TẠ P CHÍ VÀ TƯ LI ỆU TOÁ N H Ọ C
TUYỂN TẬP CÁC BÀI TOÁN MŨ VÀ LOGARIT HAY VÀ
ĐẶC SẮC
TOÁN HỌC PHỔ THÔNG
TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC
Hướng tới kỳ thi
THPT QUỐC GIA
2019
Từ cơ bản tới nâng cao
Dành cho học sinh ôn 8+
TOÁN H ỌC PH Ổ T HÔN G
Lời nói đầu
Nhân dịp trung thu 2019, tôi – Nguyễn Xuân Nhật xin gửi món quà nho nhỏ đến toàn thể các em học sinh lớp 12 (2k2) giúp các em luyện tập chuyên đề: ”Mũ và Logarit” qua các bài toán hay và khó được đề cập trong tài liệu này.
Tài liệu bao gồm 4 chủ đề:
PHƯƠNG TRÌNH BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT CỰC TRỊ MŨ VÀ LOGARIT
ĐỒ THỊ MŨ VÀ LOGARIT
ỨNG DỤNG MŨ VÀ LOGARIT VÀO BÀI TOÁN THỰC TẾ
Trong quá trình biên soạn, xin gửi lời cảm ơn đến Minh Tuấn hỗ trợ tôi trong quá trình tự thiết kế bìa. Và chân thành cảm ơn đến team Phản biện: Bạn Lý Thanh Tiến, em Trịnh Thị Giang và em Trần Xuân Hương đã giúp tôi phản biện chuyên đề này.
Do hoàn thành chuyên đề trong thời gian ngắn, dù đã cố gắng cẩn thận nhưng vẫn có thể phát sinh nhiều sai sót. Mọi ý kiến đóng góp của bạn đọc vui lòng gửi về
Facebook: https://www.facebook.com/thenghi.phuong.9 Email: phuongthenghi@gmail.com
TẠ P CHÍ VÀ TƯ LI ỆU TOÁ N H Ọ C
CHƯƠNG 1
PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
1. ĐỀ BÀI.
✪ Câu 1. Gọi S là tổng các giá trị nguyên của tham số m để phương trình
x x 3 2
4 7 2 m 6m có nghiệm x
1; 3 . Chọn đáp án đúng.A. S 35. B. S 20. C. S 25. D. S 21.
✪ Câu 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m
m 10
để phương trình sau có nghiệm:
x 1
2 log x 2m4 m
A. 9. B. 10. C. 5. D. 4.
✪ Câu 3. Có bao nhiêu số tự nhiên m để phương trình sau có nghiệm?
m 3m 2 2
e e 2 x 1 x 1 x 1 x .
A. 2. B. 0. C. Vô số. D. 1.
✪ Câu 4. Cho hàm số f x
ln
x2 1 x
ex e .x Hỏi phương trình
x
f 3 f 2x 1 0 có bao nhiêu nghiệm thực
A. 3. B. 2. C. 1. D. 0.
✪ Câu 5. Có bao nhiêu số nguyên dương a để phương trình sau có nghiệm duy nhất?
2 2
2 2 2 2
27 11 9 11
9 x 2 x
3a 12a 15 log 2x x a 3a 1 log 1 2 log 2x x log
2 2 2
A. 2. B. 0. C. Vô số. D. 1.
✪ Câu 6. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m sao cho 10m và phương trình
2 2
mx 5 mx 5
2 log 2x 5x 4 log x 2x 6 có nghiệm duy nhất. Tìm số phần tử của S.
A. 15. B. 14. C. 13. D. 16.
✪ Câu 7. Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình sau có nghiệm thực?
ln m 2 sin x ln m 3sin x sin x
TOÁN H ỌC PH Ổ T HÔN G
A. 5. B. 4. C. 3. D. 6.
✪ Câu 8. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số để tồn tại các số thực thỏa mãn:
3x 5y 10 x 3y 9
2 2
5 5
e e 1 2x 2y
log (3x 2y 4) (m 6)log (x 5) m 9 0
A. 3. B. 5. C. 4. D. 6.
✪ Câu 9. Cho phương trình log 2x2
24x 4
2y2 y2x22x 1 . Hỏi có bao nhiêu cặp số nguyên dương
x; y
và 0 x 100 thỏa mãn phương trình đã cho?A. 4. B. 3. C. 1. D. 2.
✪ Câu 10. Cho phương trình 27x3x.9x
3x2 1 3
x
m31 x
3
m 1 x
, m làtham số. Biết rằng giá trị m nhỏ nhất để phương trình đã cho có nghiệm trên
0;
là a eln b , với a, b là các số nguyên. Giá trị của biểu thức 17a 3b bằngA.26. B.54. C. 48. D. 18.
