Lý thuyết Ôn tập chương 3 (mới 2022 + Bài Tập) - Toán 9

Ôn tập chương 3 A. Lý thuyết

1. Góc ở tâm

Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn.

• Hai cạnh của góc ở tâm cắt đường tròn tại hai điểm, do đó chia đường tròn thành hai cung.

+ Cung nhỏ: cung nằm bên trong góc (với góc α (0 < α < 180°)).

+ Cung lớn: Cung nằm bên ngoài góc.

• Cung AB được kí hiệu là AB. Để phân biệt hai cung có chung các mút là A và B như hình vẽ (0 < α < 180°), ta kí hiệu: _AmB, AnB.

Trong đó: AnB là cung nhỏ, AmB là cung lớn.

Với α = 180° thì mỗi cung là một nửa đường tròn.

• Cung nằm bên trong góc gọi là cung bị chắn.

Khi đó, AnB là cung bị chắn bởi góc AOB hay góc AOB chắn cung nhỏ AnB. 2. Số đo cung

• Số đo của cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó.

• Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 360° và số đo cung nhỏ (có chung hai mút với cung lớn).

• Số đo của nửa đường tròn bằng 180°.

Số đo của cung AB được kí hiệu là sđ AB. 3. Liện hệ giữa cung và dây

a) Định lí 1

Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:

- Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.

- Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.

b) Định lí 2

Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:

- Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.

- Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.

c) Mở rộng

Trong một đường tròn:

- Hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.

- Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy.

- Đường kính đi qua trung điểm của một dây (không đi qua tâm) thì đi qua điểm chính giữa của cung bị căng bởi dây ấy.

- Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại.

4. Góc nội tiếp

a) Định nghĩa

- Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó.

- Cung bị chắn là cung nằm bên trong góc.

b) Định lí

Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.

Ta có thể viết: BAC= ¹

2 sđ BC. c) Hệ quả

Trong một đường tròn:

- Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.

- Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.

- Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 90°) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.

- Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

5. Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung a) Định nghĩa

- Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là góc có đỉnh nằm trên đường tròn, một cạnh là một tia tiếp tuyến còn cạnh kia chứa dây cung của đường tròn.

- Cung nằm bên trong là cung bị chắn.

b) Định lí

Số đo của góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn.

6. Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn

- Góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn được gọi là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn.

- Định lí: Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.

Trong hình vẽ trên, BEC là góc có đỉnh nằm ở bên trong đường tròn chắn hai cung là BnC, AmD.

Do đó, B ^{BnC AmD}

2

sđ s

E đ

C  .

2. Góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn

- Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn là góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn và các cạnh đều có điểm chung với đường tròn.

- Định lí: Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.

Ví dụ 2. Cho đường tròn (O) có hai dây AB và CD cắt nhau tại E (điểm E nằm bên ngoài đường tròn) như hình vẽ.

Trong hình vẽ trên, BEC là góc có đỉnh nằm ở bên ngoài đường tròn chắn hai cung là BnC, AmD.

Do đó, _B ^{BnC AmD} 2

sđ s

E đ

C  .

8. Tứ giác nội tiếp a) Định nghĩa

Một tứ giác có bốn đỉnh nằm tên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp)

b) Định lí về tứ giác nội tiếp

- Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180°.

- Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180° thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.

c) Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp - Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180°.

- Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.

- Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định được). Điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó.

- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc α.

- Chú ý: Để chứng minh một tứ giác là tứ giác nội tiếp ta có thể chứng minh tứ giác đó là một trong các hình sau: Hình chữ nhật, hình vuông, hình thang cân.

d) Định lí về đa giác nội tiếp

- Bất kì đa giác đều nào cũng có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp, có một và chỉ một đường tròn nội tiếp.

- Trong tam giác đều, tâm của đường tròn ngoại tiếp trùng với tâm của đường tròn nội tiếp và được gọi là tâm của đa giác đều.

- Tâm này là giao điểm hai đường trung trực của hai cạnh hoặc là hai đường phân giác của hai góc.

e) Công thức mở rộng

- Bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác là khoảng cách từ tâm đến đỉnh.

