Chuyên đề tia phân giác của góc - THCS.TOANMATH.com

(1)

Trang 1 BÀI 5: TIA PHÂN GIÁC CỦA GÓC

Mục tiêu

 Kiến thức

+ Hiểu và phát biểu được định nghĩa tia phân giác của một góc.

+ Biết dùng thước đo góc và cách gấp giấy để vẽ tia phân giác của một góc cho trước.

 Kĩ năng

+ Biết vẽ tia phân giác của một góc.

+ Nhận biết và chứng minh được tia phân giác của một góc.

+ Vận dụng định nghĩa tia phân giác của một góc để tính số đo góc.

(2)

Trang 2 I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Định nghĩa

- Tia phân giác của một góc là tia nằm giữa hai cạnh của góc và tạo với hai cạnh ấy hai góc bằng nhau.

- Mỗi góc (không phải là góc bẹt) chỉ có một tia phân giác.

Oz là tia phân giác góc xOy

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Vẽ tia phân giác của một góc Ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Vẽ tia phân giác của các góc sau

Hướng dẫn giải

Đo số đo các góc trên và vẽ tia phân giác tương ứng

Bài tập tự luyện dạng 1

Câu 1: Vẽ tia phân giác của góc xOy trong các trường hợp sau

(3)

Trang 3

a) b)

c) d)

Dạng 2: Chứng minh một tia là phân giác của một góc cho trước Phương pháp giải

Chứng minh tia Oy là tia phân giác của xOz. Cách 1.

• Chứng minh tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz.

• Chứng minh  xOy yOz.

Cách 2. Chứng minh   1 xOy yOz 2xOz.

Ví dụ: Cho xOy100. Vẽ tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy sao cho xOz 50 . Chứng tỏ rằng tia Oz là tia phân giác của xOy.

Vì tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy nên

   xOz zOy xOy  hay 50 zOy100

 100 50 zOy   

 50 zOy .

Tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy và

(4)

Trang 4

  50

xOz zOy   nên Oz là tia phân giác xOy.

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, vẽ tia Oy, Ot sao cho xOt40, xOy 80 . a) Tia Ot có nằm giữa hai tia Ox và Oy không?

b) So sánh tOy và xOt.

c) Tia Ot có là tia phân giác xOy không? Vì sao?

a) Ta có tia Ot và tia Oy nằm trên cùng mặt phẳng bờ chứa tia Ox mà xOt xOy 



⁴⁰^{  }⁸⁰



^{nên tia}

Ot nằm giữa hai tia Ox và Oy.

 

¹

b) Vì tia Ot nằm giữa hai tia Ox và Oy ta có

   xOt tOy xOy  40 tOy 80

 80 40 tOy   

 40 tOy 

  40 tOy xOt

   

 

²

c) Từ

 

^{1 và}

 

2 suy ra Ot là tia phân giác của góc xOy. Ví dụ 2. Cho hai góc mOn và nOt phụ nhau, biết nOt  60 .

a) Tính số đo mOn.

b) Trên nửa mặt phẳng bờ Om không chứa tia On vẽ tia Ox sao cho mOx 30 . Tia On có phải là tia phân giác của xOt không? Vì sao?

(5)

Trang 5 a) Hai góc mOn và nOt phụ nhau nên mOn nOt   90

suy ra mOn  90 nOt     90 60 30 . Vậy mOn 30 .

b) Tia Ox thuộc nửa mặt phẳng bờ Om không chứa tia On nên tia Om nằm giữa hai tia On và Ox.

Khi đó nOx nOm mOx        30 30 60. Tương tự, tia Om nằm giữa hai tia Ot và Ox nên tOx tOm mOx        90 30 120.

Do đó   1

nOx nOt 2tOx. Vậy On là tia phân giác của xOt.

Câu 1: Cho bốn tia OA, OB, OC, OD chung gốc O theo thứ tự đó sao cho AOD180;  AOB COD . Gọi Ox là tia phân giác của AOD. Chứng tỏ Ox cũng là tia phân giác của BOC.

Câu 2: Trên cùng nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, vẽ các tia Oy, Oz, Ot sao cho xOy 30 ; xOz 50 và

 100 xOt .

a) Trong ba tia Ox, Oy và Oz, tia nào nằm giữa hai tia còn lại? Tính số đo góc yOz. b) Trong ba tia Ox, Oz và Ot, tia nào nằm giữa hai tia còn lại? Tính số đo góc zOt. c) Tia Oz có là tia phân giác của góc xOt không? Vì sao?

