[ET] Đề thi thử TN THPT 2021 - Môn Toán - Bộ đề theo mức độ - GV ĐHSP - Đề 23 - File word có lời giải.doc

ĐỀ SỐ 23 (Đề thi có 06 trang)

(Đề có lời giải)

ĐỀ LUYỆN ĐIỂM 10 Môn: Toán

Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm ^A



^{1; 2; 3 ,}

 

^{B 2; 1; 6 }



và mặt phẳng

 

^{P x: 2y z  3 0}. Viết phương trình mặt phẳng

 

^Q chứa AB và tạo với mặt phẳng

 

^P một góc

 thỏa mãn 3

cos  6 .

A. 4x y 3z15 0 hoặc x y  3 0. B. 4x y 3z15 0 hoặc x z  3 0. C. 4x y 3z15 0 hoặc x y  3 0. D. 4x y 3z15 0 hoặc x z  3 0.

Câu 2. Trong mặt phẳng



^xOy



, gọi A, B lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z1 2 ;i z2  4 6i. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Khi đó điểm I biểu diễn số phức

A. z 2 i B. z 1 2i C. z 2 4i D. z  1 i Câu 3. Cho các số thực dương a b  1 c. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. log_ab 1 log_bc0 B. 1 log _ablog_bc0 C. log_ab  1 0 log_bc D. 1 log _ab 0 log_bc Câu 4. Cho hàm số y ax ³bx²cx d có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. a0,b0,c0,d 0 B. a0,b0,c0,d 0 C. a0,b0,c0,d 0 D. a0,b0,c0,d 0

Câu 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số ² 54

4 2

y x x

   x

 trên khoảng



^2;



. A. _min_{2; }y 0

  B. _min_{2; }y 13

   C. _min_{2; }y 23

  D. _min_{2; }y 21

  

Câu 6. Cho phương trình ^8x1^{8. 0,5}

 

^3x^3.2x3 125 24. 0,5

 

^x. Khi đặt 1

2 2

x

t  x , phương trình đã cho trở thành phương trình nào dưới đây?

A. 8t³ 3 12 0t  B. 8t³3t² t 10 0 C. 8t³125 0 D. 8t³ t 36 0 Câu 7. Cho hàm số ^{f x}

 

liên tục trên



^{ 1;}



và ³

 

0

1 4

f x dx



^{. Tính 2}

 

1

. ( ) 2 x f x  dx



^.

A. I 5 B. I 7 C. I 16 D. I 12

Câu 8. Cho hàm số y3^x2. Đẳng thức nào sau đây đúng?

A.

 

^{1 27}

y ln 3 B. ^y

 

^{1 9ln 3} C. ^y

 

^{1 27 ln 3} D.

 

^{1 9}

y ln 3 Câu 9. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng

1 2

: 3

5 3

x t

d y

z t

  

 

  



. Trong các véctơ sau, véctơ nào là một véctơ chỉ phương của đường thẳng d?

A. a3  



2;0;3



B. a1 



2;3;3



C. a1



1;3;5



D. a1



2;3;3



Câu 10. Cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng 2a, vẽ tia Ax trên nửa mặt phẳng chứa B bờ là đường thẳng qua A sao cho điểm B luôn cách tia Ax một đoạn bằng a. Gọi H là hình chiếu của B lên tia, khi tam giác AHB quay quanh trục AB thì đường gấp khúc AHB vẽ thành mặt tròn xoay có diện tích xung quanh bằng

A.



^{2 2}



²

2

 a

B.



^{3 3}



²

2

 a

C.



^{1 3}



²

2

 a

D.

3 2 2

2

a

Câu 11. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a AD , 2a, cạnh SA vuông góc với đáy và SB tạo với đáy một góc 60. Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho 3

2

AM a . Mặt phẳng



^BCM



cắt cạnh SD tại N. Tính thể tích V của khối chóp S.BCNM.

A.

3 3

4

V  a B.

3 3

3

V a C.

3 3

2

V  a D.

3 3

6 V  a

Câu 12. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số ^{y x m }



^sinxcosx



đồng biến trên _ .

A. 2

m  2 B. 2

m 2 C. 2

m 2 D. 2

m  2

Câu 13. Khối chóp S.ABCD có cạnh đáy là hình thoi cạnh a, SA SB SC a   , cạnh SD thay đổi. Thể tích khối chóp S.ABCD lớn nahát khi độ dài cạnh SD là

A. 3 2

a B. 6

2

a C. ^a D. 2

3 a

Câu 14. Cho biết

 

2

ln20

x

x

e

e

f x 



t tdt^{, hàm số y f x}

 

đạt giá trị cực trị khi A. 21

2 ln 2

x B. 21

2 ln 2

x  C. 21

2ln 2

x  D. 21

2ln 2 x

Câu 15. Thiết diện qua trục của hình nón

 

^N là tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. Tính bán kính đáy R của hình nón.