- Bán kính đường tròn nội tiếp đa giác là khoảng cách từ tâm O đến một cạnh.

Cho n-giác đều cạnh a. Khi đó:

- Chu vi của đa giác: 2p = na (p là nửa chu vi).

- Mỗi góc ở đỉnh của đa giác có số đo bằng

(n 2) . 180o

n

 .

- Mỗi góc ở tâm của đa giác có số đo bằng 360o

n . - Bán kính đường tròn ngoại tiếp:

o

R a

2sin180 n

 180^o

a 2R . sin

  n .

- Bán kính đường tròn nội tiếp:

o

r a

2 tan180 n

 180^o

a 2r . tan

  n .

- Liên hệ giữa bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp:

2 2 a2

R r

  4 . - Diện tích đa giác đều: S ¹nar

 2 . 10. Độ dài đường tròn

“Độ dài đường tròn” hay còn được gọi là “chu vi hình tròn” được kí hiệu là C.

Công thức: C = 2πR hoặc C = πd.

Trong đó: C là độ dài đường tròn;

R là bán kính đường tròn;

d là đường kính của đường tròn.

11. Độ dài cung tròn

Độ dài cung tròn n^o là l ^Rn 180

  . Trong đó: l là độ dài cung tròn n^o;

R là bán kính đường tròn;

n là số đo độ của góc ở tâm.

12. Diện tích hình tròn

Công thức diện tích hình tròn là:

2 d2

S R

    4 .

Trong đó: S là diện tích của hình tròn;

R là bán kính hình tròn;

d là đường kính của hính tròn.

13. Diện tích của hình quạt tròn

Công thức diện tích hình quạt tròn là:

R n2 lR S 360 2

   .

Trong đó: S là diện tích của hình quạt tròn;

R là bán kính đường tròn;

l là độ dài cung tròn n^o.

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho đường tròn (O; R). Trên đường tròn đó lấy hai điểm A và B sao cho ABR 2. Tính số đo của hai cung AB.

Lời giải:

Đặt cung nhỏ AB là AmB và cung lớn AB là AnB.

Hai điểm A và B nằm trên đường tròn (O; R) nên OA = OB = R.

Ta có: OA² + OB² = R² + R² = 2R²; ^{AB2 }





Ta thấy: OA² + OB² = AB² = 2R².

Nên ΔABC vuông tại A (theo định lý Py – ta – go đảo).

Do đó sđ AmB = AOB90^o; sđ AnB360^o AOB = 360^o – 90^o = 270^o. Vậy số đo cung nhỏ và cung lớn AB lần lượt là 90^o và 270^o.

Bài 2. Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R) và _O; ^{R 3} 2

 

 

 . Trên đường tròn nhỏ lấy một điểm M. Tiếp tuyến tại M của đường tròn nhỏ cắt đường tròn lớn tại A và B.

Tia OM cắt đường tròn lớn tại C. Chứng minh rằng CACB. Lời giải:

Tiếp tuyến tại M của đường tròn nhỏ cắt đường tròn lớn tại A và B hay AM là tiếp tuyến của đường tròn _O; ^{R 3}

2

 

 

  nên OM AB. Do đó OM là đường cao của ΔOAB.

Mặt khác, ΔOAB có OA = OB = R nên ΔOAB cân tại O.

Xét ΔOAB cân tại O có OM là đường cao nên OM cũng là đường phân giác hay AOMBOM.

Mà sđ CAAOM, sđ CBBOM. Do đó sđ CA = sđ CB .

Vậy CACB.

Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp trong đường tròn (O). Biết A70^o. Hãy so sánh các cung nhỏ AB, AC và BC.

Lời giải:

Ta có: A  B C 180^ovà BC (vì ΔABC cân tại A) Nên.A  B C 180^o

.

o o o

180 A 180 70 o

B C 55

2 2

 

   

Ta thấy B C A (55^o < 70^o) Do đó ACABBC.

