm số phức có môđun nhỏ nhất ? ...

...

g) Trong các số phức thỏa (z1)(z 2 )i là số thực, tìm số phức có môđun nhỏ nhất ? ...

...

h) Trong các số phức thỏa mãn z   1 z i, tìm môđun nhỏ nhất w_min của số phức

2 2 .

w  z i

...

(23)

...

i) Cho các số phức z w, _{thỏa mãn}z  2 2i  z 4i và w iz 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của w .

...

j) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  2. Tìm tích của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

của biểu thức z i

P z

  

A. 3

4 _B.1. _C.2. _D.²

3

...

k) Cho số phức z_{thỏa mãn}z    3 z 3 8._GọiM m, lần lượt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất z ._TìmMm.

A. 4 7. B. 4 7. C. 7. _D.4 5.

...

(24)

...

l) Cho số phức z_thỏaz 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P   1 z 3 1z . Lời giải tham khảo

Gọi z  x yi x y ( , ).

Từ giả thiết z  1 x² y²  1 x² y²  1 y²  1 x²  0 x  [ 1;1].

Ta có P   1 z 3 1 z (1x)yi 3 (1x)yi

2 2 2 2 2 2 2 2

( 1) 3 (1 ) ( 1) 1 3 (1 ) 1

P x y x y x x x x

              

2(1 ) 3 2(1 ).

P x x

    

Xét hàm số P f x( ) 2(1x)3 2(1x) trên đoạn [ 1;1] _có:

1 3

( ) , ( 1;1).

2(1 ) 2(1 )

f x x

x x

     

  ^Cho

( ) 0 4 ( 1;1).

f x      x 5

Tính 4

( 1) 6, (1) 2, 2 10.

f   f  f5 ^{Suy ra}^max^P ^^{2 10.}

Dấu ""_{xảy ra} ⁴ ³ ⁴ ³ .

5 5 5 5

x y z i

         

Cách khác: Sử dụng bất đẳng thức ax by  (a² b²)(x² y²).

2 2 2 2

1. ( 1) 3 (1 )

P  x  y  x y

2 2 2 2 2 2 2 2

(1 3 ) ( 1) (1 ) 20( 1) 2 10.

P  x y x y  x y

             

Lưu ý: Ta có thể sử dụng phương pháp hình học sẽ ngắn hơn (bài học 2).

BT 8. Cho số phức z z₁, ₂ thỏa z₁ 0, z₂ 0, z₁z₂ 0 và

1 2 1 2

1 1 2

z z z z 

 Tính ¹

2

z z 

A. ¹

2

2 2 z

z   B. ¹

2

3 2 z

z   C. ¹

2

z 2 3.

z  D. ¹

2

2 3 z

z  

...

(25)

...

BT 9. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z² 2z  5 (z  1 2 )(i z3i 1) . Tính minw, với w   z 2 2 .i

A. 3

min w  2 _B.minw 2. _C.minw 1. _D. 1

min w  2

...

BT 10. Cho số phức z_{thỏa mãn}_z² ₄  _z² _{2 .}_iz Tìm giá trị nhỏ nhất của P  z i. A. minP 2. _B.minP 1. _C.minP3. _D.minP4.

...

BT 11. Cho số phức z  x 2 , ( , yi x y  ) thay đổi thỏa mãn z 1. Tính tổng S_{của giá} trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x y ?

A. S   5. B. S 0. _C.S  5. D. S  2 5.

...

(26)

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC



Nhóm 1. Tìm các số thực x_vày thỏa mãn hai số phức bằng nhau

Câu 1. (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017 – Mã đề 103 câu 14) Tìm tất cả các số thực x y, sao cho x² 1 yi   1 2 .i

A. x   2, y2._B.x  2, y2. _C.x  0, y 2. _D.x  2, y  2.

Câu 2. Trên tập số phức, cho 2x  y (2yx i)  x 2y 3 (y2x 1)i với x y, . Tính giá trị của biểu thức P 2x 3 .y

A. P 7. _B.P  3. C. ^P ^^1. D. ^P ^ ^4.

Câu 3. Tìm các số thực x y, thỏa mãn điều kiện (1 2 ) i x  (1 2 )y i  1 i.

