[ET] Đề thi thử TN THPT 2021 - Môn Toán - Bộ đề theo mức độ - GV ĐHSP - Đề 13 - File word có lời giải.doc

(1)

ĐỀ SỐ 13 (Đề thi có 06 trang)

(Đề có lời giải)

ĐỀ CHUẨN CẤU TRÚC Môn: Toán

Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1. Cho hàm số y x ^¹³. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận.

B. Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận ngang và không có tiệm cận đứng.

C. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang và có một tiệm cận đứng.

D. Đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận ngang và một tiệm cận đứng.

Câu 2. Cho số phức 3 11 2 z  i

 . Tính z .

A. z 3 B. z 5 C. z 2 D. z  5

Câu 3. Cho hàm số ^y^ ^{f x}

 

là hàm bậc bốn trùng phương có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng

 

2;3 . B. Hàm số đồng biến trên khoảng



^^{2; 2}



.

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng



^{  }^{; 2}

 

^{0; 2}



. D. Hàm số đồng biến trên khoảng



^4;^



.

Câu 4. Cho hàm số ^y^ ^{f x}

 

có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây:

Khẳng định nào sau đây sai?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng



^{ }^{2; 1}



. B. Hàm số đồng biến trên khoảng

 

1;3 . C. Hàm số nghịch biến trên khoảng



^^1;1



. D. Hàm số đồng biến trên khoảng

 

0;1 . Câu 5. Họ nguyên hàm của hàm số

 

¹

f x 1

 x

 là A.

 

²

1

1 C

 x 

 B. ln x 1 C C. ¹^ln



¹



²

2 x C

   D. ln x 1 C

(2)

Câu 6. Đường cong như hình vẽ bên là dạng đồ thị của hàm số nào dưới đây?

A. y x ⁴2x²1 B. ^y^{  }



^x ¹

 

^x^²



²

C. y x ³3x²4 D. ^y^



^x^³



³

Câu 7. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng 1 2

: 1 3 2

x y z

d  

 

 , véctơ nào dưới đây là véctơ chỉ phương của đường thẳng d?

A. ^u^^{  }



^{1; 3; 2}



^B.^u^^



^{1;3; 2}



^C.^u^^



^{1; 3; 2}^{ }



^D.^u^^{ }



^{1;3; 2}^



Câu 8. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A cạnh ABAC a và thể tích bằng

3

6 a . Tính chiều cao h của hình chóp đã cho.

A. h a 2 B. h a 3 C. h a D. h2a

Câu 9. Cho hàm số ^{f x}

 

liên tục trên đoạn



^^1;3



và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn



^^1;3



. Giá trị của 4M m bằng

A. 3 B. 5

C. 10 D. 4

 

^{  }^x³ ³^x²^²⁰²¹. Giá trị của ^f^

 

¹ bằng

A. 2018 B. 3 C. 0 D. 3

Câu 11. Biết

1

0

1 ln 2 xdx a b x  



 ^{(với ,}^{a b}^^ ). Giá trị a2b bằng

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Câu 12. Cho tam giác ABC vuông tại A với AB a AC , 2a quay xung quanh cạnh AB ta được một khối nón tròn xoay có đường kính _ bằng bao nhiêu?

A. a 3 B. 3a C. 2a 2 D. a 5

Câu 13. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng 8 9 10

: 1 2 3

x y z

  

 . Mặt phẳng

 

^ vuông góc với Δ có một véctơ pháp tuyến là

A. ^b^^



^8;9;10



^B.^v^^



^{1; 2; 3}^



^C.^a^ ^{ }



^{1; 2;3}



^D.^u^^{ }



^{1; 2; 3}^



(3)

Câu 14. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x³ 3x²3 trên đoạn

 

1;3 . Khi đó M m bằng

A. 5 B. 3 C. 4 D. 2

Câu 15. Xác định số hạng đầu u1 và công sai d của cấp số cộng

 

un biết u9 5u2 và u13 2u65. A. u13;d 4 B. u13;d 5 C. u14;d 5 D. u14;d 3 Câu 16. Cho hàm số ^y^ ^{f x}

 

liên tục trên _ và có bảng biến thiên như hình sau:

Số nghiệm thực của phương trình ⁴^f²

 

^x ^^{16 0}^ là

A. 2 B. 4 C. 6 D. 3

Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông cạnh a. Biết SA vuông góc với mặt đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SD, BC bằng

A. a B. 2a C. 2

2

a D.

2 a

Câu 18. Kí hiệu z0 là nghiệm phức có phần thực âm và phần ảo dương của phương trình z²2z 5 0. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức ^w^



ⁱ²⁰²⁰^²



^z⁰^?