Bài 4. Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Từ A và B vẽ hai dây cung AC và BD song song vs nhau. Qua O vẽ đường thẳng vuông góc AC tại M và BD tại N.

So sánh hai cung AC và BD.

Lời giải:

Vì AC // BD nên từ O kẻ OH vuông góc với AC thì OH vuông góc với BD tại K.

Xét ∆OHA và ∆OKB có:

OHAOKB90o (vì OHAC, OKBD) OA = OB = R

AOHBOK (đối đỉnh)

Do đó ∆OHA = ∆OKB (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra HA = KB (hai cạnh tương ứng)

Tương tự ta cũng chứng minh được CH = DK.

Mà AC = AH + CH, BD = BK + DK Do đó AC = BD.

Bài 5. Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) đường kính BD. Biết BAC = 45^o. Tính số đo CBA.

Lời giải:

Ta có: _{CDB CAB} ¹ _CB

2sđ

  .

CDB 45o

  .

Lại có DCB90^o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

CBD 180o CDB DCB

    = 180^o – 45^o – 90^o = 45^o. Vậy CBD45^o.

Bài 5. Cho ∆ABC nhọn có BAC60^o. Vẽ đường tròn đường kính BC tâm O cắt AB, AC lần lượt tại D và E. Tính số đo ODE.

Lời giải:

Ta có BDC90^o(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Do đó ∆ADC vuông tại D.

Suy ra ACD90^oCAD90^o 60^o 30^o. Do đó ^{EOD2 ECD60o}

 

∆EOD cân tại O có EOD60^o nên ∆EOD đều.

Vậy ODE = 60^o.

Bài 6. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và dây AC căng cung AC có số đo bằng 60^o.

a) So sánh các góc tam giác ABC.

b) Gọi M, N lần lượt là điểm chính giữa của các cung AC và BC. Hai dây AN và BM cắt nhau tại I. Chứng minh rằng CI là phân giác góc ACB.

Lời giải:

a) Vì dây cung AC căng cung AC bằng 60^o nên AOC60^o

mà ΔAOC cân tại O (vì OA = OC) Do đó ΔOAC đều.

Suy ra BAC60^o.

Xét ΔABC có ACB90^o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

ABC = 90^o – 60^o = 30^o.

Vậy ACB > BAC > ABC (90^o > 60^o > 30^o).

b) Ta có: ABMCBM (góc nội tiếp chắn cung AM bằng cung MC).

Nên BM là tia phân giác ABC.

Tương tự CANBAN (góc nội tiếp cùng chắn cung CN bằng cung BN) Nên AN là đường phân giác của BAC.

Ta thấy ΔABC có AN và BM là hai tia phân giác cắt nhau tại I nên CI là tia phân giác ACB (tính chất ba đường phân giác của tam giác).

Bài 7. Hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) cắt nhau tại P.Biết APB = 55^o. Tính số đo cung lớn AB.

Lời giải:

Xét tứ giác APBO có: OAP90 ; OBP^o 90^o (vì PA, PB là tiếp tuyến);

APB55o.

Ta có: AOBOAPOBPAPB360^o AOB 360o OAP OBP APB

    

= 360^o – 90^o – 90^o – 55^o = 125^o. Do đó số đo cung nhỏ AB là 125^o.

Vậy số đo cung nhỏ AB là 360^o – 125^o = 235^o.

Bài 8. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M. Kẻ tiếp tuyến MN với đường tròn (O) tại N. Vẽ NH vuông góc với AB.

Chứng minh MNAANH. Lời giải:

Ta có ANB90^o(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Nên ∆ANB vuông tại N.

Khi đó, NBANAB90^o

Ta có NHAB nên ANHNAH90^o. Suy ra ANHNBA (cùng phụ với NAH).

Mặt khác MNANBA (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung).

Vậy MNAANH.

Bài 9. Cho hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) cắt nhau tại M, biết AMB40o.

a) Tính AMO và AOM.

b) Tính số đo cung AB nhỏ và số đo cung AB lớn.

