Tập hợp các số nguyên

(1)

Chuyên đề 1. TẬP HỢP CÁC SỐ NGUYÊN I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Kiến thức cơ bản

a) Tập hợp các số nguyên:

Tập hợp



...; 3; 2; 1; 0;1;2; 3;...  



gồm có số 0, các số 1; 2; 3; ... (số nguyên dương) và các số -1; -2; -3; ... (số nguyên âm) được gọi là tập hợp các số nguyên, kí hiệu là Z.

Nhận xét: Mọi số tự nhiên đều là số nguyên hay ^. b) Trục số nguyên:

Điểm biểu diễn số nguyên a trên trục gọi là điểm a.

c) Số đối:

Trên trục số, hai điểm -2 và 2 cách đều điểm gốc 0 về hai phía. Ta nói -2 và 2 là hai số đối nhau. Số đối của a kí hiệu là –a.

d) Thứ tự trong Z:

Trên trục số, điểm a nằm bên trái điểm b thì a < b hay b > a.

Ta luôn có: Số nguyên âm < 0 < số nguyên dương.

Với hai số nguyên a, b bất kì ta luôn có hoặc a < b, hoặc a = b, hoặc a > b.

Nếu a lớn hơn b hoặc a = b thì ta viết ab.

Với a, b, c , nếu a < b và b < c thì a < c ( tính chất bắc cầu).

e) Giá trị tuyệt đối của số nguyên a, kí hiệu là |a|, là khoảng cách từ điểm a đến gốc 0.

• Nếu a  0 thì a  0.

• Nếu a  0 thì a  a.

• Nếu a  0 thì a  a.

Nhận xét: Với mọi a , ta có: | a | 0.

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 ...

...

CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6: SỐ NGUYÊN

(2)

a  a . 2. Nâng cao

a) Khi ta nói x  2 hoặc x  3 thì ta viết x 2 x 3

  

 



còn khi nói x  1 và x _ 4 thì ta viết x 1 x 4

  

 

 . b) Với a0 và x  a thì ta suy ra x = a hoặc x = -a.

c) Với a  và x  a thì suy ra x = a hoặc x = -a.

d) Nếu a  b  0 thì a  b . II. MỘT SỐ VÍ DỤ

Ví dụ 1. Cho tập hợp ^A 



3;2; 0 1;5;7



.

a) Viết tập hợp B gồm các phần tử là số đối của các phần tử trong tập hợp A.

b) Viết tập C gồm các phần tử thuộc tập hợp A và là số dương.

c) Xác định quan hệ giữa các tập hợp A, C, N*, Z.

Giải

a) Số đối của số -3 là 3; của số 2 là -2; của số 0 là 0; ...

Vậy ^B



3; 2; 0;1; 5; 7 .  



b) Có 3 phần tử của tập hợp A là số nguyên dương, đó là: 2; 5; 7.

Vậy ^C^



^{2;5;7 .}



c) Ta có: CA  và CN* .

Nhận xét: Số đối của –a là a. Vậy số đối của –a lại là a, tức là:^{ }

 

^a ^ ^a^.

N* là tập hợp các số nguyên dương. Ta kí hiệu: Z* là tập hợp các số nguyên khác 0, Z₊ là tập hợp các số nguyên không âm (lớn hơn hoặc bằng 0), Z_ là tập hợp các số

(3)

nguyên không dương (nhỏ hơn hoặc bằng 0)Z^*_ là tập hợp các số nguyên dương.

Vậy Z^*_  N^* .

Ví dụ 2. Khẳng định sau là đúng hay sai? Nếu a  b thì a  b . Giải

Khẳng định “Nếu a  bthì a  b ” là sai.

Chẳng hạn: Với a = 3; b = -7 thì a > b, tuy nhiên, vì a  3; b  7  7 nên a  b .

Nhận xét: Để chứng tỏ một khẳng định nào đó là sai, ta chỉ cần đưa ra một ví dụ cụ thể nào đó mà khẳng định sai. Ví dụ như thế được gọi là phản ví dụ.

Ví dụ 3: Tìm x, y , biết:

a) x  3  5 . b) x  y  1 . Giải

a) Ta có: |-3| = 3.

Do đó: x  3  5  x  5 – 3  x  2  x  2 hoặcx  2 . Đôi khi ta viết gộp là: x  2 .

b) Vì x 0 và y 0 nên ta có hai trường hợp:

• x  1 và y  0 :

Ta có: x  1 x  1 hoặc x  1 .

y  0y  0 .

• x  0 và y  1 : Ta có: x  0 x  0

|y| = 1 y = 1 hoặc y = -1.

Vậy bài toán trên có bốn đáp số sau đây:

(4)

Ví dụ 4: Tìm x , biết

a) x  3 . b) x  2  3 . Giải

a) Vì |x| < 3 nên |x| ^



^0;1;2



^^x^



^{0; 1; 2}^{ }



^hay³^{ }^x^ ^3.

Nhận xét: Trong trường hợp tổng quát ta cũng chứng minh được rằng:

Với x , a > 0 thì: |x| < a  -a < x < a và |x|  a    a x a. b) Ta có: x  2  3 x  2  3 x  5 .

 |x| 



6;7; 8;9;...



     x { 6; 7; 8; 9;...} .

x > 5 hoặc x < -5 hay x 5

x 5

 

  

 .

Nhận xét:Trong trường hợp tổng quát ta cũng chứng minh được rằng:

Với x , a > 0 thì x  a x a

x a

 

    . Ví dụ 5: Tìm x , biết: 6 < |x| ^ 9.

Giải

Ta có: 6 < |x|  9| x | 7; 8;9}{     x { 7; 8; 9} hay 6 x 9

9 x 6

  

   

 . Nhận xét:Trong trường hợp tổng quát ta cũng chứng minh được rằng:

Với x ,0 < a < b thì: a < |x| < b a x b

b x a

  

     .

III. BÀI TẬP

2.1. Tìm các tập hợp sau: a) Z  b) Z^*.

x 1 -1 0 0

y 0 0 1 -1

(5)

2.2. Khẳng định sau đúng hay sai? Nếu sai hãy sửa lại cho đúng.” Nếu a  thì |a|  ^*

“.

2.3. Tìm các giá trị thích hợp của chữ số a sao cho:

a) a00801. b) 560  56a . c) a99 649 6a0 . 2.4. Hãy viết số nguyên âm:

a) Nhỏ nhất có một chứ số.

b) Lớn nhất có một chữ số.

c) Nhỏ nhất có 10 chữ số khác nhau.

d) Lớn nhất có 10 chữ số khác nhau.

2.5. Chứng tỏ rằng: Với mọi số nguyên a, ta đều có: | a | a .

2.6. Chứng tỏ rằng: Với a  và |x| = a thì suy ra x = a hoặc x = - a.

2.7. Chứng tỏ rằng: Với a  và |x| = |a| thì suy ra x = a hoặc x = - a.

2.8. Tìm x  , biết:

a) x  23  17 . b) 5 . x  20 . 2.9. Tìm x  , biết:

a) x  14 vàx  0 . b) x  23 vàx  0 . 2.10. Tìm x  , biết:

a) x  5 . b) 12 x  15 . 2.11. Cho các tập hợp:

A{x | 3  x 7};B{x | 3 x 7}; C {x || x | 5} . Hãy tìm các tập hợp: A B; BC; CA.