✪ Câu 11. Tổng tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
2 2
2
1 2x 4x 6
log x 2 x x m
2 x m 1
Có đúng ba nghiệm phân biệt là
A. 2. B. 3. C. 1. D. 0.
✪ Câu 12. Cho các hàm số f (x),f (x),f (x),...0 1 2 thỏa mãn:
f (x) ln x ln x 20190 ln x 2019, f (x) f xn 1 n
1, n . Số nghiệm của phương trình f2020
x 0là:A. 6058. B. 6057. C. 6059. D. 6063.
✪ Câu 13. Tìm các giá trị m để phương trình 3sin x 5 cosx m 5 logsin x 5 cosx 10
m 5
có nghiệm.
A. 6 m 6 B. 5 m 5 C. 5 6 m 5 6 D. 6 m 5
✪ Câu 14. Tìm tham số m để tổng các nghiệm của phương trình sau đạt giá trị nhỏ nhất:
2 1 mx x2 2 mx 1 m 2 2
1 2x m m 1 x 2 .2 x mx 1 .2 x m x.
A. 0 B. 2 C. 1
2 D. 1
2
✪ Câu 15. Cho phương trình m ln x 12
x 2 m ln x 1
x 2 0 1 .
Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
1 có hai nghiệm phân biệt thoả mãn 0 x 1 2 4 x2 là khoảng
a ;
. Khi đó a thuộc khoảngm ,
x y
TẠ P CHÍ VÀ TƯ LI ỆU TOÁ N H Ọ C
A.
3,8 ; 3,9 .
B.
3,6 ; 3,7 .
C.
3,7 ; 3,8 .
D.
3, 5 ; 3,6 .
✪ Câu 16. Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt là
3
x 3 m 3x 3 2 x 3 x
3 x 9x 24x m .3 3 1
A. 45. B. 38. C. 34. D. 27.
✪ Câu 17. Cho phương trình 2x 1 2.log x2
22x 3
4x m log 2 x m 22
với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m trên đoạn
2019 ;2019
đểphương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt.
A. 4036. B. 4034. C. 4038. D. 4040.
✪ Câu 18. Có bao nhiêu số nguyên a
2019; 2019
để phương trình
1
x1 x aln x 5 3 1
có hai nghiệm phân biệt?
A. 0. B. 2022. C. 2014. D. 2015.
✪ Câu 19. Cho hàm số
1 1 1 1
y x 1 x 2 x 2019 x 2020 và y e x m 1 (m tham số) có đồ thị lần lượt là
C1 và
C2 . Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m
2020; 2020
để
C1 cắt
C2 tại đúng 2020 nghiệm phân biệt?A. 2020. B. 2019. C. 2018. D. 2022.
✪ Câu 20. Giả sử tồn tại số thực asao cho phương trình exe-x 2 cosax 4 có đúng 2019 nghiệm thực phân biệt. Số nghiệm phân biệt của phương trình
x x
e e 2 cosax là:
A. 2019. B. 2018. C. 4037. D. 4038.
✪ Câu 21. Số giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn
2019;2
để phương trình
x 1 log 4x 1
3
log 2x 15
2x m có đúng hai nghiệm thực làA. 2022. B. 2021. C. 2. D. 1.
✪ Câu 22. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m sao cho phương trình sau có nghiệm
2 2
2 2
3x 3x m 1
log x 5x m 2
2x x 1
A. Vô số. B. 4. C. 6. D. 5.
TOÁN H ỌC PH Ổ T HÔN G
✪ Câu 23. Cho hàm số f(x). Hàm số f (x) có bảng biến thiên như sau:
x 1 1 4
f ' x
2
3
1
Điều kiện của m để bất phương trình f(x 2) xe x m nghiệm đúng với mọi giá trị của x
1;1
.A. m f(1) 1
e. B. m f(3) 2e . C. m f( 1) 1
e. D. m f(3) 2e .
✪ Câu 24. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn
10 ;10
để bất phương trình
2 2
3 2
2x x m 1
log 2x 4x 5 2m
x x 1 có nghiệm. Số
phần tử của tập hợp S bằng
A. 20. B. 10. C. 15. D. 5.
✪ Câu 25. Cho bất phương trình 9x
m 1 .3
x m 0
1 . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình
1 có nghiệm đúng x 1A.m 0 . B.m 3
2. C.m 2. D. m 3. 2
✪ Câu 26. Tìm tập S tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất cặp số
x; y
thỏa mãn 2 2
2
x y 2
log 4x 4y 6 m 1 và x2y22x 4y 1 0 . A. S
1;1
. B. S
5; 1;1; 5
.C. S
5; 5
. D. S
7; 5; 1;1; 5;7
.✪ Câu 27. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để bất phương trình
2 2
3ln x 2 ln x 12 ln x m 1 ln x 4 2 nghiệm đúng với mọi x 0 .