A. ^M



^{2; 1}^



B. ^M



^^{1; 2}



C. ^M



^^5;0



D. ^M



^{0; 5}^



 

^^log²



^e^x^{ }^m



^{thỏa mãn} ^f^



^{ln 2}



^_{ln 2}¹ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. ^m^{ }



^1;1



B. ^m^

 

^1;3 C. ^m^



^{0; 2}



D. ^m^{  }



^{2; 1}



Câu 20. Trong không gian Oxyz, cho ABC biết ^A



^{2;0;0 ,}

 

^B ^{0; 2;0 ,}

 

^C ^1;1;3



. H x y z



0; ;0 0



là chân đường cao hạ từ đỉnh A xuống BC. Khi đó x0y0z0 bằng

A. 38

9 B. 34

11 C. 30

11 D. 11

34 Câu 21. Cho hàm số ^{f x}

 

có đạo hàm ^{f x}^

 

xác định, liên tục

trên _ và có đồ thị ^{f x}^

 

như hình vẽ, biết rằng S2 S1. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. ^{f c}

 

^ ^{f b}

 

^ ^{f a}

 

B. ^{f b}

 

^ ^{f c}

 

^ ^{f a}

 

(4)

C. ^{f c}

 

^ ^{f a}

 

^ ^{f b}

 

D. ^{f b}

 

^ ^{f a}

 

^ ^{f c}

 

Câu 22. Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C.   , biết đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Khoảng cách từ tâm O của tam giác ABC đến mặt phẳng



^{A BC}^



bằng

6

a. Thể tích khối lăng trụ ABC A B C.    là

A. 3 ³ 2 8

a B. 3 ³ 2

28

a C. 3 ³ 2

4

a D. 3 ³ 2

16 a

Câu 23. Cho các số thực dương x, y thỏa mãn log4 log9 log6 1 4 x y xy 

 . Giá trị của biểu thức

9

4 log 6

log 6

P x y bằng

A. 2 B. 5 C. 4 D. 6

Câu 24. Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng 24π, diện tích toàn phần bằng 42π. Thể tích khối trụ là

A. V  36 B. V  9 C. V  18 D. V  32 Câu 25. Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn z2i  z 4 trong mặt phẳng Oy là

A. đường thẳng : 2 x y  3 0. B. đường thẳng : x y  3 0. C. đường thẳng : 2 x y  3 0. D. đường thẳng : x y  3 0. Câu 26. Cho hàm số ^y^ ^{f x}

 

có bảng biến thiên sau

Số nghiệm của phương trình ^{f x}



^¹



^² là

A. 5 B. 4 C. 2 D. 3

Câu 27. Trong không gian Oxyz, cho điểm ^A



^{2; 2;1}



và đường thẳng 1

1 2

:2 1 2

x y z

d  

  ,

2

3 2

: 1 2 3

x y z

d     . Phương trình đường thẳng d đi qua A, vuông góc với d1 và cắt d2 là

A. 2 2 1

: 1 3 5

x y z

d     

  B. 1 2

: 2 3 4

x y z

d    



C.

 

2

: 2

1

x t

d y t

z t

  

  

  



 D. 2 2 1

: 1 2 3

x y z

d   

 



(5)

Câu 28. Trong khai triển ² 1 2

n

x x

  

 

  , hệ số của x³ là 2⁶C_n⁹. Tính n.

A. n12 B. n13 C. n14 D. n15

Câu 29. Cho hàm số y e ^x có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

, 1,

y e x x   x k và S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y e x k x ^x,  , 1. Xác định k để S1S2.

A. 1

ln ln 2

k e

e

 

    B. 1

2ln 1

k e

e

 

    C. k 2 ln 2 1 D. k ln 2

Câu 30. Trong không gian Oxyz, cho điểm ^M



^{0; 2;0}



và đường thẳng

4 3

: 2

1

x t

d y t

z t

  

  

   



. Đường thẳng đi qua M, cắt và vuông góc với d có phương trình là

A. 2

1 1 2

x  y  z

 B. 1

1 1 2

x  y  z

  C. 1 1

1 1 2

x  y  z D. 1

1 1 2

x  y z

 Câu 31. Phương trình ³²^x^^{2 3}^x



^x^{ }¹



^4.3^x^{ }^{5 0} có tất cả bao nhiêu nghiệm không âm?

A. 1 B. 2 C. 0 D. 3

Câu 32. Cho ^{f x}

 

là hàm số chẵn và liên tục trên _ . Nếu ¹

 

1

1 ^x 1010 f x dx

 e

 



^thì¹

 

0

f x dx



^bằng

A. 4040 B. 505 C. 2020 D. 1010

 

^^a^sin^{x b}^ ^cos^x (với ,a b;b0), có ^f^

 

⁰ ^¹. Gọi hình phẳng

 

^H

giới hạn bởi đồ thị hàm số ^{f x}

 

với các trục hoành, trục tung và đường thẳng ^x^{ }. Khi quay

 

^H

quanh trục Ox thì ta được một vật thể tròn xoay có thể tích bằng 17 2

2

 . Khi đó giá trị biểu thức 2021 10

T  a b thuộc khoảng nào sau đây?

