Chuyên đề căn bậc hai, căn thức bậc hai và hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$ - THCS.TOANMATH.com

(1)

1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

CĂN BẬC HAI - CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC

A

²

= A

A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM I. Căn bậc hai số học

• Căn bậc hai của một số không âm a là số x sao cho x² =a

• Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau:

Số dương kí hiệu là a , số âm kí hiệu là − a

• Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, ta viết 0 0=

• Với số dương a, số a được gọi là căn bậc hai số học của a. Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0.

• Với hai số không âm a, b, ta có a b< ⇔ a < b II. Căn thức bậc hai

• Với A là một biểu thức đại số, ta gọi A là căn thức bậc hai của A.

• A xác định (hay có nghĩa) khi A ^≥ 0.

2 A .A 0

A A

A .A 0

 ≥

= = − <

B. BÀI MINH HỌA

I. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG BÀI TỰ LUẬN

Dạng 1. Tìm điều kiện để biểu thức chứa căn có nghĩa Bài 1. Với giá trị nào của x thì mỗi biểu thức sau có nghĩa:

Bài 2. Với giá trị nào của x thì mỗi biểu thức sau có nghĩa:

2

x x x

a) x 2 b) x 2 c) x 2

x 2 x 2 x 4

1 4 2

d) e) f )

3 2x 2x 3 x 1

+ − + − + −

− + −

−

− + +

2 2 2

2 2

a) x 1 b) 4x 3 c) 9x 6x 1 d) x 2x 1 e) x 5 f ) 2x 1

+ + − +

− + − − + − −

( )

2 2 2

2 2

a) 4 x b) x 16 c) x 3

d) x 2x 3 e) x x 2 f ) x 5x 6

− − −

− − + − +

Lời giải Bài 1:

a)x 0 b)x 2 c)x 2

1 2 31

d)x e)x f )x

3 9 6

≤ ≤ ≤

≥− ≥ ≥

Bài 2:

a) 3x b) 4 2x c) 3x 2 d) 3x 1 e) 9x 2 f ) 6x 1

− − − +

+ − −

(2)

2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com a) x x 2

x 2+ −

−

Điều kiện của biểu thức là x 2 0 x 2 x 2 0 x 2 x 2

− ≥ ≥

 ⇔ ⇔ >

 − ≠  ≠

 

Vậy điều kiện của biểu thức là x 2>

b) x x 2 x 2+ −

+

Điều kiện của biểu thức là x 2 0 x 2 x 2 0 x 2 x 2

− ≥ ≥

 

⇔ ⇔ ≥

 + ≠  ≠ −

 

Vậy điều kiện của biểu thức là x 2≥

c) ₂^x x 2

x 4+ −

−

Điều kiện x 2 0₂ x 2 x 2 x 2 x 4 0

− ≥ ≥

 

⇔ ⇔ >

 − ≠  ≠ ±



Vậy điều kiện của biểu thức là x 2>

d) 1

3 2x− dạng A

B với A 0>

⇒ Điều kiện ¹ 0 3 2x 0 x ³ 3 2x≥ ⇔ − > ⇔ <2

−

Vậy điều kiện của biểu thức là x ³

< 2

e) 4

2x 3+ . Dạng A

B với A 0>

⇒ Điều kiện ⁴ 0 2x 3 0 x ³ 2x 3≥ ⇔ + > ⇔ > −2

+

Vậy điều kiện của biểu thức là x ³

> −2

f) 2

x 1

−

+ dạng A

B với A 0<

⇒ Điều kiện ² 0 x 1 0 x 1 x 1

− ≥ ⇔ + < ⇔ < − +

Vậy điều kiện của biểu thức là x< −1 Bài 3.

a) Vì x 1 0 x²+ > ∀ . Vậy hàm số luôn xác định ∀ ∈x  b) Vì 4x²+ > ∀3 0 x . Vậy hàm số luôn xác định ∀ ∈x  c) 9x 6x 1²− + =

(

3x 1−

)

² . Vì

(

3x 1−

)

² ≥ ∀ ∈0 x  Vậy hàm số xác định với mọi x

d) ^{− +}^x² ^{2x 1}^{− = −}

(

^x²⁻^{2x 1}^{+ = −}

) (

^{x 1}⁻

)

²

Hàm số xác định ⇔ −

(

x 1−

)

² ≥ ⇔ − = ⇔ =0 x 1 0 x 1 Vậy hàm số xác định khi x 1=

(3)

e) − +x 5

Điều kiện − + ≥ ⇔ + = ⇔ = −x 5 0 x 5 0 x 5 f) −2x 1²−

Điều kiện ⁻^{2x 1}²^{− = −}

(

^{2x 1 0 x}²^{+ < ∀}

)

Vậy không tồn tại giá trị x để hàm số có nghĩa

Bài 4. Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa:

a) Điều kiện của biểu thức là4 x− ² ≥ ⇔0 x² ≤ ⇔ − ≤ ≤4 2 x 2 Vậy điều kiện của biểu thức là − ≤ ≤2 x 2

b) Điều kiện của biểu thức là x 16 0²− ≥ ⇔x² ≥16⇔ ≥x 4 hoặc x≤ −4 Vậy điều kiện của biểu thức là x 4≥ hoặc x≤ −4

c) Điều kiện của biểu thức là x 3 0²− ≥ ⇔x² ≥ ⇔ ≥3 x 3hoặc x≤ − 3 Vậy điều kiện của biểu thức là x≥ 3 hoặc x≤ − 3

d) ²

( )( )

x 1 0 x 1 x 3 0 x 3 x 3 x 2x 3 0 x 1 x 3 0

x 1 0 x 1

x 1 x 3 0 x 3

 + ≥  ≥ −

⇔ ⇔ ≥

 

 − ≥  ≥

− − ≥ ⇔ + − ≥ ⇔  + ≤ − ≤ ⇔ ≤ −≤ ⇔ ≤ − Vậy biểu thức xác định khi x 3≥ hoặc x≤ −1

e) Điều kiện của biểu thức là ^{x x 2}

(

⁺

)

^{≥ ⇔ ≤ −}⁰ ^x ²^hoặcx 0≥ Vậy điều kiện của biểu thức là x≤ −2 hoặc x 0≥

f) Điều kiện của biểu thức là ^{x 5x 6 0}²⁻ ^{+ ≥ ⇔}

(

^{x 2 x 3 0}⁻

)(

^{− ≥ ⇔ ≤}

)

^{x 2}^hoặcx 3≥ Vậy điều kiện của biểu thức là x 2≤ hoặc x 3≥

Dạng 2. Tính giá trị biểu thức

Trong các bài toán tính giá trị biểu thức và bài toán rút gọn thường xuất hiện các dạng biểu thức “ẩn” của các hằng đẳng thức. Để tính toán và giải quyết nhanh bài toán, các em cần biến đổi, và sử dụng thành thạo các dạng của các hằng đẳng thức đáng nhớ.