A. 4. B. 5. C. 3. D. 7.
✪ Câu 28. Gọi là số thực lớn nhất để bất phương trình nghiệm đúng với mọi Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. a
2; 3 .
B. a
8;
. C.a
6;7 .
D. a
6; 5 .
a
2 2
2 ln 1 0
x x a x x x .
TẠ P CHÍ VÀ TƯ LI ỆU TOÁ N H Ọ C
✪ Câu 29. Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng
2020; 2020
của tham số để bất phương trình 3logx 2 log m x x
2
1 x 1 x
có nghiệm thực ?A. 2018. B. 2019. C.4036. D. 2020.
✪ Câu 30. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình
2 4 2
m ln x 16 3m ln x 4 14 ln x 2 0 đúng với mọi x
0;
. Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc S bằng:A. 3
8. B. 2. C. 7
8. D. 1
2 . m
TOÁN H ỌC PH Ổ T HÔN G
2. HƯỚNG DẪN GIẢI.
✪ Câu 1
Gọi S là tổng các giá trị nguyên của tham số m để phương trình
x x 3 2
4 7 2 m 6m có nghiệm x
1; 3 . Chọn đáp án đúng.A. S 35. B. S 20. C. S 25. D. S 21.
Lời giải
Ta có: 4x 7 2x 3 m26m4x8.2x m26m 7 (1) .
Đặt 2xt , với x
1;3 thì t
2;8
. Phương trình đã cho trở thành
2 2
t 8t m 6m 7(2).
Xét hàm số f(t) t 2 8t, t
2;8 có f (t) 2t 8;' f (t) 0' t 4
2;8 . Lại có f(2) 12; f(4) 16; f(8) 0.Mà hàm f(t) xác định và liên tục trên t
2;8
nên 16 f(t) 0 .Do đó phương trình (2) có nghiệm trên t
2;8
16 m 26m 7 0 7 m 1. Vậy m
6; 5; 4; 3; 2; 1;0
. Do đó S 21.Chọn ý D.
✪ Câu 2
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m
m 10
để phương trình sau có nghiệm:
x 1
2 log x 2m4 m
A. 9. B. 10. C. 5. D. 4.
Lời giải ĐKXĐ: x 2m 0.
Ta có 2x 1 log x 2m4
m 2x log x 2m2
2m Đặt t log x 2m 2
. Từ đó suy ra
x t
2 t 2m
2 x 2m
x t
2 x 2 t
1Do hàm số f u
2uu đồng biến trên , nên ta có
1 t x. Khi đó:
x x
2 x 2m 2m 2 x.
Xét hàm số g x
2x xg x
2 ln 2 1 0x x log ln 22
. Bảng biến thiên:x log ln 22
TẠ P CHÍ VÀ TƯ LI ỆU TOÁ N H Ọ C
g ' x 0
g x
2
g log ln 2
Từ đó phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi
2 g log ln 22 2m g log ln 2 m
2 0, 457 (các nghiệm này đều thỏa mãn điều kiện vì x 2m 2 x 0)
Do m nguyên và m 10, nên m
1, 2, 3, 4, 5,6,7,8,9
. Chọn ý A.✪ Câu 3
Có bao nhiêu số tự nhiên m để phương trình sau có nghiệm?
m 3m 2 2
e e 2 x 1 x 1 x 1 x .
A. 2. B. 0. C. Vô số. D. 1.
Lời giải Điều kiện xác định: x
1;1
.Xét phương trình: eme3m 2 x
1 x 2
1 x 1 x 2
1 .Đặt t x 1 x 2 . Khi đó t2 1 2x. 1 x 2 x. 1 x 2 t21 2 . Khi đó, phương trình
1 trở thành:
m 3m t2 1
e e 2t 1
2 eme3m t t
21
em 3em t3 t 2
.Xét hàm số:g u
u3u trên có: g u
3u2 1 0, u .Suy ra hàm số g u
đồng biến trên . Do đó:
2 g e
m g t
em t.Khi đó ta có
1 em x 1 x 3 2
Xét hàm số: f x
x 1 x 2 x
1;1
. Có:
x 2 1 x2 2 x
f x 1 x 1;1
1 x 1 x
.