A.



^{2 ;3}¹⁰ ¹⁰



^B.



^{3 ;4}¹⁰ ¹⁰



^C.



^{4 ;5}¹⁰ ¹⁰



^D.



⁷²⁰²⁰^;9²⁰²⁰



Câu 34. Cho hai số phức z, w thỏa mãn z2w 3, 2 z3w 6 và z4w 7. Tính giá trị của biểu thức P z w z w .  . .

A. P 14i B. P 28i C. P 14 D. P 28

(6)

 

^^ax⁴^^bx²^^c có đồ thị như hình vẽ. Số các giá trị nguyên của tham số m

để đồ thị hàm số ^{g x}

 

^ ^{f x}

   

²⁰²⁰^_^{f x}^x^^m^_ có tổng số 9 đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng là

A. 2 B. 1

C. 4 D. 3

Câu 36. Cho hàm số ^y^ ^{f x y g x}

 

^, ^

 

. Hai hàm số ^y^ ^{f x}^

 

và ^{y g x}^ ^

 

có đồ thị như hình sau.

Trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số ^{y g x}^ ^

 

.

Hàm số ^{h x}

 

^ ^{f x}

 

^^{g x}

 

nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?

A. 11

; 5

  

 

  B. 13 13

5 ; 10

  

 

  C. 9 2

10; 5

  

 

  D. 1 3

10 6;

 

 

 

Câu 37. Cho mlog_a ab với ,a b1 và P1010log²_ab2020log_ba. Khi đó giá trị của m để P đạt giá trị nhỏ nhất là

A. 1 B. 2 C. 4 D. 5

Câu 38. Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có điểm ^A



^{1;1;1 ,}

 

^B ^{2;0; 2 ,}

 

^C ^{ }^{1; 1;0}



, ^D



^{0;3; 4}



. Trên các cạnh AB, AC, AD lần lượt lấy các điểm , ,B C D   thỏa mãn AB AC AD 4

AB  AC  AD 

   . Phương trình

mặt phẳng



^{B C D}^{  }



biết tứ diện AB C D   có thể tích nhỏ nhất là phương trình nào sau đây?

A. 16x40y44z39 0 B. 16x40y44z39 0 C. 16x40y44z39 0 D. 16x40y44z39 0

Câu 39. Gọi

 

^H là hình phẳng giới hạn bởi parabol y x ², cung tròn y 2x x ² và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của hình

 

^H bằng

(7)

A. 1 2 3

 B. 1

4 3

 C. 1

4 3

 D. 1

2 3



Câu 40. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB a 2,AC a 5. Hình chiếu của điểm S trên mặt phẳng



^ABC



trùng với điểm của đoạn thẳng BC. Biết rằng góc giữa mặt phẳng



^SAB



và mặt phẳng



^SAC



bằng 60. Thể tích của khối chóp S.ABC là A. 5 ³ 6

12

a B. 5 ³ 10

12

a C. ³ 210

24

a D. ³ 30

12 a

Câu 41. Cho hình lăng trụ ABC A B C.    có thể tích bằng V. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BB A C  , . Thể tích của khối tứ diện CMNP bằng

A. 5

24V B. 1

4V C. 7

24V D. 1

3V

Câu 42. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu

  

^S ^: ^x^¹

 

²^ ^y^²

 

²^{ }^z ³



² ^⁹ và mặt phẳng

 

^P ^{: 2}^x^²^{y z}^{  }^{3 0}. Gọi ^{M a b c}



^{; ;}



là điểm trên mặt cầu sao cho khoảng cách từ M đến

 

^P lớn nahát. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. a b c  8 B. a b c  5 C. a b c  6 D. a b c  7 Câu 43. Cho hàm số bậc ba ^y^ ^{f x}

 

có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm

tham số a để hàm số ^y^ ^{f x}

 

^^a có ba điểm cực trị.

A. 1 a 3

B. a 1 hoặc a3 C. a 1 hoặc a3 D. a 3 hoặc a1

Câu 44. Giá trị nhỏ nhất của P a ²b² để hàm số ^{f x}

 

^^x⁴^^ax³^^bx²^^ax^¹ có đồ thị cắt trục hoành là

A. 5

P 4 B. 2

P5 C. 5

P 2 D. 4

P5

(8)

Câu 45. Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau, chia hết cho 4, nhỏ hơn 4567 và có chữ số hàng chục là chữ số lẻ?

A. 170 B. 171 C. 172 D. 173

Câu 46. Gọi m0 là số nguyên để phương trình ^log³^₂₀₂₀^x²_m^^ ^{x x}



²^^m



^²⁰²⁰ ^x ,

có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 thỏa mãn x1²⁰²⁰x2²⁰²⁰ 2¹⁰¹¹. Với m0 đó giá trị của biểu thức



¹ ²²

 

² ¹²



ln 2 ln 2

P x  x   x  x  thuộc vào khoảng nào dưới đây?

