Bài 1: Hàm số lượng giác A. Các câu hỏi, hoạt động trong bài
Hoạt động 1 trang 4 SGK Toán lớp 11 Đại số:
a) Sử dụng máy tính bỏ túi, hãy tính sinx, cosx với x là các số sau: ; 6 4
1,5; 2; 3,1; 4,25; 5 b) Trên đường tròn lượng giác, với điểm gốc A, hãy xác định các điểm M mà số đo của cung
AM bằng x (rad) tương ứng đã cho ở trên và xác định sinx, cosx (lấy 3,14) Lời giải:
a) 1
sin6 2
=
cos 3
6 2
=
sin 2
4 2
=
cos 2
4 2
=
sin 1,5 = 0,9975 cos 1,5 = 0,0707 sin 2 = 0,9093 cos 2 = −0,4161 sin 3,1 = 0,0416 cos 3,1 = −0,9991 sin 4,25 = −0,8950 cos 4,25 = −0,4461 sin 5 = −0,9589 cos 5 = 0,2837 b)
Hoạt động 2 trang 6 SGK Toán lớp 11 Đại số: Hãy so sánh các giá trị sinx và sin(-x), cosx và cos(-x).
Lời giải:
sinx = −sin(−x) cosx = cos(−x)
Hoạt động 3 trang 6 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tìm những số T sao cho f(x + T) với mọi x thuộc tập xác định của hàm số sau:
a) f(x) = sin x b) f(x) = tan x Lời giải:
a) f(x) = sin x
T=k2 (k ) vì f (x+T)=sin(x+k2 ) =sin x=f (x) b) f(x) = tan x
T= k (k ) vì f (x+T)=tan(x+ =k ) tan x=f x
( )
B. Bài tập
Bài 1 trang 17 SGK Toán lớp 11 Đại số: Hãy xác định giá trị của x trên đoạn ;3 2
− để hàm số y = tanx:
a) Nhận giá trị bằng 0;
b) Nhận giá trị bằng 1;
c) Nhận giá trị dương;
d) Nhận giá trị âm.
Lời giải:
a) Hàm số y = tan x nhận giá trị bằng 0 .
Suy ra: tan x= = 0 x k ,(k ) Vì x ;3
2
− chọn k { 1;0;1} −
Với k= − = − 1 x tan(− =) 0 (thỏa mãn) Với k= = 0 x 0 tan 0=0 (thỏa mãn) Với k 1= = x tan( ) =0 (thỏa mãn)
Vậy x { − ;0; } thì hàm số y= tan x nhận giá trị bằng 0 trên ;3 2
−
. b) Hàm số y = tan x nhận giá trị bằng 1
Suy ra: tan x 1 x k ,(k ) 4
= = +
Vì x ;3 2
− chọn k { 1;0;1} −
Với 3 3
k 1 x tan 1
4 4
− −
= − = = (thỏa mãn)
Với k 0 x tan 1
4 4
= = = (thỏa mãn)
Với 5 5
k 1 x tan 1
4 4
= = = (thỏa mãn) Vậy x 3 ; ;5
4 4 4
−
thì hàm số y = tan x nhận giá trị bằng 1 trên ;3 2
−
. Dựa vào đồ thị hàm số y = tan x trên đoạn ;3
2
−
ta có:
c) Dựa vào đồ thị
tan x > 0 khi x ; 0; ;3
2 2 2
−
− d) Dựa vào đồ thị
Ta thấy tan x < 0 khi x ;0 ;
2 2
−
Bài 2 trang 17 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tìm tập xác định của các hàm số:
a) 1 cos x y sin x
= +
b) 1 cos x y 1 cos x
= +
−
c) y tan x 3
= − d) y cot x
6
= +
Lời giải:
a) Hàm số 1 cos x y sin x
= + xác định khi:
sin x 0 x k , k
Vậy tập xác định của hàm số là D= \ {k ,k } b) Hàm số 1 cos x
y 1 cos x
= +
− xác định khi:
1 cos x 1 cos x 0 1 cos x 0
+
−
−
(*) Vì 1 cos x+ 0 x nên
(*) −1 cos x 0 cos x 1 cos x1 x k2 , k Vậy tập xác định của hàm số là D= \ {k2 ,k }
c) Hàm số y tan x 3
= − xác định khi: cos x 0 3
−
x k
3 2
− + 5
x k (k )
6
+
Vậy tập xác định của hàm số là D \ 5 k , k 6
= +
d) Hàm số y cot x 6
= + xác định khi:sin x 0 6
+
x k
6
+ x k (k ) 6
−+
Vậy tập xác định của hàm số là D \ k , k 6
−
= +
.
Bài 3 trang 17 SGK Toán lớp 11 Đại số: Dựa vào đồ thị hàm số y = sinx, hãy vẽ đồ thị hàm số y = |sinx|
Lời giải:
Ta có: sin x khi sin x 0
y sin x
sin x khi sin x 0
= = −
Do đó đồ thị của hàm số y = |sinx| có được từ đồ thị (C) của hàm số y = sinx bằng cách:
- Giữ nguyên phần đồ thị của (C) nằm trong nửa mặt phẳng y ≥ 0 (tức là nửa mặt phẳng bên trên trục hoành kể cả bờ Ox)
- Lấy hình đối xứng qua trục hoành của phần đồ thị (C) nằm trong nửa mặt phẳng y<0 (tức là nửa mặt phẳng bên dưới trục hoành không kể bờ Ox)
- Xóa phần đồ thị của (C) nằm trong nửa mặt phẳng y<0.
Đồ thị y = |sinx| là đường liền nét trong hình dưới đây:
Bài 4 trang 17 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh rằng sin2 x( + =k ) sin2xvới mọi số nguyên k. Từ đó vẽ đồ thị hàm số y = sin2x.
Lời giải:
Hàm y = sinx là hàm tuần hoàn với chu kì 2 nên ta có:
( ) ( )
sin2 x+ =k sin 2x+k2 =sin2x k Z Ta có:
f(x) = sin2x
( ) ( ) ( ) ( )
f x sin2 x sin 2x k2 sin2x f x
+ = + = + = =
Do đó hàm số y = sin2x tuần là hàm tuần hoàn với chu kì . Xét hàm số y = sin2x trên đoạn
0; .Ta lấy các điểm đặc biệt như sau:
x 0
4
2
3
4
y = sin 2x 0 1 0 -1 0
Từ đó ta có đồ thị hàm số y = sin2x trên đoạn
0; , ta tịnh tiến song song với trục Ox các đoạn có độ dài ta được đồ thị hàm số y = sin2x trên R.Bài 5 trang 18 SGK Toán lớp 11 Đại số: Dựa vào đồ thị hàm số y = cosx, tìm các giá trị
của x để 1
cos x
=2. Lời giải:
Xét giao điểm của đồ thị hàm số y = cos x và đường thẳng 1 y= 2 Ta có, đường thẳng 1
y= 2 cắt đồ thị hàm số y = cos x tại các giao điểm có hoành độ tương ứng là k2
3
+ và k2 , k 3
− +
Do đó, 1
cos x x k2 , k
2 3
= = +
Bài 6 trang 18 SGK Toán lớp 11 Đại số: Dựa vào đồ thị hàm số y = sinx, tìm các khoảng giá trị của x để hàm số đó nhận giá trị dương.