A. R a 2 B. 2

2

Ra C.

4

R a D.

2 Ra

Câu 16. Trong không gian Oxyz, cho điểm ^A



^{2;1; 3 ,}

 

^{B 1; 1;0}



và mặt phẳng

 

^{P x: 2y z  3 0}. Gọi M là điểm nằm trên mặt phẳng

 

^P sao cho BM nhỏ nhất. Mặt phẳng

 

^Q qua A, M và góc giữa hai mặt phẳng

   

^{P , Q} là lớn nhất. Phương trình mặt phẳng

 

^Q là

A.

 

^{Q : 2  x y 4z15 0} B.

 

^{Q :  x y 3z10 0}

C.

 

^{Q :x y z  0} D.

 

^{Q x: 2y3z 5 0}

Câu 17. Kim tự tháp Maya (Pyramid Maya) được xây dựng bởi người Maya (một bộ tộc thổ dân châu Mỹ đã từng sinh sống 2.000 năm trước tại Mexico). Một kim tự tháp được thiết kế như sau:

Tầng thứ nhất là 1 viên đá hình lập phương.

Tầng thứ 2 có 1 viên đá trung tâm và 8 viên đá xung quanh tổng cộng có 9 viên đá.

Tầng thứ 3 có 9 viên đá trung tâm và 16 viên đá xung quanh tổng cộng có 25 viên đá.

Cứ tiếp tục như vậy cho đến các tầng tiếp theo.

Hỏi nếu một kim tự tháp có 15 tầng thì số lượng viên đá hình lập phương là

A. 4495 B. 1135 C. 2375 D. 4855

Câu 18. Cho hàm số ^{y f x}

 

xác định và liên tục trên các khoảng



^{;0 , 0;}

 

^



và có bảng biến thiên như sua: Tìm tất cả các giá trị thực của m để đường thẳng ^{y m} cắt đồ thị hàm số ^{y f x}

 

tại 3 điểm phân biệt.

A.   4 m 0 B.   4 m 0 C.   7 m 0 D.   4 m 0

Câu 19. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A B C.    có thể tích 216cm³ và diện tích của tam giác ABC

bằng 24 3cm². Tính sin góc giữa AB và mặt phẳng



^{A BC}



.

A. 3

sin 4 B. 13

sin  13 C. 2

sin 5 D. 3

sin 5

Câu 20. Cho số phức z thỏa mãn iz  2 i 0. Khoảng cách từ điểm biểu diễn của z trên mặt phẳng tọa độ Oxy đến điểm ^M



^{3; 4}



là

A. 2 5 B. 13 C. 2 10 D. 2 2

Câu 21. Biết đồ thị hàm số

 

^{C :y x 3ax2bx c} đi qua điểm ^A

 

^1;6 và có cực đại bằng 4 tại 1

x  . Tính giá trị của hàm số tại x3.

A. ^y

 

^{3 44} B. ^y

 

^{3 36} C. ^y

 

^{3 22} D. ^y

 

^{3 12}

Câu 22. Cho hàm số ^{y f x}

 

xác định, có đạo hàm trên _ thỏa mãn:



²



²



²



^{3 10}

f  x  f x  x

   

    . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ^{y f x}

 

tại điểm có hoành độ bằng 2 là:

A. y2x5 B. y2x3 C. y  2x 5 D. y  2x 3 Câu 23. Cho hàm số ^{y f x}

 

có bảng biến thiên như sau.

Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số

   

 

f2 x y g x

f x m

 

 có đúng 3 tiệm cận đứng?

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Câu 24. Trong mặt phẳng cho một hình lục giác đều cạnh bằng 2. Thể tích của hình tròn xoay có được khi quay hình lục giác đó quanh đường thẳng đi qua hai đỉnh đối diện của nó bằng

A. 2π B. 6π C. 8π D. π

Câu 25. Cho x0 và y thỏa mãn:

2 3 0

2 3 14

x xy x y

   

  

 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức ^{P3x y xy2  22x x}



^21



. Khi đó tích M m. có giá trị bằng

A. 32 B. 16 C. 9 D. 16

Câu 26. Nếu log8alog4b² 5 và log4a²log8b7 thì giá trị của log2

 

ab bằng

A. 9 B. 18 C. 1 D. 3

Câu 27. Biết số phức z thỏa mãn z 1 1 và z z có phần ảo không âm. Phần mặt phẳng biểu diễn số phức z có diện tích là

A. π B. 2π C. ² D.

2



Câu 28. Cho đồ thị

 

^{C :y f x}

 

^{ x}. Gọi

 

^H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

 

^C , đường thẳng 9

x và trục Ox. Cho điểm M thuộc đồ thị

 

^C và điểm ^A

 

^9;0 . Gọi V1 là thể tích khối tròn xoay khi

cho

 

^H quay quanh trục Ox, V2 là thể tích khối tròn xoay khi cho tam giác AOM quay quanh trục Ox.