Lời giải:

a) Do MA và MB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M.

Nên MO là tia phân giác của AMB hay AMO ¹AMB 20^o

2  .

∆AMO vuông tại A nên AMOAOM90^o. Suy ra AMO90^o AOM90^o 20^o 70^o. Vậy AMO20^o; AOM70^o.

b) OM là tia phân giác của AOB nên

o o

AOB2 AOM2 . 70 140 . Do đó sđ AmB = AOB = 140^o;

sđ AnB = 360^o – AOB = 360^o – 140^o = 220^o.

Vậy số đo cung AB nhỏ và số đo cung AB lớn lần lượt là 140^o và 220^o.

Bài 10. Cho đường tròn đường tròn (O) có hai dây AB và CD cắt nhau tại M như hình vẽ. Tính số đo của cung BD, biết AMB 120 ^o.

Lời giải:

Ta có AMC 180 ^oCMB 180 ^o120^o 60^o.

Mà A ^{AC BD}

2

M sđ sđ

C  .

Nên sđ ACsđ BD 2AMC 2 . 60  ^o120^o Do đó sđ BD 120 ^o30^o 90^o.

Vậy số đo của cung BD là 90^o.

Bài 11. Cho đường tròn đường tròn (O) đường kính BC. Lấy điểm A nằm trên đường tròn, vẽ tiếp tuyến AM (A là tiếp điểm). Tính AMC, biết số đo cung AC là 120^o.

Lời giải:

Ta có: sđ AC 120 ^o nên sđ AB 180 ^o120^o60^o.

Mà A ^{AC AB}

2

M sđ sđ

C  .

o o

120 60 o

2 30

   .

Vậy AMC30^o.

Bài 12. Từ điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến AB và cát tuyến ACD. Vẽ dây BM vuông góc với tia phân giác góc BAC tại H cắt CD tại E. Chứng minh BM là đường phân giác góc CBD.

Lời giải:

∆ABE có AH là đường phân giác đồng thời là đường cao nên ∆ABE cân tại đỉnh A.

Do đó ABEAEB

Mà 2

sđ BM s

A đ BC s

BE 2

 đ CM

  ;

2 sđ BC

A s

E D

B  đ M . Suy ra sđ CMsđ MD Do đóCBMMBD.

Vậy BM là đường phân giác góc CBD.

Bài 13. Cho một góc vuông xOy, trên tia Ox lấy điểm A cố định, B là điểm chuyển động trên tia Oy. Tìm tập hợp các điểm C sao cho ABC vuông cân tại C.

Lời giải:

- Phần thuận: Vẽ CHOx (H  Ox) và CKOy (K  Oy).

Xét ∆CAH vuông tại H và ∆CBK vuông tại K có:

CA = CB (vì ABC vuông cân tại C) và CAHCBK. Do đó CAH = CBK (cạnh huyền – góc nhọn) Suy ra CH = CK (hai cạnh tương ứng).

Mà xOy cố định.

Do đó C thuộc tia phân giác Oz của góc vuông xOy.

- Phần đảo: Lấy điểm C bất kỳ thuộc tia C’z.

Vẽ đường thẳng vuông góc CA tại C cắt tia Oy tại B.

Vẽ CHOx (H  Ox) và CKOy (K  Oy).

Ta có CH = CK và KHC90^o.

Xét ∆CAH vuông tại H và ∆CBK vuông tại K có:

CH = CK và CAHCBK

Nên CAH = CBK (cạnh góc vuông – góc nhọn kề) Suy ra CA = CB (hai cạnh tương ứng).

Do đó ABC vuông cân tại C.

- Kết luận: Tập hợp các điểm C là tia C’z của tia phân giác Oz của góc xOy.

Bài 14. Cho hình bình hành ABCD có cạnh AB cố định và cạnh CD chuyển động trên đường thẳng d song song với AB. Gọi I là trung điểm của CD. Tia AI cắt BC tại N. Tìm quỹ tích điểm N khi CD thay đổi trên đường thẳng d.