Lời giải:
Nhìn đồ thị y = sinx ta thấy trong đoạn [− ; ] các điểm nằm phía trên trục hoành của đồ thị y = sinx là các điểm có hoành độ thuộc khoảng (0; )
Hàm số y = sinx là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 . Từ đó, tất cả các khoảng giá trị của x để hàm số đó nhận giá trị dương là (0+k2 ; +k2) hay (k2 ; +k2)với k .
Bài 7 trang 18 SGK Toán lớp 11 Đại số: Dựa vào đồ thị hàm số y = cosx, tìm các khoảng giá trị của x để hàm số đó nhận giá trị âm.
Lời giải:
Xét trên đoạn [0;2 ] , dựa vào đồ thị hàm số y = cosx, để làm hàm số nhận giá trị âm thì:
x ;3 2 2
Do hàm số y = cosx tuần hoàn với chu kì 2 nên tất cả các khoảng mà đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành là: x k2 ;3 k2 , k
2 2
+ +
Bài 8 trang 18 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số:
a) y=2 cos x +1 b) y = 3 – 2sinx Lời giải:
a) y=2 cos x +1 Điều kiện: cos x 0 .
Vì 1 cos x 1− nên kết hợp điều kiện ta có 0cos x 1
0 cos x 1
0 2 cos x 2
0 1 2 cos x 1 2 1
+ + +
1 y 3
Do đó max y 3= khi cos x 1= =x k2. b) y = 3 - 2sin x
Ta có: 1 sin x 1− 2 2sin x 2
− −
3 2 3 2sin x 3 2
− − + 1 y 5
Vậy max y 5= khi sin x 1 x k2 2
= − = − + .
Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản A. Các câu hỏi, hoạt động trong bài
Hoạt động 1 trang 18 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tìm một giá trị của x sao cho 2sinx – 1 = 0.
Lời giải:
Ta có: 1
2sin x 1 0 sin x
− = = 2
Do 1
sin6 2
=
6
là một giá trị của x thỏa mãn 2 sin x – 1 = 0.
Hoạt động 2 trang 19 SGK Toán lớp 11 Đại số: Có giá trị nào của x thỏa mãn phương trình sinx = -2 không?
Lời giải:
Theo Bài 1: Hàm số lượng giác, ta đã biết − 1 sin x 1 , mà – 2 < – 1 Vậy không có giá trị nào của x thỏa mãn phương trình sinx = – 2.
Hoạt động 3 trang 21 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau:
a) 1
sin x
= 3;
b) sin x
(
450)
2+ = − 2 . Lời giải:
a) 1
sin x
= 3
x arcsin1 k2
3 (k )
x arcsin1 k2 3
= +
= − +
Vây phương trình 1 sin x
= 3 có các nghiệm là:
x arcsin1 k2
3 (k )
x arcsin1 k2 3
= +
= − +
.
b) sin x
(
45)
2+ = − 2
( ) ( )
sin x 45 sin 45
+ = −
( )
x 45 45 k360
(k )
x 45 180 45 k360
+ = − +
+ = − − +
x 90 k360
(k ) x 180 k360
= − +
= +
Vậy phương trình có các nghiệm x 90 k360
(k ) x 180 k360
= − +
= +
.
Hoạt động 4 trang 23 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau:
a) 1
cos x
= −2;
b) 2
cos x
= 3;
c) cos x
(
300)
3+ = 2 . Lời giải:
a) Vì 1 2 2 cos 3
−
=
nên 1
cos x 2
= − 2
cos x cos 3
= 2
x k2 , k
3
= +
Vậy các nghiệm của phương trình là 2
x k2 , k
3
= + .
b) 2 2
cos x x arccos k2 , k
3 3
= = +
Vậy các nghiệm của phương trình là 2
x arccos k2 , k
= 3+ . c) Vì 3
cos30 2 = nên cos x
(
300)
3+ = 2
( )
cos x 30 cos30
+ =
0 0 0
x 30 30 k360 ,k
+ = +
x k360
x 60 k360 , k
=
= − +
Vậy các nghiệm của phương trình là x=k360 ; x = − +60 k360 , k . Hoạt động 5 trang 24 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau:
b) tan x = -1;
c) tan x = 0.
Lời giải:
a) tan x 1 tan x tan x k , k
4 4
= = = +
Vậy các nghiệm của phương trình là x k , k 4
= + .
b) tan x 1 tan x tan x k , k
4 4
= − = − = − + Vậy các nghiệm của phương trình là x k , k
4
= − + . c) tan x 1= tan x=tan 0 = x k , k
Vậy các nghiệm của phương trình là x= k , k .
Hoạt động 6 trang 26 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau:
a) cot x = 1;
b) cot x = -1;
c) cot x = 0.
Lời giải:
a) cot x 1 cot x cot x k , k
4 4
= = = +
Vậy các nghiệm của phương trình là x k , k 4
= + .
b) cot x 1 cot x cot x k , k
4 4
= − = − = − + Vậy các nghiệm của phương trình là x k , k
4
= − + .
c) cot x 0 cot x cot x k , k
2 2
= = = +
Vậy các nghiệm của phương trình là x k , k 2
= + . B. Bài tập
Bài 1 trang 28 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau:
a) 1
sin(x 2) + = 3; b) sin 3x = 1;
c) sin 2x 0
3 3
−=
;
d)sin 2x
(
20)
3+ = − 2 . Lời giải:
a) 1
sin(x 2) + = 3
( )
x 2 arcsin1 k2
3 k
x 2 arcsin1 k2 3
+ = +
+ = − +
( )
x arcsin1 2 k2
3 k
x arcsin1 2 k2 3
= − +
= − − +
Vậy các nghiệm của phương trình là x arcsin1 2 k2 ; x arcsin1 2 k2
(
k)
3 3
= − + = − − + . b) sin 3x = 1
( )
3x k2 k
2
= +
x 2k (k )
6 3
= +
Vậy các nghiệm của phương trình là 2k
x (k )
6 3
= + .
c)sin 2x 0
3 3
−=
( )
2x k k
3 3
− =
2x k
3 3
= +
(
k)
x k3 (k )
2 2
= +
Vậy các nghiệm của phương trình là 3
x k (k )
2 2
= + .
d) sin 2x
(
20)
3+ = − 2
( ) ( )
sin 2x 20 sin 60
+ = −
( )
2x 20 60 k360
2x 20 180 60 k360
+ = − +
+ = − − +
(
k)
x 40 k180
(k ) x 110 k180
= − +
= +
Vậy các nghiệm của phương trình là x= − +40 k180 ;x 110 = +k180 (k ).
