Chuyên đề góc ở tâm, số đo cung - THCS.TOANMATH.com

CHƯƠNG III. GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN GÓC Ở TÂM - SỐ ĐO CUNG I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Góc ở tâm

- Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm.

Ví dụ ^AOB là góc ở tâm (Hình 1).

- Nếu 0⁰ < a < 180⁰ thì cung nằm bên trong góc được gọi là cung nhỏ, cung nằm bên ngoài góc được gọi là cung lớn.

- Nếu a = 180⁰ thì mỗi cung là một nửa đường tròn.

- Cung nằm bên trong góc được gọi là cung bị chắn. Góc bẹt chắn nửa đường tròn.

- Kí hiệu cung AB là AB. 2. Số đo cung

- Số đo của cung AB được kí hiệu là sđ AB.

- Số đô của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

Ví dụ: ^AOB= sđ AB(góc ở tâm chắn AB) (Hình 1).

- Số đo của cung lớn bắng hiệu giữa 360⁰ và số đo của cung nhỏ (có chung hai đầu mút với cung lớn).

- Số đo của nửa đường tròn bằng 180⁰. Cung cả đường tròn có số đo 360⁰. 3. So sánh hai cung

Trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:

- Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.

- Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn.

4. Định lí

Nếu C làm một điểm nằm trên cung AB thì

Sđ AB = sđ ^AC + sđCB^ II. BÀI TẬP MINH HỌA

Phương pháp giải: Để tính số đo của góc ở tâm, số đo của cung bị chắn, ta sử dụng các kiến thức sau:

- Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

- Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 360⁰ và số đo của cung nhỏ (có chung hai đầu mút với cung lớn).

- Số đo của nửa đường tròn bằng 180⁰. Cung cả đường tròn có số đo 360⁰. - Sử dụng tỉ số lượng giác của một góc nhọn để tính góc.

- Sử dụng quan hệ đường kính và dây cung.

Bài 1. Cho hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) cắt nhau tại M, biết ^AMB40⁰. a) Tính ^AMO và ^AOM .

b) Tính số đo cung AB nhỏ và ABlớn.

Bài 2. Trên cung nhỏ ABcủa (O), cho hai điểm C và D sao cho cung ABđược chia thành ba cung bằng nhau (^AC = CD^ = DB). Bán kính OC và OD cắt dây AB lần lượt tại E và F.

a) Hãy so sánh các đoạn thẳng AE và FB.

b) Chứng minh các đường thẳng AB và CD song song.

Bài 3. Cho đường tròn (O; R), lấy điểm M nằm ngoài (O) sao cho OM = 2R. Từ M kẻ tiếp tuyến MA và MB với (O) (A, B là các tiếp điểm).

a) Tính ^AOM.

b) Tính ^AOBvà số đo cung AB nhỏ.

c) Biết đoạn thẳng OM cắt (O) tại C. Chứng minh C là điểm giữa của cung nhỏ AB.

Bài 5. Cho đường tròn (O) đường kính AB, vẽ góc ở tâm AOC = 50° với c nằm trên (O). Vẽ dây CD vuông góc với AB và dây DE song song với AB.

a) Tính số đo cung nhỏ BE.

b) Tính số đo cung CBE. Từ đó suy ra ba điểm C, O, E thẳng hàng.

Bài 6. Cho đường tròn (O; R). Gọi H là trung điểm của bán kính OB. Dây CD vuông góc với OB tại H. Tính số đo cung nhỏ và cung lớn CD^.

Bài 7. Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ đường tròn tâm o, đường kính BC. Đường tròn (O) cắt AB và AC lần lượt tại M và N.

a) Chứng minh các cung nhỏ BM và CN^ có số đo bằng nhau.

b) Tính MON^, biết ^BAC = 40°.

Bài 8. Cho (O; R) và dây cung MN = R 3. Kẻ OK vuông góc với MN tại K. Hãy tính:

a) Độ dài OK theo R.

b) Số đó các góc MOK^ và MON^. c) Số đo cung nhỏ và cung lớn MN^.