Câu 3: Vẽ góc bẹt xOy. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ xy vẽ tia Oz và Ot sao cho  xOz yOt40. Vẽ tia phân giác Om của zOt.

a) Tính số đo mOz và mOt.

b) Tia Om có là tia phân giác của xOy không? Vì sao?

(6)

Trang 6 Câu 4: Cho AOB 80 . Vẽ tia OC nằm giữa hai tia OA và OB sao cho AOC60. Vẽ tia phân giác OD của AOB.

a) Tính số đo góc COD.

b) Chứng tỏ rằng OC là tia phân giác của BOD.

Câu 5: Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng xy đi qua O, vẽ các tia Om và On sao cho

 40

xOm ; yOn160. Chứng tỏ rằng On là tia phân giác của xOm.

Câu 6: Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng xy đi qua O, vẽ các tia Om, On, Ot sao cho

 55

xOm , yOn 85 , yOt 45.

a) Chứng tỏ rằng tia On nằm giữa hai tia Om và Ot.

b) Chứng tỏ rằng tia On là tia phân giác của góc mOt.

Dạng 3: Tính số đo góc Ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Cho hai góc xOy và yOz là hai góc kề bù, biết xOy120. a) Tính yOz.

b) Gọi Om là tia phân giác của xOy. Tính zOm. Hướng dẫn giải

a) Vì xOy và yOz là hai góc kề bù nên ta có  xOy yOz 180 hay

 180  180 120 60 yOz  xOy     .

b) Tia Om là tia phân giác của xOy nên    120 2 2 60

xOm mOy  xOy   .

Hai góc xOm và zOm kề bù nên xOm zOm  180 60 zOm180

 180 60 120 zOm     

Ví dụ 2. Trên một nửa mặt phẳng bờ chứa tia OA vẽ tia OB sao cho AOB 35 , vẽ tia OC sao cho

AOC 70 .

(7)

Trang 7 a) Tia OB có phải là tia phân giác của AOC không? Vì sao?

b) Vẽ OB là tia đối của tia OB. Tính số đo góc kề bù với AOB. Hướng dẫn giải

a) OB và OC cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ chứa tia OA mà  AOB AOC



³⁵^{  }⁷⁰



^{nên tia}

OB nằm giữa hai tia OA và OC.

 

¹

Khi đó   AOB BOC AOC 35 BOC 70

 70 35 35 BOC      Do vậy  AOB BOC  35 .

 

²

Từ

 

^{1 và}

 

2 suy ra OB là tia phân giác của AOC.

b) Vì OB là tia đối của tia OB nên AOB và AOB là hai góc kề bù nên

  180 AOB AOB  

35 AOB180

 180 35 145 AOB      .

Vậy AOB 145.

Ví dụ 3. Cho hai góc kề bù xOy và yOz biết xOy 78 , Ot là tia phân giác của góc yOz. a) Tính tOz.

b) Tia Oy có phải là tia phân giác của xOt không? Vì sao?

(8)

Trang 8 a) Vì xOy và yOz là hai góc kề bù nên  xOy yOz 180

78 yOz180

 180 78 102 yOz     . Vì Ot là tia phân giác của góc yOt nên ta có    102

2 2 51

yOz zOt  yOz   .

b) Nhận xét thấy xOy  và 78 yOt 51



 ^xOy^ ^yOt



nên Oy không phải là tia phân giác của xOt. Ví dụ 4. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, vẽ hai tia Oy, Oz sao cho xOy 50 , xOz130.

a) Tính số đo góc yOz.

b) Gọi Ot là tia phân giác của góc yOz. Tính số đo góc xOt. c) Vẽ tia Oh là tia đối của tia Oy. So sánh xOz và xOh. Hướng dẫn giải

a) Hai tia Oy, Oz cùng nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox mà ^{xOy xOz} ^



⁵⁰^{ }¹³⁰^



nên tia Oy nằm giữa hai tia Ox, Oz.

Khi đó ta có   xOy yOz xOz  50 yOz130

(9)

Trang 9

 130 50 80 yOz     . b) Vì Ot là tia phân giác của góc yOz nên

   80 40

2 2

yOtzOt yOz   .

Vì Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz nên Oy nằm giữa hai tia Ox và Ot.

Do đó   xOy yOt xOt 40   50 xOt

 90 xOt 

c) Vì Oh là tia đối của tia Oy nên xOh và xOy là hai góc kề bù, ta có

  180 xOh xOy  

 50 180 xOh   

 180 50 30 xOh      Vậy xOz xOh  130.