Bài 2 trang 28 SGK Toán lớp 11 Đại số: Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y = sin 3x và y = sin x bằng nhau?
Lời giải:
Giá trị x cần tìm là nghiệm của phương trình: sin 3x = sin x Ta có: sin 3x = sin x
3x x k2
3x x k2
= +
= − +
(
k)
( )
2x k2
4x k2 k
=
= +
( )
x k k k
x 4 2
=
= +
Vậy các giá trị của x thỏa mãn yêu cầu bài toán là k )
x k ; x (
4 2 k
= = + . Bài 3 trang 28 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau:
a) 2
cos(x 1)
− = 3; b) cos 3x = cos 120;
c) cos 3x 1
2 4 2
− = −
;
d) 2 1
cos 2x
= 4. Lời giải:
a) 2
cos(x 1)
− = 3
x 1 arccos2 k2
3 (k )
x 1 arccos2 k2 3
− = +
− = − +
x arccos2 1 k2
3 (k )
x arccos2 1 k2 3
= + +
= − + +
Vậy các nghiệm của phương trình là x arccos2 1 k2 ; x arccos2 1 k2
(
k)
3 3
= + + = − + + .
b) cos 3x = cos 120
0 0
0 0
3x 12 k360
(k )
3x 12 k360
= +
= − +
0 0
0 0
x 4 k120
(k )
x 4 k120
= +
= − +
Vậy các nghiệm của phương trình là x=40 +k120 x0; = − +40 k1200
(
k)
.c) cos 3x 1
2 4 2
− = −
3x 2
cos cos
2 4 3
− =
3x 2
2 4 3 k2 (k )
3x 2
2 4 3 k2
− = +
− = − +
3x 11
2 12 k2 (k )
3x 5
2 12 k2
= +
= − +
11 4k
x 18 3 (k )
5 4k
x 18 3
= +
−
= +
Vậy các nghiệm của phương trình là x 11 4k ; x 5 4k
(
k)
18 3 18 3
−
= + = + .
d) 2 1
cos 2x=
cos 2x 1 2 cos 2x 1
2
=
= −
cos 2x cos 3 cos 2x cos2
3
=
=
2x k2
3 (k )
2x 2 k2
3
= +
= +
x k
6 (k )
x k
3
= +
= +
Vậy các nghiệm của phương trình là x k ; x k
(
k)
6 3
= + = + . Bài 4 trang 29 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải phương trình sau: 2cos 2x
1 sin 2x =0
− .
Lời giải:
Điều kiện: sin 2x 1 2x k2 2
+ x k (k ) 4
+ .
Ta có: 2cos 2x 1 sin 2x =0
−
2cos 2x 0
=
cos 2x 0
=
2x k
2
= +
x k (k )
4 2
= +
Kiểm tra điều kiện:
Cách 1: k 4 2 4 l
+ + k 2 l
k
l k 2l
2 Hay k không thể nhận các giá trị chẵn.
Do đó k lẻ nên k = 2m+1.
Suy ra (2m 1) 3
x m .
4 2 4
+
= + = +
Vậy phương trình có nghiệm 3
x m , m
4
= + .
Cách 2: Nghiệm 3
x m
4
= + cũng có thể viết thành x n 4
= − +
Các điểm biểu diễn x k 4
= + là M1, M2 nhưng điều kiện là x k 4
+ nên hai điểm này không lấy.
Các điểm biểu diễn k
x 4 2
= + là M1, M2, M3, M4 nhưng do không lấy hai điểm M1, M2 nên các điểm biểu diễn nghiệm chỉ còn M3, M4.
Dễ thấy hai điểm này đối xứng nhau qua O và AOM4 4
= − nên nghiệm của phương trình là
x k , k
4
= − + .
Bài 5 trang 29 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau:
a) tan x 15
( )
3− = 3 ; b) cot(3x 1)− = − 3; c) cos 2x. tan x = 0;
d) sin3x. cotx = 0.
Lời giải:
a) Điều kiện: x 15− +90 k180 x 105 +k.180
(
k)
.Ta có: tan x 15
(
− =)
3( )
tan x 15 tan 30
− =
x 15 30 k180 ,(k )
− = + x 45 k180 ,(k )
= + (thỏa mãn)
Vậy các nghiệm của phương trình là: x= +45 k180 ,(k ).
b) Điều kiện: sin 3x 1
(
− )
03x 1 k (k− ) hay x 1 k (k )3
+
Ta có: cot(3x 1)− = − 3 cot(3x 1) cot
6
− = −
3x 1 k
6
− = − +
3x 1 k
6
= − +
1 k
x (k )
3 18 3
= − + (thỏa mãn)
Vậy các nghiệm của phương trình là 1 k
x ,(k )
3 18 3
= − + . c) Điều kiện cos x 0 x k (k )
2
+
cos 2x. tan x = 0 cos 2x 0 tan x 0
=
=
2x k
2 x k
= +
=
x k
(k )
4 2
x k
= +
=
(thỏa mãn)
Vậy các nghiệm của phương trình là: k
x (k )
4 2
= + ; x= k (k ) d) Điều kiện: sin x0 x k (k )
Ta có: sin3x. cotx = 0 sin 3x 0
cot x 0
=
=
3x k
x n
2
=
= +
. x k
3 (k, n )
x n
2
=
= +
Kết hợp với điều kiện:
Biểu diễn các họ nghiệm trên đường tròn lượng giác đế loại nghiệm:
Các nghiệm x k
3 , k
x k
2
=
= +
được biểu diễn bởi các điểm từ A1 đến A8 trên đường tròn lượng giác như hình dưới.
Với điều kiện x k nên các điểm A1 và A4 bị loại.
Vậy họ nghiệm chỉ còn lại các điểm A2, A3, A5, A6, A7, A8 Các nghiệm đó là:
x k
3 , k
x k
2
= +
= +
.