Biết rằng V1 2V2. Tính diện tích S phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

 

^C và đường thẳng OM.

A. S 3 B. 27 3

S  16 C. 3 3

S  2 D. 4

S 3 Câu 29. Cho hàm số ^{y f x}

 

có đạo hàm liên tục trên _ . Đồ thị hàm số

 

y f x như hình vẽ. Hàm số ^{g x}

 

^{2f x}

 

^x2 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?

A.



^{ ; 2}



B.



^{2; 2}



C.



2; 4



D.



^2;



Câu 30. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng

 

^{P : 3x3y2z15 0} và ba điểm ^A



^1;2;0



,



^{1; 1;3 ,}

 

^{1; 1; 1}



B  C   . Điểm M x y z



0; ;0 0



thuộc

 

^P sao cho 2MA²MB²MC² nhỏ nhất. Giá trị

0 0 0

2x 3y z bằng

A. 11 B. 5 C. 15 D. 10

Câu 31. Giá trị của n thỏa mãn: C¹2_n12.2C2²_n13.2 .²C2³_n14.2 .³C2⁴_n1 ...



2n1 .2 .



²ⁿC2²_nⁿ_^1¹2021 bằng

A. 1010 B. 1009 C. 2020 D. 2021

Câu 32. Miền phẳng trong hình vẽ giới hạn bởi ^{y f x}

 

và parabol

2 2

y x  x. Biết ¹

 

1 2

3 f x dx 4





 . Khi đó diện tích hình phẳng được tô trong hình vẽ bằng

A. 9

8 B. 3

2 C. 3

8 D. 8

3

Câu 33. Xét tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn



^{O R;}



. Gọi V V V1, ,2 3 lần lượt là thể tích của các khối tròn xoay sinh ra khi quay tam giác OCA quanh trung trực của đoạn thẳng CA, quay tam giác OAB quanh

trung trực của đoạn thẳng AB, quay tam giac OBC quanh trung trực của đoạn thẳng BC. Khi biểu thức

1 2

V V đạt giá trị lớn nhất, tính V3 theo R.

A. ₃ 2 3 ³

V  9R B. 3 ³

32

V  81R C. 3 ³

57

V  81R D. 3 ³

8 V  81R Câu 34. Cho z 1 5, giá trị lớn nhất của P   z i² z 2² bằng

A. 1 10 5 B. 1 8 3 C. 1 8 5 D. 1 12 5

Câu 35. Một chậu nước hình nón cụt có chiều cao 3dm, bán kính đáy lớn là 2dm và bán kính đáy nhỏ là 1dm. Cho biết thể tích nước bằng

37

189 thể tích của chậu, chiều cao của mực nước là

A. 2dm B. 0,8dm

C. 1dm D. 1,5dm

Câu 36. Cho hàm số ^{f x}

 

có đạo hàm liên tục và nhận giá trị dương trên



^0;



thỏa mãn điều kiện

   

 

2 2 3

1 1 2xf x

f x x f x

   với mọi ^{x }



^1;



đồng thời ^f

 

^{2 1}. Giá trị của ^f

 

⁴ là

A. 2 3

3 B. 2

3 C. 4

3 D. 16

9

Câu 37. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình 2^sin2x3^cos2x m.3^sin2x có nghiệm?

A. 7 B. 4 C. 5 D. 6

Câu 38. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 2 2 1 y mx m

x

  

 cắt đường thẳng

 

^{d :y x 3} tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác IAB có diện tích bằng 3, với



^1;1



I  . Tổng tất cả các phần tử của S bằng A. 7

2 B. 10 C. 3 D. 5

Câu 39. Cho phương trình ^{92 1 1}

3 3

1 2

4log log log 0

6 9

x m x x m   (m là tham số). Để phương trình có hai nghiệm x x1, 2 thỏa mãn x x1 2 3 thì giá trị m thỏa mãn.

A. 1 m 2 B. 3 m 4 C. 3

0 m 2 D. 2 m 3 Câu 40. Cho hàm số ^{y f x}

 

là hàm chẵn, liên tục trên _ và ²

 

2

2020^x 1 29 f x dx



 



^{. Khi đó 2}

 

0

f x dx



bằng

A. 29

2 B. 29 C. 58 D. 30

Câu 41. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu

  

^{S : x1}

 

^{2 y2}

 

^{2 z 2}



^29 và hai điểm



^{4; 4; 2 ,}

 

^6;0;6



M  N . Gọi E là điểm thuộc mặt cầu

 

^S sao cho EM EN đạt giá trị lớn nhất.