Ví dụ 5. Cho góc xOy có số đo là 160°, vẽ tia Oz bất kỳ nằm trong góc đó. Gọi Om, On lần lượt là các tia phân giác của các góc xOz và yOz. Tính số đo góc mOn.

Do Om là tia phân giác của góc xOz nên Om nằm giữa hai tia Ox và Oz nên    2 xOm zOm  xOz.

Tương tự On là tia phân giác góc yOz nên On nằm giữa hai tia Oy và Oz nên    2 yOn zOn  yOz.

Lại có Oz nằm trong góc xOy nên Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy.

Suy ra Oz nằm giữa hai tia Om và On.

Khi đó ta có mOz nOz mOn    hay   

2 2

xOz yOz mOn

(10)

Trang 10

 2 xOy mOn 160 

2mOn

 80 mOn . Vậy mOn 80 .

Câu 1: Cho góc tù xOn. Bên trong góc xOy, vẽ tia Om sao cho góc xOm 90 , vẽ tia On sao cho

yOn 90 .

a) Chứng minh  xOn yOm.

b) Gọi Ot là tia phân giác của góc xOy. Chứng minh Ot cũng là tia phân giác của mOn.

Câu 2: Cho hai góc kề nhau AOB và BOC sao cho AOB 50 , BOC 80 . Gọi OD là tia đối của tia OC.

a) Tính số đo góc AOC.

b) Chứng tỏ tia OA nằm giữa hai tia OB và OD.

c) Tia OA có phải là phân giác của BOD không? Vì sao?

Câu 3: Cho hai góc kề bù AOB và BOC trong đó AOB3BOC. a) Tính BOC.

b) Trên nửa mặt phẳng bờ AC có chứa tia OB, vẽ tia OD sao cho  AOD BOC . Hỏi tia OB có là tia phân giác của góc COD không? Vì sao?

Câu 4: Cho COD 80 . Vẽ tia OE trong góc COD sao cho COE 60 . Vẽ tia phân giác OF của COD. a) Tính EOF.

b) Chứng tỏ OE là tia phân giác của DOF.

(11)

Trang 11 ĐÁP ÁN

Dạng 1: Vẽ tia phân giác của một góc

Câu 1. Đo số đo các góc xOy và dùng thước đo độ vẽ tia phân giác của từng trường hợp tương ứng.

a) b)

c) d)

Dạng 2: Chứng minh một tia là phân giác của một góc cho trước Câu 1.

Theo đề bài Ox là tia phân giác của góc AOD nên ta có  AOx DOx .

 

¹

Mà   AOx AOB BOx  , DOx COD COx    .

 

²

Lại theo giả thiết  AOB COD .

 

³

Từ

 

^{1 ,}

 

^{2 và}

 

^{3 suy ra}BOx COx^{ } . Vậy Ox là tia phân giác của góc COB. Câu 2.

(12)

Trang 12 a) Ta có số đo góc xOy nhỏ hơn số đo góc xOz nên tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz.

   xOz xOy yOz 

  yOz xOz xOy 

yOz    50 30 20.

b) Ta có số đo góc xOz nhỏ hơn số đo góc xOt nên tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Ot.

   xOtxOz zOt

   zOtxOt xOz

 100 50 50 zOt     .

c) Từ câu trên ta có xOz zOt   50 do đó tia Oz là tia phân giác của góc xOt.

Câu 3.

a) Ta có   xOz zOt tOy  180 nên zOt180 xOz tOy  180     40 40 100. Do Om là phân giác của góc zOt nên mOz mOt zOt    : 2 100 : 2 50    .

b) Tia Om cũng là tia phân giác của góc xOy.

Vì xOm xOz zOm    40    50 90 và   yOm xOy xOm  180    90 90 nên  xOm yOm. Câu 4.

(13)

Trang 13 a) Ta có OD là phân giác của góc AOB nên   AOD BOD AOB: 2 80 : 2 40   .

Do đó số đo góc AOD nhỏ hơn số đo góc AOC nên tia OD nằm giữa hai tia OA và OC.

Suy ra   AOC AOD DOC

   DOCAOC AOD

 60 40 20 DOC     

b) Ta có   BOC AOB AOC     80 60 20.

Do  AOCAOD và  AOB AOC nên tia OC nằm giữa hai tia OB và OD. Như vậy

  20

BOC DOC   nên OC là phân giác của góc BOD. Câu 5.