Bài 6 trang 29 SGK Toán lớp 11 Đại số: Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số
y tan x
4
= − và y = tan 2x bằng nhau?
Lời giải:
Ta có: tan x tan 2x 4
− =
Điểu kiện:
x m
4 2
2x m
2
− +
+
x m
4 x m
4 2
− −
+
x m (m Z)
4 2
+
Khi đó phương trình tương đương với:
2x x k
4
= − +
3x k
4
= +
x k (k )
12 3
= +
Kết hợp điều kiện ta có:
k m
12 3 4 2
+ +
k m
3 2 6
+
2k 3m
+
2k 3m 1
+
k 3m 1(k, m ) 2
+
Vậy phương trình có các nghiệm: x k k 3m 1, k, m Z
12 3 2
+
= +
Bài 7 trang 29 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau:
a) sin3x − cos5x = 0;
b) tan3x. tanx = 1.
Lời giải:
a) sin3x − cos5x = 0 cos5x sin 3x
=
cos5x cos 3x 2
= −
( )
5x 3x k2
2 k
5x 3x k2
2
= − +
= − + +
8x k2 2
2x k2
2
= +
= − +
(
k)
x k
16 4
(k )
x k
4
= +
= − +
Vậy các nghiệm phương trình là: k
x (k )
16 4
= + và x k ,(k )
4
= − + .
b) Điều kiện: cos3x 0 cos x 0
3x k
2
x k
2
+
+
x k
6 3
x k
2
+
+
x k (k )
6 3
+
Ta có: tan 3x.tan x = 1 tan 3x 1
tan x
=
tan 3x cot x
=
tan 3x tan x 2
= −
3x x k
2
= − +
4x k
2
= +
x k (k )
8 4
= + (thỏa mãn) Vậy nghiệm phương trình là k
x , k
8 4
= + .
Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp A. Các câu hỏi, hoạt động trong bài
Hoạt động 1 trang 29 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau a) 2sinx − 3 = 0 là phương trình bậc nhất đối với sinx.
b) 3 tan x 1 0+ = là phương trình bậc nhất đối với tanx.
Lời giải:
a) 2sinx – 3 = 0 sinx 3
= 2
Phương trình vô nghiệm vì 3 sin x 1
2 với mọi x.
b) 3 tan x 1 0+ = tan x 3
3
=−
tan x tan 6
= −
x k , k
6
=−+
Vậy các nghiệm của phương trình là x k , k 6
= −+ .
Hoạt động 2 trang 31 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau:
a) 3cos2x − 5cos x + 2 = 0 ; b) 3tan 3 2 3 tan x2 − + =3 0. Lời giải:
a) 3cos2x – 5cosx + 2 = 0
Đặt cosx = t với điều kiện -1 ≤ t ≤ 1 (*), ta được phương trình bậc hai theo t:
3t2 - 5t + 2 = 0 (1) Δ = (-5)2 - 4.3.2 = 1
Phương trình (1) có hai nghiệm là:
1
( 5) 1 6
t 1
2.3 6
− − +
= = = (thỏa mãn)
2
( 5) 1 4 2
t 2.3 6 3
− − −
= = = (thỏa mãn)
Trường hợp 1: cosx = 1
x k2 , k
=
Trường hợp 2: 2 2
cos x x arccos k2 , k
3 3
= = +
Vậy các nghiệm của phương trình là x k2 ; x arccos2 k2 , k
= = 3+ . b) 3tan x2 −2 3 tan x+ =3 0
Đặt tanx = t, ta được phương trình bậc hai theo t:
3t2 −2 3t+ =3 0 (1)
( 2 3)2 4.3.3 24 0
= − − = −
Vậy phương trình (1) vô nghiệm, nên không có x thỏa mãn đề bài.
Hoạt động 3 trang 32 SGK Toán lớp 11 Đại số: Hãy nhắc lại:
a) Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản;
b) Công thức cộng;
c) Công thức nhân đôi;
d) Công thức biến đổi tích thành tổng và tổng thành tích.
Lời giải:
a) Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản:
2 2
sin +cos =1
2
2
1 tan 1 ; k , k
cos 2
+ = +
2
2
1 cot 1 ; k , k
+ =sin
tan .cot 1; k , k 2
=
b) Công thức cộng:
cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb cos(a + b) = cosa.cosb - sina.sinb sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb sin(a - b) = sina.cosb - cosa.sinb
tan a tan b tan(a b)
1 tan a.tan b
− = −
+
tan a tan b tan(a b)
1 tan a.tan b + = +
−
c) Công thức nhân đôi:
sin2 =2sin cos
2 2 2 2
cos2 cos = −sin =2cos – 1 1 2sin= −
2
2 tan tan 2
1 tan
=
−
d) Công thức biến đổi tích thành tổng:
cosacos b 1[cos(a b) cos(a b)]
=2 − + +
sinasinb 1[cos(a b) cos(a b)]
=2 − − +
sin a cos b 1[sin(a b) sin(a b)]
= 2 − + + Công thức biến đổi tổng thành tích:
u v u v
cos u cos v 2cos cos
2 2
+ −
+ =
u v u v
cos u cos v 2sin sin
2 2
+ −
− = −
u v u v
sin u sin v 2sin cos
2 2
+ −
+ =
u v u v
sin u sin v 2cos sin
2 2
+ −
− =
Hoạt động 4 trang 34 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải phương trình 3cos26x + 8sin3xcos3x – 4 = 0.
Lời giải:
3cos26x + 8sin3xcos3x – 4 = 0
⇔ 3(1 – sin26x) + 4sin 6x – 4 = 0 (áp dụng hằng đẳng thức và công thức nhân đôi)
⇔ –3sin26x + 4sin6x – 1 = 0
Đặt sin 6x = t với điều kiện 1 t 1− (*), ta được phương trình bậc hai theo t:
3t2 4t 1 0(1)
− + − =
42 4.( 1).( 3) 4
= − − − =
Phương trình (1) có hai nghiệm là:
1
4 4 1
t (TM)
2 ( 3) 3
= − + =
−
2
4 4
t 1(TM)
2 ( 3)
= − − =
− Ta có:
Trường hợp 1:
6x arcsin1 k2
1 3
sin 6x
1
3 6x arcsin k2
3
= +
=
= − +
( )
1 1 k
x arcsin
6 3 3
1 1 k k
x arcsin
6 6 3 3
= +
= − +
Trường hợp 2: sin6x = 1 sin 6x sin
2
=
6x k2
2
= +
x k , k
12 3
= +
Vậy nghiệm của phương trình là: k
x 12 3
= + , 1 1 k x arcsin
6 3 3
= + ,
( )
1 1 k
x arcsin k
6 6 3 3
= − + .