Phương trình tiếp diện của mặt cầu

 

^S tại E là

A. x2y2z 8 0 B. 2x y 2z 9 0 C. 2x2y z  1 0 D. 2x2y z  9 0 Câu 42. Cho 2 số thực dương a, b khác 1 và đồ thị của các hàm số

log ,_a log_b

y x y x như hình vẽ. Gọi d là đường thẳng song song với trục Oy và cắt trục hoành tại điểm A có hoành độ x k (k1). Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi ylog_a x, đường thẳng d và trục hoành; S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi ylog_b x, đường thẳng d và trục hoành.

Biết S14S2, mệnh đề nào sau đây đúng?

A. b a ⁴ B. a b ⁴ C. b a ⁴ln 2 D. a b ⁴ln 2

Câu 43. Trong không gian Oxyz cho

 

^{P : 2mx}



^m21

 

^{y m21}



^{z 1 0}. Biết rằng tồn tại hai mặt cầu cố định tiếp xúc với

 

^P và đi qua điểm ^A



^{0;1; 1}



. Tổng hai bán kính của hai mặt cầu đó bằng

A. 2

2 B. 2 3

3 C. 2 D. 3

Câu 44. Cho khối lăng trụ ABC A B C.   . Đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác ABC và song song với BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M, N. Mặt phẳng



^{A MN}



chia khối lăng trụ thành hai phần. Tỉ số thể tích (phần bé chia phần lớn) của chúng bằng

A. 2

3 B. 4

23 C. 4

9 D. 4

27 Câu 45. Cho hình chóp đều S.ABCD có thể tích bằng 1

3, đáy ABCD là hình vuông cạnh là 1. Phương

trình mặt phẳng



^ABCD



biết ^S



^0;0;0



và

1 :

1 x AB y t

z

 

 

  là

A. 1 0 1 0 x z

  

  

 B. 1 0

1 0 x z

  

  

 C. 1 0

1 0 x y

  

  

 D. 1 0

1 0 x y

  

  



Câu 46. Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn

4 2 3 2

2 1

x y

y x

  

 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P y 4x là

A. P 2 B. 5

P 2 C. P 3 D. 7

P 2 Câu 47. Cho hàm số ^{y f x}

 

liên tục, có đạo hàm trên



^5;3



và có bảng biến thiên sau.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình ^3f



^{ x 2}



^{x33x 2 m} có đúng 3 nghiệm thuộc



^5;3



?

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

Câu 48. Đề kiểm tra 15 phút có 10 câu trắc nghiệm mỗi câu có bốn phương án trả lời, trong đó có một phương án đúng, trả lời đúng mỗi câu được 1,0 điểm. Một thí sinh làm cả 10 câu, mỗi câu chọn một phương án. Xác suất để thí sinh đó đạt từ 8,0 điểm trở lên.

A. 436₁₀

4 B. 463₁₀

4 C. 436₄

10 D. 163₄

10 Câu 49. Cho hàm số ^{y f x}

 

^{mx4nx3 px2qx r} trong đó

, , , ,

m n p q r . Biết rằng hàm số ^{y f x}

 

có đồ thị như hình vẽ.

Tập nghiệm của phương trình ^{f x}

 

^r có tất cả bao nhiêu phần tử?

A. 3 B. 4

C. 5 D. 6

Câu 50. Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn ^0



^{x y}

 

^{2 y z}

 

^{2 z x}



^{2 18}. Biết giá trị

lớn nhất của biểu thức ^{43 43 43 1}

 

⁴

108

x y z

P    x y z  là a

b, với a, b là các số nguyên dương và a b tối giản. Tính S 2a3b.

A. S 13 B. S 42 C. S 54 D. S 71

ĐÁP ÁN

1-A 2-C 3-D 4-C 5-C 6-C 7-A 8-C 9-A 10-B

11-A 12-D 13-B 14-B 15-B 16-C 17-A 18-B 19-A 20-C

21-A 22-A 23-B 24-C 25-D 26-A 27-D 28-B 29-B 30-B

31-A 32-A 33-D 34-A 35-C 36-C 37-B 38-A 39-C 40-B

41-D 42-A 43-A 44-B 45-B 46-B 47-D 48-A 49-A 50-C

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1: Mặt phẳng

 

^Q có dạng: ax by cz d   0 (a²b²c² 0).

Ta có:

 

 

2 2 2

2 3 0

4 , 3 , 15

2 6 0

, 0,

2 3

cos 3

6 1 4 1 6

A Q a b c d

a b c b d b

B Q a b c d

a b c d b

a b c a b c

 

      

       

       

       

   

    

 

     

.