2.12. Tìm x, y , biết:

(6)

a) x  y  0 ; b) x  y  2 .

2.13. Cho x . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x 7.

2.14. Cho x . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q  9  x .

(7)

Chuyên đề 2. PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ CÁC SỐ NGUYÊN I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

a) Để cộng hai số nguyên cùng dấu, ta cộng hai giá trị tuyệt đối của chúng rồi đặt trước kết quả dấu của chúng.

b) Cộng hai số nguyên khác dấu:

Nếu hai số đối nhau thì tổng của chúng bằng 0.

Nếu hai số không đối nhau thì ta tính hiệu hai giá trị tuyệt đối (số lớn trừ số nhỏ) và đặt trước kết quả dấu của số có giá trị tuyệt đối lớn hơn.

c) Hiệu của hai số nguyên a và b là tổng của a với số đối của b: ^{a – b}^ ^a ^{ }

 

^b ^.

d) Tính chất của phép cộng số nguyên: Với mọi số nguyên a, b và c, ta có:

• Tính chất giao hoán: a  b  b  a .

• Tính chất kết hợp:a 



b  c







a  b



 c .

• Cộng với số 0: a  0  0  a  a .

• Cộng với số đối: ^a^{ }

 

^a ^ ^0.

2. Nâng cao

a) Với hai số nguyên a và b, ta có: a > b   a b 0; a  b a - b0.

b) Giá trị tuyệt đối của một tổng hai số nguyên nhỏ hơn hoặc bằng tổng các giá trị tuyệt đối của chúng: | a b | | a || b |, với mọi a, b và a  b  a  b khi và chỉ khi a và b cùng dấu hoặc khi a = 0, hoặc khi b = 0.

c) Giá trị tuyệt đối của một hiệu hai số nguyên lớn hơn hoặc bằng hiệu các giá trị tuyệt đối của chúng: | a b | | a | | b | , với mọi a, b  và a – b  a  b khi và chỉ khi a  b 0 hoặc a  b 0 .

II. MỘT SỐ VÍ DỤ

Dạng 1. Chứng minh các tính chất

Ví dụ 1. Chứng tỏ rằng a – b và b – a là hai số đối nhau.

Giải

Để chứng minh a – b và b – a là hai số đối nhau ta chứng minh tổng của chúng bằng 0.

(8)

Thật vậy:



^{a – b}

 

^ ^{b – a}



^ ^__^a^{ }

 

^b ^{ }_{ }_{ }⁺ ^b^{ }

 

^a ^__ ^ ^__^a^{ }

 

^a ^__^{ }^__^b

 

^^b ^__ ^ ⁰^.

Vậy a – b và b – a là hai số đối nhau.

Nhận xét: Từ kết quả trên ta suy ra: ^



^{a – b}



^ ^{b – a}^và^{a – b} ^ ^{b – a} ^.

Ví dụ 2. Chứng tỏ rằng: Số đối của một tổng hai số bằng tổng hai số đối của chúng.

Giải

Xét hai số nguyên a, b. Số đối của tổng a và b là: -(a + b) và tổng hai số đối của chúng là: (-a) + (-b).

Để chứng minh (-a) + (-b) là số đối của a + b, ta chứng minh tổng của chúng bằng 0.

Thật vậy: ^

   

  â ^b ^  ^â ^b^  ^â

 

^a ^^   ^b

 

^b ^  ⁰ . Vậy: ^{ }



^a ^b

    

^{   }^a ^{b .}

Nhận xét: Tương tự ta cũng có: Số đối của một hiệu hai số bằng hiệu hai số đối của chúng. Tức là: ^{ }



^a ^b

    

^{   }^a ^{b .}

Dạng 2. Tính giá trị của biểu thức

Ví dụ 3. Tính hợp lí:^P^{ }



¹²³



^ ⁷⁷ ^{ }



²⁵⁷



^ ^{23 – 43}^.

Giải

Ta có: ^P^{ }



¹²³



^ ⁷⁷ ^{ }



²⁵⁷



^ ²³ ^



^{– 43 .}



Cách 1:

     

 

P 123 257 43 77 23

423 100 323.

   

   

 

       

    

Cách 2:

     

   

 

P 123 23 257 43 77

100 300 77

400 77 323.

   

        

    

    

  

   

Nhận xét:

• Việc chuyển từ phép trừ về phép cộng là để ta có thể áp dụng các tính chất của

(9)

• Ở cách 1, ta đã cộng các số cùng dấu với nhau trước. Cách này có ưu điểm là hạn chế việc nhầm dấu .

• Ở cách 2, ta kết hợp từng nhóm có tổng là các số tròn trăm. Cách này có ưu điểm là có thể nhẩm ra kết quả.

Ví dụ 4. Tính hợp lý : Q  48  48  174  



74 .



Giải Cách 1:

 

Q  48 | 126 |   74  48 126 74  100.

Cách 2:

Vì 48 174 0 nên ^{| 48 174 |}^ ^{ }



^{48 174}^



^^{174 48.}^

Do đó:

     

Q 48 174 48   74  48 48  174 74  0 100100.

Nhận xét: Trong cách 2, ta đã sử dụng tính chất đã chứng minh ở trên để bỏ dấu ngoặc. Sau khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối, ta kết hợp thành từng nhóm có kết quả là số trong trăm. Dùng cách này ta có thể nhẩm được kết quả.

Dạng 3. Tìm số chưa biết

Ví dụ 5. Tìm chữ số a, biết:

 

^^a5 ^{ }

 

⁸⁵ ^{ }¹⁵⁰^.

Giải

Áp dụng quy tắc cộng hai số nguyên cùng dấu, ta có:

 

^^a5 ^{ }

 

⁸⁵ ^{ }



^a5^⁸⁵



Suy ra: ^



^a5^⁸⁵



^{ }¹⁵⁰^hay^a5^⁸⁵ ^¹⁵⁰^ ^a5^^{150 85}^ ^ ⁶⁵^.

Vậy a = 6.

Ví dụ 6. Tìm x , biết:

a) ^{| x 1 |}^ ^{  }

 

³ ¹⁷ ^b) ^{| x |}^ ^{  }

 

⁴ ³^.

Giải

(10)

a) Ta có: ^{| x 1 |}^ ^{  }

 

³ ¹⁷

 

| x 1 | 17 3

| x 1 | 17 3 20

x 1 20

    

    

    Ta có hai trường hợp:

• Nếu x – 1  20 thì x  20  1  21

• Nếu x – 1  20^thì^x^{ }

 

²⁰ ^ ¹^{ }¹⁹^.

Vậy x {21; 19}.  b) Ta có: ^{| x |}^ ^{  }

 

⁴ ³

 

| x | 3 4

| x | 1

    

   

Vì | x | 0  và -1 < 0 nên không có giá trị nào của x để x  1.

Ví dụ 7. Cho x và y là hai số nguyên cùng dấu thỏa mãn x  y 12 . Tính x  y Giải

Vì x và y cùng dấu nên ta có: x  y  x  y . Do đó: x  y  12 .

Vì 12 > 0 nên ta có hai trường hợp: x  y  12 và x  y  12 . Vậy x + y = 12 .