Hoạt động 5 trang 35 SGK Toán lớp 11 Đại số: Dựa vào công thức cộng đã học:
sin (a + b) = sinacosb + sinbcosa cos (a + b) = cosacosb − sinasinb sin (a − b) = sinacosb − sinbcosa cos (a − b) = cosacosb + sinasinb
và kết quả 2
cos sin
4 4 2
= = , hãy chứng minh rằng:
a) sin x cos x 2 cos x 4
+ = − ; b) sin x cos x 2 sin x
4
− = − . Lời giải:
a) sin x cos x 2 cos x 4
+ = −
Ta có: 2 2
sin x cos x 2. sin x cos x
2 2
+ = +
2. sin sin x cos cos x
4 4
= + 2.cos x
4
= − (đpcm) Cách khác:
2 cos x 2 cos x.cos sin x.sin
4 4 4
− = +
2 2
2. .cos x .sin x
2 2
= +
2 2
2. .cos x 2. .sin x
2 2
= +
= cosx + sinx (đpcm) b) sin x cos x 2 sin x
4
− = −
Ta có: 2 2
sin x cos x 2 sin x cos x
2 2
− = −
2. cos sin x sin cos x
4 4
= −
2.sin x 4
= − (đpcm) Cách khác:
2 sin x 2. sin x.cos sin .cos x
4 4 4
− = −
2 2
2. .sin x .cos x
2 2
= −
2 2
2. .sin x 2. .cos x
2 2
= −
= sinx – cosx (đpcm)
Hoạt động 6 trang 36 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải phương trình: 3 sin 3x−cos3x= 2 Lời giải:
3 sin 3x−cos3x= 2
3 1 2
sin 3x cos3x
2 2 2
− =
cos sin 3x sin cos3x sin
6 6 4
− =
sin 3x sin
6 4
− =
3x k2
6 4
;k
3x k2
6 4
− = +
− = − +
3x 5 k2
12 ;k
3x 11 k2
12
= +
= +
5 2
x k
36 3
11 2 ;k
x k
36 3
= +
= +
Vậy các nghiệm của phương trình là x 5 k2 ; x 11 k2
(
k)
36 3 36 3
= + = + .
B. Bài tập
Bài 1 trang 36 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải phương trình: sin2x – sinx = 0.
Lời giải:
sin x2 −sin x=0 sin x(sin x 1) 0
− =
sin x 0 sin x 1 0
=
− = sin x 0 sin x 1
=
= x k
(k )
x k2
2
=
= +
Vậy nghiệm của phương trình là x= k ; x k2 (k ) 2
= + . Bài 2 trang 36 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau:
a) 2cos2x – 3cosx +1 = 0;
b) 2sin 2x+ 2 sin 4x=0.
a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 Đặt cos x= − t( 1 t 1)
Phương trình trở thành: 2t2 – 3t +1 = 0 t 1 (TM)
t 1(TM) 2
=
=
Với t = 1 cosx 1= =x k2 , k Với 1
t= 2 1
cos x
= 2 x k2 , k
3
= +
Vậy các nghiệm của phương trình là x k2 ; x k2 , k 3
= = + . b) 2sin 2x+ 2 sin 4x=0
2sin 2x 2 2 sin 2x cos 2x 0
+ =
( )
2sin 2x 1 2 cos 2x 0
+ =
sin 2x 0
1 2 cos 2x 0
=
+ = sin 2x 0
cos 2x 1
2
=
= −
( )
2x k 3 k
2x k2
4
=
= +
x k
2 (k )
x 3 k
8
=
= +
Vậy nghiệm của phương trình là k
x 2
= ; 3
x k (k )
8
= + . Bài 3 trang 37 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau:
a) 2 x x
sin 2cos 2 0
2− 2+ = ; b) 8cos2x + 2sinx – 7 = 0;
c) 2tan2x + 3tanx +1 = 0;
d) tanx – 2cotx + 1 = 0.
Lời giải:
a) 2 x x
sin 2cos 2 0
2− 2+ =
Ta có: 2 x 2 x
sin 1 cos
2 = − 2
Phương trình tương đương với:
2 x x
1 cos 2cos 2 0 (*)
2 2
− − + =
2 x x
cos 2cos 3 0
2 2
+ − =
Đặt x
cos t (-1 t 1)
2 =
Phương trình trở thành:
t2 +2t - 3 = 0 t 1 (TM) t 3 (L)
=
= − Với t = 1 x
cos 1
2 = x
2 k2
= =x k4 (k ) Vậy nghiệm của phương trình là x=k4 (k ). b) 8cos2x + 2sinx – 7 = 0
Ta có: cos2x = 1 – sin2x
Phương trình tương đương với:
8(1 – sin2x) + 2sinx – 7 = 0 8sin x – 2sinx – 1 02
=
Đặt sinx = t, ( 1 t 1)−
Phương trình trở thành: 8t2 – 2t – 1 = 0 t 1(TM)
2
t 1(TM) 4
=
= −
Với 1 1
t sin x
2 2
= =
x k 2
6 (k )
x 5 k 2
6
= +
= +
Với 1 1
t sin x
4 4
− −
= =
x arcsin 1 k 2
4 (k )
x arcsin 1 k 2 4
= − +
= − − +
Vậy các nghiệm của phương trình là
5 1 1
x k 2 ; x k 2 ; x arcsin k 2 ; x arcsin k 2 (k )
6 6 4 4
− −
= + = + = + = − + .
c) 2tan2x + 3tanx +1 = 0 Điều kiện: x k , k
2
+
Đặt tanx = t, phương trình trở thành:
2t2 + 3t +1 = 0
t 1
t 1 2
= −
= −
tan x 1 tan x 1
2
= −
= −
x k
4 (k )
x arctan 1 k 2
= + −
−
= +
Vậy các nghiệm của phương trình là x k ; x arctan 1 k
(
k)
4 2
− −
= + = +
.
