TOP 30 Đề thi Học kì 2 Toán lớp 9 năm 2022 có đáp án

BỘ ĐỀ THI HỌC KÌ I TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CUỐI HỌC KÌ II Năm học: 2021 – 2022

Bài thi môn: Toán 9 Thời gian làm bài: 90 phút

Phần I. Trắc nghiệm (2 điểm)

Câu 1. Phương trình 4x – 3y = -1 nhận cặp số nào sau đây là một nghiệm?

A. (-1;-1) B. (-1;1) C. (1;-1) D. (1;1)

Câu 2. Phương trình nào dưới đây có thể kết hợp với phương trình x+y = 1 để được một hệ phương trình có nghiệm duy nhất?

A. x + y = -1 B. 0.x + y = 1 C. 2y = 2 - 2x D. 3y = -3x + 3

Câu 3. Cho hàm số 2 ²

y x

3 . Kết luận nào sau đây là đúng?

A. Hàm số trên luôn đồng biến B. Hàm số trên luôn nghịch biến

C. Hàm số trên đồng biến khi x > 0 và nghịch biến khi x < 0 D. Hàm số trên đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0 Câu 4. Điểm P(-1;-2) thuộc đồ thị hàm số y = m.x² khi m bằng:

A. 2

ĐỀ 01

B. -2 C. 4 D. -4

Câu 5. Tổng hai nghiệm của phương trình 2x²+5x-3=0 là:

A. 5 2 B. 5

2 C. 3 2 D. 3

2

Câu 6. Cho đường tròn(O ; R ) dây cung AB R 2. Khi đó góc AOB có số đo bằng A. 20⁰

B. 30⁰ C. 60⁰ D. 90⁰

Câu 7. Cho các số đo như hình vẽ, biết MON=60⁰. Độ dài cung MmN là:

A.

R m2

6 B. R

3 C.

R2

6

R

m O

M N

D.

R2

3

Câu 8. Cho ABC vuông tại A, AC = 3cm, AB = 4cm. Quay tam giác đó một vòng quanh cạnh AB được một hình nón. Diện tích xung quanh của hình nón đó là:

A. 10(cm²) B. 15(cm²) C. 20(cm²) D. 24(cm²)

Phần II. Tự luận (8 đ) Bài 1.

a) Giải hệ phương trình: 3x y 1 3x 2y 5. b) Giải phương trình : (x + 3)² = (x² – 2x)²

Bài 2. Cho phương trình ẩn x , tham số m: x² – mx + m – 1 = 0 a) Chứng tỏ phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m

b) Gọi x₁ và x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho . Tìm giá trị của m để x1

2.x2 + x1.x2

2 = 2.

Bài 3. Cho (O; R) và một điểm A ở ngoài đường tròn. Qua A kẻ các tiếp tuyến AB và AC với đường tròn ( B và C là các tiếp điểm ). Gọi H giao điểm của AO và BC. Chứng minh:

a) ABOC là tứ giác nội tiếp

b) Kẻ đường kính BD của (O) ,vẽ CK vuông góc với BD . Chứng minh :AC.CD = AO.CK

c) AD cắt CK ở I .Chứng minh I là trung điểm của CK

Bài 4 : Cho 361 số tự nhiên a ,a ,a ,...,a_{1 2 3 361} thỏa mãn điều kiện :

1 2 3 361

1 1 1 1

a a a a 37

Chứng minh rằng trong 361 số tự nhiên đó ,tồn tại ít nhất 2 số bằng nhau

HƯỚNG DẪN GIẢI Phần I. Trắc nghiệm (2 điểm)

Câu 1. Phương trình 4x – 3y = -1 nhận cặp số nào sau đây là một nghiệm?

A. (-1;-1) B. (-1;1) C. (1;-1) D. (1;1)

Hướng dẫn giải Đáp án đúng là A

+) Thay x = -1 và y = -1 vào phương trình đã cho ta được: 4.(-1) – 3.(-1) = -1 ⇔ -1 = -1 (luôn đúng). Do đó cặp số (-1; -1) là nghiệm của phương trình đã cho.

+) Thay x = -1 và y = 1 vào phương trình đã cho ta được: 4.(-1) – 3.1 = -1 ⇔ -7 = -1 (vô lý). Do đó cặp số (-1; 1) không là nghiệm của phương trình đã cho.

+) Thay x = 1 và y = -1 vào phương trình đã cho ta được: 4.1 – 3.(-1) = 7 ⇔ 7 = -1 (vô lý). Do đó cặp số (1; -1) không là nghiệm của phương trình đã cho.

+) Thay x = 1 và y = 1 vào phương trình đã cho ta được: 4.1 – 3.1 = -1 ⇔ 1 = -1 (vô lý).

Do đó cặp số (1; 1) không là nghiệm của phương trình đã cho.

Câu 2. Phương trình nào dưới đây có thể kết hợp với phương trình x + y = 1 để được một hệ phương trình có nghiệm duy nhất?

A. x + y = -1 B. 0.x + y = 1 C. 2y = 2 - 2x D. 3y = -3x + 3 Hướng dẫn giải Đáp án đúng là B

Tập nghiệm của phương trình x + y = 1 được biểu diễn bởi đường thẳng d₁: y = -x + 1 Tập nghiệm của phương trình x + y = -1 được biểu diễn bởi đường thẳng d2: y = -x – 1 Tập nghiệm của phương trình 0.x + y = 1 được biểu diễn bởi đường thẳng d3: y = 1 Tập nghiệm của phương trình 2y = 2 - 2x được biểu diễn bởi đường thẳng d₄: y = - x + 1 Tập nghiệm của phương trình 3y = -3x + 3 được biểu diễn bởi đường thẳng d₅: y = - x + 1

Ta có:

+) d₁//d₂ do đó hai phương trình không có nghiệm chung.

+) d3 cắt d2 tại điểm có tọa độ (2; 1) nên hai phương trình này có một nghiệm chung.

+) d4 trùng d1 nên hai phương trình có vô số nghiệm chung.

+) d5 trùng d1 nên hai phương trình có vô số nghiệm chung.

Vậy phương trình 0.x + y = 1 và phương trình đã cho tạo với nhau một hệ có một nghiệm duy nhất

Câu 3. Cho hàm số 2 ²

y x

3 . Kết luận nào sau đây là đúng?

A. Hàm số trên luôn đồng biến B. Hàm số trên luôn nghịch biến

C. Hàm số trên đồng biến khi x > 0 và nghịch biến khi x < 0 D. Hàm số trên đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0 Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là C Hàm số 2 ²

y x

3 có 2

a 0

3 khi đó hàm số đồng biến khi x > 0 và nghịch biến khi x

< 0.