A.



^^5;1



B.

 

1;5 C.



2018; 2020



D.



2020; 2025



 

có đạo hàm liên tục trên



^^1;1



và thỏa mãn ^f

 

¹ ^⁰,



^{f x}^^{( )}²^^{4 ( )}^{f x}



^⁸^x²^¹⁶^x^⁸ với mọi x thuộc



^^1;1



. Giá trị của ¹

 

0

f x dx



^bằng

A. 5

3 B. 2

3 C. 1

5 D. 1

3 Câu 48. Cho hàm số bậc ba ^y^ ^{f x}

 

có đồ thị như hình vẽ. Có bao

nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình



³ ³



₁₀^m ¹

f x x

m

  

 có 10 nghiệm phân biệt?

A. 9 B. 5

C. Vô số. D. 6

Câu 49. Xét số phức z thỏa mãn 4 z i 3z i 10. Gọi P; p tương ứng là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Giá trị của 7P5p bằng

A. 5 B. 6 C. 18 D. 2

Câu 50. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng

 

^{P x y z}^: ^{   }^{2 0} và các điểm ^A



^{1;1;1 ,}

 

^B ^2;3;1



. Mặt cầu

 

^S thay đổi qua A, B và tiếp xúc với

 

^P tại C. Biết rằng C luôn chạy trên một đường tròn cố định. Diện tích S đường tròn đó bằng

A. 5π B. 10π C. 20π D. 126

ĐÁP ÁN

1-D 2-D 3-D 4-D 5-D 6-C 7-A 8-C 9-C 10-D

11-D 12-D 13-D 14-B 15-A 16-B 17-A 18-D 19-A 20-B

21-D 22-D 23-C 24-A 25-A 26-A 27-C 28-D 29-A 30-A

31-A 32-D 33-C 34-D 35-A 36-C 37-A 38-A 39-C 40-D

(9)

41-A 42-D 43-C 44-D 45-C 46-A 47-A 48-B 49-B 50-B LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1: Tập xác định ^D^



^0;^



.

Ta có: ¹³ ¹³

lim0 , lim 0

x _x^ x x^

     .

Đồ thị hàm số y x ^¹³ nhận Oy là tiệm cận đứng và nhận Ox là tiệm cận ngang.

Câu 4: Dựa vào bảng biến thiên, suy ra hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng



^{ }^{2; 1}



và

 

1;3 ; nghịch biến trên khoảng



^^1;1



.

Câu 6:Loại A do đồ thị không phải dạng đồ thị hàm trùng phương.

Loại B do a0.

Đồ thị hàm số có cực đại tại x0 nên y 0 có nghiệm x0.

Ta có



^x^³



³^^x³^⁹^x²^²⁷^x^²⁷^nên^y^



^x^³



² cắt trục tung tại điểm có tung độ nhỏ hơn 0 (loại đáp án D).

Câu 7: d có véctơ chỉ phương là



^{1;3; 2}^



. Xét đáp án A, ^u^^{  }



^{1; 3; 2}



^{ }^{1 1;3; 2}



^



. Câu 8: Ta có:

3 2 .

1 1 1

. .

3 3 2 6

S ABC ABC

V  h S_  h a a  h a.

Câu 9: Dựa vào đồ thị ta có ^ ^

 

 

1;3

9 9

max 4 4 4 9 1 10

min 1 1

y M

M m

y m



   

      

     



.

Câu 10: Ta có ^{f x}

 

^{  }^x³ ³^x²^²⁰¹⁸^ ^{f x}^

 

^{ }³^x²^⁶^x^ ^f^

 

¹ ^³.

Câu 11: ¹ ¹

 

¹₀

0 0

1 1 ln 1 1 ln 2 1; 1 2 3

1 1

xdx dx x x a b a b

x x

 

               

   

 

^.

Câu 12: Ta có: BC AB²AC²  a²4a² a 5.

Câu 13: Đường thẳng Δ vuông góc với mặt phẳng

 

^ nên các véctơ pháp tuyến của mặt phẳng

 

^ có dạng ^{n k}^^



^{1; 2;3 ,}^



^{ }^k ⁰.

Câu 14: Xét hàm số ^{f x}

 

^{  }^x³ ³^x²^³ trên đoạn

 

1;3 .

Ta có

     

2 0

 

1;3

3 6 ; 0

2 1;3 f x x x f x x

x

  

       

   .

Bảng biến thiên của hàm số ^{f x}

 

^{  }^x³ ³^x²^³ trên đoạn

 

1;3 .

(10)

Gọi x1 và x2 là hai nghiệm trên đoạn

 

1;3 (với x1x2) của phương trình  x³ 3x² 3 0. Khi đó ta có bảng biến thiên của hàm số ^{g x}

 

^{  }^x³ ³^x²^³ trên đoạn

 

1;3 .