2
2 2
x 0 2
f x 0 1 x x x
2
1 x x .
Phương trình
1 có nghiệm x
1;1
phương trình
3 có nghiệm x
1;1
TOÁN H ỌC PH Ổ T HÔN G
1 em 2
m ln 2 . Do m nên m
0 .Chọn ý D.
✪ Câu 4
Cho hàm số f x
ln
x2 1 x
ex e .x Hỏi phương trình f 3
x f 2x 1
0 cóbao nhiêu nghiệm thực
A. 3. B. 2. C. 1. D. 0.
Lời giải Ta có:
2 x x x x
2
2 x x
f x ln x 1 x e e ln 1 e e
x 1 x ln x 1 x e e f x
Phương trình đã cho tương đương với: f 3
x f 2x 1
f 3
x f 1 2x *
Xét hàm số f x
có
2 x x x x
2 2
1 x
x 1 1
f ' x e e e e 0, x .
x 1 x x 1
Suy ra hàm số f x
đồng biến trên .
* 3x 1 2x3x2x 1 0 * *
Xét hàm số g x
3x2x 1 có g ' x
3 .ln 3 2 0, xx . Bảng biến thiên:x
g ' x
g x
Suy ra phương trình
* * có duy nhất một nghiệm x 0. Chọn ý C.✪ Câu 5
TẠ P CHÍ VÀ TƯ LI ỆU TOÁ N H Ọ C
Có bao nhiêu số nguyên dương a để phương trình sau có nghiệm duy nhất?
2 2
2 2 2 2
27 11 9 11
9 x 2 x
3a 12a 15 log 2x x a 3a 1 log 1 2 log 2x x log
2 2 2
A. 2. B. 0. C. Vô số. D. 1.
Lời giải Điều kiện 0 x 2.
Biến đổi phương trình ban đầu tương đương
2 2
2 2 2 2
3 11 3 11
2 x 2 x
a 4a 5 log 2x x 9a 6a 2 log log 2x x log
2 2
2 2 2 2
3 11
a 4a 4 log 2x x 9a 6a 1 log 2 x 0 2
2 2
2 2 2 2 3
3 11
11 2
log 2x x
2 x 3a 1
a 2 log 2x x 3a 1 log 0 *
2 a 2 log 2
2 x Mà vế trái của
* luôn dương với mọi a nguyên dương.Vì 0 x 2 nên
2
2 11 2
2 2
2 x 2 1 log 0
2 x 2 x
Do đó từ
* suy ra log 2x x3
2
0 2x x 2 1 x22x 1 0 hông tồn tại x.ậy hông có giá trị của tham số a thỏa mãn yêu cầu đề bài . Chọn ý B.
✪ Câu 6
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m sao cho 10m và phương trình
2 2
mx 5 mx 5
2 log 2x 5x 4 log x 2x 6 có nghiệm duy nhất. Tìm số phần tử của S.
A. 15. B. 14. C. 13. D. 16.
Lời giải
Ta có: 2x25x 4 0 với mọi x nên phương trình ban đầu tương đương với
2
2 2
mx 5 0 mx 5 1 mx 5 2x 5x 4 0 mx 6
2x 5x 4 x 2x 6 x 2
x 5
TOÁN H ỌC PH Ổ T HÔN G
Phương trình có nghiệm duy nhất tương đương với ta nhận nghiệm x 2 và loại
x 5 hoặc nhận nghiệm x 5 và loại x 2 .
Trường hợp 1: Nhận nghiệm x 2 và loại x 5 .
Điều này tương đương với
m 5
2m 5 2
2m 6 m 3
5m 5 m 1
5m 6 6
m 5
(vô lí).
Trường hợp 2: Nhận nghiệm x 5 và loại x 2 .
Điều này tương đương với
m 1 m 3
5m 5 6 1 m 5
5m 6 m 5 2
2m 5 m 5 m 65
2m 6 2
m 3
.
Suy ra:
10m 30 10 10m 25 m 12
. Vì 10m nên 10m
11;13;14...; 25
30 . Trong tập hợp này có 15 phần tử nên tập hợp S cũng có 15 phần tử.Chú ý:
11 13 14 25 30 m ; ; ...;
10 10 10 10 10 . Chọn ý A.