Phương trình

 

^{Q : 4x y 3z15 0} hoặc x y  3 0. Câu 2: Ta có: ^A



^{0; 2 ,}

 

^{B 4; 6}



. Suy ra ^I



^{2; 4}



. Điểm I biểu diễn số phức z 2 4i.

Câu 3: Ta có: a b  1 log_aalog_ab 1 log_ab và b  1 c log 1 log_b  _bc 0 log_bc. Vậy 1 log _ab 0 log_bc.

Câu 4: Dựa vào đồ thị hàm bậc ba ta nhận xét:

Nhánh cuối đồ thị hàm số đồng biến nên a0.

Đồ thị hàm số cắt Oy tại điểm có tung độ dương nên d 0.

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về 2 phía trục tung nên ac  0 c 0. Đồ thị hàm số có hoành độ điểm uốn dương nên ab  0 b 0.

Câu 5: Cách 1: Sử dụng bảng biến thiên

 

 

 

3

2 2

2 2 27

2 4 54 ; 0 2 3 5

2 2

y x x y x x

x x

   

 

         

  .

Lập bảng biến thiên ta tìm được _^min_2; ^{y y}

 

^{5 23}_.

Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương



^{2 ;}



^{2 27 ; 27}

2 2

x x x

  .

Ta có ^{2 4 54}



²



^{2 27 27 4 3 273 2 4 23}

2 2 2

y x x x y

x x x

 

               . Đẳn thức xảy ra khi



²



^{2 27 5}

x 2 x

  x  

 .

Vậy _^min_2;^{y y}

 

^{5 23}_.

Câu 6: Ta có ¹

 

^{3 3}

 

³ 3

1 1

8 8. 0,5 3.2 125 24. 0,5 8.2 8. 24.2 24. 125 0

2 2

x x

x x x x

x x

           

3 3

1 1

8 2 24 2 125 0

2 2

x x

x x

   

       

    .

Đặt ^{2 1}



²



2

x

t  x t . Khi đó ta có ³ 1₃ ³

2 3

2

x

x t t

   .

Phương trình trở thành ⁸



^t33t



^{24 125 0t  8t3125 0 .}

Câu 7: Đặt t x    1 t² x 1 2tdt dx

0 1; 3 2

x  t x  t .

Ta có ³

 

²

 

²

 

0 1 1

1 2 2

f x dx tf t dt tf t dt

  

^;

   

2 2 2

1 1 1

. ( ) 2 2 2 3 5

I 



x f x  dx



xf x dx



xdx   ^. Câu 8: Ta có ^{y3x2ln 3y}

 

^{1 27 ln 3}.

Câu 9: Ta dễ thấy u _d a3  



2;0;3



.

Câu 10: Khi quay quanh tam giác AHB thì đường gấp khúc AHB vẽ lên một mặt tròn xoay. Diện tích mặt tròn xoay này bằng tổng diện tích xung quanh hai hình nón đường sinh AH và BH.

+) Ta có AH  AB²BH² a 3; . 3. 3

2 2

AH BH a a a HK  AB  a  . +) Diện tích xung quanh hình nón có đường sinh AH là

2 1

3 3

. 3

2 2

a a

S a 

   .

+) Diện tích xung quanh hình nòn có đường sinh BH là ₂ 3 3 ²

2 . 2

a a

S   a .

+) Diện tích mặt tròn xoay cần tìm là

 

²

1 2

3 3

2

S S S  a 

   .

Câu 11: Ta có ^SA



^ABCD



^AB là hình chiếu của SB lên mặt phẳng



^ABCD



 3

60 , 3,

2

SBA AB a SA a AM a M

        là trung điểm

của SA.

Ta có:



^MBC

 

 ^SAD



MN BC // AD^, MN // ADN là trung điểm của SD.

Lại có VS BCNM. VS BCM. VS MCN. ;

. .

. . . . . .

. .

1 1 1 . 1 1 1

2 2 4 ; . 4 4 8

S BCM S MCN

S BCM S BCA S ABCD S MCN S ACD S ABCD

S BCA S ACD

V SM V SM SN

V V V V V V

V  SA     V  SA SD    

3

. .

3 3 1 3

. . .2 . 3

8 8 3 4

S BCNM S ABCD

V V a a a a

    .

Câu 12: Ta có



^{sin cos}



^{2 sin ; 1 2 cos}

4 4

y x m  x x  x m x y  m x. Để hàm số đồng biến trên 1 2 cos 0,

m x 4 x

      

 

2 cos 1 2 1 2

4 2

m x  m m

        

  .

Câu 13: Ta có V_{S ABCD}. 2V_{S ABC}. .