Từ bảng biến thiên ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số y  x³ 3x²3 trên đoạn

 

1;3 bằng 3 và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x³ 3x²3 trên đoạn

 

1;3 bằng 0.

Do đó M 3,m 0 M m 3.

Câu 15: Xét hệ

 

1 1

9 2 1

1

13 6 1 1 1

8 5

5 4 3 0 4

3

2 5 12 2 5 5 2 5

u d u d

u u u d d

u

u u u d u d u d

  

    

   

             

  .

Câu 16: Ta có:

   

2

 

2

4 16 0

2 f x f x

f x



   

   .

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng y2 cắt đồ thị hàm số ^y^ ^{f x}

 

tại 2 điểm phân biệt và đường thẳng y 2 cắt đồ thị hàm số ^y^ ^{f x}

 

tại 2 điểm phân biệt nên phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt.

Câu 17: Vì ^{BC // AD}^^{BC // SAD}

 



^,

 

^,( ⁾

 

^,( ⁾



d BC SD d BC SAD d B SAD

   .

Ta có: ^AB ^SA ^AB



^SAD



^{d B SAD}



^,( ⁾



^{BA a}

AB AD

      

 

 .

Câu 18: Giải phương trình ta có: ^w^



ⁱ²⁰²¹^²



^z⁰ ^{ }⁵ⁱ^.

Vậy điểm ^M



^{0; 5}^



biểu diễn số phức w.

Câu 19: Ta có

 

^log²

     

^{ln 2}

x x

x

f x e m f x e

e m

     

  .

(11)

Vậy



^{ln 2}



¹



²



¹ ⁰



^1;1



ln 2 2 ln 2 ln 2

f m

   m     

  .

Câu 20: Đường thẳng BC có véctơ chỉ phương là ^BC^^



^{1; 1;3}^



.

Nên phương trình đường thẳng BC: ²

 

3 x t y t t z t

 

   

 



 .

Gọi ^{H t}



^{; 2}^^{t t}^;3



^^BC. Khi đó: ^^AH ^{ }



^t ^{2; 2}^^{t t}^;3



^.

Mà H là chân đường cao hạ từ đỉnh A xuống BC nên

. 0 2 2 9 0 4

AH BC AH BC        t t t t 11

   

.

0 0 0

4 18 12 34

; ;

11 11 11 11

H  x y z

      .

Câu 21: Từ đồ thị hàm ^{f x}^

 

ta có: ^{f x}

 

⁰ ^{x a}^{x b}

x c

 

   

  . Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có ^{f a}

 

^ ^{f b f c}

   

^; ^ ^{f b}

 

.

Diện tích 1

       

b b

a a

S 



f x dx  f x  f b  f a ^.

Diện tích 2

       

c c

b b

S  



f x dx  f x  f b  f c ^.

Ta có: S1S2  f b

 

 f a

 

 f b

 

 f c

 

 f c

 

 f a

 

. Vậy ^{f b}

 

^ ^{f a}

 

^ ^{f c}

 

.

Câu 22: Gọi M là trung điểm của BC.

Ta có



^{A AM}^

 

^ ^{A BC}^



theo giao tuyến A M .

Trong



^{A AM}^



kẻ ^OH ^ ^{A M H}^



^^{A M}^



^^OH ^



^{A BC}^



.

(12)

Suy ra:



^,( ⁾



^; ² ³

6 ^ABC 4

a a

d O A BC OH  S_  .

Ta có: A AM OHM #  , suy ra

2 2

1 3

6 3. 2

a a

OH OM

A A A M  A A A A AM

    

2 2

1 3 6

3 4 2

A A a

A A

    

  

   

 

.

Thể tích

2 3

.

6 3 3 2

. .

4 4 16

ABC A B C ABC

a a a

V _{  } S_ A A   .

Câu 23: Đặt log4 log9 log6 1 4 , 9 , 4.6 4 4

t t t

x y xy    t x y xy 

2

6 ^t 4.6^t 4 0 6^t 2 t log 26

        .

Khi đó log4 log9 log6 1 log 26 4^{log 2}⁶ , 9^{log 2}⁶ 4

x y xy   t  x y .

Do đó ^P^



⁴^{log 2}⁶



^{log 6}⁴ ^



⁹^{log 2}⁶



^{log 6}⁹ ^



⁴^{log 6}⁴



^{log 2}⁶ ^



⁹^{log 6}⁹



^{log 2}⁶ ^⁶^{log 2}⁶ ^⁶^{log 2}⁶ ^⁴^.

Câu 24: Ta có S_xq  2 Rh24 và S_tp S_xq 2 R² 42  R 3,h4. Vậy thể tích khối trụ trên là: V  R h²  .3 .4 36²  .