Nhận xét:

Vì x và y cùng dấu nên ta có thể chia làm hai trường hợp:

• x và y cùng dương: Khi đó: x  x, y  y và do đó ta có x  y  12 .

• x và y cùng âm: Khi đó: x  x, y  y và do đó ta có

   

^{  }^x ^y ^¹²^.

Vì

   

^{  }^x ^y ^{ }



^x^^y



^{, nên}^



^x^^y



^ ¹²^{. T}ức là số đối của x + y bằng 12. Suy ra x  y  12 .

(11)

III. BÀI TẬP 2.15. Tính hợp lí:

a)



^⁵⁷

 

^{ }¹⁵⁹



^⁴⁷^^169.

b) ^²⁰¹²^{ }



⁵⁹⁶

 

^{ }²⁰¹

 

^{ }⁴⁹⁶



^^301.

2.16. Tìm giá trị của biểu thức:

a) ^x^{ }



³⁷



^{, bi}ết x = -13. b) ^x ^{ }



⁷⁸



^{, bi}ết x = -86.

2.17. Tính x – y , biết rằng: x  20 và y  12 . 2.18. Tính tổng các số nguyên x, biết rằng:

a) 15  x 17. b) | x | 35. 2.19. Tìm chữ số a, biết rằng:

a) ³⁷^{ }

 

^5a ^{ }²⁰ ^b)

 

^^a9 ^⁴⁵^^26.

2.20. Tìm x∈, biết:

a) ^x^{+ −}

(

⁴⁵

) (

^{= −}⁶²

)

⁺¹⁷ ^b) ^x⁺²⁹^{= −}⁴³ ^{+ −}

(

⁴³

)

2.21. Tìm x∈, biết rằng:

a) x+23 là số nguyên âm lớn nhất

b) x+99 là số nguyên âm nhỏ nhất có hai chữ số 2.23. Tìm x∈, biết:

a)

( )

− + + − + + + =¹ ³

( )

⁵ ⁷  ^x ⁶⁰⁰ b) ²+ − + + − + + − = −

( )

⁴ ⁶

( )

⁸ 

( )

^x ²⁰⁰⁰

2.24. Tìm x∈, biết rằng: 9≤ − <x 3 11

2.25. Tìm giá trị nguyên lớn nhất và nhỏ nhất của x sao cho:

1986< + <x 2 2012

2.26. Cho 31 số nguyên. Hỏi tổng của 31 số nguyên đó là một số như thế nào nếu:

a) Tổng của 3 số bất kì trong chúng là 1 số nguyên âm?

b) Tổng của 3 số bất kì trong chúng là một số nguyên dương?

Kết quả trên còn đúng không nếu thay số 31 bằng số 32?

(12)

2.27. Trên bảng của một lớp học có viết các số: 1; 2; 3; … ; 2011; 2012; 2013. Một học sinh tiến hành một công việc như sau: Xóa hai số bất kì trong các số đó rồi viết thay vào giá trị tuyệt đối của hiệu hai số đã xóa, sau đó lặp lại công việc trên cho đến khi trên bảng chỉ còn lại một số. Chứng tỏ rằng số cuối cùng còn lại không thể là số 0.

(13)

Chuyên đề 3. QUY TẮC DẤU NGOẶC VÀ QUY TẮC CHUYỂN VẾ

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Kiến thức cơ bản

- Quy tắc dấu ngoặc:

Khi bỏ dấu ngoặc có dấu “–” đằng trước, ta phải đổi dấu tất cả các số hạng trong dấu ngoặc:

dấu “+” đổi thành dấu “–” và dấu “–” đổi thành dấu “+”

(

^{a b} ^c

)

^a ^{b c}

− − + = − + −

Khi bỏ dấu ngoặc có dấu “+” đằng trước, ta giữ nguyên dấu của các số hạng trong dấu ngoặc.

(

^{a b} ^c

)

^{a b} ^c

+ − + = − +

- Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển vế một số hạng tử từ vế này sang vế kia của một đẳng thức ta phải đổi dấu số hạng tử đó: dấu “+” đổi thành “–” và dấu “–” đổi thành dấu “+”

a b− = + ⇔ = + + ⇔ − = +c d a c d b a c b d 2. Nâng cao

- Quy tắc chuyển vế vẫn đúng đối với bất đẳng thức:

a b− < + ⇔ < + + ⇔ − < +c d a c d b a c b d

- Tổng đại số: Một dãy các phép tính cộng, trừ các số nguyên gọi là một tổng đại số. Trong một tổng đại số, ta có thể:

Thay đổi tùy ý vị trí của một số hạng kèm theo dấu của chúng.

Đặt dấu ngoặc để nhóm các số hạng một cách tùy ý; với chú ý rằng: Nếu trước dấu ngoặc là dấu “–” thì phải đổi dấu tất cả các số hạng trong ngoặc.

( )

a b c− − + = − + −d a b c d II. MỘT SỐ VÍ DỤ

Dạng 1. Tính hoặc rút gọn các biểu thức Ví dụ 1. Tính hợp lí:

a) P=⁵⁴+ − +

(

37 10 54 67− +

)

b) Q= + − − + + − − + −1 2 3 4 5 6 7 8  79 80 81− + Giải a) Áp dụng quy tắc bỏ dấu ngoặc, ta có:

54 37 10 54 67

P= − + − +

Áp dụng tính chất của tổng đại số, ta có:

(

^{54 54}

) (

³⁷ ⁶⁷

)

¹⁰

P= − + − + +

(14)

= +0 30 10+ =40

b) Áp dụng quy tắc đặt dấu ngoặc, ta có:

( ) ( ) ( )

1 2 3 4 5 6 7 8 9 78 79 80 81

Q= + − − + + − − + + + − − + 1 0 0= + + + + 0

=1

Nhận xét:Ở câu b) ta có những cách đặt dấu ngoặc khác, chẳng hạn:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 3 4 5 6 7 8 9 78 79 80 81

Q= + − + − + + − + − + + + − + − + = + − + + − + + − + =¹

( )

¹ ¹

( )

¹ 

( )

¹ ^{1 1}

Ví dụ 2. Cho , ,a b c∈. Rút gọn biểu thức sau:

( ) ( ) ( )

P= a+ − +b c a b− − a b c− − Giải

Áp dụng quy tắc bỏ dấu ngoặc, ta có: P= + − + − − + +a b c a b a b c Áp dụng tính chất của tổng đại số, ta có:

( ) ( ) ( )

P= a−a + b b− + − + + +c c a b = + + + + = +0 0 0 a b a b

Vậy P= +a b

Dạng 2. Chứng minh Ví dụ 3. Chứng tỏ rằng:

(

^{a b}^{− − + + −}

) (

^b ^c

) (

^c ^a

) (

⁻ ^{a b c}^{− −}

)

^{= − + −}

(

^a ^{b c}

)

Giải Ta có:

Vế trái = − − − + − − + +a b b c c a a b c (quy tắc bỏ dấu ngoặc)

(

^a ^a

) (

^{b b}

) (

^c ^c

)

^b ^a ^c

= − + − + + − + − − + (tính chất của tổng đại số)