Gọi H là trung điểm của SB. G là hình chiếu vuông góc của C lên



^SAB



suy ra G AH . Trong tam giác vuông CGH ta có CG CH .

Vậy thể tích lớn nhất của S.ABCD khi 3 6

2 2

a a

CG CH   AC .

Gọi O là trung điểm của AC 6

2 2.

2 2

AC a SD HO

    .

Câu 14: Giả sử ^{F t}

 

là một nguyên hàm của tln²⁰t, ta có: ^{F t}

 

^tln20t.

Khi đó: ^{f x}

 

^{F e}

   

^{2x F ex  f x}

 

^{2e F e2x }

 

^{2x e F ex }

 

^{x 2e e2x 2xln20}

 

^{e2x e ex xln20}

 

^ex

 

^{21 4 20 2 20 2 20}



^{21 2}



21

1 21

2 2 1 0 2 ln ln 2

2 2

x x x x

f x e x e x e x e x x

           .

Câu 15: Thiết diện qua trục của hình nón là tam giác vuông cân tại đỉnh của hình nón.

Do đó đường sinh a và đường kính đáy là d a 2 Bán kính 2 2 Ra . Câu 16: Ta có góc giữa hai mặt

   

^{P , Q} lớn nhất là 90. Khi đó

   

^{P  Q} . Ta có ^M

 

^P , BM nhỏ nhất M là hình chiếu của B lên

 

^P .

 

   

1; 1;0 1

: : 1 2

1; 2;1

P

x t

qua B

y t

P u^ n z t

  

 

 

       

     

 

  

  .

Khi đó

 

^{M   }

 

^P ;

Xét hệ

 

1 1

1 2 0

0;1; 1 1

2 3 0 1

x t t

y t x

z t y M

x y z z

   

 

     

   

   

 

       

 

.

Vì

   

 

^{, 4 1;1;1}

   

^{: 0}

, ^{Q P}

Q P

n n AM Q x y z

Q qua A M

         

  



  

.

Câu 17: Ta có công thức tổng quát số viên đá của tầng thứ n là



^2n1



^2.

Vậy tổng số viên đá của 15 tầng là: ¹⁵

 

^{2 15}



²



^{15 2 15}

1 1 1 1

2 1 4 4 1 4 4 15

n n n n

S n n n n n

   

   

         

   

   

^.

Ta có 2 2 2



1 2

 

1



1 2 ...

6

n n n

n  

    và _{1 2 ...}



¹



2 n n n

    .

Vậy S 4.1240 4.120 15 4495   .

Câu 18: Dựa vào bảng biến thiên, đường thẳng ^{y m} cắt đồ thị hàm số ^{y f x}

 

tại 3 điểm phân biệt khi   4 m 0.

Câu 19: Gọi AB x , M là trung điểm của AB, N là trung điểm của BC.

Khi đó 1 48 3

. 24 3

ABC 2

S C M x C M

       x

2 2

2 2 48 3 3

2 CC C M CM x

x

   

 

        .

Mà

2 2

2 3 48 3 3

216 . 4 3

4 2

ABC

x x

V CC S x

x

   

         

   

4 3, 6 3

AB AA

   .

Kẻ ₂. ₂

AN AA 3 3 AH A N AH

AN AA

 

   

  .

Ta có _sin



_{,( )}

 

^{,( )}



³

4 d A A BC AH AB A BC

AB AB

     .

Câu 20: Ta có: 2



²

  

2 0 2 1 2

1

i i

iz i iz i z i i

i

 

            . Điểm biểu diễn của số phức z là ^A

 

^{1; 2} .

Khi đó ^{AM }



^{3 1}

 

^{2  4 2}



^{2  40 2 10 .}

Câu 21: Ta có: ^A

   

^{1;6  C    a b c 5} (1)

Ta có: y 3x²2ax b , hàm số có cực đại bằng 4 tại ^{x  1 B}



^{1; 4}



là điểm cực đại.

 

 

 

 

1 4 5 2

1 0 2 3 3

y a b c

y a b

    

 

 

       .

Từ (1), (2) và (3)

 

^{3 2}

3

2 3 7

0 :

2 2

7 2 a

b C y x x

c

 

     

 



.

Vậy giá trị của hàm số tại x3 là ^y

 

^{3 44}.

Câu 22: Từ ^_^f



^{ x 2}



^_^2_^{f x}



^2



^_^{3 10x (*), cho x0 ta có}

     

 

2 3 2 0

2 2 0

2 1

f f f

f



  

    

       .

Đạo hàm hai vế của (*) ta được:

     

²

 

2f x 2 .f x 2 3 f x 2 .f x 2 10

           .