Câu 25: Gọi ^z^{ }^{x yi} với ,x y . Khi đó điểm ^{M x y}



^;



là điểm biểu diễn cho số phức z.

Ta có z2i     z 4 x yi 2i   x yi 4

 

²

 

²

2 2 4 2 8 4 12 0 2 3 0

x y x y x y x y

              .

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng : 2 x y  3 0.

Câu 26: Từ bảng biến thiên của hàm số đã cho ta suy ra bảng biến thiên của hàm số ^y^ ^{f x}



^¹



như sau (trong đó x x x1, ,2 3 là các nghiệm của phương trình ^{f x}

 

^⁰):

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình ^{f x}



^¹



^² có 5 nghiệm.

Câu 27: Véctơ chỉ phương của d d1, 2 lần lượt là ud₁ 



^{2;1; 2}



,

 

2 1;2;3 ud 

.

(13)

Giả sử dd2 

 

B  B d2.

Gọi ^B



³^^t^{;2 2 ;3}^ ^{t t}



^^^AB



^{1 ; 2 ;3 1}^^{t t t}^



^.

Vì d d1 AB u _d₁  AB u. _d₁ 0

   

2 1 t 2t 2 3 1t 0 t 0

        . Khi đó ^^AB



^{1;0; 1}^



^.

d đi qua ^A



^{2; 2;1}



và có véctơ chỉ phương là ^^AB



^{1;0; 1}^



, nên có phương trình: ²²

 

1

x t

y t

z t

  

  

  



 .

Câu 28: Ta có: ² ² ³ ² ³

0

2 1 2 2

n n

k n k n k k n k n k

n k n

k

x C x a C x

x

   



     

 

 



^.

Hệ số chứa x³ là

6 9

6 9 2 2 .

2 15

2 3 3

k n k

n n

n

C C

C n

n k

  

  

 

 .

Câu 29: Ta có:

1

1 1

ln ln 2

k

x x x k

k

e dx e dx e e e k e

e e



 

         

 

^.

Câu 30: Ta có: d đi qua ^N



^{4; 2; 1}^



và có véctơ chỉ phương ud 



^3;1;1



. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên d

 

4 3 . 0 2

1;1; 2 1

3 2 0

d

x t

MH d MH u y t

H d H d z t H

x y z

  

 

  

   

         

    



 

.

Đường thẳng Δ đi qua M và vuông góc với d có véctơ chỉ phương là u  1

. ^MH^{}^



^{1; 1; 2}^{ }



.

Phương trình 2

: 1 1 2

x y z

  

 .

Câu 31: Ta có: ³²^x^^{2 3}^x



^x^{ }¹



^4.3^x^{  }^{5 0}



³²^x^{ }¹



^{2 3}^x



^x^{ }¹

 

^4.3^x^⁴



^⁰



³^x ^{1 3}

 

^x ¹

 

²^x ^{4 3}

 

^x ¹



⁰



³^x ²^x ^{5 3}

 

^x ¹



⁰ ³^x ²^x ^{5 0}

                .

Xét hàm số ^{f x}

 

^³^x^²^x^⁵, ta có: ^f

 

¹ ^⁰ và f x

 

3 ln 3 2 0;^x    x  . Do đó hàm số ^{f x}

 

đồng biến trên _ .

Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là x1.

Câu 32: Do ^{f x}

 

là hàm số chẵn nên ^f

 

^{ }^x ^{f x}

 

và ¹

 

¹

 

1 0

2

f x dx f x dx









^.

Xét ¹

 

1

1 ^x 1010 I f x dx

 e

 



 ^{. Đặt}^x^{  }^t ^dx^{ }^dt^.

(14)

Đổi cận: x   1 t 1.

1 1

x   t .

           

1 1 1 1 1

. . .

1 1 1 1 1

t t x

x t t t x

f x f t e f t e f t e f x

I dx dt dt dt dx

e e e e e



   

 

      

    

    

   

1 1

. 1010

1 1

x

x x

f x e f x

dx dx

e e

 

  

 

 

^.

Khi đó: ¹

 

¹

 

¹

   

¹

 

1 1 1 1

. 1 .

1010 1010 2020

1 1 1

x x

x x x

e f x

f x e f x

dx dx dx f x dx

e e e

   

      

  

   

   

1 1

0 0

2 f x dx 2020 f x dx 1010





 



 ^.

Câu 33: Thể tích của vật thể là:

   

2 2 2 2 2 2

0 0

17 sin cos sin cos 2 sin cos

2 a x b x dx a x b x ab x x dx

 

  



  



 

2 2

0

1 cos 2 1 cos 2

sin 2

2 2

x x

a b ab x dx

   

 



   

 

²

2 2 2 2

0

sin 2 sin 2

cos 2

2 4 2 4 2 2

x x x x ab

a b x a b

      

           . Suy ra có a²b² 17.