✪ Câu 7
Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình sau có nghiệm thực?
ln m 2 sin x ln m 3sin x sin x
A. 5. B. 4. C. 3. D. 6.
Lời giải
Điều kiện:
m 2 sin x ln m 3sin x 0 m 3sin x 0
Phương trình đã cho tương đương:
sin x
m 2 sin x ln m 3sin x e
m 3sin x ln m 3sin x esin x sin x
TẠ P CHÍ VÀ TƯ LI ỆU TOÁ N H Ọ C
eln m 3sin x ln m 3 sin x esin xsinx,
1Xét hàm số f t
ett, t . Ta có f t
et 1 0, t . Nên hàm số f t
đồng biến trên . Vậy
1 fln m 3sin x
f
sin x
ln m 3sin x
sin x.Đặt a sinx , a
1;1
. Phương trình trở thành: ln m 3a
a m e a3a. Xét g a
ea3a, a
1;1
, g a
ea 3 0, a
1; 1
.Vậy để phương trình có nghiệm thực thì g 1
m g 1
e 3 m 1 3 e . Vậy có 4 giá trị nguyên của tham số m là: 0;1;2;3.Chọn ý B.
✪ Câu 8
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số để tồn tại các số thực thỏa mãn:
3x 5y 10 x 3y 9
2 2
5 5
e e 1 2x 2y
log (3x 2y 4) (m 6)log (x 5) m 9 0
A. 3. B. 5. C. 4. D. 6.
Lời giải Ta có:
3x 5y 10 x 3y 9 3x 5y 10 x 3y 9
e e 1 2x 2y e e (x 3y 9) (3x 5y 10)
e3x 5y 10 (3x 5y 10) e x 3y 9(x 3y 9) 1 Do hàm số f t
et t đồng biến trên
;
nên (1) 3x 5y 10 x 3y 9 2x 2y 1
Khi đó phương trình
2 2
5 5
log (3x 2y 4) (m 6)log (x 5) m 9 0
log (x 5) (m 6)log (x 5) m25 5 2 9 0, đặt t log x 5 , t 5
. Phương trình đã cho trở thành t2
m 6 t m
2 9 0 2
có nghiệm (m 6) 24 m
29
3m212m 0 0 m 4 .Vậy số giá trị nguyên dương của tham số m thỏa mãn là 4 giá trị . Chọn ý C.
m x y,
2TOÁN H ỌC PH Ổ T HÔN G
✪ Câu 9
Cho phương trình log 2x2
24x 4
2y2 y2x22x 1 . Hỏi có bao nhiêu cặp số nguyên dương
x; y
và 0 x 100 thỏa mãn phương trình đã cho?A. 4. B. 3. C. 1. D. 2.
Lời giải Điều kiện:2x2 4x 4 0 (*)
Ta có log 2x2
24x 4
2y2 y2x22x 1
2
2
y2 2log 2 x2 2x 2 x 2x 1 2 y
2
2
y2 22 2
log x 2x 2 log 2 x 2x 1 2 y
2
2
y2 2log x2 2x 2 x 2x 2 2 y
(1).
Xét hàm f t
2t t có f t
2 .ln 2 1 0t t . Suy ra hàm số đồng biến trên . (1)f log x
2
22x 2
f y
2 log x2
22x 2
y2y2
x2 2x 2 2
x 1
2 1 2y2.Do 0 x 100 1
x 1
2 1 2y2 9921 0 y2 log 992
21
; do y nguyên dương nên ta suy ra 1 y 3 . y 1 x2 2x 2 2 x22x 0 x 2 (Thỏa mãn Đk (*) và x nguyên dương).
y 2 x22x 2 16 x22x 14 0 (Không có giá trị nguyên nào thỏa mãn).
y 3 x22x 2 512 x22x 510 0 (Không có giá trị nguyên nào thỏa mãn).
Vậy có một cặp nguyên dương
x; y
2;1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.Chọn ý C.
✪ Câu 10
Cho phương trình 27x3x.9x
3x2 1 3
x
m31 x
3
m 1 x
, m là tham số.Biết rằng giá trị m nhỏ nhất để phương trình đã cho có nghiệm trên
0;
là a eln b , với a, b là các số nguyên. Giá trị của biểu thức 17a 3b bằngTẠ P CHÍ VÀ TƯ LI ỆU TOÁ N H Ọ C
A.26. B.54. C. 48. D. 18.
Lời giải
Phương trình đã cho tương đương x33x 32 x3x. 3
x 2 3x 3 x 3x
mx 3mx
x 3x
3 x 3x
mx 3 mx (*)
Xét hàm số f t
t3 t có f t
3t2 1 0, t f t
là hàm đồng biến trên . Do đó từ
* suy ra x 3 x mx. Vì x 0 suy ra3x
1 m
x . Xét hàm số
3x
f(x) 1
x trên
0;
.Ta có
x
x x
2 3
3 ln 3 x 3 1
f x 0 3 xln 3 1 0 x log e
x ln 3
.