Lời giải:

- Phần thuận:

Gọi khoảng cánh giữa đường thẳng AB và đường thẳng d là h không đổi.

Vì ABCD là hình bình hành nên BC // AD hay CN // AD.

Suy ra IDAICN (hai góc so le trong).

Xét ∆IAD và ∆INC có:

AIDCIN (đối đỉnh)

ID = IC (vì I là trung điểm của CD) IDAICN (cmt)

Do đó IAD = INC (g.c.g)

Suy ra CN = AD (hai cạnh tương ứng)

Mà AD = BC (vì tứ giác ABCD là hình bình hành).

Do đó CN = AD = BC.

Kẻ NHAB, NH cắt đường thẳng d tại K.

∆NBH có CB = CN và CK // BH nên suy ra KH = KN.

Từ đó ta được HN = 2KH = 2h không đổi.

Khi CD chuyển động trên đường thẳng d thì với mọi vị trí của CD, điểm N luôn cách đường thẳng AB một khoảng 2h không đổi.

Vậy điểm N thuộc đường thẳng d’ song song với đường thẳng AB và cách đường thẳng AB một khoảng 2h không đổi.

- Phần đảo: Lấy điểm N bất kì trên đường thẳng d’.

Đường thẳng AN cắt đường thẳng d tại I, đường thẳng NB cắt đường thẳng d tại C.

Lấy điểm D đối xứng với C qua điểm I.

Ta cần chứng minh tứ giác ABCD là hình bình hành và I là trung điểm của CD.

Thật vậy, Kẻ NHAB, NH cắt đường thẳng d tại K.

Ta có K là trung điểm của HN.

Do đó trong ∆HNB thì C là trung điểm của NB. 9 Trong ∆NAB có C là trung điểm của BN và IC // AB.

Nên IC là đường trung bình.

Từ đó ta được IC ¹AB

2 .

Vì D đối xứng với C qua I nên ta được ID = IC  ¹AB 2 . Do đó AB = CD.

Mà AB // CD nên tứ giác ABCD là hình bình hành và I là trung điểm của CD.

- Kết luận: Vậy quỹ tích điểm N là đường thẳng d’ song song với đường thẳng AB và cách đường thẳng AB một khoảng 2h không đổi.

Bài 15. Cho đường tròn O; R cố định. Lấy B, C là hai điểm cố định trên đường tròn và A là một điểm tuỳ ý trên đường tròn. Gọi M là điểm đối xứng của điểm C qua trung điểm I của AB. Tìm quỹ tích các điểm M.

Lời giải:

- Phần thuận:

Kẻ OO’// BC và OO’ = BC (O’ và B trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AC).

Do đó ta được O’ cố định (vì O, B, C cố định và BC không đổi).

Xét tứ giác AMBC có:

IA = IB (vì I là trung điểm của AB)

IC = IM (vì điểm M đối xứng với B qua I) Do đó tứ giác AMBC là hình bình hành.

Suy ra MA // BC và MA = BC Mà OO’// BC và OO’ = BC Do đó MA // OO’ và MA = OO’

Từ đó ta được tứ giác AMO’O là hình bình hành.

Nên suy ra O’M = OA = R không đổi và O’ cố định.

Do đó khi A di động thì M di động theo nhưng M luôn cách O’ cố định một khoảng không đổi là O’M = OA = R.

Vậy M thuộc đường tròn tâm O’ bán kính OA = R.

- Phần đảo: Trên đường tròn O’; R lấy điểm M bất kỳ. Nối MB.

Qua C kẻ đường thẳng song song với BM cắt đường tròn (O) ở điểm thứ hai A. Ta dễ dàng chứng minh được M đối xứng với C qua trung điểm I của AB.

- Kết luận: Do đó khi A di động thì M di động theo nhưng M luôn cách O’ cố định một khoảng không đổi là O’M = OA= R.

Vậy quỹ tích điểm M là đường tròn tâm O’ bán kính OA = R.