⇒ Vế trái 0 0 0= + + − − + = − − +a b c a b c Áp dụng quy tắc đặt dấu ngoặc, ta có:

Vế trái ^{= − + −}

(

^a ^{b c}

)

⁼^Vế phải

Vậy

(

^{a b}^{− − + + −}

) (

^b ^c

) (

^c ^a

) (

⁻ ^{a b c}^{− −}

)

^{= − + −}

(

^a ^{b c}

)

Ví dụ 4. Cho , ,a b c∈ và a≠0. Chứng tỏ rằng biểu thức P luôn âm, biết rằng:

(15)

( ) ( )

P=a b−a −b a− −c bc Giải

Vì , ,a b c∈ nên áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng và phép trừ, ta có:

( )

^. ^. ²^;

( )

a b a− =a b a a− =ab a b a c− − =ba bc− =ab bc− Do đó: ^P⁼

(

^ab⁻^a²

)

⁻

(

^ab⁻^bc

)

⁻^bc

=ab−a²−ab+bc bc− (quy tắc bỏ dấu ngoặc)

(

^{ab ab}

) (

^{bc bc}

)

^a²

= − + − −

= + −0 0 a² = −a²

Vì a≠0 nên a² >0, do đó số đối của a² nhỏ hơn, hay: − <a² 0 Vậy P<0, tức là P luôn có giá trị âm.

Dạng 3. Tìm x

Ví dụ 5. Tìm x∈, biết:

a)

(

^{− +}^x ³¹

)

⁻³⁹^{= − +}^{69 11}

b) ⁻¹²⁹⁻

(

³⁵⁻^x

)

⁼⁵⁵

Giải a) Áp dụng quy tắc bỏ dấu ngoặc, ta có:

31 39 69 11

− +x − = − + 69 11 31 39

⇔ − = − + −x + (quy tắc chuyển vế

(

^{69 39}

) (

^{11 31}

)

⇔ − = − +x + − (tính chất của tổng đại số)

( )

30 20

⇔ − = − + −x 50

⇔ − = −x 50

⇔ =x Vậy x=50

b) Áp dụng quy tắc bỏ dấu ngoặc, ta có:

29 35 x 55

− − + = (quy tắc chuyển vế)

55 29 35

⇔ x= + + (tính chất kết hợp)

(

^{55 35}

)

²⁹

⇔ x= + +

(16)

90 35

⇔ x= +

219

⇔ x=

Vậy x=219 Nhận xét:

Ta có thể rút gọn riêng các số ở mỗi vế rồi mới thực hiện chuyển vế, chẳng hạn ở câu a):

31 39 69 11

− +x − = − +

8 58

⇔ − − = −x 8 58 50

⇔ x= − + =

Tuy nhiên cách làm này không khai thác được tính chất của tổng đại số để tính nhẩm như lời giải ở trên.

Ví dụ 6. Tìm x∈, biết:

a) (

⁻³⁷

)

^{− − = −}⁷ ^x ¹²⁷

b)

^x⁻¹⁴ ^{+ − < −}

( )

⁶ ⁴

Giải a) Áp dụng quy tắc chuyển vế, ta có:

(

⁻³⁷

)

⁺¹²⁷^{= −}⁷ ^x ^⇔⁹⁰^{= −}⁷ ^x ^{⇔ − = ±}⁷ ^x ⁹⁰

Ta có hai trường hợp:

• Nếu 7− =x 90 thì x= −7 90= −83

• Nếu 7− = −x 90 thì x= +7 90=97 Vậy ^x^{∈ −}

{

^83;97

}

b) Áp dụng quy tắc chuyển vế, ta có:

( )

14 4 6

x− < − − −

14 4 6

⇔ −x < − + hay x−14 <2 Suy ra: ^x⁻¹⁴^∈

{ }

^0;1

+ Nếu x−14 =0 thì x−14= ⇒ =0 x 14 + Nếu x−14 =1⇔ −x 14= ±1

• Nếu x−14=1 thì x= +1 14=15

• Nếu x−14= −1 thì x= − +1 14=13 Vậy ^x^∈

{

^{13; 14; 15}

}

(17)

III. BÀI TẬP 2.28. Tính hợp lí:

a)

(

^{326 43}⁻

) (

⁺ ^{174 57}⁻

)

b)

(

^{351 875}⁻

) (

⁻ ^{125 149}⁻

)

c) ⁻⁴¹⁸^{− −}

{

²¹⁸^{− −} ¹¹⁸⁻

( )

³¹⁸ ⁺²⁰¹²^

}

2.29. Tính hợp lí:

a)

( )

^{− + + −}² ⁷

(

¹²

)

⁺¹⁷^{+ + −}

(

⁵²

)

⁺⁵⁷

b)

(

⁻³⁰

) (

^{+ −}²⁹

)

^{+ +} ^{48 49 50}⁺ ⁺ 2.30. Rút gọn các biểu thức sau:

a) ^M ⁼

(

⁷¹⁺^x

) (

^{− − −}²⁴ ^x

) (

^{+ − −}³⁵ ^x

)

b) ^N ^{= −}^x ³⁴^{− }_

(

¹⁵⁺^x

) (

⁻ ²³^{− }^x

)

_

c) ^P^{= − +}

(

¹⁵ ^x

) (

⁺ ²⁵^{− −}^x

)

2.31. Cho x< <y 0 và x − y =100. Tính x− y

2.32. Cho x∈. Hãy bỏ dấu giá trị tuyệt đối rồi rút gọn các biểu thức sau:

a) x− + −3 x 5 với x<3 b) ²^{+ −}^x

(

^x⁺¹

)

^với x≥ −2 c) x+ + −1 x 2 với 1− ≤ ≤x 2 2.33. Cho a b− =1. Tính S, biết rằng:

( ) ( ) ( )

S = − − − + − + +a b c c b a − a+b 2.34. Chứng minh các đẳng thức sau:

a)

(

^{a b}^{− + −}

) (

^c ^d

) (

⁻ ^a⁺^c

)

^{= − +}

(

^b ^d

)

b)

(

^{a b}^{− − −}

) (

^c ^d

) (

⁺ ^b⁺^c

)

^{= +}^a ^d

2.35. Cho P= − +a b c Q; = − + −a b c, với , ,a b c∈. Chứng tỏ rằng P và Q là hai số đối nhau.

2.36. Viết tất cả các số nguyên có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 100 theo một thứ tự bất kì. Sau đó cứ mỗi số cộng với thứ tự của nó sẽ được một tổng. Hãy tính tổng tất cả các số tổng nhận được.

2.37. Tìm x∈, biết:

(18)

a) ⁴³^{+ −}

(

^{9 21}

)

⁼³¹⁷⁻

(

^x⁺³¹⁷

)

b)

(

¹⁵⁻^x

) (

⁺ ^x⁻¹²

)

^{= − − +}⁷

(

⁵ ^x

)

c) ^x⁻

{

⁵⁷−  + − −  =⁴²

(

²³ ^x

)



}

¹³−

{

⁴⁷+  −²⁵

(

³²− ^x

)



}

2.38. Tìm x∈, biết:

a) − + − = −7 x 4 3 b)13− + =x 5 13 c) ^x⁻¹⁰ ^{− −}

(

¹²

)

⁼⁴

2.39. Tìm x∈, biết:

a) x+ ≤2 5 b) x+ >1 2 2.40. Tìm x∈, biết:

a) x− − + =1 x 1 0 b) 2− + =x 2 x c) x−40 + − +x y 10 ≤0 2.42. Cho ,x y∈

a) Với giá trị nào của x thì biểu thức A=1001− +x 9 có giá trị lớn nhất? Tìm giá trị đó.

b) Với giá trị nào của y thì biểu thức B= − +y 2 34 có giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị đó.