d) tanx – 2cotx + 1 = 0 Điều kiện:
x k
sin x 0 k
x (k )
cos x 0 x k 2
2
+
Ta có: tanx – 2cotx + 1 = 0
tan x 2 1 0
tan x
− + = tan x tanx – 2 0 2
+ =
Đặt tanx = t, phương trình trở thành:
t2 + t – 2 = 0 t 1
t 2
=
= −
tan x 1 tan x 2
=
= −
x k
(k ) 4
x arctan( 2) k
= +
= − +
(Thỏa mãn)
Vậy nghiệm của phương trình là: x k 4
= + , x=arctan( 2)− + k ,(k ) Bài 4 trang 37 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau:
a) 2sin2x + sinxcosx − 3cos2 x = 0;
b) 3sin2x − 4sinxcosx + 5cos2x = 2;
c) 2 2 1
sin x sin2x 2cos x
+ − = 2;
d) 2cos x2 −3 3 sin 2x−4sin x2 = −4. Lời giải:
a) 2sin2x + sinxcosx − 3cos2 x = 0 Trường hợp 1: cos x= 0 sin x2 =1 Khi đó ta có 2.1 + 0 – 0 = 0 (vô lý)
Trường hợp 2: cos x 0 x k ,(k ) 2
+
Chia cả hai vế của phương trình cho cos2x ta được:
2
2 2
sin x sin x
3 0 2 tan x tan x 3 0
cos x + cos x − = + − =
Đặt t = tanx, khi đó phương trình trở thành: 2
t 1
2t t 3 0 3
t 2
= + − =
= −
Với t = 1 tan x 1 x k ,(k )
4
= = + (Thỏa mãn)
Với 3 3
t tan x
2 2
= − = − x arctan 3 k ,(k ) 2
= − + (Thỏa mãn) Vậy các nghiệm của phương trình là x k ,(k )
4
= + ;x arctan 3 k ,(k ) 2
= − + . b) 3sin2x − 4sinxcosx + 5cos2x = 2
Trường hợp 1: cos x= 0 sin x2 =1 Khi đó ta có 3.1 + 0 – 0 = 2 (vô lý)
Trường hợp 2: cos x 0 x k ,(k ) 2
+
Chia cả hai vế của phương trình cho cos2x ta được:
2
2 2
sin x sin x 2
3 4 5
cos x − cos x + = cos x
( )
2 2
3tan x 4 tan x 5 2 tan x 1
− + = +
tan2x 4 tan x 3 0
− + =
Đặt t = tanx, khi đó phương trình trở thành: 2 t 1 t 4t 3 0
t 3
=
− + = = Với t = 1tan x 1= x k ,(k ) (tm)
4
= +
Với t = 3tan x=3 =x arctan3 k ,(k+ ) (tm) Vậy các nghiệm của phương trình là x k ,(k )
4
= + ; x=arctan3 k ,(k+ ).
c) 2 2 1
sin x sin2x 2cos x + − = 2
2 2 1
sin x 2sin x cos x 2cos x
+ − = 2
2 2
2sin x 4sin x cos x 4cos x 1
+ − =
Trường hợp 1: cos x= 0 sin x2 =1 Khi đó ta có: 2 + 0 – 0 = 1 (vô nghiệm) Trường hợp 2: cos x 0 x k ,(k )
2
+
Chia cả hai vế của phương trình cho cos2x ta được:
2
2 2
sin x sin x 1
2 4 4
cos x + cos x − =cos x
2 2
2 tan x 4 tan x 4 tan x 1
+ − = +
tan x2 4 tan x 5 0
+ − =
Đặt t = tanx, khi đó phương trình trở thành: 2 t 1 t 4t 5 0
t 5
= + − = = − Với t = 1 tan x 1 x k ,(k ) (tm)
4
= = +
Với t = -5 tan x= −5 =x arctan( 5)− + k ,(k ) (tm) Vậy các nghiệm của phương trình là x k ,(k )
4
= + ; x=arctan( 5)− + k ,(k ) d) 2cos x2 −3 3 sin 2x−4sin x2 = −4
2 2
2cos x 6 3 sin x cos x 4sin x 4
− − = −
Trường hợp 1: cos x= 0 sin x2 =1 Khi đó ta 0 + 0 - 4 = - 4 (Luôn đúng)
x k ,(k )
2
= + là nghiệm của phương trình.
Trường hợp 2: cos x 0 x k ,(k ) 2
+
Chia cả hai vế của phương trình cho cos x2 ta được:
2
2 2
sin x sin x 4
2 6 3 4
cos x cos x cos x
− − = −
2 2
2 6 3 tan x 4 tan x 4 tan x 4
− − = − −
6 3 tan x 6
=
tan x 1
= 3
x k ,(k )
6
= +
Vậy các nghiệm của phương trình là x k ,(k ) 2
= + ; x k ,(k ) 6
= + . Bài 5 trang 37 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau:
a) cos x− 3 sin 2x = 2; b) 3sin3x − 4cos3x = 5 ; c) 2sinx+2cosx− 2=0; d) 5cos2x + 12sin2x − 13 = 0.
Lời giải:
a) cos x− 3 sin 2x = 2
1 3 2
cos x sin x
2 2 2
− =
cos x cos sin x sin 2
3 3 2
− =
cos x cos
3 4
+ =
x k2
3 4
x k2
3 4
+ = +
+ = − +
(
k)
x k2
12 (k )
x 7 k2
12
= − +
= − +
Vậy nghiệm của phương trình là x k2 12
= − + ; 7
x k2 (k )
12
= − +
b) 3sin3x − 4cos3x = 5
3 4
sin 3x cos3x 1
5 5
− =
Đặt sin 3
5 cos 4
5
=
=
, phương trình trở thành:
sin3xsin – cos3x cos 1 = cos3x cos −sin 3x sin = −1
cos 3x( + =) –1
3x k2
+ = +
3x k2
= − +
x k2 (k )
3 3
−
= +
Vậy các nghiệm của phương trình là k2
x (k )
3 3
−
= + với ( 3 4
sin ,cos
5 5
= = ).
c) 2sinx+2cosx− 2=0 2sinx+2cosx= 2
2 2 2
sin x cos x
2 2 2 2 2 2
+ =
1 1 1
sin x cos x
2 2 2
+ =
sin x sin cos x cos 1
4 4 2
+ =
cos x cos
4 3
− =
x k2
4 3
x k2
4 3
− = +
− = − +
(
k)
x 7 k2
12 (k )
x k2
12
= +
= − +
Vậy các nghiệm của phương trình là 7
x k2
12
= + hoặc x k2 , k 12
= − + . d) 5cos2x + 12sin2x − 13 = 0
5 12
cos 2x sin 2x 1
13 13
+ =
Đặt sin 12
13 cos 5
13
=
=
, khi đó phương trình trở thành:
cos2xcos +sin2xsin =1
( )
cos 2x – =1
2x k2
− =
x k (k )
2
= +
Vậy nghiệm của phương trình là x k ,(k ) 2
= + với 12 5
sin ;cos
13 13
= = . Bài 6 trang 37 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau:
a) tan(2x + 1)tan(3x – 1) = 1;
b) tan x tan x 1 4
+ + = . Lời giải:
a) tan(2x + 1)tan(3x – 1) = 1 Điều kiện: cos(2x 1) 0
cos(3x 1) 0
+
−
2x 1 k 2
3x 1 k
2
+ +
− +
2x 1 k
2
3x 1 k
2
− +
+ +
( )
1 k
x 4 2 2 k
1 k
x 6 3 3
− +
+ +
Ta có: tan(2x + 1)tan(3x – 1) = 1 tan(2x 1) 1
tan(3x 1)
+ =
− tan(2x 1) cot(3x 1)
+ = −
tan(2x 1) tan 3x 1 2
+ = − +
2x 1 3x 1 k
2
+ = − + +
5x k
2
= +
x k ,(k )(tm)
10 5
= +
Vậy các nghiệm của phương trình là k
x (k )
10 5
= + .