Câu 4. Điểm P(-1;-2) thuộc đồ thị hàm số y = m.x² khi m bằng:

A. 2 B. -2 C. 4

D. -4

Hướng dẫn giải Đáp án đúng là B

Vì điểm P thuộc đồ thị hàm số nên thay x = - 1 và y = -2 vào hàm số ta được:

-2 = m.(-1)² ⇔ m = -2.

Vậy với m = -2 thì điểm P thuộc đồ thị hàm số đã cho.

Câu 5. Tổng hai nghiệm của phương trình 2x²+5x-3=0 là:

A. 5 2 B. 5

2 C. 3 2 D. 3

2

Hướng dẫn giải Đáp án đúng là B

Xét phương trình bậc hai 2x² + 5x – 3 = 0 có a = 2, b = 5, c = -3 và

∆ = b² – 4ac = 5² – 4.2.(-3) = 25 + 24 = 49 > 0 Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1 2

5 49 1 5 49 12

x , x 3

2.2 2 2.2 4 .

Suy ra _{1 2} 1 5

x x 3

2 2

Câu 6. Cho đường tròn(O ; R) dây cung AB R 2. Khi đó góc AOB có số đo bằng A. 20⁰

B. 30⁰ C. 60⁰ D. 90⁰

Hướng dẫn giải Đáp án đúng là D

Kẻ đường thẳng OH vuông góc với AB tại H Suy ra H là trung điểm của AB

AB R 2

AH BH

2 2

Xét ∆OHA vuông tại H, có:

0

R 2

AH 2 2

sin AOH AOH 45

OA R 2

Xét ∆AOB có OA = OB = R nên tam giác AOB cân tại O Mà OH là đường cao nên OH là phân giác AOB

AOH BOH 450

AOB 900

Câu 7. Cho các số đo như hình vẽ, biết MON=60⁰. Độ dài cung MmN là:

R

m O

M N

A.

R m2

6 B. R

3 C.

R2

6 D.

R2

3

Hướng dẫn giải Đáp án đúng là B

Độ dài cung MmN là ₀ ⁰

MmN

R R

l .60 .

180 3

Câu 8. Cho ABC vuông tại A, AC = 3cm, AB = 4cm. Quay tam giác đó một vòng quanh cạnh AB được một hình nón. Diện tích xung quanh của hình nón đó là:

A. 10(cm²) B. 15(cm²) C. 20(cm²) D. 24(cm²) Hướng dẫn giải Đáp án đúng là B

Xét ∆ABC vuông tại A, có:

BC² = AB² + AC² (định lý Py – ta – go) BC² = 3² + 4²

BC² = 25 BC = 5 (cm)

Đường sinh của hình nón chính là BC nên l = 5 (cm) Bán kính đáy là cạnh AC, ta có: R = 3 (cm).

Khi đó diện tích xung quanh của hình nón là: S Rl .3.5 15 (cm²) Vậy diện tích xung quanh của hình nón sinh bởi tam giác ABC là 15 cm². Phần II. Tự luận (8 đ)

Bài 1:

a) 3x y 1 3x y 1 3x 4 1 3x 3 x 1

3x 2y 5 y 4 y 4 y 4 y 4.

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (1; 4).

b) Xét phương trình: (x + 3)² = (x² – 2x)²

⇔ (x + 3)² – (x² – 2x)² = 0

⇔ (x + 3 – x² + 2x)(x + 3 + x² – 2x) = 0

⇔ (– x² + 3x + 3)(x² – x + 3) = 0

TH1: – x² + 3x + 3 = 0 (1)

Ta có: ∆ = 3² – 4.(-1).3 = 9 + 12 = 21 > 0

Suy ra phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ₁ 3 21 ₂ 3 21

x ; x

2 2

TH2: x² – x + 3 (2)

Ta có: ∆ = (-1)² – 4.1.3 = 1 – 12 = -11 < 0 Suy ra phương trình (2) vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm ₁ 3 21 ₂ 3 21

x ; x .

2 2

Bài 2:

a) Xét phương trình: x² – mx + m – 1 = 0, có:

∆ = (-m)² – 4.(m – 1) = m² – 4m + 4 = (m – 2)² ≥ 0 với mọi m Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.

b) Gọi x₁ và x₂ là hai nghiệm của phương trình đã cho.

Áp dụng định lý Vi – ét, ta có:

1 2

1 2

x x m

x .x m 1

Xét biểu thức x1

2.x2 + x1.x2 2 = 2.

1 2 1 2

x .x (x x ) 2 m(m 1) 2

m2 m 2 0

m 0 m 0

m 1 0 m 1

Vậy với m = 0 ; m = 1 thì phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện của bài toán.

Bài 3:

Vẽ hình đúng

a) ABOC là tứ giác nội tiếp vì có tổng hai góc đối ABO ACO 180 . ⁰ b) ACO CKD(g.g)

AC AO CO

CK CD KD

AC AO

CK CD

AC.CD AO.CK

c) Ta có : CK // AB ( cùng vuông góc với BD ) nên : IK // AB Xét ∆ABD có IK // AB (cmt )

Do đó : IK DK

AB DB( định lí ta lét ) IK.DB = AB.KD (1)

Lại có AC AO CO

CK CD KD ( cmt )

Mà : AC = AB ( tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ); CO = OB = R

AB OB

AB.KD CK.OB

CK KD (2)

Từ (1) và (2) ta có : IK.DB = CK.OB hay IK . 2R = CK . R Do đó CK = 2IK .

Suy ra I là trung điểm của CK.

Bài 4:

I H B

A O

C D

K

Giả sử trong 361 số tự nhiên đó không tồn tại hai số nào bằng nhau Không mất tính tổng quát , giả sử a₁ a₂ a₃ ... a₃₆₁

Do a_i N(i 1,2,3,...361) nên:a₁ 1; a₂ 2;...;a₃₆₁ 361

1 2 3 361

1 1 1 1 1 1 1

... 1 ...

a a a a 2 3 361

Mà 1 1 1 2 2 2 2

1 ... ....

2 3 361 1 1 2 2 3 3 361 361

1 1 1

2 ... 1

2 1 3 2 360 361

2 2 1 3 2 ... 361 360 1 37 Hay

1 2 3 361

1 1 1 1

... 37

a a a a (Trái với giả thiết)

Vậy Trong 361 số tự nhiên đó , tồn tại ít nhất hai số bằng nhau.