HƯỚNG DẪN Bài 1.

a) Chứng minh được OM là tia phân giác của góc AMB. Từ đó ta tìm được AMO20 ,⁰ AOM 70⁰

b) sđ ^AmB AOB^ 140⁰

sđ ^AnB220⁰ Bài 2.

a) Chứng minh được OEA OFBAE FB b) Chứng minh được OEF OCD^ ^AB CD/ /

Bài 3.

a) Sử dụng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông AMO ta tính được ^AOM 60⁰

b) Tính được ^AOB120⁰, sđ ^ABC120⁰. c) Ta có ^AOC BOC^^AC BC^

Bài 4. Tương tự 3

Chứng minh được ^AOB120⁰ Bài 5.

a) Tính được sđ BC^50⁰.

b) Chứng minh được sđ CBE^180⁰ , ,

C O E

 thẳng hàng (ĐPCM)

* Cách khác: sử dụng CDE^ 90⁰  ĐPCM.

Bài 6.

Chứng minh được BOC và BOD là tam giác đều nên suy ra được sđ CD^nhỏ = 120⁰ và sđ CD^ lớn = 240⁰.

Bài 7.

a)Chứng minh được BOM  CON(c.g.c), từ đó suy ra

  BM CN

b) Tính được MON^100⁰ Bài 8.

a) Tính được

2 OK  R

b) Tính được MOK60 ,⁰ MON120⁰

c) HS tự làm.

B.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN

Bài 1: Cho đường tròn



^{O R; .}



^{Vẽ dây AB R 2}. Tính số đo của hai cung AB. Bài 2: Cho đường tròn



^{O R; .}



^{Vẽ dây AB} sao cho số đo của cung nhỏ AB bằng 1

2 số đo của cung lớn AB. Tính diện tích của AOB.

Bài 3: Cho

 

^{O và điểm M} nằm ngoài đường tròn, vẽ hai tiếp tuyến MA và MB. Biết ^AMB35 .⁰ a) Tính số đo góc ở tâm tạo bởi hai bán kính OA OB, .

b) Tính số đo mỗi cung AB.

Bài 4: Cho tam giác đều ABC có ba đỉnh nằm trên đường tròn tâm O. a) Tính các góc ở tâm tạo bởi hai trong ba bán kính OA OB OC, , . b) Tính số đo các cung tạo bởi hai trong ba điểm A B C, , .

Bài 5: Trên đường tròn tâm O lấy ba điểm A B C, , sao cho AOB100 , 4 .^o sdAC  5^o Tính số đo cung BC^.

Bài 6: Cho



^{O cm;5}



^{và điểm M sao cho OM 10 .cm} Vẽ hai tiếp tuyến MA và MB. Tính góc ở tâm do hai tia OA và OB tạo ra.

Bài 7: Cho tam giác đều ABC, vẽ nửa đường tròn đường kính BC cắt AB tại D và AC tại E. So sánh các cung BD DE, và EC.

Bài 8: Cho hai đường tròn đồng tâm



^{O R;}



^{và ( ; ')O R với '.R  R Qua điểm M ở ngoài}



^{O R; ,}



vẽ hai tiếp tuyến với (O R; ' .) Một tiếp tuyến cắt



^{O R;}



^{tại A và B A( nằm giữa M và B); một}

tiếp tuyến cắt



^{O R;}



^{tại C và D C( nằm giữa D và M).} Chứng minh hai cung AB và CD bằng nhau.

HƯỚNG DẪN

Bài 1: Cho đường tròn



^{O R; .}



^{Vẽ dây AB R 2}. Tính số đo của hai cung AB.

Tam giác AOB có: AB² OA²OB² vì

 

^{R 2 2 R2R2}

Nên tam giác AOBvuông tại O (Định lí pitago đảo)

AOB 90⁰ s AmBd 90⁰ s AnBd 360^o 90^o 270 .⁰

       

Bài 2: Cho đường tròn



^{O R; .}



^{Vẽ dây AB} sao cho số đo của cung nhỏ AB bằng 1

2 số đo của cung lớn AB. Tính diện tích của AOB.