Mặt khác ^{f x}^

 

^^a^cos^{x b}^ ^sin^x^{ }¹ ^f^

 

⁰ ^{    }^a ^a ¹ ^b ⁴. Ta được T 2020 4 ¹⁰.

Câu 34: Ta có: ^z^²^w ^{  }³ ^z ²^w² ^{ }⁹



^z^²^w



^.



^z^²^w



^{ }⁹



^z^²^{w z}

 

^²^w



^⁹

 

² ²

. 2 . . 4 . 9 2 4 9

z z z w z w w w z P w

         (1).

Tương tự:

   

2 2 2

2z3w  6 2z3w 36 2z3w 2z3w 364 z 6P9w 36 (2).

   

² ²

4 7 4 4 49 4 16 49

z w   z w z w   z  P w  (3).

Giải hệ phương trình gồm (1), (2), (3) ta có:

2

33

28 28

8 z

P P

w

 

     

 



.

Câu 35: Ta có ^{g x}

 

là hàm phân thức hữu tỉ với bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu nên _x^lim_^{g x}

 

^⁰_{, do}

đó đồ thị hàm số ^{g x}

 

luôn có một tiệm cận ngang là y0.

(15)

Phương trình

 

1 2 3 4

2; 1 0 1;0

0;1 1;2 x x

f x x x

x x x x

   



  

    

  



.

Ta thấy phương trình ^{f x}

 

^⁰ có 4 nghiệm phân biệt đều khác 0 nên x x x x x x x x 1,  2,  3,  4 là 4 tiệm cận đứng đồ thị hàm số ^{g x}

 

.

Vậy để đồ thị hàm số ^{g x}

 

có đúng 9 đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng thì phương trình

 

f x m phải có đúng 4 nghiệm phân biệt khác 0 và khác với 4 nghiệm xi (i1, 4)

3 2

2 0

m m

  

 

 

mà m nên ^m^{ }



^1;1



.

Câu 36: Ta có: ^{h x}^

 

^ ^{f x}^

 

^^{g x}^

 

. Với 9 2 10; 5

x   , ta có:

Đồ thị ^y^ ^{f x}^

 

nằm hoàn toàn phía dưới đồ thị ^{y g x}^ ^

 

nên

 

^0, ⁹ ^; ²

10 5 h x  x    

 .

Nên hàm số ^{h x}

 

nghịch biến trên khoảng 9 2 10; 5

  

 

 .

Câu 37: Ta có ² ² 2020

1010log 2020log 1010 log

a b a log

a

P b a b

    b.

Đặt tlog_ab. Khi đó ² 2020 1010

P t

  t .

Vì ,a b1 nên tlog_ab0. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

3

2 2020 2 1010 1010 3

1010 1010 3 1010 3030

P t t

t t t

       .

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ² 1010

1010t t 1

 t   .

Ta có ^log ¹^log

 

¹



^{1 log}



¹



¹



¹



^{1 1}



¹

2 2 2 2

a a a

m ab  ab   b   t   .

Câu 38: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: ³ .AC.AD

4 3

'. '. '

AB AC AD AB

AB AC AD AB AC AD

   

   .

' ' '

'.AC'.AD' 27 '.AC'.AD' 27 27

. . 64 . . 64 64

AB C D

AB C D ABCD

ABCD

V

AB AB

V V

AB AC AD V AB AC AD ^{  }

      

(16)

Để VAB C D_{  } nhỏ nhất khi và chỉ khi

   

3 7 1 7

3 4 4 4 4; ;

4

AB AB B

AB AC AD AB AC AD

B C D // BCD

    

       

   



 

.

Ta có ^CB^^



^{3;1; 2 ,}



^CD^^



^{1; 4; 4}



suy ra mặt phẳng



^BCD



có véctơ pháp tuyến là

 

; 4; 10;11

nCB CD  

  

.

Lúc đó mặt phẳng



^{B C D}^{  }



song song với mặt phẳng



^BCD



và đi qua 7 1 7 4 4 4; ;

B  

 



^{B C D}^{  }



^:16^x ⁴⁰^y ⁴⁴^z ^{39 0}

     .

Câu 39: Phương trình hoành độ giao điểm giữa parabol

và cung tròn: ² ² 1

2 0

x x x x

x

 

     .

Khi đó: ¹ ² ² ² ²

 

²

0 1 1

2 1 1 1

S 



x dx



x x dx  3



 x dx^.

Đặt 1 sin , ; cos

x  t t  2 2 dx tdt.

Đổi cận: 1 0; 2

x  t x  t 2.

Suy ra ² ² ²

 

²

0 0 0

1 1 1 1 1 1 1

cos 1 cos 2 sin 2

3 3 2 3 2 2 3 4

S tdt t dt t t

  

  

           

 

 

^.