BỘ ĐỀ THI HỌC KÌ I TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CUỐI HỌC KÌ II Năm học: 2021 – 2022

Bài thi môn: Toán 9 Thời gian làm bài: 90 phút

Bài 1. (2,5 điểm)

1. Giải hệ phương trình: 5x y 10

x 3y 18

2. a) Vẽ đồ thị hàm số y = 2x + 2.

b) Xác định hàm số y = ax + b có đồ thị là đường thẳng (d), biết đường thẳng (d) đi qua điểm M(-1 ; 2) và song song với đường thẳng y = 2x + 2.

Bài 2. (2,0 điểm) Cho phương trình ẩn x: x² 2(m 1)x 2m 0 (1) a) Giải phương trình (1) với m = -2 ;

b) Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m .

c) Gọi hai nghiệm của phương trình (1) là x ; ₁ x . Tìm giá trị của ₂ m để x ; ₁ x là độ dài ₂ hai cạnh của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 12 .

Bài 3. (2,0 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình :

Một xe khách và một xe du lịch khởi hành đồng thời từ A đến B. Biết vận tốc của xe du lịch lớn hơn vận tốc xe khách là 20km/h. Do đó đến B trước xe khách là 50 phút. Tính vận tốc của mỗi xe, biết quãng đường AB dài 100km.

Bài 4. (3,5 điểm)

ĐỀ 02

Cho hình vuông ABCD, điểm M thuộc cạnh BC (M khác B, C). Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DM, đường thẳng này cắt các đường thẳng DM và DC theo thứ tự tại H và K.

1. Chứng minh: Các tứ giác ABHD, BHCD nội tiếp đường tròn;

2. Tính CHK ;

3. Chứng minh KH.KB = KC.KD;

4. Đường thẳng AM cắt đường thẳng DC tại N. Chứng minh 1 ₂ 1 ₂ 1 ₂

AD AM AN .

HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1.

1. Ta có: 5x y 10 15x 3y 30 16x 48 x 3

x 3y 18 x 3y 18 x 3y 18 y 5

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x,y) = (-3 ; -5).

2.

a) Cho x = 0  y = 2, ta được A(0 ; 2)  Oy Cho y = 0  x = -1, ta được B(-1 ; 0)  Ox

Đồ thị hàm số y = 2x + 2 là đường thẳng đi qua hai điểm A và B Vẽ đúng đồ thị hàm số y = 2x + 2:

b) Vì đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = 2x + 2 nên a 2

b 2

Ta có đường thẳng (d) đi qua điểm M(-1 ; 2):

Thay x = -1 và y = 2 vào đồ thị hàm số (d), ta có: -a + b = 2 Mà a = 2 nên b = 4 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy hàm số cần tìm có dạng y = 2x + 4.

Bài 2.

a) Với m = -2 ta được phương trình x² + 2x – 4 = 0 Ta có ∆‟ = 1² – (-4) = 5 > 0

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt:x₁   1 5 ; x₂   1 5. Vậy với m = -2 tập nghiệm của phương trình đã cho là ^{S  }





b) Xét phương trình (1) có ‟ = (m + 1)² – 2m = m² + 2m + 1 – 2m = m² + 1 Vì m² ≥ 0 với mọi m

Nên m² + 1 > 0 với mọi m hay ∆‟ > 0 với mọi m.

Vậy với mọi m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

c) Theo b) phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m.

Áp dụng định lí Viét ta có:    

 



1 2

1 2

x x 2(m 1) x x 2m

Vì x₁ và x₂ là độ dài hai cạnh của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 12 nên theo định lý Py – ta – go ta có:

2 2

1 2

x x 12





   





   

4m2 8m 4 4m 12

    

4m2 4m 8 0

   

2 m 1

m m 2 0

m 2

 

       

Vậy với m = 1 hoặc m = -2 thì x1; x2 là độ dài hai cạnh của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 12.

Bài 3.

Gọi vận tốc xe khách là x(km/h) (x > 0) Vận tốc xe du lịch là x + 20 (km/h) Thời gian xe khách đi từ A đến B là 100

x (h)

Thời gian xe du lịch đi từ A đến B là 100

x 20 (h) Do xe du lịch đến B trước xe khách 50 phút = 5

6 giờ nên ta có phương trình:

100 100 5

x 0, x 20

x x 20 6

600 x 20 600x 5x x 20

x 0, x 20

6x x 20 6x x 20 6x x 20

⇔ 120x + 2 400 – 120x = x² + 20x

⇔ x² + 20x – 2 400 = 0 x 40

x 60

Trong hai giá trị ta thấy x = 40 thỏa mãn điều kiện. Do đó vận tốc của xe khách là 40km/h và vận tốc của xe du lịch là 40 + 20 = 60 km/h.

Vậy vận tốc của xe khách là 40km/h và vận tốc của xe du lịch là 40 + 20 = 60 km/h.

Bài 4.

Vẽ hình đúng:

a) Ta có: DAB = 90^o (ABCD là hình vuông) và BHD = 90^o (gt) P

N K H M

D C

A B

0 0 0

DAB BHD 90 90 180

Mà hai góc ở vị trí đối nhau nên tứ giác ABHD nội tiếp đường tròn.

Ta có: BHD = 90^o (gt) và BCD= 90^o (ABCD là hình vuông) BHD BCD 90 0

Do đó H và C là hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn cạnh DB dưới một góc bằng nhau nên tứ giác BHCD nội tiếp đường tròn.

b)

Theo ý a, tứ giác AHCD là nội tiếp đường tròn nên BDC BHC 180^o Mà CHK BHC 180^o

CHK BDC

Vì ABCD là hình vuông nên

0

ADC 90 0

BDC 45

2 2 (tính chất hình vuông) CHK 45 . 0

c) Xét KHD và KCB, có:

KHD KCB (90 ) o

DKB chung

⇒ KHD ∽ KCB (g.g)

 KH KD

KC KB KH.KB = KC.KD (đpcm).

d) Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AM, đường thẳng này cắt đường thẳng DC tại P.

Xét ∆BAM và ∆DAP, có:

ABM ADP 90 o

BAM DAP (cùng phụ MAD )

AB = AD (tính chất hình vuông ABCD)

⇒ BAM = DAP (g.c.g)

⇒ AM = AP (hai cạnh tương ứng) Xét PAN vuông tại A, có: AD  PN

2 2 2

1 1 1

AD AP AN (hệ thức lượng trong tam giác vuông) Mà AP = AM (cmt)

 1 ₂ 1 ₂ 1 ₂

AD AM AN .