Dấu của f x
cũng là dấu của nhị thức bậc nhất xln 3 1 , do đó ta có bảng biến thiên:x 0 log e3
f ' x 0
f x
1 e.ln 3
Từ bảng biến thiên suy ra giá trị nhỏ nhất của m để phương trình có nghiệm là m 1 eln 3 .
Suy ra a 1, b 3 17a 3b 17 9 26 . Chọn ý A.
✪ Câu 11
Tổng tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
2 2
2
1 2x 4x 6
log x 2 x x m
2 x m 1
Có đúng ba nghiệm phân biệt là
A. 2. B. 3. C. 1. D. 0.
Lời giải Điều kiện:
2x2 4x 6
0 x
x m 1 .
Phương trình: 2 2 2
1 2x 4x 6
log x 2 x x m
2 x m 1
*TOÁN H ỌC PH Ổ T HÔN G
2 2
2
2x 4x 6
log 2x 4 x x m
x m 1
log 2x2 24x 6 log x m 12 2x2 4x 4 x m
log 2x2 24x 6 2x24x 6 log x m 12 2 4 x m 4
log 2x2 2 4x 6 2x24x 6 log 4 x m 42 4 x m 4
1 Xét hàm f t
log t t2 trên khoảng
0 ;
. có f ' t
1 1 0 , t 0 t ln 2 suy ra f t
đồng biến trên khoảng
0 ;
.Khi đó
1 f 2x
24x 6
f 4 x m 4
2x2 4x 6 4 x m 4 2 x m x 22x 1
2 2
2x 2m x 2x 1
2x 2m x 2x 1 ( do x22x 1 (x 1) 2 0, x )
2 2
2m x 4x 1 2m x 1
2 Vẽ đồ thị hai hàm số g x
x2 4x 1 và h x
x2 1 trên cùng hệ trục tọa độ Oxy (bạn đọc tự vẽ hình)(Chú ý: Hai đồ thị hàm số y g(x) và y h(x) tiếp xúc với nhau tại điểm A(1;2)) Để phương trình
* có đúng ba nghiệm phân biệt thì
2 phải có đúng ba nghiệm phân biệt đường thẳng y 2m và hai đồ thị trên có đúng ba điểm chung phân biệt.
m 1
2m 1 2
2m 2 m 1
2m 3 3
m 2 .
Vậy tổng tất cả các giá trị của m bằng 3.
Chọn ý B.
✪ Câu 12
Cho các hàm số f (x),f (x),f (x),...0 1 2 thỏa mãn:
f (x) ln x ln x 20190 ln x 2019, f (x) f xn 1 n
1, n .TẠ P CHÍ VÀ TƯ LI ỆU TOÁ N H Ọ C
Số nghiệm của phương trình f2020
x 0là:A. 6058. B. 6057. C. 6059. D. 6063.
Lời giải
Ta có: f2020
x 0 f2019
x 1
2018 2018
f x 0
f x 2
2017 2017
f x 1
f x 3
0 0
0
f x 0 f x 2 ... .
f x 2020
Xét hàm số
2019
2019 2019
0
2019
ln x 4038;0 x e y f x ln x;e x e ln x 4038; x e
, ta có:
2019
2019 2019
2019
1;0 x e x
y' 1;e x e . x
1; x e x Ta lập được bảng biến thiên của hàm số y f x : 0
x 0 e2019 e2019
y '
y
2019
2019
Vậy số nghiệm của phương trình là: 1009.2.3 2 3 6059. . Chọn ý C.
✪ Câu 13
Tìm các giá trị m để phương trình 3sin x 5 cosx m 5 logsin x 5 cosx 10
m 5
có nghiệm.A. 6 m 6 B. 5 m 5 C. 5 6 m 5 6 D. 6 m 5 Lời giải
sin x 5 cosx 10 sin x 5 cosx m 5
sin x 5 cosx 10 m 5
ln m 5
3 log m 5 3
3 ln sin x 5 cos x 10
3sin x 5 cosx 10.ln sin x 5 cos x 10 3m 5.ln m 5 Xét hàm số f t
ln t .3 , t 5
t có f t
13tln t 3 ln 3
t
0 , t 5 t Vậy hàm số f t
đồng biến .TOÁN H ỌC PH Ổ T HÔN G
f sin x 5 cos x 10 f m 5 sin x 5 cos x 10 m 5 sin x 5 cos x 5 m
Mà ta có 6 sin x 5 cos x 6
Nên để phương trình có nghiệm ta phải có
5 6 m 5 6
5 6 m 5 6 .