Để đơn giản hoá việc nhận dạng và xử lý bài toán, các em có thể tham khảo sơ đồ bên dưới.

Sử dụng hằng đẳng thức trong bài toán chứa căn Chú ý: ^x⁼

( )

^{x x 0;x x}² ^≥ ⁼

( )

^x ³

Các hằng đẳng thức đáng

nhớ Ví dụ minh họa

(

^{a b}⁺

)

² ⁼^a²⁺^{2ab b}⁺ ²

( ) ( )

2 2

1.6 2 5 5 2 5 1 5 2 5 1 5 1

2. 4 2 3 3 2 3 1 3 2 3 1 3 1 3 1 3.x 2 x 1 x 2 x 1 x 1

+ = + + = + + = +

+ = + + = + + = + = +

+ + = + + = +

(4)

(

^{a b}⁻

)

² ⁼^a²⁻^{2ab b}⁺ ²

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2

1.6 2 5 5 2 5 1 5 2 5 1 5 1

2. 7 2 10 5 2 5. 2 2 5 2 5. 2 2 5 2 3. x 3 4 x 5 x 5 4 x 5 4 4

x 5 4 x 5 4 4 x 5 2 4 2

− = − + = − + = −

+ − − = − − − + +

= − − − + + = − − + ≥

( )( )

2 2

a −b = a b a b− +

( ) ( )( )

2

2 2

x 1 x 1 x 1

1. x 1 x 1

x 1 x 1 x 1

2 a 2 a 2 a

2. 4 a 2 a

2 a 2 a 2 a

− − +

− = = = −

+ + +

− − +

− = = = +

− − −

( ) ( )

3 3 2 2

a b− = a b a− +ab b+

( ) ( )

( ) ( )( )

( )

3 2

3

2

1.x 27 x 3 x 3x 9

1 a 1 a 1 a a

1 a a

2. a a a

1 a 1 a 1 a

1 a a a 1 a

− = − + +

− − + +

− + = + = +

− − −

= + + + = +

( ) ( )

3 3 2 2

a b+ = a b a ab b+ − + ^{1.x 27}³⁻ ⁼

(

^{x 3 x 3x 9}⁻

) (

²⁺ ⁺

)

( ) ( ) ( )( )

( )

3

2 x x x 1 x x 1 x x 1 x x 1

x x

2.x x 1 x x 1 x x 1 x x 1

x x 1

 + 

+   + − +

+ = =   =

− + − + − + − +

= +

(

a b+

)

³ =a 3a b 3ab b³+ ² + ²+ ³

( )

3 3 3 3

3

10 6 3 3 3 9 3 3 1 3 1 3 1 x 1 x x 3x 3 x 1

+ = + + + = + = +

+ = + + +

(

a b−

)

³ =a 3a b 3ab b³− ² + ²− ³

( )

3 3 3 3

3

6 3 10 3 3 9 3 3 1 3 1 3 1 x 1 x x 3x 3 x 1

− = − + − = − = −

− = − + −

Bài 1. Thực hiện các phép tính sau:

( )

²

( )

⁶

( )

²

( )

²

a) 0,8− −0,125 b) −2 c) 3 2− d) 2 2 3− Bài 2. Thực hiện các phép tính sau:

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

a) 3 2 2 3 2 2 b) 5 2 6 5 2 6

c) 2 3 1 3 d) 3 2 1 2

e) 5 2 5 2 f ) 2 1 2 5

− + + − − +

− + − + − −

− + + + − −

Bài 3. Thực hiện các phép tính sau:

(5)

a) 5 2 6 5 2 6 b) 7 2 10 7 2 10 c) 4 2 3 4 2 3 d) 24 8 5 9 4 5 e) 17 12 2 9 4 2 f ) 6 4 2 22 12 2

+ − − − − + − + +

+ + − − + + − + −

Bài 4. Thực hiện các phép tính sau:

( )

^{8 4 3} ² ^{4 2 3} ²

a) 3 2 5 2 6 b)

6 2 1 3

c) 5 9 29 12 5 d) 13 30 2 9 4 2

 −   + 

− +  −  − + 

− − − + + +

Lời giải Bài 1:

a) Biến đổi biểu thức−0,8

(

−0,125

)

² = −0,8 0,125− = −0,8.0,125= −0,1 Vậy biểu thức có giá trị là: -0,1

b) Biến đổi biểu thức

( )

−2 ⁶ = −

( )

2 ³ = − =8 8 Vậy biểu thức có giá trị là: 8

c) Biến đổi biểu thức:

(

^{3 2}⁻

)

² ⁼ ^{3 2 2}^{− = −} ³^vì ^{3 2 0}^{− <}

Vậy biểu thức có giá trị là 2− 3

d) Biến đổi biểu thức

(

^{2 2 3}−

)

² = 2 2 3 3 2 2− = − vì 3 2 2 3− = − 8= 9− 8 0>

Vậy biểu thức có giá trị là3 2 2− Bài 2:

a) Biến đổi biểu thức:

(

^{3 2 2}−

) (

² + ^{3 2 2}+

)

² = −3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 6+ + = − + + = (vì 3 2 2 0)− >

Vậy biểu thức có giá trị là: 6

(

^{5 2 6}−

) (

² − ^{5 2 6}+

)

² = −5 2 6 5 2 6− + = −

(

5 2 6

) (

− +5 2 6

)

= −4 6 (vì 5 2 6 0)− >

Vậy biểu thức có giá trị là: −4 6

c) Biến đổi biểu thức

(

²⁻ ³

) (

² ⁺ ¹⁻ ³

)

² ^{= −}² ^{3 1}^{+ −} ^{3 2}^{= −} ³⁺ ^{3 1 1}^{− =}

(Vì 2− 3 0;1> − 3 0)<

(

³⁺ ²

) (

² ⁻ ¹⁻ ²

)

² ^{= +}³ ^{2 1}^{− −} ^{2 3}^{= +} ²⁻

(

^{2 1 4}^{− =}

)

(vì 3+ 2 0;1> − 2 0)<

e) Biến đổi biểu thức

(

⁵⁻ ²

) (

² ⁺ ⁵⁺ ²

)

² ⁼ ⁵⁻ ² ⁺ ⁵⁺ ² ⁼ ⁵⁻ ²⁺ ⁵⁺ ^{2 2 5}⁼

vì 5− 2 0; 5> + 2 0>

(6)

Vậy biểu thức có giá trị là: 2 5

f) Biến đổi biểu thức

(

^{2 1}⁺

) (

² ⁻ ^{2 5}⁻

)

² ⁼ ^{2 1}^{+ −} ^{2 5}^{− =} ^{2 1 5}^{+ − −}

(

²

)

⁼^{2 2 4}⁻

(Vì 2 1 0; 2 5 0+ > − < )

Vậy biểu thức có giá trị là 2 2 4− Bài 3:

a) 5 2 6+ − 5 2 6−

Ta có: 5 2 6 3 2 3 2 2+ = + + =

(

3+ 2 ; 5 2 6 3 2 3. 2 2

)