(19)

Chuyên đề 4. PHÉP NHÂN HAI SỐ NGUYÊN

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Kiến thức cơ bản

a) Quy tắc nhân: ,a b∈ .0 0. 0 a = a=

Nếu a và b cùng dấu thì .a b= a b. Nếu a và b trái dấu thì .a b= − a b. Chú ý:

+ Nếu .a b=0 thì hoặc a=0, hoặc b=0 +Nếu đổi dấu một thừa số thì tích đổi dấu + Nếu đổi dấu hai thừa số thì tích không đổi b) Tính chất của phép nhân:

Các tính chất giao hoán, kết hợp, nhân với 1 số, tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng các số tự nhiên đều có thể mở rộng cho phép nhân hai số nguyên.

Chú ý:

+ Phép nhân số nguyên cũng có tính chất phân phối đối với phép trừ:

( )

a b c− =ab−ac

+ Nếu số thừa số âm chẵn thì tích là số dương. Nếu số thừa số âm lẻ thì tích là số âm.

2. Nâng cao

a) Lũy thừa bậc chẵn của một số âm là một số dương, lũy thừa bậc lẻ của một số âm là một số âm: a< ⇒0 a²ⁿ >0 và a²ⁿ⁺¹<0

b) Tính chất của bất đẳng thức:

a< ⇔b ac<bc, nếu c>0 a≥ ⇔b ac≤bc, nếu c<0

c) Giá trị tuyệt đối của một tích bằng tích các giá trị tuyệt đối: .a b = a b. II. MỘT SỐ VÍ DỤ

Dạng 1: Tính hoặc rút gọn biểu thức Ví dụ 1. Tính hợp lí:

( ) ( ) ( )

= − − + − −

a) A 135 35 . 47 53. 48 52

(20)

( )

= − + −

b) B 25. 75 49 75. 25 49 .

Giải a) Ta có: A 100. 47 53. 100=

( )

− +

(

−

)

(

^{100 .47}

) (

^{100 .53}

)

= − + − ( đổi dấu hai thừa số)

(

100 . 47 53

) ( )

= − + ( đặt thừa số chung)

(

^{100 .100}

)

= − 10000.

= −

b) Vì 25 49 0− < nên ^{25 49}⁻ ^{= −}

(

^{25 49}⁻

)

⁼^{49 25}⁻

Do đó: B 25. 75 49 75. 49 25=

(

−

)

+

(

−

)

=25.75 25.49 75.49 75.25− + − ( Tính chất phân phối )

(

25.75 75.25

) (

25.49 75.49

)

= − + − +

( )

0 49. 25 75

= + − + ( đặt thừa số chung) 49.50

2450.

=

= Nhận xét:

Hai cách tính ở câu a) và câu b) là khác nhau: Trong khi ở câu a) ta thực hiện phép tính trong ngoặc trước thì ở câu b) ta lại áp dụng tính chất phân phối để nhân phá ngoặc. Mục đích của sự thay đổi trình tự tính toán này là để tạo ra các thừa số chung, các số tròn chục, tròn trăm …giúp ta có thể tính nhẩm được.

Ví dụ 2. Bỏ dấu ngoặc rồi rút gọn biểu thức sau:

( )( ) ( )

P= a 1 b 2− − − ab 2+

Giải:

Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép trừ, ta có:

( )

x b 2− =x.b x.2+ Thay x a 1= − , ta có:

( )(

^{a 1 b 2}⁻ ⁻

)

(21)

( ) ( )

= a 1 .b a 1 .2− − −

( ) ( )

= ab b− − 2.a 2−

=ab b 2a 2.− − +

Do vậy: P ab b 2a 2 ab 2⁼ ^{− −} ^{+ −} ⁻

( ) ( )

= ab ab− + 2 2 2a b− − −

= − −2a b.

Vậy: ^P^{= − −}^{2a b.}

Dạng 2. Tìm số chưa biết Ví dụ 3: Tìm x Z∈ , biết:

(

⁺

)(

⁻

)

⁼

a) x 2 3 x 0 ^{b) 2x 5}

(

⁻

)

² ⁼^9. ^{c) 1 3x}

(

⁻

)

³ ^{= −}^8.

Giải:

a) Áp dụng : ^{a.b 0}_{= ⇔ }^{ =}^{a 0}_{b 0}

 = ta có:

(

^{x 2 3 x}⁺

)(

⁻

)

^{= ⇔}⁰ ^_{3 x 0}^{x 2 0}− =^{+ =} ^⇔^^x_{x 3}^{= −}= ²

Vậy: ^x^{∈ −}

{

^{2; 3}

}

b) Ta có :

(

⁻

)

⁼ ^⇔ − = ± ⇔ ^ ^{− =}− = −

2 2 2x 5 3

2x 5 3 2x 5 3

2x 5 3

 =  =

⇔ = ⇔ = 2x 8 x 4 2x 2 x 1.

Vậy ^{x 1 ;4}^∈

{ }

c) Vì

( )

⁻² ³ ^{= −}⁸^nên

(

^{1 3x}⁻

) ( )

³ ^{= −}² ³ ^{⇔ −}^{1 3x}^{= −}²

1 2 3x 3 3x x 1.

⇔ + = ⇔ = ⇔ = Vậy ^{x 1}⁼

Nhận xét:

(22)

Trong ví dụ trên ta đã sử dụng tính chất so sánh hai lũy thừa cùng số mũ của số nguyên sau đây:

= ⇔ = ±

2n 2n

x a x a

+ = + ⇔ =

2n 1 2n 1

x a x a

Ví dụ 4. Tìm x Z∈ , biết

(

^{x 3 x 2}⁺

)(

⁻

)

^<⁰

Giải

Vì

(

^{x 3 x 2}⁺

)(

⁻

)

^<⁰ nên suy ra x 3 & x 2+ − là hai số trái dấu.

Mặt khác:

(

^{x 3}+ −

) (

^{x 2}−

)

= + − + = >x 3 x 2 5 0 nên x 3 x 2.+ > − Do vậy: ^{x 2 0 x 3}− < < + ⇔^^{x 2 0}_{x 3 0}^{− <} ⇔^^{x 2}_x^< ₃⇔ − < <^{3 x 2.}

+ > > −

 

Vì x Z∈ nên ^x^{∈ − −}

{

^{2; 1; 0; 1}

}

Nhận xét: Trong lời giải trên ta đã sử dụng tính chất được suy ra từ quy tắc chuyển vế sau đây:

a b> ⇔ − >a b 0.

Ngoài ra, từ a và b trái dấu, ta có thể chia hai trường hợp:

> <

a 0& b 0

< >

a 0 & b 0.

