Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phối hợp nhiều phương pháp.
A. Lý thuyết.
Khái niệm: Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.
Khi thực hiện phân tích đa thức thành nhân tử các biểu thức phức tạp ta thường sử dụng phối hợp cả ba phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cơ bản: phương pháp nhân tử chung, phương pháp hằng đẳng thức, phương pháp nhóm hạng tử.
Chú ý: Nếu các hạng tử của đa thức có nhân tử chung thì ta nên sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung trước để đa thức trở lên đơn giản hơn rồi mới tiếp tục phân tích đến kết quả cuối cùng.
Ví dụ: Phân tích đa thức x3y + 6x2y2 + 9xy thành nhân tử.
Lời giải:
x3y + 6x2y2 + 9xy
= xy(x2 + 6xy + 9)
= xy(x2 + 2.xy.3 + 32)
= xy(x + 3)2
B. Bài tập tự luyện.
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a) 3x – 2y + 9x2 – 4y2; b) 8x3 + 12x2 + 6x + 1 – y3;
c) a2 + 2a + 3 + 3(a + 1).
Lời giải:
a) 3x – 2y + 9x2 – 4y2
= 3x – 2y + (3x– 2y)(3x + 2y)
= (3x – 2y)(1 + 3x + 2y) b) 8x3 + 12x2 + 6x + 1 – y3
= (2x + 1)3 – y3
= (2x + 1 – y )[(2x + 1)2 + (2x + 1)y + y2]
= (2x + 1 – y )(4x2 + 4x + 1 + 2xy + y + y2) c) a2 + 2a + 3 + 3(a + 1)
= a2 + 2a + 3 + 3a + 3
= (a2 + 2a) + (3a + 6)
= a(a + 2) + 3(a + 2)
= (a + 3)(a + 2) Bài 2: Tìm x, biết:
(2x + 1)2 – 6x(x – 2) = (x + 3)2. Lời giải:
(2x + 1)2 – 6x(x – 2) = (x + 3)2 (2x + 1)2 – (x + 3)2 – 6x(x – 2) = 0
[(2x + 1) – (x + 3)][(2x + 1) + (x + 3)] – 6x(x – 2) = 0 (x – 2)(3x + 4) – 6x(x – 2) = 0
(x – 2)[(3x + 4) – 6x] = 0 (x – 2)(4 – 3x) = 0
x 2
x 2 0
4 3x 0 x 4 3
Vậy x = 2; x 4
3.
Bài 3: Tính giá trị biểu thức:
a) A = xy(x5 – y3) – x2y(x4 – y3) tại x = 1.
b) B = m4 + 4 khi m2 – 2m + 2 = 0 Lời giải:
a) A = xy(x5 – y3) – x2y(x4 – y3) tại x = 1.
A = x6y – xy4 – x6y + x2y4 A = – xy4 + x2y4
A = xy4 (x – 1)
Thay x = 1 vào A ta được: A = xy4 .0 = 0 b) B = m4 + 4
B = m4 + 4m2 – 4m2 + 4
B = (m4 + 4m2 + 4) – 4m2 B = (m2 + 2)2 – (2m)2
B = (m2 + 2 – 2m)(m2 + 2 + 2m)
Thay m2 – 2m + 2 = 0 vào B, ta được: B = 0.(m2 + 2 + 2m) = 0