² − = − + =

(

3− 2

)

²

Nên ^{5 2 6}⁺ ⁻ ^{5 2 6}⁻ ⁼

(

³⁺ ²

) (

² ⁻ ³⁻ ²

)

² ⁼ ³⁺ ² ⁻ ³⁻ ² ⁼

(

³⁺ ²

) (

⁻ ³⁻ ²

)

2 2

= vì 3+ 2 0; 3> − 2 0>

Vậy biểu thức có giá trị là 2 2 b) 7 2 10− − 7 2 10+

Ta có: 7 2 10 5 2 5. 2 2− = − + =

(

5− 2 ;7 2 10 5 2 5. 2 2

)

² + = + + =

(

5+ 2

)

²

Nên

( ) (

²

)

²

( ) ( )

7 2 10− − 7 2 10+ = 5− 2 − 5+ 2 = 5− 2 − 5+ 2 = 5− 2 − 5+ 2 = −2 2 vì 5− 2 0; 5> + 2 0>

Vậy biểu thức có giá trị là −2 2 c) Biến đổi biểu thức

( )

² ^{3. 3 1}

( )

3 3

4 2 3 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 2 3

3 3

+ +

− + = − + = − + + = − + + =

Vậy biểu thức có giá trị 2 3 d) Biến đổi biểu thức

( ) ( )

( )

( ) ( )

2 2 2

2 2

24 8 5 9 4 5 4 6 2 5 9 4 5 4 5 2 5 1 5 4 5 4 4 5 2 5 1 5 2 5.2 2

4 5 1 5 2

2 5 1 5 2 2 5 2 5 2 3 5

+ + − = + + − = + + + − +

= + + + − +

= + + −

= + + − =

Vậy biểu thức có giá trị 3 5 e) Biến đổi biểu thức

(7)

( ) ( )

2 2

17 12 2 9 4 2

9 12 2 8 8 4 2 1

3 2.3.2 2 2 2 2 2 2.2 2 1 3 2 2 2 2 1

3 2 2 2 2 1 3 2 2 2 2 1 4

− + +

= − + + + +

= − + +

= − + + =

Vậy biểu thức có giá trị là 4 f) Biến đổi biểu thức

( )

( ) ( )

2 2

6 4 2 22 12 2

4 4 2 2 18 12 2 4

2 2.2 2 2 3 2 2.3. 2.2 2

2 2 3 2 2

2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2

− + −

= − + + − +

= − + −

= − + − =

Vậy biểu thức có giá trị 2 2 Bài 4.

a) Biến đổi biểu thức

( )

( ) ( )

( )

( )( )

( ) ( )

2

2 2

3 2 5 2 6

3 2 3 2

3 2 3 2 1

− +

= − +

= − = − =

b) Ta có: ^{4 2 3}⁻_{3 1}₋ ⁼

(

^{3 1}_{3 1}⁻₋

) ( )

² ⁼ ^{3 1}⁻

và ^{4 2 3}₁⁺₊ ₃ ⁼

(

₁^{3 1}₊⁺₃

) ( )

² ⁼ ^{3 1}⁺

Suy ra ^^_^{4 2 3}⁻_{3 1}₋ ^^_²⁻^^_^{4 2 3}₁⁺₊ ₃ ^^_² ⁼

(

^{3 1}⁻

) (

²⁻ ^{3 1}⁺

) (

² ⁼ ^{4 2 3}⁻

) (

^{− +}^{4 2 3}

)

^{= −}^{4 3}

   

Vậy biểu thức có giá trị −4 3 c) Biến đổi biểu thức

(8)

( )

( ) ( )

2

5 9 29 12 5

5 9 20 12 5 9 5 9 2 5 3 5 9 2 5 3 5 6 2 5

5 5 1 5 5 1 1 1

− − −

= − − − + = − − +

= − − + = − −

= − − = − − = =

Vậy biểu thức có giá trị 1 d) Biến đổi biểu thức

( ) ( )

( )

2

13 30 2 9 4 2

13 30 2 2 2 1 13 30 2 2 2 1 13 30 3 2 2 13 30 2 1

13 30 2 1 43 30 2

25 2.5.3 2 18 5 3 2 5 3 2

+ + +

= + + + = + + +

= + + = + +

= + + = +

= + + = + = +

Vậy biểu thức có giá trị 5 3 2+ Dạng 3. Rút gọn biểu thức Bài 1. Rút gọn các biểu thức sau:

( ) ( )

2 2 2

2 2

a)x 3 x 6x 9 x 3 b) x 4x 4 x 2 x 0

x 2x 1 x 4x 4

c) x 1 d) x 2 x 2

x 1 x 2

+ + − + ≤ + + − − ≤ ≤

− + > − + − + <

− −

Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau:

( )

2 2 2

2 4 2 2

4 2

2

2 2

a) 1 4a 4a 2a b)x 2y x 4xy 4y x 10x 25 c)x x 8x 16 d)2x 1

x 5

x 4x 4 x 4

e) f ) x 4

x 2 x 8x 16

− + − − − − +

− +

+ − + − −

−

− + −

− +

− − +

Bài 3. Cho biểu thức A= x²+2 x 1²− − x²−2 x 1²− a) Với giá trị nào của x thì A có nghĩa?

b) Tính A nếu x≥ 2

Bài 4. Cho 3 số dương x,y,z thỏa điều kiện xy yz xz 1+ + =

Tính

(

²

)(

²

) (

²

)(

²

) (

²

)(

²

)

2 2 2

1 y 1 z 1 z 1 x 1 x 1 y

A x y z

1 x 1 y 1 z

+ + + + + +

= + +

+ + +

Lời giải Bài 1.

(9)

( )

2

a)x 3 x 6x 9 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3

+ + − + ≤

= + + − = + + − (vì x 3≤ nên x 3− = −

(

x 3−

)

( )

x 3 x 3 6

= + − − =

( )

2 2

b) x 4x 4 x 2 x 0

x 2 x x 2 x

+ + − − ≤ ≤

= + + = + +

vì x≥ −2 nên x 2 x 2+ = + và x 0≤ nên x = −x x 2 x 2

= + − =

( )

2

x 2x 1

c) x 1

x 1

x 1 x 1 x 1 1 x 1 x 1 x 1

− + >

−

− − −

= = = =

− − −

Vì x 1> nên x 1 x 1− = −

d) x 2 x² 4x 4 x 2

(

^{x 2}

)

²

x 2 x 2

− + −

− + = − +

− −

vì x < 2 nên x 2− = −

(

x 2−

)

Biểu thức _{x 2} ^{x 2}

(

_{x 2}

) (

^{x 2}

)

_{x 2 1} _{x 1}

x 2 x 2

− − −

= − + = − − + = − + − = − +

− −

Bài 2.

a) Biến đổi biểu thức 1 4a 4a− + ² −2a=

(

1 2a−

)