Ví dụ 5. Tìm a,b Z∈ , biết: ^{a.b 12}⁼ và a b+ = −7 Giải:

Vì a.b 0> nên hai số a và b cùng dấu, mà ^{a b 0}^{+ <} nên suy ra a và b cùng âm.

Do đó: ^{a.b 12}⁼ ^{= −}

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

^{1 . 12}⁻ ^{= −}^{2 . 6}^{− = −}^{3 . 4}⁻

Trong các trường hợp đó chỉ có:

( ) ( )

^{− + − = −}³ ⁴ ⁷

Vậy ta có hai đáp số là: ^a^{= −}^{3; b}^{= −}⁴ hoặc ^a^{= −}^4;b^{= −}^3.

III. BÀI TẬP 2.43. Tính hợp lí:

( ) ( ) ( )

⁻ ⁻ ⁻

(

⁻

)

⁺

(

⁻

)

⁻

(23)

2.44. Tính giá trị của biểu thức:

a) A 5a b= ^{3 8} với ^a^{= −}^{1;b 1}⁼ b) B= −9a b^{4 2} với ^a^{= −}^{1;b 2}⁼ 2.45. Tính giá trị của biểu thức

a) ax ay bx by+ + + biết ^{a b}^{+ = −}^{3;x y 17}^{+ =} b) ax ay bx by− + − biết ^{a b}^{+ = −}^{7;x y}^{− = −}¹⁸

2.46. Cho a,b,c∈ Ζ. Chứng minh rằng: a(c b) b( a c) c(a b)− − − − = + 2.47. Tìm x∈ Ζ, biết:

a) ^{3 2 x}

(

^{− +}

) (

^{5 x 6}⁻

)

^{= −}⁹⁸ ^b)

(

^{x 7 8 x}⁺

)(

⁻

)

⁼⁰

2.48. Tìm x∈ Ζ, biết:

a)

(

^x²⁺^{1 49 x}

)(

⁻ ²

)

⁼⁰ ^b)

(

^{x 2 6 2 x}⁺

)(

⁻

)

⁼⁰

2.49. Tìm x∈ Ζ, biết:

a)

(

^{x 2 7 x}⁻

)(

⁻

)

^>⁰ ^b)

(

^x²⁻^{13 x}

)(

²⁻¹⁷

)

^<⁰

2.50. Tìm x∈ Ζ, biết:

a) 6x 13 15− = b) 7x 2 19− ≤ 2.51. Tìm x,y∈ Ζ, biết:

a) x.y= −28 b)

(

^{2x 1 4y 2}⁻

)(

⁺

)

^{= −}⁴²

2.52. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: ^P^{= − +}

(

^{x 1}

)

²^{− − +}^{3 y 35}

2.53. Cho 79 số nguyên trong đó tích của 6 số bất kì là một số âm. Chứng minh rằng tích của tất cả 79 số đó là một số dương.

2.54. Tìm x,y∈ Ζ, biết:

a) x xy y 9+ + =

(Đề thi tuyển vào lớp 10, Đại học Khoa học Tự nhiên, năm 2002) b) xy 2x 3y 5− − =

(24)

Chuyên đề 5. BỘI VÀ ƯỚC CỦA MỘT SỐ NGUYÊN I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

a)Định nghĩa: Cho a, b∈ Ζ và b 0≠

Nếu có số nguyên q sao cho ^{a b.q}⁼ thì ta nói a chia hết cho b, kí hiệu là ^{a b} . Khi đó ta còn nói a là bội của b và b là ước của a.

Chú ý:

+ Số 0 là bội của mọi số nguyên khác 0 + Số 0 không là ước của bất kì số nguyên nào + Các số 1 và – 1 là ước của mọi số nguyên Z

+ Nếu c vừa là ước của a, vừa là ước của b thì c gọi là ước chung của a. Nếu c vừa là bội của a, vừa là bội của b thì c gọi là bội chung của a và b.

b) Tính chất chia hết trong Z

• Nếu ^{a b} và b c thì a c

• Nếu ^{a b} và a.m b ( với ^m^{∈ Ζ})

• Nếu ^{a c} và b c thì

(

^{a b c}^±

)

 2. Nâng cao

a) Các tính chất khác về chia hết ( hay chia dư) đối với số tự nhiên vẫn đúng với số nguyên b) Nếu số a có m ước tự nhiên thì sẽ có thêm m ước là các số nguyên âm (là các số đối của các ước tự nhiên). Vậy a có 2m ước nguyên.

II. MỘT SỐ VÍ DỤ

Ví dụ 1: Tìm tất cả các ước chung của – 12 và 30.

Giải Tập hợp các ước của ⁻¹²và 30 là:

Ư^{( 12)}⁻ ⁼Ư⁽¹²⁾= −

{

12; 6; 4; 3; 2; 1;1; 2;3; 4; 6;12− − − − −

}

Hoặc viết góp: Ư^{( 12)}− = ± ± ± ± ± ±

{

1; 2; 3; 4; 6; 12

}

Ư⁽³⁰⁾= ± ± ± ± ± ±

{

1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30 .± ±

}

Suy ra tập hợp các ước chung của ⁻¹² và 30 là:

(25)

ƯC^{( 12;30)}⁻ ^{= ± ± ± ±}

{

^{1; 2; 3; 6}

}

^.

Nhận xét:

Ước chung của ⁻¹² và 30 là ước chung của ƯCLN^{(12, 30)}⁼⁶, nên:

ƯC^{( 12, 30)}⁻ ⁼Ư (6)

Ví dụ 2. Tìm x∈sao cho:

a) x 5− là bội của x + 2. b) x – 2 là ước của 3x + 5.

Giải a) Vì x 5− =(x+ −2) 7 nên (x−5) (x +2)⇔7 (x +2) Suy ra: x+ ∈2 Ư⁽⁷⁾^{= ± ±}

{

^{1; 7 .}

}

Ta có bảng giá trị sau:

x + 2 -7 -1 1 7

x -9 -3 -1 5

Vậy ^x^{∈ − − −}

{

^{9; 3; 1;5}

}

^.

b) Vì 3x+ =5 (3x− + =6) 11 3(x 2) 11− + nên (3x+5) (x −2)⇔11 (x −2).

Suy ra: x− ∈2 Ư ⁽¹¹⁾^{= ± ±}

{

^{1; 11}

}

^.

Ta có bảng giá trị sau:

x – 2 -11 -1 1 11

x -9 1 3 13

Vậy ^x^{∈ − −}

{

^{9; 1;3; 13}⁻

}

Nhận xét:

Ta có thể giải bài toán trên theo cách đã học ở chương I. Chẳng hạn, đối với câu b). ta có:

Vì (3x+5) (x −2)và 3(x−2) (x −2) Nên 

(

^{3x 5}+ −

)

3(x 2) (x 2)−  −

(3x 5 3x 6) x 2 11 (x 2).

⇔ + − + −

⇔ −



(26)

Sau đó tiếp tục lập luận tương tự như trên.

Ví dụ 3. Cho x, y∈. Chứng minh: 6x + 11y là bội của 31 khi và chỉ khi x + 7y là bội của 31.

Giải Ta có: (6x 11y) 6(x+ − +7y)=6x 11y 6x+ − −42y

=(6x−6y) (11y 42 y)+ − 31y 31

= − 

Suy ra: (6x 11y) 31+  ⇔6(x+7y) 31 (tính chất chia hết của một tổng) ⇔(x+7y) 31 (vì 6 và 31 nguyên tố cùng nhau).