Bài 16. Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BM và CN cắt nhau tại H. Chứng minh các tứ giác AMHN và BNMC là những tứ giác nội tiếp.

Lời giải:

Xét tứ giác AMHN có:

AMH90o (vì BM là đường cao của ∆ABC) ANH90o (vì CN là đường cao của ∆ABC) Ta thấy AMHANH90^o 90^o 180^o. Do đó tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp.

Xét tứ giác BNMC có:

BMC90o (vì BM là đường cao của ∆ABC) BNC90o (vì CN là đường cao của ∆ABC)

Ta thấy BMCvà BNC cùng nhìn cạnh BC dưới một góc 90^o. Do đó tứ giác BNMC là tứ giác nội tiếp.

Vậy các tứ giác AMHN và BNMC là những tứ giác nội tiếp.

Bài 17. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng OA, điểm N thuộc đường tròn (O). Từ A và B vẽ các tiếp tuyến Ax và By. Đường thẳng qua C và vuông góc với NM cắt Ax, By theo thứ tự tại C và D.

a) Chứng minh ACNM và BDNM là các tứ giác nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh ∆ANB đồng dạng với ∆CMD.

Lời giải:

a) Xét tứ giác ACNM có:

MNC90o (vì NM CD);

MAC90o (vì Ax là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O)).

Do đó tứ giác ACNM nội tiếp đường tròn đường kính MC.

Xét tứ giác BDNM có:

MND90o (vì NMCD);

MBD90o (vì By là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O)).

Do đó tứ giác BDNM nội tiếp đường tròn đường kính MD.

Vậy các tứ giác ACNM và BDNM là các tứ giác nội tiếp đường tròn.

b) Xét ∆ANB và ∆CMD có:

BANDCM (tứ giác ACNM nội tiếp) ABNCDM (tứ giác BDNM nội tiếp) Do đó ∆ANB ∆CMD (g.g).

Bài 18. Cho đường tròn (O) bán kính OA. Từ trung điểm M của OA vẽ dây BC vuông góc OA. Biết độ dài đường tròn (O) là 4π (cm). Tính:

a) Bán kính đường tròn (O).

b) Độ dài hai cung BC của đường tròn.

Lời giải:

a) Độ dài bán kính đường tròn (O) là:

C = 2πR  4π = 2πR  R = 2 cm.

b) Áp dụng định lý Py – ta – go vào ∆BOM vuông tại M, ta có:

BM² + OM² = OB²

2 2 2 2

BM OB OM 2 1 3

      (cm).

∆BOM vuông tại M nên sin BOM ^{BM 3} OB 2

  BOM= 60^o.

∆OBC cân tại O (vì OB = OC) có OM là đường cao nên OM cũng là đường phân giác.

Suy ra BOC2 BOM2 . 60^o 120^o. Đặt cung lớn BC là BmC.

Số đo của cung lớn BC là: sđ BmC = 360^o – 120^o = 240^o. Độ dài cung nhỏ BC là:

BOC

. 4 . 120 8

l 180 3

   (cm)

Độ dài cung lớn BC là:

BmC

. 4 . 240 16

l 180 3

   (cm)

Vậy độ dài cung nhỏ và cung lớn BC lần lượt là 8

3 cm và 16

3  cm.

Bài 19. Tam giác ABC có AB = AC = 3 cm, A 120 ^o. Tính độ dài đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.

Lời giải:

Ta có AB = AC nên A là điểm nằm chính giữa cung BC.

Suy ra AOBCBAHHAC60^o. Do đó ∆ABH là nửa tam giác đều.

Nên AB = BO = 3 (cm).

Vậy độ dài đường tròn ngoại tiếp ∆ABC là: C = 2πR = 6π (cm).

Bài 20. Một tam giác đều và một hình vuông có cùng chu vi là 72 cm. Hỏi độ dài đường tròn ngoại tiếp hình nào lớn hơn? Lớn hơn bao nhiêu?

Lời giải:

* Xét tam giác ABC đều ngoại tiếp đường tròn (O) có chu vi 72 cm.