² −2a 1 2a 2a= − − Với a ¹

≤ 2 thì 1 2a 0− ≥ nên 1 2a 1 2a− = − ta có:

1 4a 4a− + 2 −2a 1 2a 2a 1 2a 2a 1 4a= − − = − − = − Với a ¹

≥ 2 thì 1 2a 0− ≤ nên 1 2a 2a 1− = − ta có: 1 4a 4a− + ² −2a 1 2a 2a 2a 1 2a= − − = − − = −1 b) Biến đổi biểu thức x 2y− − x 4xy 4y²− + ² = −x 2y−

(

x 2y−

)

² = −x 2y x 2y− −

Với x 2y 0− ≤ thì ^{x 2y}⁻ ^{= −}

(

^{x 2y}⁻

)

^{ta có}

( )

2 2

x 2y− − x 4xy 4y− + = −x 2y x 2y x 2y x 2y− − = − + − =2x 4y− Với x 2y 0− ≥ thì x 2y x 2y− = − ta có

( )

2 2

x 2y− − x 4xy 4y− + = −x 2y x 2y x 2y x 2y− − = − − − =0 c) ^x²⁺ ^{x 8x 16 x}⁴⁻ ²⁺ ⁼ ²⁺

(

^x²⁻⁴

)

² ⁼^x²⁺ ^x²⁻⁴

với x²− ≤ ⇔4 0 x²≤ ⇔ − ≤ ≤4 2 x 2 thì ^x²^{− = −}⁴

(

^x² ⁻⁴

)

^{ta có:}

( )

2 4 2 2 2 2 2

x + x 8x 16 x− + = + x − =4 x − x −4 =4

(10)

10. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

Với x²− ≥ ⇔4 0 x² ≥ ⇔ ≤ −4 x 2hoặc x 2≥ thì x²− =4 x²−4 ta có:

( )

2 4 2 2 2 2 2 2

x + x 8x 16 x− + = + x − =4 x + x −4 =2x −4 d) 2x 1 x 10x 25² 2x 1

(

x 5

)

² 2x 1 x 5

x 5 x 5 x 5

− −

− +

− − = − − = − −

− − −

Với x 5 0− ≤ ⇔ ≤x 5 thì x 5− = −

(

x 5−

)

ta có:

2 x 5

x 10x 25 x 5

2x 1 2x 1 2x 1 2x

x 5 x 5 x 5

− + − −

− − = − − = − + =

− − −

Với x 5 0− ≥ ⇔ ≥x 5 thì x 5− =

(

x 5−

)

ta có:

2 x 5

x 10x 25 x 5

2x 1 2x 1 2x 1 2x 2

x 5 x 5 x 5

− + − −

− − = − − = − − = −

− − −

Bài 3. Biểu thức A= x²+2 x 1²− − x²−2 x 1²−

a) Biểu thức xác định khi x 1 0²− ≥ ⇔x²≥ ⇔ ≤ −1 x 1 hoặc x 1≥ b) Tính A với x≥ 2

( ) ( )

2 2 2 2

2 2

A x 2 x 1 x 2 x 1

x 1 2 x 1 1 x 1 2 x 1 1

x 1 1 x 1 1

= + − − − −

= − + − + − − − − +

= − + − − −

= − + + − −

Với x≥ 2 thì x² ≥ ⇔2 x 1 1²− ≥ ⇒ x 1 1²− ≥ ⇔ x 1 1 0²− − ≥ Vậy A= x 1 1²− + + x 1 1² − − = x 1 1²− + + x 1 1 2 x 1²− − = ²− Bài 4. Cho 3 số dương x,y,z thỏa điều kiện: xy + yz + zx = 1.

Tính

(

²

)(

²

) (

²

)(

²

) (

²

)(

²

)

2 2 2

1 y 1 z 1 z 1 x 1 x 1 y

A x y z

1 x 1 y 1 z

+ + + + + +

= + +

+ + +

Ta có: 1 y+ ² =

(

xy yz xz y+ +

)

+ ² =xy y+ ²+yz zx y x y z y x+ =

(

+

) (

+ +

) (

= x y y z+

)(

+

)

Tương tự 1 z+ ² =

(

y z z x+

)(

+

)

( )( )

1 x+ 2 = z x x y+ + Suy ra

( )( ) ( )( )( )( )

( )( ) ( ) ( )

2 2

1 y 1 z x y y z x z y z

*x x x y z x y z

1 x x y x z

+ + + + + +

= = + = +

+ + +

( )( ) ( )( )( )( )

( )( ) ( ) ( )

2 2

1 z 1 x z x y z x z x y

*y y y x z y x z

1 y x y y z

+ + + + + +

= = + = +

+ + +

( )( ) ( )( )( )( )

( )( ) ( ) ( )

2 2

1 x 1 y x y x z x y y z

*z z z x y z x y

1 z x z y z

+ + + + + +

= = + = +

+ + +

(11)

Vậy A x y z y x z z x y=

(

+ +

) (

+ +

) (

+

) (

=2 xy yz xz+ +

)

=2 Dạng 4. Giải phương trình

Để đơn giản hoá việc nhận dạng và xử lý bài toán, các em có thể tham khảo sơ đồ bên dưới.

Một số dạng phương trình cơ bản

Dạng toán Ví dụ minh họa

2 2

A =B ⇔A= ±B 1.x² = ⇔4 x² =2² ⇔ =x 2 hoặc x= −2

( ) ( )

2 2 x 1 x 0x 1 PTVN 2. x 1 x x 1 x 2x 1 x 1

2

− = ⇔ =



− = ⇔  − = − ⇔ = ⇔ =



Vậy phương trình có nghiệm là x ¹

= 2

( )

A 0 hay B 0

A B

≥ ≥

= ⇔ 

 =

3 x 0 x 3

2x 5 3 x 2x 5 3 x x 2 3

 ≤

 − ≥ 

+ = − ⇔ + = − ⇔ = − (thỏa)

2

A B B 0

A B

 ≥

= ⇔ 

 =

Nếu B < 0 thì phương trình vô nghiệm ² ²

( )

² ² ²

x 1 0 x 1

1 x x 1

1 x x 2x 1 1 x x 1

 − ≥  ≥

− = − ⇔ ⇔

− = − +

− = −

 



( ) ( )

( )

2

x 1 x 1

x 1 x 0 loai

2x x 1 0 2x 2x 0

x 1 TM

 ≥

≥  ≥

   =

⇔ − = ⇔ − = ⇔ = Vậy nghiệm của phương trình là x 1= B 0

A B A B

A B

 ≥

= ⇔ =

 = −



x 1 2 3x 5

2 3x 5 2 3x 5 x 7 3

 = −

− =

 

− = ⇔ − = − ⇔ =

Vậy tập nghiệm của phương trình là S 1;⁷ 3

 

= − 

 