Câu 40: Gọi H là trung điểm của BC, M là trung điểm của AC, P là trung điểm của AB, kẻ HI SM . Ta có



^SAB

 

^ ^SAC



^^SA, kẻ BESA và GH // BE, suy ra



^⁽^SAC^),(^SAB⁾



^



^^{GH SAC}^{, (} ⁾



^^HGI^ ^{ }⁶⁰ ^.

Đặt SH h, ta tính được

2

2 7

4 SA h  a và

2

2 5

4 SP h  a .

Vậy

2 2

2. 5

2 4

7 4

SAB

a h a BE S

SA a

h



 



2 2

2 2 2

2

. 2

2 a h MH SH

HI MH SH a

h

 

 

Tam giác GIH vuông tại I có

(17)

2

2 2 4

4 2

2 2

2 5 2

3 2 4 2 7 15 2 3

sin 60 . 0

2 7 4 8 4

4 4

a h a ha

IH a a a

h h h

HG a a

h h



         

 

.

Vậy 1 ³ 30

. .

6 12

SABC

V  AB AC SH  a .

Câu 41: Gọi I là trung điểm ^AC^^NP^^BI ^

 

^J .

Lại có 1

BP 2NI và BN // IP suy ra BN là đường trung bình tam giác PIJ. Suy ra B là trung điểm IJ.

Suy ra ^CM ^^BI ^

 

^G là trọng tâm tam giác ABC.

Ta có: ^JCM

BCM

S JG

S  BG mà 2 5

3 3

JG BJ BG BI    BI BI

5

5 5 5

3 .

2 2 2 4

3

JCM JCM BCM JCM ABC

BCM

S BI

S S S S

S BI

       .

Ta có ₁ _. 1 5 ₂ _. 1 1 1 5 5

; . . .

3 12 3 2 3 8 24

P MJC JMC N MJC JMC ABC

V V  hS  V V V  hS  h S  V .

Vậy _. ₁ ₂ 5

P CMN 24

V  V V  V .

Câu 42: Mặt cầu

 

^S có tâm ^I



^{1; 2;3 ,}



^R^³. Ta có:

 

²

2 2

2.1 2.2 3 3 4

,( ) 2 2 1 3

d I P    R

  

   nên mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đường tròn.

Gọi ^{M a b c}



^{; ;}



là điểm trên mặt cầu sao cho khoảng cách từ M đến

 

^P lớn nhất thì điểm M thuộc đường thẳng  đi qua điểm I và vuông góc với

 

^P .

Phương trình

1 2

: 2 2

3

x t

y t

z t

  

   

  



. Thay vào mặt cầu

 

^S ta có:

  

²^t ²^{ }²^t

  

²^ ^t ² ^{ }⁹ ⁹^t² ^{   }⁹ ^t ¹^.

Với t1 ta có:

   

 

²

2 2

2.3 2.0 4 3 13

3;0; 4 ,( )

2 2 1 3

M d M P   

  

   .

Với t 1 ta có:

     

 

²

2 2

2. 1 2.4 2 3 5

1;4; 2 ,( )

2 2 1 3

M d M P    

   

   .

Vậy ^M



^3;0;4



nên a b c  7.

(18)

Câu 43: Đồ thị hàm số ^y^ ^{f x}

 

^^a là đồ thị ^y^ ^{f x}

 

tịnh tiến lên trên một đoạn thẳng bằng a khi 0

a tịnh tiến xuống dưới một đoạn bằng a khi a0. Hơn nữa đồ thị ^y^ ^{f x}

 

^^a là:

+) Phần đồ thị của ^y^ ^{f x}

 

^^a nằm phía trên trục Ox.

+) Lấy đối xứng phần đồ thị của ^y^ ^{f x}

 

^^a nằm dưới Ox qua Ox và bỏ đi phần đồ thị của

 

y f x a nằm dưới Ox.

Vậy để đồ thị hàm số ^y^ ^{f x}

 

^^a có ba điểm cực trị thì đồ thị hàm số ^y^ ^{f x}

 

^^a xảy ra hai trường hợp:

+) Đồ thị hàm số ^y^ ^{f x}

 

^^a có điểm cực tiểu nằm phía trên trục hoành hoặc thuộc trục hoành và cực đại dương. Khi đó a3.

+) Đồ thị hàm số ^y^ ^{f x}

 

^^a có điểm cực đại nằm phía dưới trục hoành hoặc thuộc trục hoành và cực tiểu âm. Khi đó a 1.

Vậy giá trị a cần tìm là a 1 hoặc a3.

Câu 44: Xét phương trình: ^x⁴ ^ax³ ^bx² ^ax ^{1 0} ^x ¹ ² ^{a x} ¹ ^b ^{2 0}^x



⁰



x x

   

               .

Đặt ^t^{ }^x ¹_x^t



^²



^{    }^t² ^{at b} ^{2 0}^(*)

Xét đường thẳng ^^:^{tx y t}^{   }² ^{2 0}^t



^