Kẻ AH là đường trung trực của ∆ABC tại H.

Độ dài cạnh của tam giác đều: 72 : 3 = 24 (cm)

Áp dụng định lý Py – ta – go vào ∆ABH vuông tại H, ta có:

AH² + BH² = AB²

2 2 2 2

AH AB BH 24 12 12 3

      (cm).

Đường tròn (O) ngoại tiếp ∆ABC nên AH là đường trung trực của ∆ABC.

Mà ∆ABC đều nên AH cũng là đường trung tuyến.

Suy ra O cũng là trọng tâm của ∆ABC.

Do đó OA = 2

3AH = 2

. 12 3 8 3

3  = R.

Do đó độ dài đường tròn ngoại tiếp tam giác đều là:

C = 2πR = 16 3π (cm).

* Xét hình vuông MNPQ ngoại tiếp đường tròn (O’) có chu vi 72 cm.

Nối N với Q.

Độ dài các cạnh của hình vuông là: 72 : 4 = 18 (cm).

Áp dụng định lý Py – ta – go vào ∆NPQ vuông tại P, ta có:

NP² + PQ² = NQ²

2 2 2 2

NQ NP PQ 18 18 18 2

      (cm).

R NQ 9 2

  2  (cm).

Do đó độ dài đường tròn ngoại tiếp hình vuông là:

C = 2πR = 18 2π (cm).

Vậy độ dài đường tròn ngoại tiếp tam giác đều lớn hơn đường tròn ngoại tiếp hình vuông và lớn hơn:

16 3π − 18 2π ≈ 7,0905 (cm).

Bài 21. Một hình tròn có diện tích S = 256π cm². Tính bán kính của hình tròn đó.

Lời giải:

Diện tích hình hình tròn là:

S = πR² = 256π R²256 R = 16 (cm).

Vậy bán kính của hình tròn là 16 cm.

Bài 22. Cho đường tròn (O; 8cm) đường kính AB. Điểm M(O) sao cho BAM60^o . Tính diện tích hình quạt AOM.

Lời giải:

Xét đường tròn (O) có BAM60^o.

Suy ra số đo cung nhỏ BM bằng 2 . 60^o = 120^o.

Do đó số đo cung nhỏ AM bằng n^o = 180^o – 120^o = 60^o. Vậy diện tích hình quạt AOM là:

2 2

R n . 8 . 60 32

S 360 360 3

  

   (cm²).

Bài 23. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Lấy M thuộc đoạn AB, vẽ dây CDAB tại M. Giả sử AM = 2 cm và CD = 4 3cm. Tính:

a) Độ dài đường tròn (O) và diện tích hình tròn.

b) Độ dài cung CAD và diện tích hình quạt tròn giới hạn bởi hai bán kính OC, OD và cung nhỏ CD.

Lời giải:

a) ∆OCD cân tại O (vì OC = OD) có OM là đường cao (vì CDAB) nên OM cũng là đường trung tuyến hay CM = DM.

CD 4 3

CM 2 3

2 2

    .

Theo định lý Py – ta – go, ta có: AC² = AM² + CM².

 

2 2 2

AC AM MC  2  2 3 4 (cm).

∆AMC có _{sin CAM} ^{CM 2 3 3} AC 4 2

   CAM60^o.

∆OAC cân tại O (vì OA = OC) có CAO60^o nên ∆OAC đều.

Suy ra OA = AC = 4 (cm).

Độ dài đường tròn (O) là: C = 2πR = 8π (cm).

Diện tích hình tròn (O) là: S = πR² = 16π (cm²).

b) ∆OAC đều AOC60^o.

∆OCD cân tại O có OM là đường cao nên OM cũng là đường phân giác hay AOCAOD60o.

AOC AOD COD 120o

   

Độ dài cung CAD là:

CAD

. 4 . 120 8

l 180 3

   (cm)

Diện tích hình quạt tròn giới hạn bởi hai bán kính OC, OD và cung nhỏ CD là:

8 . 4 3 16

S 2 3

    (cm²).