A. x 1, y  1. B. x 1, y 1. C. x  1, y 1. D. x  1, y  1.

Câu 4. Tìm tất cả các cặp số thực ( ; )x y thỏa điều kiện 3x yi 2y 1 (2x i) . A. (1;1). _B.(1;1), (0; 1). _C.(1;0), ( 1; 1).  _D.( 1; 1).  Câu 5. Tìm các số thực x y, thỏa mãn đẳng thức x(35 )i y(12 )i ³  3523 .i

A. ( ; )x y  ( 3; 4). _B.( ; )x y (3;4).

C. ( ; )x y (3; 4). _D.( ; )x y   ( 3; 4).

Câu 6. Cho số thực x y, _thỏa2x   1 (1 2 )y i 2(2 i) yix._TínhT x²3xyy. A. T  1. _B.T 1. _C.T  2. _D.T  3.

Nhóm 2. Tìm số phức (hoặc xác định các thuộc tính của số phức – loại 1)

Câu 7. (Đề thi minh họa lần 1 – Bộ GD & ĐT năm 2017) Cho số phức z  3 2 .i _{Tìm phần} thực và phần ảo của số phức z.

A. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2 .i B. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2.

C. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2 .i D. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng 2.

Câu 8. (Sở GD & ĐT Tp Hồ Chí Minh cụm 2 năm 2017) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z  i.

A. Phần thực là 0 và phần ảo là i. B. Phần thực là 1 và phần ảo là i. C. Phần thực là i và phần ảo là 0. D. Phần thực là 0 và phần ảo là 1.

Câu 9. (Sở GD & ĐT Tp Hồ Chí Minh cụm 2 năm 2017) Tìm phần thực và phần ảo của số phức liên hợp z của số phức z  i i(4 3).

A. Phần thực là 4 và phần ảo là 3. B. Phần thực là 4 và phần ảo là 3.

C. Phần thực là 4 và phần ảo là 3 .i D. Phần thực là 4 và phần ảo là 3 .i Câu 10. Cho các số phức z  1 2i_vàw  2 i. Hỏi số phức u z w. có đặc điểm nào ?

A. Phần thực là 4 và phần ảo là 3. B. Phần thực là 0 và phần ảo là 3.

C. Phần thực là 0 và phần ảo là 3 .i D. Phần thực là 4 và phần ảo là 3 .i

(27)

Câu 11. (Đề thử nghiệm lần 2 – Bộ GD & ĐT năm 2017) Tìm số phức liên hợp của số phức (3 1).

z i i

A. z  3 i. _B.z   3 i. _C.z  3 i. _D.z   3 i. Câu 12. Tìm số phức liên hợp của số phức z (1i)(32 ).i

A. z  1 i. _B.z  5 i. _C.z  5 i. D. z  1 i. Câu 13. Cho số phức z_{thoả mãn}z(12i) 4 3 .i Tìm số phức liên hợp z của z.

A. 2 11

5 5 .

z    i B. 2 11 5 5 .

z   i C. 2 11

5 5 .

z   i D. 2 11

5 5 . z    i Câu 14. (Sở GD & ĐT Tp Hồ Chí Minh cụm 1 năm 2017) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện

(13 )i z  5 7 .i Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng ?

A. 13 4

5 5 .

z    i _B. 13 4 5 5 .

z   i _C. 13 4

5 5 .

z    i _D. 13 4 5 5 . z   i Câu 15. (Sở GD & ĐT Tp Hồ Chí Minh cụm 6 năm 2017) Cho các số phức z₁  2 3i và

2 1 4 .

z   i Tìm số phức liên hợp với số phức z z_{1 2}.

A. ^¹⁴^^{5 .}ⁱ B. ^¹⁰^^{5 .}ⁱ C.  10 5 .i _D.145 .i Câu 16. Cho số phức z_{thoả mãn} 1 .

3 2

z i

i  

 Tìm số phức liên hợp z.

A. z   5 i. B. z   1 5 .i _C.z  5 i. _D.z   1 5 .i Câu 17. Cho số phức z_{thoả mãn}(1i z) 142 .i Giả sử số phức liên hợp của z_{có dạng}

.

z  a bi _Tìma b.