5 6 m 6 5
Chọn ý C.
✪ Câu 14
Tìm tham số m để tổng các nghiệm của phương trình sau đạt giá trị nhỏ nhất:
2 1 mx x2 2 mx 1 m 2 2
1 2x m m 1 x 2 .2 x mx 1 .2 x m x.
A. 0 B. 2 C. 1
2 D. 1
2 Lời giải
2
2 2 2 2
mx 1 m
2 1 mx x 2 2 2
x mx 1 x m x 1 x mx 1
2 2 2 2 2 2
1 2x m m 1 x 2 .2 x mx 1 .2 x m x
x mx 1 x m x 1 .2 x mx 1 .2 x m x 1 .
Đặt a
x2mx 1 , b
x2m x 12
thì phương trình trên trở thành
a b .2
a a.2b a b a b a.2bb.2a a 2
b 1
b 2a1
0 (*).Nếu a 0 hoặc b 0 thì phương trình (*) thỏa mãn.
Nếu a 0 và b 0 thì phương trình (*) tương đương 2b1 2 a10
b a (**).
Ta để ý rằng
Với a 0 thì 2a 1, tức là 2a 1 0 nên 2a 10 a .
Với a 0 thì 2a1, tức là 2a 1 0 nên 2a 10 a . Suy ra 2a1 0, a 0
a . Hoàn toàn tương tự: 2b10, b 0
b .
Nên
b a
2 1 2 1 0, a 0, b 0
b a . Suy ra phương trình (**) vô nghiệm.
Do đó: (*)
a 0
b 0 . Tức là phương trình đã cho tương đương
2
2 2
x mx 1 0 x m x 1 0 .
TẠ P CHÍ VÀ TƯ LI ỆU TOÁ N H Ọ C
Hai phương trình x2mx 1 0 và x2m x 1 02 có ít nhất 1 nghiệm trùng nhau khi m 0 hoặc m 1 .
Nếu m 0 thì hai phương trình đều là x2 1 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm và tổng hai nghiệm đó là T1 0.
Nếu m 1 thì hai phương trình đều là x2 x 1 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm và tổng hai nghiệm đó là T2 1.
Khi m 0 và m 1 thì hai phương trình x2 mx 1 0 và x2m x 1 02 không có nghiệm nào trùng nhau.
Phương trình bậc hai x2mx 1 0 có a.c 0 nên có hai nghiệm phân biệt và tổng hai nghiệm đó là x1x2 m.
Phương trình bậc hai x2m x 1 02 có a.c 0 nên có hai nghiệm phân biệt và tổng hai nghiệm đó là x3x4 m2.
Suy ra phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt và tổng của chúng là
2 2
3 1 2 3 4
1 1 1
T x x x x m m m
2 4 4.
3
1 1
T m
4 2 , nên min T3 1 4.
So sánh T , T , min T1 2 3 thì được giá trị nhỏ nhất của tổng các nghiệm của phương trình đã cho là 1
4 và đạt tại m 1 2. Chọn ý C.
✪ Câu 15
Cho phương trình m ln x 12
x 2 m ln x 1
x 2 0 1 .
Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
1 có hai nghiệm phân biệt thoả mãn 1 2
0 x 2 4 x là khoảng
a ;
. Khi đó a thuộc khoảngA.
3,8 ; 3,9 .
B.
3,6 ; 3,7 .
C.
3,7 ; 3,8 .
D.
3, 5 ; 3,6 .
Lời giải Điều iện: x 1.
Vì x 0 không thỏa mãn phương trình nên ta có
m x 2 , 2 m ln x 1 x 2 ln(x 1) 1 m ln x 1 x 2 ln x 1 1 0
ln x 1 1 x 1 1
e .
TOÁN H ỌC PH Ổ T HÔN G
Do nghiệm x 1 1 0
e nên phương trình
1 có hai nghiệm thoả mãn 1 2
0 x 2 4 x khi và chỉ hi phương trình
2 có hai nghiệm phân biệt sao cho 1 2
0 x 2 4 x . Xét hàm số f x
ln x 1x 2
trên khoảng
0 ; +
ta có
2
ln x 1 x 2 f x x 1
ln x 1 .f x
0 ln x 1
x 2 0 x 1 ,
3 . Xét hàm số h x
ln x 1
x 2x 1 có
2
1 1
h x 0
x 1 x 1 , x 0 nên h x
đồng biến trên
0 ;
do đó phương trình f x
0 có không quá một nghiệm.Mà f 2 .f 4
0 và f x
là hàm số liên tục trên
2 ; 4 suy ra phương trình
3 có duy nhất một nghiệm x0
2 ; 4
. Từ đó ta có bảng biến thiên:x 0 2 x0 4
f ' x 0
f x
4 ln 3
6 ln 5
Từ bảng biến thiên ta có phương trình
1 có hai nghiệm phân biệt thoả mãn 1 2
0 x 2 4 x khi và chỉ khi
6 6
m m ;
ln 5 ln 5 . Vậy a 6
3,7 ; 3,8
ln 5 .