BỘ ĐỀ THI HỌC KÌ I TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CUỐI HỌC KÌ II Năm học: 2021 – 2022

Bài thi môn: Toán 9 Thời gian làm bài: 90 phút

Bài 1. (1,5 điểm) Giải hệ phương trình

1 2

x 3 y 1 9

3 1

x 3 y 1 6

  

  



  

  



Bài 2. (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình:

Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 720m², nếu tăng chiều dài 6m và giảm chiều rộng 4m thì diện tích của mảnh vườn không đổi. Tính các kích thước của mảnh vườn đó.

Bài 3. (2,0 điểm)

Cho phương trình bậc hai ẩn x, ( m là tham số): x²4xm0 (1) a, Giải phương trình với m = 3.

b, Tìm điều kiện của m để phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Bài 4. (4,0 điểm)

1. Một lọ hoa hình trụ có đường kính đáy là 12cm, người ta đổ vào trong lọ một lượng nước với chiều cao cột nước là 20cm. Tính thể tích nước trong lọ hoa.

2. Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường tròn đường kính AD. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tai E. Kẻ EF AD. Gọi M là trung điểm của AE. Chứng minh rằng:

a. Tứ giác ABEF nội tiếp một đường tròn.

 ĐỀ 03

b. Tia BD là tia phân giác của góc CBF.

c. Tứ giác BMFC nội tiếp một đường tròn.

Bài 5. (0,5 điểm)

Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn: 1 1 1 a b c 3.

Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 1

A a b b c c a .

HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1.

Xét hệ phương trình

1 2

x 3 y 1 9

3 1

x 3 y 1 6

  

  



  

  



. Điều kiện x 3 0 x 3

y 1 0 y 1

Đặt a ¹ , b ¹

x 3 y 1

 

  . Khi đó hệ phương trình đã cho tương đương với

a 2b 9 a 2b 9 7a 21 a 3 a 3

3a b 6 6a 2b 12 6a 2b 12 6.3 2b 12 b 3

      

    

              

     .

1 3 x 3 1 x 8

x 3 3 3

1 1 2

3 y 1 y

y 1 3 3

(thỏa mãn điều kiện)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là ^{8 2}; 3 3 . Bài 2.

Gọi chiều dài của mảnh đất đó là x(m), x > 0

Chiều rộng của mảnh đất đó là ⁷²⁰ x (m) Nếu tăng chiều dài 6m: x + 6 (m)

Và giảm chiều rộng 4m ta được: ⁷²⁰ 4

x (m)

Thì diện tích mảnh vườn là: x 6 ⁷²⁰ 4 m² x

Do diện tích mảnh vườn không đổi nên ta có phương trình: x 6 ⁷²⁰ 4 720 x

720 720.6

x. 4x 6.4 720

x x

720 4x 4320 24 720 x

⇔ 4x² + 24x – 4320 = 0

⇔ x² + 6x – 1080 = 0 x 30 TM

x 36 KTM

Suy ra chiều dài mảnh đất đó là 30m, chiều rộng mảnh đất là 720

30 24m. Vậy chiều dài mảnh đất đó là 30m, chiều rộng mảnh đất là 24m.

Bài 3.

a) Với m = 3 phương trình (1) trở thành x² 4x 3 0

Ta có ∆‟ = (-2)² – 3 = 1 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt

1 2

2 1 2 1

x 3, x 1

1 1 .

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 = 3 và x2 = 1.

b) Xét phương trình (1), ta có:   ' ( 2)²  m 4 m

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì: ∆‟ > 0 ⇔ 4 – m > 0 ⇔ m < 4.

Bài 4.

1.

Bán kính đáy là: 12:2 = 6 cm.

Lượng nước trong bình cũng là hình trụ nên thể tích nước trong bình là:

2 2

V R .h 6 .20 720 (cm³).

Vậy thể tích lượng nước trong bình là 720 cm . ³ 2.

a) Chỉ ra ABD 90⁰(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) suy ra ABE 90⁰

Vì EF AD nên EFA 90⁰

0 0 0

ABE EFA 90 90 180

Do đó tứ giác ABEF có tổng hai góc đối bằng 180⁰ nên nội tiếp được đường tròn.

b) Tứ giác ABEF nội tiếp suy ra B₁ A ( hai góc nội tiếp cùng chắn ₁ EF)

Xét (O), có: B₂ A ( hai góc nội tiếp cùng chắn ₁ CD ) Suy ra B₁ B ₂

Do đó BD là tia phân giác của CBF.

c) Vì M là trung điểm của AE nên M là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABEF.

Ta có M₁ 2A (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn ₁ EF) Ta lại có: CBF 2B (BD là tia phân giác của ₁ CBF) Mặt khác B₁ A ₁

Suy ra CBF M ₁

Do đó B và M là hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn đoạn CF dưới một góc bằng nhau và chúng cùng phía đối với CF nên suy ra tứ giác BMFC nội tiếp một đường tròn.

Bài 5.

Với a > 0, b > 0 ta có: (a – b)² ≥ 0 ⇔ (a + b)² ≥ 4ab ⇔ a b 4 ab a b

⇔ 4 1 1

a b a b^⇔

1 1 1 1

a b 4 a b (1)

Chứng minh tương tự, ta có: 1 1 1 1 b c 4 b c (2)

1 1 1 1

a c 4 a c (3)

Cộng vế với vế của (1), (2) và (3) ta được:

1 1 1 1 1 1 1 1 3

.3 .

a b b c c a 2 a b c 2 2

Hay A ³ 2

Dấu “=” xảy ra khi

a b c

a b c 1

1 1 1

a b c 3

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là ³

2 khi a = b = c = 1.

BỘ ĐỀ THI HỌC KÌ I TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CUỐI HỌC KÌ II Năm học: 2021 – 2022

Bài thi môn: Toán 9 Thời gian làm bài: 90 phút

Phần I. Trắc nghiệm

Câu 1. Cho hệ phương trình: 2x 3y 5

5x 4y 1 có một nghiệm là A.(-1;1)

B.(-1;-1) C,(1;-1) D.(1;1)

Câu 2. Trong các phương trình sau phương nào là phương trình bậc hai một ẩn:

A.( 3 1)x² = 3x + 5 B.(m – 2) x² – 3x + 2 = 0

ĐỀ 04

C.1 ²

2x 3

x

D. x² 5x 1 0 Câu 3. Hàm số y = 3x²

A. Luôn đồng biến với mọi x.

B. Luôn nghịch biến với mọi x.

C. Đồng biến khi x > 0 và nghịch biến khi x < 0 D. Đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0 Câu 4. Phương trình: x² + 3x – 4 = 0 có 2 nghiệm là;