Vậy ^{6x 11y}⁺ là bội của 31 khi và chỉ khi ^x⁺^7y là bội của 31.

Nhận xét:

Cách giải trên gọi là phương pháp “khử x”: Ta thấy số thứ nhất có số hạng 6x, số thứ hai có số hạng x. Vậy để triệt tiêu hết x, ta nhân 6 vào số thứ hai và xét hiệu với số thứ nhất.

Tương tự, ta cũng có phương pháp “khử” :

7(6x 11y) 11(x 7 y)+ − + =42 x 77 y 11x 77 y+ − − =31x 31. Sau đó lập luận tương tự như trên.

III. BÀI TẬP

2.55. Tìm tập hợp các bội chung của 12 và 30.− 2.56. Tìm tập hợp các ước chung của 60;45; 105.− − 2.57. Với n∈,các số sau là chẵn hay lẻ ?

a)

(

³ⁿ⁻^{4 3n 19 .}

)(

⁺

)

^b) ⁿ²^{− +}^{n 1.}

2.58. Tìm các số nguyên a, biết:

a) a+2 là ước của 7.

b) 2alà ước của 10.− c) 12 là bội của 2a 1.+

2.59. Chứng minh rằng nếu a∈ thì:

a) ^P⁼^{a a}

(

^{+ −}²

) (

^{a a}^{− −}⁵

)

⁷^{là b}ội của 7.

b) ^Q⁼

(

^a⁻^{2 a}

)(

^{+ − −}³

) (

^a ^{3 a}

)(

⁺²

)

^{là s}ố chẵn.

(27)

2.60. Tìm x, y∈,biết:

a)

(

^{2x 1 y 4}⁻

)(

⁻

)

^{= −}^13.

b)

(

^{5x 1 y 1}⁺

)(

^{− =}

)

^4.

c) 5xy 5x− + =y 5.

2.61. Cho x, y∈. Chứng minh rằng: 5x 47y+ là bội của 17 khi và chỉ khi x 6y+ là bội của 17.

2.62. Tìm x∈ sao cho:

a) x−4là bội của x 1.− b) 2x 1− là ước của 3x 2.+ 2.63. Tìm x∈ sao cho:

a) x² +2là bội của x 2.+ b) x 1− là ước của x²−2x+3.

2.64. Chứng minh rằng với mọi a∈ ta có:

a)

(

^{a 1 a}⁻

)(

^{+ +}²

)

¹²^{không là b}ội của 9.

b) 49không là ước của

(

^a⁺^{2 a}

)(

^{+ +}⁹

)

^21.

(28)

Chuyên đề nâng cao. ĐỒNG DƯ I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Phép chia với số dư âm

Chia số nguyên a cho số nguyên b 0> ta được:

a=b.q+rvới 0 r b 1.≤ ≤ −

- Nếu r 0= thì a chia hết cho b (kí hiệu là a b ) hay a là bội của b ( a B(b)∈ ), hay b là ước của a ( b∈Ư(a) ).

- Nếu r 0≠ thì phép chia a cho b là phép chia có dư.

- Số dư r có thể chọn là số nguyên âm.

Ví dụ: Chia 19 cho 4, ta có: 19=4.4 3+ (thương là 4, dư 3) Hoặc 19 4.5 1= − (thương là 5, dư 1− ).

* Nhận xét : Việc sử dụng số dư âm giúp ta có thể lựa chọn số dư có giá trị tuyệt đối nhỏ.

Trong trường hợp tổng quát : a b.q r= + , ta có:

• Nếu b chẵn thì b b b

r 1; 2;...;0;1;...

2 2 2

 

∈ − + − + 

 .

• Nếu b lẻ thì b 1 b 3 b 1

r ; ;...;0;1;...

2 2 2

− − −

 

∈ − − 

 .

Ví dụ : Khi chia một số cho 6 thì số dư có thể là 2; 1;0;1;2;3.− − Khi chia một số cho 5 thì số dư có thể là 2; 1;0;1;2.− − 2. Đồng dư

2.1. Định nghĩa

Cho a,b là các số nguyên và n là số nguyên dương. Ta nói a đồng dư với b theo môđun n, kí hiệu là ^a^≡^{b(mod n)}^⇔

(

^a⁻^{b n.}

)



Nhận xét: Nếu a chia b dư r thì a r(mod b).≡

2.2. Tính chất: Với mọi a,b,c,n∈ và n>0,ta có:

a) a≡a(mod n)

b) a≡b(mod n)⇒ ≡b a(mod n)

c) a≡b(mod n), b≡c(mod n)⇒ ≡a c(mod n) d) a≡b(mod n)⇒ ± ≡ ±a c b c(mod n)

e) a≡b(mod n)⇒ac≡bc(mod n)

f) ac≡bc(mod n) và

( )

^{c, n} ^{= ⇒ ≡}¹ ^a ^{b(mod n)}

(29)

g) a≡b(mod n)⇒a^k ≡b (mod n), k^k ∀ ≥1.

II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN ỨNG DỤNG 1. Chứng minh quan hệ chia hết

* Phương pháp : Để chứng minh a m ta chứng tỏ a 0(mod m).≡ Ví dụ 1. Chứng minh rằng:

(

²²²²⁵⁵⁵⁵⁺⁵⁵⁵⁵²²²²

)

^7.

Giải

Ta có: 2222≡3(mod 7) hay 2222≡ −4(mod 7);

5555≡4(mod 7)

(

²²²²⁵⁵⁵⁵ ⁵⁵⁵⁵²²²²

)

^

( )

⁴ ⁵⁵⁵⁵ ⁴²²²²^

(

^{mod 7}

)

⇒ + ≡ − + 

(

²²²²⁵⁵⁵⁵ ⁵⁵⁵⁵²²²²

)

⁴²²²²

(

⁴³³³³ ^{1 mod 7}

) ( )

⇒ + ≡ − −

Lại có ⁴³³³³ ⁼

( )

⁴³ ¹¹¹¹ ⁼⁶⁴¹¹¹¹^,^{mà 64}^≡^{1(mod 7)}^nên⁴³³³³ ^≡^{1(mod 7)}

( )

3333 2222 3333

4 1 0 (mod 7) 4 4 1 0(mod 7).

⇒ − ≡ ⇒ − − ≡

Do vậy

(

²²²²⁵⁵⁵⁵⁺⁵⁵⁵⁵²²²²

)

^≡^{0 mod 7}

( )

hay

(

²²²²⁵⁵⁵⁵ ⁺⁵⁵⁵⁵²²²²

)

⁷

Như vậy ta có ^a^≡^b

( mod

ⁿ

) (

^⇔ ^a⁻^b

)

ⁿ

.

Nhận xét: Nếu a chia b _dưrthì ^a ⁼^r

( mod

^b

) .