2 1 1

x x 2x x 2x

4 2

+ + = ⇔ + =

( )

x 0 2x 0

1

1 x TM

x 2x

2

2 1

1 x loai

x 2x

6 2

≥  ≥

 

 

 + =  =

⇔ ⇔



 

 + = −  = −

 

Vậy tập nghiệm của phương trình x ¹

= 2

A = B ⇔ =A Bhay A= −B 3x 1 x 3

3x 1 x 3

3x 1 x 3 + = + + = + ⇔  + = − −

2x 2 x 1

4x 4 x 1

= =

 

⇔ = − ⇔ = −

Vậy tập nghiệm của phương trình ^S^{= −}

{ }

^1;1

(12)

A B 0 A 0

B 0

 =

+ = ⇔  = ² ₂

x 5 x 5 0

x 5 x 25 0 x 5 x 5

x 25 0

x 5

 = −

 + = 

+ + − = ⇔ ⇔ = ⇔ = −

− = 

  = − Vậy nghiệm của phương trình: x= −5

A B 0 A 0

B 0

 = + = ⇔  =

1 x− 2 + x 1 0+ =

2 2 x 1

1 x 0 x 1 x 1

x 1

x 1 0 x 1

= ±

 − =  = 

⇔ + = ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = − Vậy nghiệm của phương trình: x = -1

Bài 1. Giải các phương trình sau:

( )

² ²

2

a) x 3 3 x b) 4x 20x 25 2x 5 c) 1 12x 36x 5 d) x 2 x 1 2

− = − − + + =

− + = + − =

Bài 2. Giải các phương trình sau:

2 2

a) 2x 5 1 x b) x x 3 x c) 2x 3 4x 3 d) 2x 1 x 1

+ = − − = −

− = − − = −

2 2

2 2 2

a) x x x b) 1 x x 1

c) x 4x 3 x 2 d) x 1 x 1 0

+ = − = −

− + = − − − + =

2 2 2

4 2 2

a) x 2x 1 x 1 b) 4x 4x 1 x 1 c) x 2x 1 x 1 d) x x 1 x

4

− + = − − + = −

− + = − + + =

2

2 2 2 2

a) 3x 1 x 1 b) x 3 x 3

c) 9x 12x 4 x d) x 4 x 4x 4 0

+ = + − = −

− + = − + + + =

Lời giải

( )

²

a) x 3 3 x x 3 3 x

3 x 0 x 3 x 3

x 3

x 3 3 x 2x 6 x 3

x 3 x 3 0x 0 0x 0

− = − ⇔ − = −

− ≥ ≤ ≤

  

  

⇔ − = − ⇔ = ⇔ = ⇔ ≤

  

 − = −  =  =

  

Vậy tập nghiệm của PT là x 3≤

( )

²

b) 4x 20x 25 2x 52− + + = ⇔ 2x 5− = −5 2x

(13)

( )

x 5 5 2x 0 2

5 5

x TM

2x 5 5 2x 2x 5 5 2x x

2 2

2x 5 2x 5 0x 0 dung x 5 2

 ≤

− ≥

 

  =

⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ ⇔ ≤

 − = − 

  =  ∀ ≤ 

Vậy tập nghiệm của PT là x ⁵

≤ 2

c) Biến đổi biểu thức 1 12x 36x− + ² =5

(

1 6x

)

² 5 1 6x 5 1 6x 5 x 2

1 6x 5 x 1 3

⇔ − = ⇔ − =

− =  = −

 

⇔ − = − ⇔ =

Vậy tập nghiệm của phương trình là S ²;1 3

 

= − 

 

d) x 2 x 1 2+ − = ĐK: x 1≥

Biến đổi biểu thức x 2 x 1 2+ − = ⇔ x 1 2 x 1 1 2− + − + =

( )

x 1 1 2 2 x 1 1 2 x 1 3 x 1 1 2

x 1 1 PTVN x 1 1 2

x 1 9 x 10 TM

⇔ − − = ⇔ − − =

 − − =  − =

⇔ ⇔ 

− = −

− − = − 

 

⇔ − = ⇔ =

Vậy nghiệm của phương trình là x = 10 Bài 2.

a) Biến đổi biểu thức 2x 5 1 x ^{1 x 0}2x 5 1 x 3x^{x 1} 4 ^{x 1}x 4 x ⁴3 3

 ≤

− ≥ ≤

  

+ = − ⇔ + = − ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = −

Vậy nghiệm của PT là x ⁴

= −3

( )

2

2 2

3 x 0 x 3 x 3x 3 TM x x 3 x

x x 3 x x 3

x 3 TM

 ≤

− ≥ ≤ 

   =

− = − ⇔ − = − ⇔ = ⇔ = − Vậy tập nghiệm của phương trình là ^S^{= −}

{

^{3; 3}

}

c) Biến đổi biểu thức

( )

2

2 2

x 3

3 4

4x 3 0 x

2x 3 4x 3 2x 3 4x 3 2x 44x 0 x 0 k TM x 2 TM

  ≥

− ≥ ≥

  

− = − ⇔ − = − ⇔ − = ⇔ ==

Vậy nghiệm của phương trình là x = 2

(14)

d) ^{2x 1} ^{x 1} ^{x 1 0}2x 1 x 1 ^{x 1}x 0 kTM

( )

 ≥

 − ≥ 

− = − ⇔ − = − ⇔ = Vậy phương trình vô nghiệm

Bài 3.

a) Biến đổi biểu thức ² x 0₂ ₂ x 0

x x x x 0

≥ ≥

 

+ = ⇔ + = ⇔ = ⇔ = Vậy nghiệm của phương trình là x = 0

( ) ( )

2 2 2 2 2

x 1 0 x 1

1 x x 1

1 x x 1 x 1 x 1 0

− ≥ ≥

 

 

− = − ⇔ ⇔

− = − − + − =

 

 

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

2

x 1 x 1

x 1 x 1 x 1 0 x 1 x 1 x 1 0

x 1 x 1

x 0 kTM x 1 x 1 2x 0

x 1 TM

≥ ≥

 

 

⇔ − + − + = ⇔ −  − + + =

 ≥

 ≥ 

  =

⇔ − = ⇔ = ⇔ = Vậy nghiệm của phương trình là x = 1 c) Biến đổi biểu thức

( ) ( )

2 2 2 2 2

x 2 0 x 2 x 2

x 4x 3 x 2 PTVN

x 4x 3 x 4x 4 0x 1 x 4x 3 x 2

 − ≥  ≥  ≥

− + = − ⇔ − + = − ⇔ − + = − + ⇔ = Vậy phương trình vô nghiệm

( )

2

2 2 2 2

2 2 2

x 1 0 x 1 x 1 0 x 1 x 1

x 1 x 1

 − ≥

− − + = ⇔ − = − ⇔ 

− = −



( ) ( ) ( )( )

2

2 2

x 1 x 1

x 1 x 1 1 x 1 0

x 1 2 x 0

 ≥

 ≥ 

 ≤ −

⇔ −  − − = ⇔  − − =

( )