Cho x0 ta được ^2f

   

^{2 .f 2 3}_^f

 

^{2 }_^2.f

 

^{2 10 f}

   

^{2 .f 2 . 3}_ ^f

 

^{2 2}_^{10 (**).}

Nếu ^f

 

^{2 0} thì (**) vô lý.

Nếu ^f

 

^{2  1}, khi đó (**) trở thành: ^f

  

^{2 . 3 2 }



^{10 f}

 

^{2 2}

Phương trình tiếp tuyến ^y2



^{x   2}



^{1 y 2x5}. Câu 23: Ta có

   

 

2

2 2

lim lim

x x

f x

g x f x m

 

    

 nên m, đồ thị hàm số ^{y g x}

 

luôn có một tiệm cận đứng x2.

Mặt khác, từ bảng biến thiên của hàm số ^{y f x}

 

thì phương trình ^{f x}

 

^{ m 0} tối đa 2 nghiệm.

Vậy để đồ thị hàm số ^{y g x}

 

có đúng 3 tiệm cận đứng thì điều kiện cần là phương trình ^{f x}

 

^m có đúng 2 nghiệm phân biệt x x1, 2 khác 2   3 m 6.

Khi đó

   

     

 

1 1 2 2

2 2

lim lim , lim lim

x x x x x x x x

f x f x

g x g x

f x m f x m

   

         

  nên đồ thị hàm số ^{y g x}

 

có

2 tiệm cận đứng là đường thẳng x x 1 và x x 2.

Vậy với 3 m 6 thì đồ thị hàm số ^{y g x}

 

có đúng 3 tiệm cận đứng. Do m nguyên nên có 2 giá trị của m thỏa mãn bài toán là m4 và m5.

Câu 24: Thể tích V của hình tròn xoay bao gồm thể tích của khối trụ và 2 khối nón như hình vẽ.

Ta có: 1 3

2. 3

2 2

R AC  (R là bán kính đáy của trụ và nón).

Chiều cao h của khối trụ là h2. Chiều cao h của khối nón 2 2 1 h   .

Thể tích của khối tròn xoay: ^{V  R h2 2.1}₃^{R h2  }

 

^{3 .22  2}₃

 

^{3 .1 82  .}

Câu 25: Từ điều kiện ta có:

14 2 2 3 14 2 9

3 3 1;5

x x x

y y x

x

    

        .

Thế

2 3

y x x

  vào P ta được:

5x2 9

P x

  .

Bài toán trở thành tìm GLTN, GTNN của biểu thức:

5x2 9

P x

  với 9

1;5 x  

   .

Xét

5x2 9

P x

  với 9

1;5 x  

   .

2 2

5 9

x 0

P x

    nên ^min

 

^{1 4, max 9 4}

m P P   M  P P    5  . Vậy M m.  16.

Câu 26: Điều kiện: 0 0 a b

 

  .

Ta có: 8 4 ² 2 2

log log 5 1log log 5

a b  3 a b (1);

2

4 8 2 2

log log 7 log 1log 7

a  b  a3 b (2).

Cộng (1) và (2) theo vế với vế ta được:

 

2 2 2 2 2

4 4

log log 12 log log 9 log 9

3 a3 b  a b  ab  .

Câu 27: Đặt z x yi    z x yi khi đó ta có:

     

^{2 2}

1 1 1 1 1 1 1 1

z   x yi    x yi   x y  (1).

Lại có ^{z z }



^{x yi}

 

^{ x yi}



^2yi có phần ảo không âm suy ra 0

y (2).

Từ (1) và (2) ta suy ra ra phần mặt phẳng biểu diễn số phức z là nửa hình tròn tâm ^I

 

^1;0 bán kính r1, diện tích của nó bằng 1 ²

2r 2

  (đvdt).

Câu 28: Ta có ^{1 9}

 

²

0

81 V  



x dx 2^.

Gọi H là hình chiếu của M lên trục Ox, đặt OH m (với 0 m 9), ta có ^{M m m}



^;



^{, MH  m và}

9 AH  m.

Suy ra 2 ^{2 2 2}

1 1 1

. . . 3

3 3 3

V  MH OH MH AH  MH OA m.

Theo giả thiết, ta có V1 2V2 nên 81 27

2 6m m 4

    . Do đó 27 3 3 4 ; 2

M 

 

 

 .

Từ đó ta có phương trình đường thẳng OM là 2 3 y 9 x.

Diện tích S phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

 

^C và đường thẳng OM là

27 27

4

4 2

0 0

2 3 2 3 27 3

9 3 9 16

S  x x dx  x x x 





       ^.

Câu 29: Ta có ^{g x}

 

^2



^{f x( )x}



^{   0 x 2;x2;x4}. Lập trục xét dấu:

Hàm số đồng biến trên từng khoảng



^{2; 2}



và



^4;



. Câu 30: Xét điểm I thỏa 2IA IB IC     0

suy ra ^I



^{1; 2; 2}



.