A. -1 và -4 B. 1 và - 4 C. -1và 4.

D. 1 và 4

Câu 5. Một hình trụ có diện tích xung quanh là S và thể tích là V.Nếu S và V có cùng giá trị (không kể đơn vị đo) thì bán kính của hình trụ bằng:

A. 1 B. 2 C. 3

D. Kết quả khác

Câu 6. Trong hình vẽ bên TA là tiếp tuyến của đường tròn. Nếu ABO 25⁰thì TAB bằng:

A.130⁰ B.45⁰

O A

T

B

C. 75⁰ D. 65⁰

Câu 7. Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai .Trong một đường tròn:

A. Các góc nội tiếp bằng nhau thì các cung bị chắn bằng nhau B. Các góc nội tiếp cùng chắn một dây thì bằng nhau

C. Với hai cung nhỏ cung nào lớn hơn thì căng dây lớn hơn

D. Góc nội tiếp không quá 90⁰bằng nửa góc ở tâm cùng chắn một cung Câu 8. Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai .

A. Góc ở tâm của đường tròn có số đo bằng nửa số đo của cung bị chắn B. Trong một đường tròn hai cung có số đo bằng nhau thì bằng nhau C. Trong hai cung tròn cung nào có số đo lớn hơn thì lớn hơn

D. Số đo của nửa đường tròn bằng 180⁰ Phần II. Tự luận

Bài 1: a) Giải hệ phương trình: 2x 3y 2

3x 2y 3

b) Không giải phương trình: x² + 3x - 5 = 0. Hãy tính x₁² + x₂² ;

1 2

1 1

x x (Trong đó x₁; x2 là nghiệm của phương trình)

Bài 2: Cho phương trình : x² 2mx 4m 4 0 (1) a) Giải phương trình với m = 3

b) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm

c) Viết biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm x₁; x2 (x1; x2là nghiệm của phương trình (1) ) không phụ thuộc vào m.

Bài 3: Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh 4 điểm B, E, C, F thuộc một đường tròn. Xác định tâm O của đường tròn này.

b) Chứng minh HE.HB = HD.HA = HF.HC

c) FD cắt đường tròn (O) tại I. Chứng minh EI vuông góc với BC.

HƯỚNG DẪN GIẢI

I. Phần trắc nghiệm

Câu 1. Cho hệ phương trình: 2x 3y 5

5x 4y 1 có một nghiệm là A.(-1;1)

B.(-1;-1) C,(1;-1) D.(1;1)

Hướng dẫn giải Đáp án đúng là D

2x 3y 5 8x 12y 20 23x 23 x 1 x 1

5x 4y 1 15x 12y 3 15x 12y 3 15.1 12y 3 y 1

Vậy hệ phương trình có nghiệm là (1; 1).

Câu 2. Trong các phương trình sau phương nào là phương trình bậc hai một ẩn:

A. ( 3 1)x² = 3x + 5 B. (m – 2) x² – 3x + 2 = 0

C. 1 ²

2x 3

x

D. x² 5x 1 0 Hướng dẫn giải Đáp án đúng là A

( 3 1)x² = 3x + 5 ⇔ ( 3 1)x² - 3x – 5 = 0 là phương trình bậc hai một ẩn với a 3 1, b = - 3, c = -5.

Câu 3. Hàm số y = 3x²

A. Luôn đồng biến với mọi x.

B. Luôn nghịch biến với mọi x.

C. Đồng biến khi x > 0 và nghịch biến khi x < 0 D. Đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0 Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là C

Hàm số y = 3x² có a = 3 > 0 nên hàm số đồng biến khi x > 0 và nghịch biến khi x < 0 Câu 4. Phương trình: x² + 3x – 4 = 0 có 2 nghiệm là;

A. -1 và -4 B. 1 và - 4 C. -1 và 4 D. 1 và 4

Hướng dẫn giải Đáp án đúng là B

Xét phương trình x² + 3x – 4 = 0 có ∆ = 3² – 4.(-4) = 25 > 0 Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = 1 và x2 = - 4.

Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 1 và x2 = - 4.

Câu 5. Một hình trụ có diện tích xung quanh là S và thể tích là V. Nếu S và V có cùng giá trị (không kể đơn vị đo) thì bán kính của hình trụ bằng:

A. 1 B. 2 C. 3

D. Kết quả khác Hướng dẫn giải Đáp án đúng là B

Gọi bán kính đáy của hình trụ là R và chiều cao hình trụ là h.

Diện tích xung quanh của hình trụ là: S 2 Rh Thể tích của hình trụ là: V R h²

Vì S = V nên ta có: 2 Rh R h² R 2.

Vậy R = 2.

Câu 6. Trong hình vẽ bên TA là tiếp tuyến của đường tròn. Nếu ABO 25⁰thì TAB bằng:

A. 130⁰ B. 45⁰ C. 75⁰ D. 65⁰

Hướng dẫn giải Đáp án đúng là C

Vì OA = OB nên tam giác OAB cân tại O OAB OBA 250

Vì TA là tiếp tuyến của đường tròn nên TA OA TAO 90⁰ Ta lại có: TAB OAB TAO

0 0 0

TAB 25 90 TAB 75

Vậy TAB 75 .⁰

Câu 7. Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai. Trong một đường tròn:

A. Các góc nội tiếp bằng nhau thì các cung bị chắn bằng nhau B. Các góc nội tiếp cùng chắn một dây thì bằng nhau

C. Với hai cung nhỏ cung nào lớn hơn thì căng dây lớn hơn

D. Góc nội tiếp không quá 90⁰ bằng nửa góc ở tâm cùng chắn một cung Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là B

O A

T

B

Theo hình vẽ trên hai góc ABC và ADC là hai góc nội tiếp cùng chắn dây AC nhưng hai góc này không bằng nhau. Do đó phát biểu B sai.

Câu 8. Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai.

A. Góc ở tâm của đường tròn có số đo bằng nửa số đo của cung bị chắn B. Trong một đường tròn hai cung có số đo bằng nhau thì bằng nhau C. Trong hai cung tròn cung nào có số đo lớn hơn thì lớn hơn

D. Số đo của nửa đường tròn bằng 180⁰ Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là A

Góc ở tâm của đường tròn có số đo bằng số đo của cung bị chắn.

II. Phần tự luận Bài 1:

a) 2x 3y 2 4x 6y 4 13x 13 x 1 x 1

3 1 2y 3

3x 2y 3 9x 6y 9 3x 2y 3 y 0

Vậy hệ phương trình có nghiệm (-1; 0).

b) Xét phương trình x² + 3x - 5 = 0 có ∆ = 3² – 4.(-5) = 9 + 20 = 29 > 0 Suy ra phương trình có hai nghiệm x1 và x2.