Ta có xOn và yOn là hai góc kề bù nên

  180 xOn yOn  

 160 180 xOn   

 180 160 20 xOn      .

Hai tia Om và On cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng xy mà  ^{xOn xOm}^



²⁰^{ }⁴⁰^



^tia

On nằm giữa hai tia Ox và Om.

 

¹

Ta có   xOn mOn xOm  20 mOn40

 40 20 20   20

mOn      mOn xOn  

 

²

Từ

 

¹ ^và

 

² suy ra On là tia phân giác của xOm. Câu 6.

(14)

Trang 14 Ta có xOm và yOm là hai góc kề bù nên  xOm yOm 180

55 yOm180

 180 55 125 yOm     .

Hai tia Om và Ot cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng xy mà  yOt yOm



⁴⁵^{ }¹²⁵^



nên tia Ot nằm giữa hai tia Oy và Om.

Khi đó ta có   yOt tOm yOm  45 tOm 125

 125 45 80 tOm     .

Mặt khác  yOt yOn



⁴⁵^{  }⁸⁵



nên tia Ot nằm giữa hai tia Oy và On.

Ta có   yOt tOn yOn  45 tOn 85

 85 45 40 tOn     .

Ta có xOn và yOn là hai góc kề bù nên xOn yOn  180

 85 180 xOn   

 180 85 95 xOn     .

Hai tia Om và On cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng xy mà xOm xOn 



⁵⁵^{  }⁹⁵



nên tia Om nằm giữa hai tia Ox và On.

Khi đó ta có   xOm mOn xOn  55 mOn 95

 95 55 40 mOn     .

Vậy   1

tOn mOn  2tOm. Suy ra On là tia phân giác của tOm và tia On nằm giữa hai tia Om và Ot.

Dạng 3: Tính số đo góc Câu 1.

(15)

Trang 15 a) Ta có:

yOn  90 mOn yOm 

 90   xOm  mOn xOn

Do đó mOn xOn mOn yOm      xOn  yOm. b) Ot là phân giác của góc xOy nên xOt  yOt.

Mà   xOt xOn nOt  ,   yOt yOm mOt suy ra     xOn nOt nOt   yOm mOt

 

¹

Từ

 

¹ và a) ta suy ra mOt nOt 

 

^*

Do xOy180 nên  xOt yOt 90 mà  xOm yOn 90 nên  xOt xOm ,  yOt yOm. Từ đó suy ra tia Ot nằm giữa hai tia Om và On.

 

^**

Từ

 

^{* và}

 

** suy ra Ot là phân giác của góc mOn.

Câu 2:

a)   AOCAOB BOC     50 80 130.

b) Ta có  AOC COD



¹³⁰^{ }¹⁸⁰^



^và^{COB AOC}^{ }^



⁸⁰^{ }¹³⁰^



do đó tia OA nằm giữa tia OB và OD.

c) Tia OA nằm giữa hai tia OC và OD nên COD COA AOD    . 180 130 AOD

 180 130 50 AOD     

(16)

Trang 16 Như vậy  AODAOB 50 kết hợp với câu b) OA nằm giữa hai tia OB và OD nên OA là tia phân giác của góc BOD.

Câu 3.

a) AOB3BOC suy ra 

 3 1 AOB BOC 

AOB và BOC là hai góc kề bù nên  AOB BOC 180.

Số đo góc AOB là



180 : 4 .3 135



 . Số đo góc BOC là 180 135 45.

b) Ta có  AOD BOC  45 và  AOD COD 180 nên COD180   45 135. Số đo góc CODlớn hơn số đo góc COB nên tia OB nằm giữa hai tia OC và OD.

   COB BOD COD  45 BOD135

 135 45 90 BOD     .

Vậy số đo góc BOD khác số đo góc COB nên OB không là tia phân giác của góc COD Câu 4.

a) OF là tia phân giác của góc COD nên

  : 2 80 : 2 40 COFDOF COD    .

Số đo góc COF nhỏ hơn số đo góc COE nên OF nằm giữa hai tia OC và OE.

Do đó

   COF EOF COE  40 EOF60

 60 40 20 EOF     .

b) OE nằm giữa hai tia OC và OD nên

   COE DOE COD  60 DOE 80

 80 60 20 DOE     .

(17)

Trang 17 Suy ra  DOE EOF 20 và số đo góc COE lớn hơn số đo góc COF, số đo góc COE nhỏ hơn số đo góc COD nên tia OE nằm giữa hai tia OD và OF.

Vậy OE là tia phân giác của góc DOF.