  

²

 

²



²

2 2 2 2 2 2 2

2MA MB MC 2 MI IA   MI IB   MI IC  2MI 2IA IB IC .

2 2 2

2MA MB MC nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất hay M là hình chiếu của I lên

 

^P .

Lúc đó, đường thẳng MI có phương trình

1 3 2 3

2 2

x t

y t

z t

  

  

   



suy ra

0 0 0

1 3 2 3

2 2

x t

y t

z t

  

  

   



.

Mà 3x03y02z015 0 3 1 3



 t

 

3 2 3 t



  2 2 2



t



15 0  t 1. Vậy 2x03y0z0 2 1 3



 t

 

3 2 3 t

 

  2 2t



  6 t 5.

Câu 31: Xét

 

     

     

¹

2 1 2

2 1 ! 2 1 . 2 !

. 2 1 .

! 2 1 ! 1 ! 2 1 !

k k

n n

n n n

kC k n C

k n k k n k

 

 

   

       với 1 k 2n1. Ta có ^{VT }



^2n1

 

^{C20nC12n21C22n22 ... C22nn22n}



^



^{2n1 1 2}

 

^



^{2n 2n1 .}

Do đó: 2n 1 2021 n 1010.

Câu 32: Từ hình vẽ ta thấy ¹

  

²



¹

 

¹



²



1 1 1

2 2 2

3 3 9

2 2

4 8 8

S f x x x dx f x dx x x dx

  

 

 





    







     . Câu 33:

2

2

1 1

1 1

. .

3 3 2 3

V  OP S  OPAC   OP PA



^{2 2}

 

^{2 2}



3OP OA OP 3OP R OP

 

   

2

2

2 2

1 1

. .

3 3 2 3

V  OQ S  OQAB   OQ QA



^{2 2}

 

^{2 2}



3OQ OA OQ 3OQ R OQ

 

    .

Xét hàm ^{f x}

 

^{x R}



^2x2



^{. Với 0 x R.}

Khi đó

 

^{2 3 .2}

 

^{0 3}

3 x R f x R x f x

x R

 

     

  



.

Lập bảng biến thiên, thấy rằng ^max_{0; }

 

3

x R

g x f R



 

  

 .

Khi đó, áp dụng cho V V1, 2: ^{V V1 2 } ₃^{ }_^{OP R}



^2OP2



^{OQ R}



^{2 OQ2}



^_ đạt giá trị lớn nhất khi 3

OP OQ  R .

Hay khi đó tam giác ABC cân tại A (do OP OQ ).

Mà lúc đó ^{2 2 2 2} 2 6

2 2

3 3

R R

AB R OQ  R   . Do tam giác ABC cân A nên khi đó AM BC. Ta có

4 .62

1 . . . . 9 4

2 4 2 2 3

ABC

R

AB AC BC AB AC R

S AM BC AM

R R R

      .

Mà 4

3 3

R R

AM  AO OM OM   R .

Vậy ^V31₃^{OM S. 3 1}₃^{OM MC. . 2 } ₃^{OM R}



^2OM2



^ _{3 3}^.R^R2R₉^{2 }^8₈₁^R3

  .

Câu 34: Ta có ^{z  1 5}



^x1



^{2y2 52}

Lại có ^{P   z i2 z 22 x2}



^y1

 

^{2 x 2}



^{2y2 4x2y 3 4}



^{x 1}



^2y1

Theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có:

 

^{2 2}

 

^{2 2 2}

4 1 2 1 4 2 1 1 20. 5 1 10 5 1

P x  y   x y      . Câu 35: Ta có thể tích của chậu là ^{.3 1 4 2}

 

⁷

V 3

    .

Gọi chiều cao của mực nước là 3x với (x0). Ta có bán kính của mặt nước là 1x.

Ta có phương trình ^{.3 1 1}

  

^{2 1}



^{37 7 1}

3 x x x 189 x 3

          . Vậy chiều cao của mực nước là 1dm.

Câu 36: Ta có

   

       

   

2

2 2 3 4 2 2 2

2 2 .

1 1 xf x f x xf x f x 1 x 1

f x x f x f x x f x x

 

  

      

  .

Suy ra

   

2 2 2

1 1

x x

dx dx C

f x x f x x

 

    

 

 

 

 

^.

Lại có ^f

 

^{2 1} nên 5 C2.

Do đó: 2

 

²

 

²

5 1 5 2 2

2 2 5 2

x x x

f x

f x x x x

     

 . Suy ra ²

 

^{4 16}

 

^{4 4}

9 3

f   f  .

Câu 37: Ta có: 2^sin2x3^cos2xm.3^sin2x 2^sin2x3^{1 sin}