b) tan x tan x 1 4
+ + =
Điều kiện:
cos x 0
cos x 0
4
+
4
x k
2
x 2 k
+
+ +
( )
x k
k
x k
2 4
+
+
Ta có: tan x tan x 1 4
+ + = tan x tan
4 1 tan x t
tan x 1
an4 +
−
+ =
tan x 1 1 ta x
an x 1
t n+
+ − =
tanx – tan x tanx 1 1 tanx2
+ + = −
tan x2 3tanx 0
− =
( )
tanx tanx – 3 0
=
tan x 0 tan x 3
=
= x k
(k ) x arctan 3 k
=
= + (Thỏa mãn)
Vậy nghiệm của phương trình là x= k ; x=arctan3 k ,(k+ )
Ôn tập chương I Bài 1 trang 40 SGK Toán lớp 11 Đại số:
a) Hàm số y = cos3x có phải là hàm số chẵn không? Tại sao?
b) Hàm số y tan x 5
= + có phải là hàm số lẻ không? Tại sao?
Lời giải:
a) Ta có:
Hàm số y = cos3x có tập xác định D=
x x
− nên D là tập đối xứng f(-x) = cos3(-x) = cos(-3x) = cos(3x) = f(x) Vậy hàm số y = cos3x là hàm số chẵn.
b) Điều kiện: 3
x k x k
5 2 10
+ + +
(
k)
Ta có:
y f (x) tan x 5
= = + có tập xác định là D \ 3 k , k 10
= +
x D x D
− nên D là tập đối xứng
f ( x) tan x tan x tan x
5 5 5
− = − + = − − = − − f (x) tan x
5
− = − +
Dễ thấy tan x tan x
5 5
− − − + nên f ( x)− −f (x) không là hàm số không lẻ.
Bài 2 trang 40 SGK Toán lớp 11 Đại số: Căn cứ vào đồ thị hàm số y = sinx, tìm những giá trị của x trên đoạn 3 ;2
2
−
để hàm số đó:
a) Nhận giá trị bằng -1;
b) Nhận giá trị âm.
Lời giải:
Đồ thị y = sinx trên đoạn 3 ;2 2
−
a) Dựa vào đồ thị hàm số y = sinx Những giá trị của x 3 ;2
2
− để hàm y = sinx nhận giá trị bằng -1 là: 3
x ; x
2 2
−
= = (Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng y = -1)
b) Những giá trị của x 3 ;2 2
− để hàm y = sinx nhận giá trị âm là: x −( ;0) ( ;2 ) (Các khoảng mà đồ thị nằm phía dưới trục hoành)
Bài 3 trang 41 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số sau:
a) y= 2(1 cos x) 1+ + ; b) y 3sin x 2
6
= − − . Lời giải:
a) y= 2(1 cos x) 1+ + Ta có:
1 cos x 1, x
− 0 1 cos x 2
+ 0 2(1 cos x) 4
+
0 2(1 cos x) 2
+
1 2(1 cos x) 1 3
+ +
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 3
Dấu " = " xảy ra khi cos x 1= =x k2 (k ) . b) y 3sin x 2
6
= − −
Ta có:
1 sin x 1, x
6
− −
3 3sin x 3
6
− −
5 3sin x 2 1
6
− − −
5 y 1
−
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 1.
Dấu " = " xảy ra khi sin x 1 6
−=
x k2
6 2
− = + 2
x k2 ,(k )
3
= +
Bài 4 trang 41 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau:
a) 2
sin(x 1)
+ = 3;
b) 2 1
sin 2x
= 2; c) 2 x 1
cot 2=3;
d) tan 12x 3
12
+ = −
.
Lời giải:
a) 2
sin(x 1) + = 3
x 1 arcsin2 k2 3
x 1 arcsin2 k2 3
+ = +
+ = − +
(
k)
( )
x 1 arcsin2 k2
3 k
x 1 arcsin2 k2
3
= − + +
= − + − +
Vậy các nghiệm của phương trình là 2 x 1 arcsin k2
= − + 3+ ;
x 1 arcsin2 k2 ,(k )
= − + − 3+
b) 2 1
sin 2x
= 2 1 cos 4x 1
2 2
− =
cos 4x 0
=
4x k
2
= +
(
k)
x k , k
8 4
= +
Vậy các nghiệm của phương trình là x k , (k )
8 4
= + .
c) 2 x 1 cot 2=3 Điều kiện: x
k x k2
2 , k Ta có:
2
x 3
cot (1)
x 1 2 3
cot 2 3 x 3
cot (2)
2 3
=
=
= −
(1) cotx cot
2 3
=
x k
2 3
= + , k x 2 k2 , k
3
= + (2) cotx cot
2 3
= −
x k
2 3
= − + , k
x 2 k2 , k
3
= − +
Vậy các nghiệm của phương trình là 2
x k2 ,(k )
3
= + .
d) tan 12x 3
12
+ = −
Điều kiện: 12x k
12 2
+ + 5
12x k
12
+ 5 k
x , k
144 12
+
tan 12x 3
12
+ = −
tan 12x tan
12 3
−
+ =
12x k
12 3
−
+ = +
12x 5 k
12
= − +
5 k
x (k )
144 12
−
= + (t/m)
Vậy các nghiệm của phương trình là: 5 k
x (k )
144 12
−
= + .
Bài 5 trang 41 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các phương trình sau:
a) 2cos2x – 3cosx +1 = 0;
b) 25sin2x + 15sin2x + 9cos2x = 25;
c) 2sinx + cosx = 1;
d) sinx + 1,5cotx = 0.