Ta có:

 

 



 ⁰  ⁰

0 0

d 1 d d 120

2 60 .

d 240

d d 360

s AmB s AnB s AmB s AnB AOB s AmB s AnB

   

   

 

    



Kẻ OH  AB. Tam giác OAB cân tạiO cóOH là đường cao nên OH là phân giác của ^AOB và là đường trung tuyến của tam giác OAB.

Do đó: _ ^{2 A}₀ 60 AB H AOH

 

 



Tam giác AOH vuông tạiH theo hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:

 3 

.sin R ; .c os R

HA OA AOH  OH OA AOH 

n

m A

O B

H

n

m

O B

A

1 1 2 3

. .2 . .

2 2 4

AOB

S  AH OH  AH OH AH OH  R

Bài 3: Cho

 

^{O và điểm M} nằm ngoài đường tròn, vẽ hai tiếp tuyến MA và MB. Biết ^AMB35 .⁰ a) Tính số đo góc ở tâm tạo bởi hai bán kính OA OB, .

b) Tính số đo mỗi cung AB.

a) MA, MB là hai tiếp tuyến của (O) nên: OAM 90 ;OBM 90^ ^{0 } ⁰ mà ta lại có:

 ⁰

AMB 35  AOB 145^ ⁰.

b) Vì AOB 145^ ⁰ sđAmB 145⁰ ; sđAnB 360⁰145⁰ 215 .⁰ Bài 4: Cho tam giác đều ABC có ba đỉnh nằm trên đường tròn tâm O. a) Tính các góc ở tâm tạo bởi hai trong ba bán kính OA OB OC, , . b) Tính số đo các cung tạo bởi hai trong ba điểm A B C, , .

a) ABC lá tam giác đều nên

BAC 

 60⁰ 

AOB 

120 .⁰ Tương tự ta có:

AOC 

120⁰;

COB 

120 .⁰

b) Vì

BAC 

=

AOB 

=

AOC 

120⁰ nêm sđAB = sđ

BC 

= sđ

AC 

240 .⁰

M

O A

B

B O C

A

Bài 5: Trên đường tròn tâm O lấy ba điểm A B C, , sao cho AOB100 , 4 .^o sdAC  5^o Tính số đo cung BC^.

C



AB^nhá C



AB^lín

Trường hợp 1:

Sđ

BC 

^nhỏ =sđAB - sđ

AC 

100⁰45⁰ 55 .⁰ sđ

BC 

lớn360⁰55⁰ 305 .⁰

Trường hợp 2:

sđ

BC 

^nhỏ= sđAB + sđ

AC 

100⁰ 45⁰ 145 .⁰ sđ

BC 

^lớn 360 –145^{0 0} 215 .⁰

Bài 6: Cho



^{O cm;5}



^{và điểm M sao cho OM 10 .cm} Vẽ hai tiếp tuyến MA và MB. Tính góc ở tâm do hai tia OA và OB tạo ra. (ĐS 120⁰)

A

O A O

C B B

C

M

B A

O

,

MA MB là hai tiếp tuyến của

 

^{O nên OM} là phân giác của góc AOB nên ^AOB120 .^o

Bài 7: Cho tam giác đều ABC, vẽ nửa đường tròn đường kính BC cắt AB tại D và AC tại E. So sánh các cung BD DE, và EC.

(ĐS: _{BD DE EC} _ )(do các tam giác đều)

Bài 8: Cho hai đường tròn đồng tâm



^{O R;}



^{và ( ; ')O R với '.R  R Qua điểm M ở ngoài}



^{O R; ,}



vẽ hai tiếp tuyến với (O R; ' .) Một tiếp tuyến cắt



^{O R;}



^{tại A và B A( nằm giữa M và B); một}

tiếp tuyến cắt



^{O R;}



^{tại C và D C( nằm giữa D và M).} Chứng minh hai cung AB và CD bằng nhau.

--- HẾT ---

D E

O C

A

B

C A

D B

M O

H

I