2.2. Tính chất: Với mọi a b c n, , , ∈^vàn>0, ta có:

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

a) mod

b) mod mod

c) mod , mod mod

d) mod mod

e) mod mod

f) mod ; , 1 mod

g) mod ^k ^k mod , 1

a a n

a b n b a n

a b n b c n a c n

a b n a c b c n

a b n ac bc n

ac bc n c n a b n

a b n a b n k

≡

≡ ⇒ ≡

≡ ≡ ⇒ ≡

≡ ⇒ ± = ±

≡ ⇒ =

= = ⇒ ≡

≡ ⇒ ≡ ∀ ≥

(30)

II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN ỨNG DỤNG 1.Chứng minh quan hệ chia hết

* Phương pháp:Để chứng minh a m ^{ta ch}^{ứng tỏ}^a^≡

0 mod (

^m

) .

Ví dụ 1. Chứng minh rằng:

(

²²²²⁵⁵⁵⁵ ⁺⁵⁵⁵⁵²²²²

)

^⁷

Giải Ta có:

2222 2222

⁼

3 mod 7 ( )

^hay

( )

5555

=

4 mod 7

( ) ( ) ( )

5555 2222 5555 2222

5555 2222 2222 3333

2222 5555 4 4 mod 7

2222 5555 4 4 1 mod 7

 

⇒ + = − + 

⇒ + = − −

Lại có

4

³³³³ ⁼

( ) 4

³ ¹¹¹¹ ⁼

64

¹¹¹¹

,

^mà

64 1 mod 7

^≡

( )

^nên⁴³³³³ ^≡^{1 mod 7}

( )

( ) ( ) ( )

3333 2222 3333

4 1 0 mod 7 4 4 1 0 mod 7

⇒ − ≡ ⇒ − − ≡

Do vậy

( 2222

⁵⁵⁵⁵ ⁺

5555

²²²²

)

^≡

0 mod 7 ( )

^hay

( 2222

⁵⁵⁵⁵ ⁺

5555

²²²²

)

^

7

^.

Ví dụ 2. Chứng minh rằng: ^A⁼

(

^7.5²ⁿ ⁺^12.6ⁿ

)

^¹⁹

Giải Ta có: ⁵²ⁿ ⁼

( )

⁵² ⁿ ⁼²⁵ⁿ ^{⇒ =}^A ^7.25ⁿ ⁺^12.6ⁿ

Vì

25

^≡

6 mod19 ( )

^nên²⁵ⁿ ^≡⁶ⁿ

(

^mod19

)

( ) ( )

7.6ⁿ 12.6ⁿ mod19 19.6ⁿ mod19

A A

⇒ = + ⇔ ≡

Suy ra: ^A^≡

0 mod19 ( )

Vậy A19.

Ví dụ 3. Chứng minh rằng: ^A⁼

( 232n +5 7 )

^ ^v^{ới mọi}^n∈^^.

Giải

( )

= ≡ . Ta đi tìm số dư của

(31)

Vì

4 1 mod 3

^≡

( )

⁴ⁿ ^≡^{1 mod 3}

( )

^hay²²ⁿ ^≡^{1 mod 3 .}

( )

2

2ⁿ

⇒ chia cho 3 dư 1. Giả sử 2²ⁿ =3k +1,k∈. Ta có: A=

2

³^k⁺¹+ =

5 2.8

^k +

5.

Vì ⁸^k ^≡^{1 mod 7}

( )

^⇒^2.8^k ^≡^{2 mod 7}

( )

^⇒^2.8^k ^{+ ≡ +}⁵ ² ^{5 mod 7}

( )

hay ^A^≡

0 mod 7 ( )

Vậy A chia hết cho 7.

2. Tìm số dư, chữ số tận cùng

2.1. Tìm số dư khi chia a cho b>

0

Nếu ^a^≡^r

( mod

^b

)

^và

⁰

^{≤ <}^r ^b^thì^r^{là s}ố dư khi chia a^chob

.

Ví dụ 4. Tìm số dư khi chia

3

²⁰⁰⁰ cho 7.

Giải Ta có:

3

² ^≡

2 mod 7 ( )

^⇒

3

⁶ ⁼

( ) 3

² ³ ^≡

1 mod 7 ( )

( )

³⁶ ³³³ ^{1 mod 7}

( )

⇒ ≡ hay ³¹⁹⁹⁸ ^≡^{1 mod 7.}

( )

Mặt khác: ³² ^≡^{2 mod 7}

( )

^nên³²⁰⁰⁰ ⁼³^{1998 2}³ ^≡^{1.2 mod 7}

( )

hay

3

²⁰⁰⁰ chia cho 7 dư 2.

Nhận xét:

Để tìm số dư khi chia aⁿ cho b>0, ta lấy lũy thừa với số mũ tăng dần của a chia cho b để tìm số dư. Ta sẽ dừng lại để xem xét khi tìm được số dư có giá trị tuyệt đối

nhỏ hoặc là một giá trị đặc biệt có liên quan đến các tình huống của bài toán.

2.2. Tìm một chữ số tận cùng

* Phương pháp: Nếu ^a^≡^r

( mod10 )

^và⁰^{≤ <}^r ¹⁰^thì

r

^{là ch}ữ số tận cùng của a

.

- Nếu a^{có ch}ữ số tận cùng là 0; 5; 6 thì aⁿ cũng có chữ số tận cùng như a^{, t}ức là:

(

^{mod10 .}

)

an ≡a

- Nếu a có chữ số tận cùng là 4; 9 thì a² có chữ số tận cùng là 6; 1.

(32)

Nếu ^a^≡^{4 mod10}

( )

^⇒^a² ^≡^{6 mod10 ,}

( )

^nên^a²^k ^≡^{6 mod10}

( )

^.

Nếu ^a^≡^{9 mod10}

( )

^⇒^a² ^≡^{1 mod10 ,}

( )

^nên^a²^k ^≡^{1 mod10 .}

( )

⇒ Để tìm chữ số tận cùng của aⁿ ta chia n cho 2.

- Nếu a có chữ số tận cùng là 2; 3; 7; 8 thì ta áp dụng một trong các kết quả sau:

( ) ( ) ( ) ( )

44 44 44 44

2 ≡6 mod10 ; 3 ≡1 mod10 ; 7 ≡1 mod10 ; 8 ≡6 mod10 .

⇒Để tìm chữ số tận cùng của aⁿ ta chia n cho 4.

Ví dụ 5. Cho A=

2012

²⁰¹³

.

Tìm chữ số tận cùng của A

.

Giải

Ta có số mũ

2013

=

4.503 1

+

Vì

2012

^≡

2 mod10 ( )

^nên²⁰¹²⁴ ^≡^{6 mod10}

( )

2013 2012

2012 2012 .2012 6.2 mod10

⇒ = ≡ hay ²⁰¹²²⁰¹³ ^≡^{2 mod10}

( )

Vậy A có chữ số tận cùng là 2.

2.3. Tìm hai chữ số tận cùng

* Phương pháp: Nếu ^a ^≡^r

( mod100 )

^và

10

^{≤ ≤}^r

100

^thì^r^{là hai ch}ữ số tận cùng của

.

a

Ta có nhận xét sau:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

20 20 5

4 2

2 76 mod100 ; 3 1 mod100 ; 6 76 mod100 ; 7 1 mod100 ; 5 25 mod100 .

≡ ≡ ≡

≡ ≡

Mà ⁷⁶ⁿ ^≡^{76 mod100}

( )

^và²⁵ⁿ ≡25 mod100 ,

(