2 2

x 1 x 1 x 1

x 1

x 1 0 x 1

x 2 TM

2 x 0 x 2

 ≥  ≥  ≥

 ≤ −  ≤ −  ≤ −

  

⇔ −− == ⇔ == ⇔ = ±= ±

{ }

x 2; 1;1; 2

⇔ = − −

Vậy tập nghiệm của phương trình là ^x^{= −}

{

^{2; 1;1; 2}⁻

}

Bài 4. Giải các phương trình sau:

a) Biến đổi biểu thức x²−2x 1 x 1+ = ²−

(

x 1

)

² x 1² x 1 x 1²

⇔ − = − ⇔ − = −

(15)

( ) ( )( ) ( ( )( ) )

( )

2 2

2

x 1 x 1

x 1 0 x 1 x 1x 1 x 0 KTM

x 1 x 1 x x 0 x x 1 0 x 1 TM

x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 0

x 1 x 2 0 x 1 TM x 2 TM

 ≥

 ≤ −

 ≥ 

 − ≥  ≥  ≤ −  =

  

 − = −  

⇔ − = − − ⇔ − +− = − + = ⇔ −− =+ = ⇔ ==

 = −

 Vậy tập nghiệm của phương trình là S= −

{

2;1

}

b, Biến đổi biểu thức 4x²−4x 1 x 1+ = −

( )

2x 1 2 x 1 2x 1 x 1 x 1 0 x 1 x 1

x 0 KTM 2x 1 x 1 x 0

2x 1 x 1 3x 2 0 x 2 KTM 3

⇔ − = − ⇔ − = −

 ≥

 − ≥  ≥ 

 − = −   =

⇔ − = − − ⇔ =− = ⇔ =

Vậy phương trình vô nghiệm

c) Biến đổi biểu thức x⁴−2x 1 x 1²+ = −

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )( ) ( )

( )

( )( )

( )

2 2 2

2 2

x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 0 x 1

x x 0 x 1 x 1

x 1 x 1 0 x 1 x 1

x 1 x 1

x x 1 0 x x 1 0

x 1 x 1 x 1 0 x 1 x 2 0 x 1

x 0 KTM

x 1 x 1

x 1

x 2 KTM

⇔ − = − ⇔ − = −

 ≥

 − ≥

 − = −  − =

⇔ − = − − ⇔ − + − =

≥ ≥

 

 − =  − =

⇔ ⇔

 

 − + + − =  − + =

 

 ≥

 =



⇔ = = ⇔ =

 = −



Vậy tập nghiệm của phương trình là x = 1 d) Biến đổi biểu thức x² x 1 x

+ + =4

(16)

( )

1 2 1

x x x x

2 2

x 0 x 0 x 0

1 1 1

x x 0x 0x PTVN

2 2 2

1 1 1

x x 2x x KTM

2 2 4

 

⇔  +  = ⇔ + =

≥ ≥ ≥

  

  

 + =  = −  = −

⇔ ⇔ ⇔

  

  

  

 + = −  = −  = −

  

Vậy phương trình vô nghiệm Bài 5. Giải các phương trình sau:

a) Biến đổi biểu thức 3x 1 x 1+ = +

( )

3x 1 x 1 2x 0 x 0

3x 1 x 1 4x 2 x 1 2

 = + = +

  = 

⇔ + = − + ⇔ = − ⇔ = −

Vậy tập nghiệm của phương trình là S ¹;0 2

 

= − 

 

( )

2 2

2

x 3 x 3

 − = −

− = − ⇔

 − = − −



( )( ) ( )

( )( )

x 3 x 3 x 3 0 x 3 x 3 x 3 0 x 3 x 3 1 0

x 3 x 3 1 0 x 3 0

x 3 1 0 x 3 0 x 3 1 0

x 3 x 1 3 x 3 x 1 3

 − + − − =

⇔

 − + + − =



 − + − =

⇔

 − + + =



 − =

 + − =

⇔ 

− =

 + + =



 =

 = −

⇔ 

 =

 = − −



Vậy tập nghiệm của phương trình là ^S^{= − −}

{

¹ ^3;1⁻ ^{3; 3}

}

c) Biến đổi biểu thức 9x 12x 4²− + = x²

(

3x 2

)

² x² 3x 2 x 3x 2 x 2x 2 x 1

3x 2 x 4x 2 x 1 2

⇔ − = ⇔ − =

 =

− = =

  

⇔ − = − ⇔ = ⇔ =

(17)

Vậy tập nghiệm của phương trình là S ¹;1 2

 

=  

  d) Biến đổi biểu thức x²− +4 x²+4x 4 0+ =

( )( )

( )

2 2 2

x 2 0 x 2

x 2 x 2 0 x 4 0

x 2

x 2 0 x 2

x 4x 4 0 x 2 0 x 2 0 x 2

 − =  =

− + =

 − = 

   

⇔ ⇔ ⇔ + = ⇔ = − ⇔ = −

+ + = + =

   + =  = −

Vậy nghiệm của phương trình là x = -2 Bài 5. Giải các phương trình sau a) x²−6 x² + +9 x² − =7 0;

b) 2x+ −4 6 2x− +5 2x− +4 2 2x− =5 4. Lời giải

a) ^x²⁻⁶ ^x² ^{+ +}⁹ ^x² ^{− = ⇔}^{7 0}

(

^x ⁻³

)

² ^{+ − =}^x ^{7 0}

3 7 0

x x

⇔ − + − =

Trường hợp 1: Xét x ≥3 phương trình có dạng:

3 7 0 5 5

x − + − = ⇔x x = ⇔ = ±x .

Trường hợp 2: Xét 0≤ <x 3 phương trình có nghiệm: 3− + − =x x 7 0 vô nghiệm.

Vậy tập nghiệm của phương trình là S= −

{

5;5

}

. b) 2x+ −4 6 2x− +5 2x− +4 2 2x− =5 4

2x 5 6 2x 5 9 2x 5 2 2x 5 1 4

⇔ − − − + + − + − + =

(

²^x ^{5 3}

) (

² ²^x ^{5 1}

)

² ⁴

⇔ − − + − + =

2x 5 3 2x 5 1 4

⇔ − − + − + =

Ta có: 2x− − = −5 3 3 2x− ≥ −5 3 2x−5 Vậy vế trái ≥ −3 2x− +5 2x+ + =5 1 4. Do vậy vế trái bằng vế phải khi:

2 5 3 0 2 5 9 5 7 x− ≤ ⇔ ≤ x− ≤ ⇔ ≤ ≤2 x .

Vậy tập nghiệm của phương trình là: /⁵ 7 S =x 2≤ ≤x 

 .

Dạng 6.Nâng cao

Bài 1: Rút gọn biểu thức sau:

a) A= 6 2 5+ − 6 2 5− ; b) B a= + −1 a²−2 1a+ với a<1 Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

a) A= +3 2x²−8x+33; b) B= x²−8 18 1x+ − ; c) C = x²+y²−2xy+2x−2y+10 2+ y²−8y+2020.

Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

(18)

a) A= x²−12x+36+ x²−16x+64 b) B=

(

x−2

)

² +

(

x−9

)

² +

(

x−1945

)

². Bài 4. Cho a b c, , là các số hữu tỉ thỏa mãn ab bc ca+ + =2020. Chứng minh rằng biểu thức

(

²

)(

²

)

2

2020 2020 2020

a b

A c

+ +

= + là một số hữu tỉ.

Bài 5. Cho a b c, , là các số thực thỏa mãn a b²+ ² =2.Chứng minh rằng:

( )

4 8 2 4 8 2 6 1

a + b + b + a =

Bài 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a) A=

(

x−2019

)

² +

(

x−2020

)

² ;

b) B=

(

x−2018

)

² +

(

y−2019

)

² +

(

x−2020

)

² ;

c) C =

(

x−2017

)

² +

(

x−2018

)

² +

(

x−2019

)

² +

(

x−2020

)

² . Bài 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của: A= a+ −3 4 a− +1 a+ −15 8 a−1. Bài 8. Cho x y, thỏa mãn 0< <x 1, 0< <y 1 và 1

1 1

x y

x+ y =

− − .Tính giá trị của biểu thức

2 2

P x y= + + x −xy y+ . Bài 9. Tính x

y biết x>1;y<0 và

( ) ( ) ( )

( ) ( )

3 3 2

2 2 3 4

1 4 1 1 4 1 6

x y x y x

x x y xy y

+ − − −

− − + + = − Lời giải

Bài 1: Rút gọn biểu thức sau:

a) A= 6 2 5+ − 6 2 5− ; b) B a= + −1 a²−2 1a+ với a<1 Lời giải

a) Ta có A= 6 2 5+ − 6 2 5− 5 2 5 1 5 2 5 1

A= + + − − +

(

^{5 1}

) (

² ^{5 1}

)

²

A= + − −

(

^{5 1}

) (

^{5 1 2}

)

A= + − − = .

b) B a= + −1 a²−2 1a+ với a<1

( )

²

1 1

B a= + − a−

( )

1 1 1 1 2

B a= + − − = + − −a a a = a.

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

a) A= +3 2x²−8x+33; b) B= x²−8 18 1x+ − ; c) C = x²+y²−2xy+2x−2y+10 2+ y²−8y+2020.

Lời giải

a) Ta có: A= +3 2x²−8x+33 3= + 2

(

x−2

)

²+25 3≥ + 25 8= . Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 8 khi x=2.

(19)

b) Ta có: B= x²−8 18 1x+ − =

(

x−4

)

²+ − ≥2 1 2 1− Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức B là 2 1− khi x=4. c) Ta có: C = x² +y²−2xy+2x−2y+10 2+ y²−8y+2020

(

1

)

² 9 2

(

2

)

² 2012

C x y y

⇒ = − + + + − +

9 2012 2015 C

⇒ ≥ + = .

Vậy giá trị nhỏ nhất của C là 2015.

Khi 1 0 1

2 0 2

x y x

y y

− + = =

 

 − = ⇔ =

  .

Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a) A= x²−12x+36+ x²−16x+64 b) B=

(

x−2

)

² +

(

x−9

)

² +

(

x−1945

)

². Lời giải

a) Ta có:

( )

²

( )

²

2 12 36 2 16 64 6 8

A= x − x+ + x − x+ = x− + x−

6 8 6 8 6 8 2

A x= − + − = − + − ≥ − + − =x x x x x

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2 khi

(

x−6 8

)(

−x

)

≥0 hay 6≤ ≤x 8. b) Ta có:

(

2

)

²

(

9

)

²

(

1945

)

²

B= x− + x− + x−

2 9 1945

B x= − + − + −x x

2 1945 9 2 1945 0 1943

B x= − + − + − ≥ − +x x x − + =x .

Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 1943 khi

(

x−2 1945

)(

−x

)

≥0 và x− =9 0 tức là x=9.

Bài 4. Cho a b c, , là các số hữu tỉ thỏa mãn ab bc ca+ + =2020. Chứng minh rằng biểu thức

(

²

)(

²

)

2

2020 2020 2020

a b

A c

+ +

= + là một số hữu tỉ.

Lời giải

• Ta có: a² +2020=a²+ab bc ca+ +

( )( ) ( )

2 2020 1

a a b a c

⇒ + = + +

• Tương tự, ta có: ^b²⁺²⁰²⁰⁼

(

^{b a b c}⁺

)(

⁺

) ( )

²

( )( ) ( )

2 2020 3

c + = +c a c b+

Từ (1) ,(2), (3) suy ra

( )( )( )( )

( )( ) ( )

²

a b a c b c b a

A a b a b

c a c b

+ + + +

= = + = +

+ +

A a b

⇒ = + .

Vì a, b là các số hữu tỉ nên a b+ cũng là số hữu tỉ. Vậy A là một số hữu tỉ.

Lưu ý: Các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa của các số hữu tỉ có kết quả cũng là một số hữu tỉ.

Bài 5. Cho a b c, , là các số thực thỏa mãn a²+b² =2

(20)

Chứng minh rằng: a⁴+8b² + b⁴+8a² =6 1

( )

Lời giải

Cách 1. Thay a²+b² =2 vào (1) ta có:

Vế trái: ^a⁴⁺⁴^{b a b}²

(

²⁺ ²

)

⁺ ^b⁴⁺⁴^{a a b}²

(

²⁺ ²

)

4 4 2 2 4 2 4 4 2 2 4 4

a a b b b a b a

= + + + + +

(

^a² ²^b²

)

²

(

^b² ²^a²

)

² ^a² ²^{b b}² ² ²^a²

= + + + = + + +

(

² ²

)

3 a b 3.2 6

= + = = .

Vế trái bằng vế phải. Suy ra điều phải chứng minh.

Cách 2. Từ giả thiết suy ra: b² = −2 a a²; ² = −2 b² thay vào (1) ta được:

( ) ( ) ( )

²

( )

²

4 8 2 2 4 8 2 2 2 4 2 4

a + −a + b + −b = a − + b −

2 4 2 4

a b

= − + − (do a² <4;b² <4)

2 2

4 a 4 b 6

= − + − = . Vế trái bằng vế phải. Suy ra điều phải chứng minh.

Bài 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a) A=

(

x−2019

)

² +

(

x−2020

)

² ;

b) B=

(

x−2018

)

² +

(

y−2019

)

² +

(

x−2020

)

² ;

c) C =

(

x−2017

)

² +

(

x−2018

)

² +

(

x−2019

)

² +

(

x−2020

)

² . Lời giải

a) A x= −2019 + −x 2020

2019 2020 2019 2020 1

x x x x

= − + − ≥ − + − =

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 1 khi x−2019 0≥ và 2020− ≥x 0 hay 2019≤ ≤x 2020. b) Giá trị nhỏ nhất của B là 2 khi 2018≤ ≤x 2020 và y=2019.

c) Giá trị nhỏ nhất của C là 4 khi 2018≤ ≤x 2019.