Áp dụng định lý Viét: ^{1 2}

1 2

x x b 3

a

x x c 5

a Ta có: x12

+ x22

= (x1 + x2)² - 2x1x2 = (-3)² – 2.(-5) = 9 + 10 = 19.

1 2

1 2 1 2

1 1 x x 3 3

x x x x 5 5.

Bài 2:

a) Với m = 3 ta có phương trình :x² 6x 8 0

2 2

' b' ac 3 8 1 > 0

Suy ra phương trình có hai nghiệm ₁ 3 1 ₂ 3 1

x 4 ; x 2

1 1 .

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 = 4 và x2 = 2.

b) Xét phương trình (1) có: ' b'² ac m² 4m 4 m 2 ² 0 với mọi số thực m.

Vậy với mọi giá trị của m thì phương trình có nghiệm.

c) Theo câu b) phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.

Nên theo hệ thức Viét ta có : ^{1 2 1 2}

1 2 1 2

x x b 2m

2 x x 4m (*) a

c x x 4m 4(**)

x x 4m 4

a

Trừ từng vế của phương trình (*) cho phương trình (**) ta được:

1 2 1 2 1 2 1 2

2(x x ) x x 4 2(x x ) x x 4 0

Đây là biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm x₁; x2 không phụ thuộc vào m.

Bài 3:

a) Chứng minh 4 điểm B, E, C, F thuộc một đường tròn.

Ta có: BFC BEC 90⁰

Suy ra E, F là hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn cạnh BC dưới một góc bằng nhau bằng 90⁰. Do đó B, E, C, F cùng thuộc đường tròn đường kính BC.

Tâm O của đường tròn này là trung điểm của BC.

b) Chứng minh HE.HB = HD.HA = HF.HC

Ta có: HDB HEA HDB HEA 90 ;BHD⁰ AHE

HD HB

HE HA

⇒ HD.HA=HE.HB (1) Tương tự

HDC HFA

HD.HA HF.HC(2)

Từ (1) và (2) suy ra HE.HB = HD.HA = HF.HC c) Chứng minh EI vuông góc với BC.

*Chứng minh tứ giác BFHD nội tiếp (BFH BDH 180 ) ⁰ Suy ra :HFD HBD (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD)

Trong đường tròn (O), ta có: HFD là góc nội tiếp chắn IC và HBD là góc nội tiếp chắn EC . Do đó IC EC

Vậy BC EI.

BỘ ĐỀ THI HỌC KÌ I TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CUỐI HỌC KÌ II Năm học: 2021 – 2022

Bài thi môn: Toán 9 Thời gian làm bài: 90 phút

Bài 1: (2 điểm)

Giải các phương trình và hệ phương trình sau :

a)

x y 3 2 3 x 3y 0

4

b) x² - 10x+ 24 = 0 Bài 2: (1,5 điểm)

a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số y ¹x²

4 trên hệ trục tọa độ.

b) Tìm tọa độ các giao điểm của đường thẳng (D) y ^x 2

2 và (P) ở câu trên.

Bài 3: (1,5 điểm)

Cho phương trình : x² - mx + m -1 = 0 (m là tham số) ĐỀ 05

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

b) Gọi x₁, x2 là các nghiệm của phương trình. Tìm m để biểu thức M = x1 2 + x2

2 đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 4: (1 điểm)

Tính diện tích xung quanh của một chiếc thùng phi hình trụ, biết chiều cao của thùng phi là 1,2 m và đường kính của đường tròn đáy là 0,6m.

Bài 5: (3,5 điểm)

Cho tam giác ABC có A 90⁰. Vẽ đường tròn (O) đường kính AB và đường tròn (O‟) đường kính AC. Đường thẳng AB cắt đường tròn (O‟) tại điểm thứ hai là D, đường thẳng AC cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E.

1. Chứng minh bốn điểm B, C, D, E cùng nằm trên một đường tròn.

2. Gọi F là giao điểm của hai đường tròn (O) và (O‟) (F khác A). Chứng minh ba điểm B, F, C thẳng hàng và FA là phân giác của góc EFD.

3. Gọi H là giao điểm của AB và EF. Chứng minh A là tâm đường tròn nội tiếp DEF và BH.AD = AH.BD.

Bài 6: (0,5 điểm)

Cho x, y là hai số thực thoả mãn x.y = 1.

Chứng minh: 4 ₂ ^{2 2}

x y 3

x y . Đẳng thức xảy ra khi nào?

---HẾT--- HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1:

a)

x y

3 2x 3y 18 6x 18 3 2

4x 3y 0 4x 3y 0 x 3y 0

4

x 3

y 4

Vậy hệ PT có nghiệm (3;-4) b) Ta có: ^‟ = 25 – 24 = 1 > 0,

Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt ₁ 5 1 ₂ 5 1

x 3, x 2

2 2

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt: x₁ = 6, x₂ = 4.

Bài 2:

a) Ta có bảng giá trị:

x -4 -2 0 2 4

1 2

y x

4

4 1 0 1 4

Đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua các điểm A(-4; 4), B(-2; 1), O(0; 0), C(2; 1), D(4;

4).

Đồ thị hàm số

b) Hoành độ giao điểm của (P) và (D) là nghiệm của phương trình

2

x x 2

2 x 2x 8 0

4 2

Ta có ∆‟ = 1² – 1.(-8) = 9 > 0

Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt: ₁ 1 9 ₂ 1 9

x 2, x 4

1 1 .

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x₁ = 2, x2 = - 4.

Thay x1 = 2 vào hàm số y ¹x²

4 ta được y = 1 Thay x₁ = -4 vào hàm số y ¹x²

4 ta được y = 4

Vậy tọa độ giao điểm của (D) và (P) là (2 ;1) và (-4 ;4).

Bài 3: (1,5 điểm)

a) Ta có  = m² – 4(m-1) = m² - 4m + 4 = (m - 2)² ≥ 0 với mọi m Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.

b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình.

Theo hệ thức Vi -ét có: x1 + x2 = m và x1.x2 = m – 1

Xét biểu thức x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁.x₂ = m² – 2m + 2

= (m - 1)² + 1 ≥ 1 ( vì (m -1)² ≥ 0 với mọi m) Dấu „=‟ xảy ra khi m - 1 = 0 suy ra m =1 Vậy x12

+ x22

có giá trị nhỏ nhất là 1 khi m = 1.

Bài 4:

Bán kính đường tròn đáy là: 0,6:2 = 0,3 (m).