A. a  b 4. _B.a  b 14. _C.a  b 4. _D.a  b 14.

Câu 18. Xác định số phức liên hợp z của số phức z,_biết⁽ ¹⁾ ² 2 3 . 1 2

i z

i i

 

  

A. 7 5 .

2 2

z    i B. 7 5 .

2 2

z   i C. 7 5 .

2 2

z    i D. 7 5 .

2 2

z   i Câu 19. Tìm số phức liên hợp của số phức z (2i)( 1 i)(2i 1) .²

A. z 155 .i _B.z  1 3 .i _C.z  5 15 .i _D.z  5 15 .i Câu 20. (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017 Mã đề 104 câu 4) Cho số phức z  2 i._Tìmz .

A. z 3. B. z 5. C. z 2. D. z  5.

Câu 21. (Đề thử nghiệm lần 3 – Bộ GD & ĐT năm 2017) Tính môđun của số phức z_{thỏa mãn}

(2 ) 13 1.

z  i i 

A. z  34. B. z 34. C. 5 34

z  3  _D. 34

z  3 

Câu 22. (Sở GD & ĐT Tp Hồ Chí Minh cụm 2 năm 2017) Tính môđun của số phức z_thỏa mãn z (1 2 ) 2 i   i i(32 ) .i 

A. z 4 10. B. z 4 5. C. z 160. D. z 2 10.

Câu 23. (Đề thi minh họa lần 1 – Bộ GD & ĐT năm 2017) Cho hai số phức z₁  1 i và

2 2 3 .

z   i Tính môđun của số phức z₁ z₂.

(28)

A. z₁ z₂  13. B. z₁ z₂  5. C. z₁ z₂ 1. D. z₁ z₂ 5.

Câu 24. Tìm môđun của số phức w (1z z) , biết z_{thỏa mãn}(32 )i z (2i)²  4 i.

A. w 2. B. w  10. _C.w  8. _D.w  2.

Câu 25. Cho số phức z  2 3 .i Tìm môđun của số phức w (1i z) z.

A. w 3. _B.w 5. _C.w  4. _D.w  7.

Câu 26. Tìm môđun của số phức 1 5

2 3 . 3

z i i

i

   



A. 170

z  7  _B. 170

z  4  _C. 170

z  5  _D. 170

z  3  Câu 27. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (1 3 ) i z    1 i z. Tìm môđun của số phức

13 2 . w  z i

A. w  2. B. 26

w  13  _C.w  10. _D. ⁴ w  13 Câu 28. Cho hai số phức z₁  2 3i và z₂  1 2 .i Tính môđun của số phức z (z₁ 2) .z₂

A. z 15. _B.z 5 5. _C.z  65. _D.z  137.

Câu 29. Cho số phức z   3 4 .i Tính môđun của số phức w iz 25

  z 

A. w  2. _B.w 2. C. w 5. D. w  5.

Câu 30. Tìm môđun của số phức z,_biếtz_{thỏa mãn}z   ( 4 i 48)(2i).

A. z  8 5. _B.z 5 5. _C.z 6 5. _D.z 9 5.

Câu 31. Cho số phức z₁  1 3i và z₂  3 4 .i Tính môđun của số phức z₁ z₂. A. z₁ z₂  17. _B.z₁ z₂  15._C.z₁ z₂ 4. D. z₁ z₂ 8.

Câu 32. Cho hai số phức z₁  1 2i và z₂   2 2 .i Tìm môđun của số phức z₁z₂. A. z₁z₂ 2 2. B. z₁z₂ 1. C. z₁z₂  17. D. z₁z₂ 5.

Câu 33. Cho hai số phức z₁  2 3i và z₂  1 i. Tính z₁3 .z₂ A. z₁ 3z₂ 10. _B.z₁ 3z₂ 61.

C. z₁ 3z₂  61. D. z₁ 3z₂  10.

Câu 34. Cho hai số phức z₁  3 4 , i z₂  4 3 .i Tính ¹

2

2 3 z z  A. ¹

2

2 2.

3 z

z  _B. ¹

2

2 2

3 3

z

z   _C. ¹

2

2 3

3 2

z

z   _D. ¹

2 2

3 2z 5

z  

Câu 35. (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017 – Mã đề 103 câu 09) Cho số phức ^z ^{ }² ^{3 .}ⁱ Tìm phần thực a _củaz.