Chọn ý C.
✪ Câu 16
Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt là
3
x 3 m 3x 3 2 x 3 x
3 x 9x 24x m .3 3 1
A. 45. B. 38. C. 34. D. 27.
Lời giải
TẠ P CHÍ VÀ TƯ LI ỆU TOÁ N H Ọ C
Phương trình tương đương với
3m 3x 3 2 3 x 3m 3x 3 x 3
3 x 9x 24x m 27 3 3 m 3x 3 3 x
Xét hàm đặc trưng: f t
3t t3 f t
3 ln 3 3tt 2 0 t .
3m 3x 3 x 3 3 3
3 m 3x 3 3 x m 3x 3 x m 3 x 3x
m x3 9x2 24x 27 .
Đặt g x
x3 9x224x 27
2 x 2
g x 3x 18x 24 0
x 4. Ta có bảng biến thiên:
x 2 4
g ' x 0 0
g x
7
11
Để phương trình có 3 nghiệm phân biệt thì 7 m 11 m
8;9;10
. Vậy tổng các giá trị m bằng 27.Chọn ý D.
✪ Câu 17
Cho phương trình 2x 1 2.log x2
22x 3
4x m log 2 x m 22
với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m trên đoạn
2019 ; 2019
để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt.A. 4036. B. 4034. C. 4038. D. 4040.
Lời giải Điều kiện: x .
x 1 2 2
2
x m 2
2 .log x 2x 3 4 log 2 x m 2
2(x 1)2log (x 1)2 2222|x m|log (2|x m| 2) 12 Xét hàm số y 2 .log t 2 t 2
với t 0 .Hàm số y 2 .log t 2 t 2
xác định và liên tục trên
0 ;
.Ta có
t t 2
y 2 .log t 2 .ln 2 2 0, t 0 t 2 ln 2 . Vậy hàm số y 2 .log t 2 t 2
đồng biến trên
0 ;
.TOÁN H ỌC PH Ổ T HÔN G
Từ
2
2 2
2
x 1 2 x m 1 f x 1 f 2 x m x 1 2 x m
x 1 2 x m
2 2
2m x 4x 1 1
2m x 1 2
* .Xét phương trình 2m x2 4x 1 . Ta có bảng biến thiên của hàm số
2 g x x 4x 1
x 2
g ' x 0
g x
3
Phương trình 2m x2 4x 1 có 2 nghiệm phân biệt khi 2m 3 m 3 2. Phương trình 2m x2 4x 1 có 1 nghiệm khi 2m 3 m 3
2. Phương trình 2m x2 4x 1 vô nghiệm khi 2m 3 m3
2.
Xét phương trình 2m x 21. Ta có bảng biến thiên của hàm số h x
x2 1x 0
g ' x 0
g x
1
Phương trình 2m x 21 có 2 nghiệm phân biệt khi 2m 1 m 1 2. Phương trình 2m x 21 có 1 nghiệm khi 2m 1 m 1
2. Phương trình 2m x 21 vô nghiệm khi 2m 1 m 1
2.
Khi m3
2: phương trình 2m x2 4x 1 có nghiệm x 2 , phương trình
2
2m x 1 có 2 nghiệm phân biệt x 2. Vậy
* có 3 nghiệm phân biệt, suy ra loại m 32.
TẠ P CHÍ VÀ TƯ LI ỆU TOÁ N H Ọ C
Khi m 1
2: phương trình 2m x2 4x 1 có 2 nghiệm phân biệt x 2 2 , phương trình 2m x 21 có nghiệm x 0 . Vậy
* có 3 nghiệm phân biệt, suy ra loại m 32.
Xét phương trình x2 4x 1 x 2 1 2x24x 2 0 x 1 suy ra không tồn tại mđể phương trình
1 và
2 có cùng tập nghiệm gồm 2 phần tử. Vậy không tồn tại m để
* có 2 nghiệm phân biệt .Yêu cầu bài toán
* có 2 nghiệm phân biệt . TH1:
1 có 2 nghiệm phân biệt và
2 vô nghiệm
m 23 m 1
1