Lời giải:
a) 2cos2x – 3cosx +1 = 0
Đặt t = cosx với điều kiện 1 x 1− , khi đó ta có:
2t2 – 3t + 1 = 0
t 1 t 1
2
=
=
Với t = 1, ta có: cosx = 1 =x k2 , k Với 1
t= 2 , ta có:
x k2
1 3
cos x (k )
2 x k2
3
= +
=
= − +
Vậy phương trình có các nghiệm là: x k2 , x k2 , k 3
= = + . b) 25sin2x + 15sin2x + 9cos2x = 25
(
2)
225 1 cos x 15.2sin x cos x 9cos x 25
− + + =
2 2
25 25cos x 30sin x cos x 9cos x 25 0
− + + − =
2 2
25cos x 30sin x cos x 9cos x 0
− + + =
16cos x2 30sin x cos x 0
− + =
2cos x(8cos x 15sin x) 0
− − =
cos x 0
8cos x 15sin x 0
=
− =
cos x 0
8cos x 15sin x
=
= cos x 0
8 sin x 15 cos x
=
=
cos x 0 tan x 8
15
=
=
x k
2 , k
x arctan 8 k 15
= +
= +
Vậy các nghiệm của phương trình là: 8
x k , x arctan k , k
2 15
= + = +
c) 2sinx + cosx = 1
Chia cả hai vế của phương trình cho 5 , ta được:
2 1 1
sin x cos x
5 + 5 = 5
Vì
2 2
2 1
5 5 1
+ =
nên tồn tại một góc thỏa mãn:
sin 2
5 cos 1
5
=
=
Khi đó, phương trình trở thành:
sin x sin +cos x cos =cos cos(x ) cos
− =
x k2
x k2
− = +
− = −+
x 2 k2
(k ) x k2
= +
=
Vậy các nghiệm của phương trình là: x= +2 k2 ;x =k2 (k ). d) sinx + 1,5cotx = 0
Điều kiện: sin x 0 x k sin x 1,5cot x+ =0
cos x sin x 1,5 0
sin x
+ =
2sin x2 3cos x 0
+ =
(
2)
2 1 cos x 3cos x 0
− + =
2cos x2 3cos x 2 0
− − =
cos x 1 2 cos x 2 (L)
= −
=
cos x cos2 3
=
( )
x 2 k2
3 k
x 2 k2
3
= +
= − +
Vậy các nghiệm của phương trình là: 2
x k2 , k
3
= + . Bài tập trắc nghiệm
Bài 6 trang 41 SGK Toán lớp 11 Đại số: Phương trình cosx = sinx có số nghiệm thuộc đoạn
− ;
là:A. 2 B. 4 C. 5 D. 6
Lời giải:
Ta có: sin x cos x tan x 1 x k (k ) 4
= = = +
Vì x − [ , ] nên:
4 k
− +
1 1 k 1
− + 4
5 3
4 k 4
−
Ta có: k nên k { 1;0} − .
Suy ra phương trình đã cho có hai nghiệm thuộc [− , ] là 3
x ; x
4 4
= − = Chọn đáp án A.
Bài 7 trang 41 SGK Toán lớp 11 Đại số: Phương trình cos 4x
tan 2x
cos 2x = có số nghiệm thuộc khoảng 0;
2
là:
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
Lời giải:
Điều kiện: cos2x 0 sin 2x 1 Ta có: cos 4x
tan 2x cos 2x =
cos 4x tan 2x.cos 2x
=
sin 2x
cos 4x .cos 2x cos 2x
=
1 2sin 2x2 sin 2x
− =
2sin 2x2 sin 2x 1 0
+ − =
sin 2x 1 (Loai) sin 2x 1
2
= −
=
Ta có: 1
sin 2x sin
2 6
= =
2x k2
6
2x k2
6
= +
= − +
x k
12 (k )
x 5 k
12
= +
= +
Vì x 0;
2
nên x 12
= hoặc 5 x 12
= .
Vậy có 2 giá trị của x 0;
2
thỏa mãn phương trình cos 4x
tan 2x cos 2x = . Chọn đáp án A.
Bài 8 trang 41 SGK Toán lớp 11 Đại số: Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình sinx + sin2x = cosx + 2cos2x là:
A. 6
B. 2
3
C.
4
D.
3
Lời giải:
Ta có:
sinx + sin2x = cosx + 2cos2x
sinx+2sinxcosx=cosx+2cos x2
( ) ( )
sinx 1 2cosx+ =cos 1 2cosx+
(
1 2cosx sinx+)(
−cosx)
=0
1 2cos x 0 sin x cos x 0
+ =
− =
cos x 1 2 tan x 1
= −
=
x 2 k2
3 (k )
x k
4
= +
= +
Nghiệm dương nhỏ nhất của họ nghiệm: 2
x k2
3
= + là 2
x 3
=
Nghiệm dương nhỏ nhất của họ nghiệm: 2
x k2
3
= − + là 2 4
x 2
3 3
= − + =
Nghiệm dương nhỏ nhất của họ nghiệm: x k 4
= + là x 4
= .
Suy ra nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình đã cho là x 4
= . Chọn đáp án C.
Bài 9 trang 41 SGK Toán lớp 11 Đại số: Nghiệm âm lớn nhất của phương trình 2tan2x + 5tanx + 3 = 0 là:
A. 3
− B.
4
− C.
6
− D. 5
6
−
Lời giải:
Ta có: 2tan2x + 5tanx + 3 = 0
( ) ( )
tan x 1 1 tan x 3 2
2
= −
= −
(1) tanx = −1
x k , k
4
= − +
(2) 3
tan x
= −2
x arctan 3 k , k 2
= − +
Nghiệm âm lớn nhất của họ nghiệm x k 4
= − + là x 4
= −.
Nghiệm âm lớn nhất của họ nghiệm x arctan 3 k 2
= − + là x arctan 3
2
= −
Mà arctan 3 0,983 2
− −
0,785 arctan 3
4 4 2
− − − −
Vậy nghiệm âm lớn nhất của phương trình là x 4
= −. Chọn đáp án B.
Bài 10 trang 41 SGK Toán lớp 11 Đại số: Phương trình 2tanx – 2cotx – 3 = 0 có số nghiệm thuộc khoảng ;
2
−
là:
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Lời giải:
Điều kiện: x k ,k
Ta có: 2tanx – 2cotx – 3 = 0 2 tan x 2 3 0
tan x
− − = (vì tanx . cotx = 1) 2tan x – 3tanx – 2 02
=
tan x 2 tan x 1
2
=
= −
Dựa vào tương giao của đồ thị hàm số y = tanx và hai đường thẳng y = 2; 1
y 2
= −
Thấy phương trình có 3 nghiệm thuộc khoảng ; 2
−
Chọn đáp án C.