Bài 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của: A= a+ −3 4 a− +1 a+ −15 8 a−1. Lời giải

Ta có:

1 4 1 4 1 8 1 16 A= a− − a− + + a− − a− +

(

^{1 2}

) (

² ^{1 4}

)

²

A a a

⇔ = − − + − −

1 2 4 1 1 2 4 1

A a a a a

⇒ = − − + − − ≥ − − + − − A 2

⇒ ≥ .

Đẳng thức xảy ra khi 2≤ a− ≤ ⇔ ≤ − ≤1 4 4 a 1 16. Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2 khi 5≤ ≤a 17.

Bài 8. Cho x y, thỏa mãn 0< <x 1, 0< <y 1 và 1

1 1

x y

x+ y =

− − .

(21)

Tính giá trị của biểu thức P x y= + + x²−xy y+ ² . Lời giải

Từ giả thiết, suy ra: x

(

¹−y

) (

+y ¹−x

) (

= −¹ x

)(

¹−y

)

( )

²

( ) ( )

²

2 2

2x 2y 1 3xy x xy y x y 2 x y 1 x y 1

⇔ + − = ⇔ − + = + − + + = + −

Vậy P x y= + + x²−xy y+ ² = + + + −x y x y 1 Từ giả thiết, ta lại có: 1 ¹

1 2

x x

x < ⇒ <

− Tương tự ta có: ¹

y<2. Suy ra 0< + <x y 1, ta có P x y= + + − − =1 x y 1. Bài 9. Tính x

y biết x>1;y<0 và

( ) ( ) ( )

( ) ( )

3 3 2

2 2 3 4

1 4 1 1 4 1 6

x y x y x

x x y xy y

+ − − −

− − + + = − Lời giải

Ta có: Với x> ⇒1 4x> ⇒4 4 1 3x− > ⇒ 4 10x− > 3 Do đó

(

¹⁻ ^{4 1}^x⁻

)

² ⁼ ^{4 1 1}^x^{− −}

Từ đó

( ) ( ) ( )

( ) ( )

3 3

2 2 3 4

4 1 1 1 4 1 6

x y x y x x x y xy y

+ − − −

− − + + = −

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

3 3 2 2

2 2 3 4 6 2 2 2 6

x y x y x y x y x xy y

x y xy y y x xy y

+ − + − + +

⇔ = ⇔ =

+ + + +

2 2 6 2 2 7 2 x 7

x y y x y

⇔ − = ⇔ = ⇔ y =

Mà x>1;y<0 nên x 7 y = − .

(22)

II. TRẮC NGHIỆM RÈN LUYỆN PHẢN XẠ

Câu 1. Cho số thực a0. Số nào sau đây là căn bậc hai số học của a?

A. â . B. ^ â . C. ²â. D. ² â.

Câu 2. Số nào sau đây là căn bậc hai số học của số a 0.36?

A.^^0,6 . B. ^0,6. C. ^0,9. D. ^^0,18. Câu 3. Khẳng định nào sau đây sai?

A. A² A khi A0. B. A²  A khi A0. C. A  B   0 A B. D. AB  0 A  B . Câu 3. Biểu thức 10100x có nghĩa khi

A. x 10. B. 1

x  10. C. 1

x 10. D. x 10. Câu 4. So sánh hai số 5 và 502

A. ⁵^ ⁵⁰^². B. ⁵^ ⁵⁰^². C. ⁵^ ⁵⁰^². D. Chưa đủ điều kiện so sánh.

Câu 5. Tìm các số x không âm thỏa mãn 5x 10

A. 0 x 20. B. x 20. C. ^x ^⁰. D. x 2. Câu 6. Tìm giá trị biểu thức



²^ ³

 

² ^ ¹^ ³



² ^.

A. 3. B. 1. C. ^{2 3}. D. 2.

Câu 8. Tính giá trị biểu thức

2

8 2

9 ( 0, 8)

3

 

   

 

  .

A. 24,64. B. 32. C. 24, 8. D. 24, 8. Câu 9. Tính giá trị biểu thức 6 ( 2,5) ² 8 ( 0,5) ² .

A. ¹⁵. B. ^¹¹. C. ¹¹. D. ^¹³.

Câu 10. Tìm điều kiện xác định của ¹²⁵^^5x

A. x 15. B. x 25. C. x 25. D. x 0. Câu 11. Tìm điều kiện xác định của 53x

A. 5

x  3. B. 5

x  3. C. 3

x  5. D. 3

x  5. Câu 12. Rút gọn biểu thức A 144a² 9a với a 0.

A. 9a. B. 3a. C. 3a. D. 9a. Câu 13. Tìm x để ^{( 5)}²

6 3x



 có nghĩa

A. x 2. B. x 2. C. x 2. D. x 2. Câu 14. Tìm ^xđể ²

3x 1



 có nghĩa

A. 1

x  3. B. 1

x  3. C. 1

x  3. D. 1

x  3.

(23)

Câu 15. Giá trị của biểu thức ² 25 ^{9 16} 169

5 2 81  là:

A. 12. B. 13. C. 14. D. 15.

Câu 16. Tìm giá trị của x không âm biết 2 x 300.

A. x  15 . B. x 225 . C. x 25 . D. x 15 . Câu 17. Tìm giá trị của x không âm biết 5 2x 1250

A. 25

x  2 . B. x 125. C. x 25. D. 625 x  2 . Câu 18. Tính giá trị biểu thức 198 3  19 8 3 .

A. ^{2 3}. B. ⁸^^{2 3}. C. 6. D. 8. Câu 19. Tính giá trị biểu thức 156 6  15 6 6

A. ^{2 6}. B. ⁶. C. 6. D. 12.

Câu 20. Rút gọn biểu thức a² 8a16  a² 8a 16 với   4 a 4 ta được:

A. ²^a. B. ⁸. C. ^⁸. D. a.

Câu 21. Rút gọn biểu thức 4a² 12a 9 4a² 12a 9 với 3 3

2 a 2

   ta được:

A. 4a. B. 4a. C. 6 . D. 6. Câu 22. Tìm x thỏa mãn phương trình x²   x 6 x 3.

A. x 2. B. x 4. C. x 1. D. x 3 . Câu 24. Tìm x thỏa mãn phương trình 2x² 3x  3x 4.

A. x 2. B. x 4. C. x 1. D. x 1;x 2. Câu 24. Nghiệm của phương trình 2x²  2 3x 1 là:

A. ^x ^². B. x 5. C. ^x ^¹. D. ^x ^³. Câu 24. Số nghiệm của phương trình 4x² 4x   1 3 4x là:

A. 0. B. ⁴. C. ¹. D. ².