Thể tích của thùng phi hình trụ là:

V = πr²h = π .0,3². 1,2 = 0,108π (cm³) Bài 5:

Vẽ hình đúng

a) Xét (O) ta có AEB 90⁰(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Xét (O‟) ta có ADC 90⁰(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

AEB ADC 900

Suy ra E và D là hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn BC dưới một góc 90⁰.

Do đó tứ giác BEDC nội tiếp đường tròn hay bốn điểm B, C, D, E cùng nằm trên một đường tròn.

b) Ta có AFB AFC 90⁰ (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) AFB AFC 180 0

Suy ra ba điểm B, F, C thẳng hàng

Ta có AFE ABE (cùng chắn AE) và AFD ACD (cùng chắn AD) Mà ECD EBD (cùng chắn DE của tứ giác BCDE nội tiếp)

Suy ra: AFE AFD ⇒ FA là phân giác của góc DFE.

c) Chứng minh được tương tự câu b có EA là phân giác của tam giác DEF Mà FA cắt DA tại A nên A là tâm đường tròn nội tiếp DEF

Ta có EA là phân giác của tam giác DEH suy ra ^{AH EH}

AD ED (1)

Chứng minh được EB là phân giác ngoài của tam giác DHE và suy ra ^{BH EH}

BD ED (2) Từ (1), (2) ta có: ^{AH BH} AH.BD BH.AD

AD BD .

Bài 6:

Xét 4 ₂ ^{2 2}

x y 3

x y

2 2

2 2

4 x y 3

x 2xy y

2 2

2 2

4 x y 3

x y 2

4 + (x² + y²)² +2(x² + y²) 3(x² + y²) + 6 (x² +y²)² - 4(x² +y²) +4 +3(x² +y²) - 6 0

 

 

[(x² +y²) -2]² +3[x² +y² - 2xy] 0

[(x² +y²) - 2]² + 3(x-y)² 0 (luôn đúng) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

2 2

x y 2

x y 1

x y .

 

 

BỘ ĐỀ THI HỌC KÌ I TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CUỐI HỌC KÌ II Năm học: 2021 – 2022

Bài thi môn: Toán 9 Thời gian làm bài: 90 phút

I. Phần trắc nghiệm (2 điểm)

Câu 1. Giải hệ phương trình x + y = 5

2x - y = 4 được nghiệm là : A. x = -3

y = 2 ; B. x = 3

y = 2; C. x = 3

y = -2; D. x = -3

y = -2.

Câu 2. Cho hàm số y = - ¹x²

2 . Kết luận nào sau đây là đúng ? A. Hàm số luôn nghịch biến;

B. Hàm số luôn đồng biến;

C. Giá trị của hàm số luôn âm;

ĐỀ 06

D. Hàm số nghịch biến khi x > 0 và đồng biến khi x < 0.

Câu 3. Phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì A. x1 = 1 , x2 = c

a ; B. x₁ = -1 , x₂ = -c

a ; C. x1 = 1 , x2 = -c

a ; D. x1 = -1 , x2 = c

a .

Câu 4. Phương trình nào sau đây có 2 nghiệm phân biệt : A. x² – 6x + 9 = 0;

B. x² + 1 = 0;

C. 2x² – x – 1 = 0;

D. x² + x + 1 = 0.

Câu 5. Hai số u và v có tổng là 10 và tích là 21 thì hai số đó là nghiệm của phương trình:

A. x² + 10x + 21 = 0;

B. x² - 21x + 10 = 0;

C. x² - 10x - 21 = 0;

D. x² - 10x + 21 = 0.

Câu 6. Trên hình 1, hãy chọn đáp án đúng:

A. BAC ¹

2sđ BnC ; B. BAC ¹

2 AC ; C. BAC ¹

2 AB; D. Tất cả các ý trên.

Câu 7. Thể tích của hình nón bán kính r và chiều cao h là : A. V = 1

3πr²h ; B. V = 1

3πrh²; C. V = 1

3π(rh)²; D. V = 1

3π²rh.

Câu 8. Trên hình 1, hãy chọn đáp án đúng:

Hình 1 n O A

B

C

A. BAx ¹

2sđAmB B. BAx ¹

2 AnB C. BAx ¹

2(sđAmB - sđAnB) D. Tất cả đều sai.

II. Phần tự luận (8 điểm) Bài 1: (1,5 điểm)

Cho hệ phương trình: mx + 2y = 3 2x - my = 11



 với m là tham số

a) Giải hệ khi m = 2

b) Chứng tỏ rằng hệ luôn có nghiệm duy nhất với mọi giá trị của m.

Bài 2: (1,0 điểm)

Quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh CD cố định ta được một hình trụ có diện tích xung quanh là 96π cm², biết CD = 12cm. Hãy tính bán kính của đường tròn đáy và thể tích của hình trụ đó.

Bài 3: (2 điểm)

m

x

Hình 2 n

O A

B

Cho phương trình: x² - 2mx + m² - m -2 =0

a ) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt trái dấu.

b ) Tìm m để phương trình đã cho 2 nghiệm x1; x2 sao cho x1 2 + x2

2 = 4.

Bài 4: (3,5 điểm)

Cho tam giác ABC (có ba góc nhọn) nội tiếp đường tròn (O) và tia phân giác của góc B cắt đường tròn tại M. Các đường cao BD và CK của ABC cắt nhau tại H.

a) Chứng minh rằng tứ giác ADHK nội tiếp một đường tròn.

b) Chứng minh rằng OM là tia phân giác của góc AOC. c) Gọi I là giao điểm của OM và AC. Tính tỉ số ^OI

BH.

HƯỚNG DẪN GIẢI I. Phần trắc nghiệm (2 điểm)

Câu 1. Giải hệ phương trình x + y = 5

2x - y = 4 được nghiệm là : A. x = -3

y = 2 ; B. x = 3

y = 2; C. x = 3

y = -2; D. x = -3

y = -2.

Hướng dẫn giải Đáp án đúng là B

Ta có: x + y = 5 3x = 9 x = 3 x = 3 2x - y = 4 2x - y = 4 2.3 - y = 4 y = 2 . Câu 2. Cho hàm số y = - ¹x²

2 . Kết luận nào sau đây là đúng ? A. Hàm số luôn nghịch biến;

B. Hàm số luôn đồng biến;

C. Giá trị của hàm số luôn âm;

D. Hàm số nghịch biến khi x > 0 và đồng biến khi x < 0.

Hướng dẫn giải Đáp án đúng là D Hàm số y = - ¹x²

2 có a ¹

2 < 0 nên hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x

> 0.

Câu 3. Phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì A. x1 = 1 , x2 = c

a ; B. x1 = -1 , x2 = -c

a ; C. x₁ = 1 , x₂ = -c

a ; D. x1 = -1 , x2 = c

a .

Hướng dẫn giải Đáp án đúng là A

Phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm x1

= 1 và x2 = c a .

Câu 4. Phương trình nào sau đây có 2 nghiệm phân biệt : A. x² – 6x + 9 = 0;

B. x² + 1 = 0;

C. 2x² – x – 1 = 0;

D. x² + x + 1 = 0.

Hướng dẫn giải Đáp án đúng là C

Phương trình x² – 6x + 9 = 0 có ∆‟ = 3² – 9 = 0 nên phương trình có nghiệm kép. Do đó A sai.

Phương trình x² + 1 = 0 có ∆ = 0² – 1 = - 1 < 0 nên phương trình vô nghiệm. Do đó B sai.

Phương trình 2x² – x – 1 = 0 có ∆ = (-1)² – 4.2.(-1) = 1 + 8 = 9 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt. Do đó C đúng.

Phương trình x² + x + 1 = 0 có ∆ = 1² – 4.1.1 = -3 < 0 nên phương trình vô nghiệm. Do đó D sai.

Câu 5. Hai số u và v có tổng là 10 và tích là 21 thì hai số đó là nghiệm của phương trình:

A. x² + 10x + 21 = 0;

B. x² - 21x + 10 = 0;

C. x² - 10x - 21 = 0;

D. x² - 10x + 21 = 0.

Hướng dẫn giải Đáp án đúng là D

Phương trình cần tìm có tổng S = 10 và tích là P = 21 có dạng:

x² – Sx + P = 0

⇔ x² – 10x + 21 = 0.

Câu 6. Trên hình 1, hãy chọn đáp án đúng:

A. BAC ¹

2sđ BnC ; B. BAC ¹

2sđ AC ; C. BAC ¹

2sđAB; D. Tất cả các ý trên.

Hướng dẫn giải

Hình 1 n O A

B

C

Đáp án đúng là A

Ta có BAC là góc nội tiếp chắn cung BnC BAC 1

2sđ BnC

Câu 7. Thể tích của hình nón bán kính r và chiều cao h là : A. V = 1

3πr²h ; B. V = 1

3πrh²; C. V = 1

3π(rh)²; D. V = 1

3π²rh.

Hướng dẫn giải Đáp án đúng là A

Thể tích của hình nón có bán kính đáy r và chiều cao là V = 1 3πr²h.

Câu 8. Trên hình 1, hãy chọn đáp án đúng:

m

x

Hình 2 n

O A

B

A. BAx ¹

2sđAmB B. BAx ¹

2sđAnB C. BAx ¹

2(sđAmB - sđAnB) D. Tất cả đều sai.

Hướng dẫn giải Đáp án đúng là B

Ta có BAx là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn AnB BAx 1

2sđAnB II. Phần tự luận Bài 1:

a) Với m=2 hệ trở thành:

b) Xét hệ:

Từ hai phương trình của hệ suy ra: (*)

Vì phương trình (*) luôn có nghiệm với mọi m nên hệ đã cho luôn có nghiệm với mọi m.

Bài 2:

Ta có hình vẽ sau:

2x 2y 3 x 7 2x 2y 11 2

y 2

   

 

   

   

mx 2y 3

ví i m lµ tham sè 2x my 11

 

  







Khi đó h = CD = 12cm.

Diện tích xung quanh của hình trụ là 2 Rh 96

96 96

R 4cm

2 h 2 .12 .

Do đó bán kính hình tròn đáy là 4cm.

Thể tích của hình trụ là: V = πR²h = π.4².16 = 256π (cm³)

Vậy bán kính đường tròn đáy là 4cm và thể tích hình trụ đã cho là 256π cm³. Bài 3:

b) Tìm m để phương trình đã cho 2 nghiệm x₁; x2 sao cho x1 2 + x2

2 = 4.

a) Xét phương trình x² - 2mx + m² - m - 2 = 0 có a = 1, b = -2m, c = m² – m – 2 Ta có: ∆‟ = m² – m² + m + 2 = m + 2

Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi ∆‟ > 0 ⇔ m + 2 > 0 ⇔ m > - 2.

Hai nghiệm của phương trình đã cho trái dấu khi a.c < 0 ⇔ m² – m – 2 < 0

⇔ (m – 2)(m + 1) < 0

m 2 0 m 2

m 1 0 m 0

0 m 2

m 2 0 m 2

m 1 0 m 1

Vậy với 0 < m < 2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt trái dấu.

b) Theo ý a) với m > - 2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 và x2. Áp dụng định lý Vi – et, ta có: ^{1 2} ₂

1 2

x x 2m

x .x m m 2

Xét biểu thức: x1 2 + x2

2 = 4

⇔ (x1 + x₂)² – 2x₁x₂ = 4

⇔ 4m² – 2(m² – m – 2) = 4

⇔ 4m² – 2m² + 2m + 4 = 4

⇔ 2m² + 2m = 0

⇔ 2m(m + 1) = 0

⇔ 2m 0

m 1 0

⇔ m 0(TM)

m 1(KTM)

Vậy với m = 0 thì phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 4:

a) Ta có BD AC ADH 90⁰ Ta lại có CK AB AKH 90⁰

ADH AKH 90 0

Suy ra tứ giác ADHK có tổng hai góc đối nhau bằng 180⁰ nên tứ giác nội tiếp đường tròn.

b) Xét (O), có:

ABM 1AOM

2 (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn AM) CBM 1COM

2 (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn CM ) Mà ABM CBM(BM là tia phân giác của ABC)

AOM COM

Do đó OM là tia phân giác của AOC. c)

Xét ∆OAC có OA = OC nên ∆OAC cân tại O Ta có OA là phân giác của AOC

Suy ra OA là đường trung tuyến Do đó I là trung điểm của AC Kẻ đường kính BN

Ta có: BCN 90⁰ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) CN BC

Ta lại có AH BC(H là trực tâm tam giác)

⇒ AH // CN (1)

Ta có: BAN 90⁰ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) AB AN

Ta lại có CH AB(H là trực tâm tam giác)

⇒ AN // CH (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác AHCN là hình bình hành.

Mà I là trung điểm của AC

Suy ra I là trung điểm của HN (tính chất hình bình hành) Xét ∆BHN, có:

O là trung điểm của BN I là trung điểm của HN

Suy ra OI là đường trung bình của tam giác

1 OI 1

OI BH

2 BH 2.