SBT Toán 8 Bài 1: Đa giác - Đa giác đều | Hay nhất Giải sách bài tập Toán lớp 8

Bài 1: Đa giác. Đa giác đều

Bài 1 trang 155 SBT Toán 8 Tập 1: Trong các hình dưới đây hình nào là đa giác lồi? Vì sao?

Lời giải:

Các hình c, e, g là các đa giác lồi vì đa giác nằm trên một nửa mặt phẳng với bờ chứa bất kỳ cạnh nào của đa giác.

Bài 2 trang 155 SBT Toán 8 Tập 1: Hình vẽ bên. Hãy vẽ một đa giác lồi mà các đỉnh là một trong các điểm đã cho trong hình.

Lời giải:

Bài 3 trang 155 SBT Toán 8 Tập 1: Em hãy kể tên một số đa giác đều mà em biết.

Lời giải:

Ví dụ về các đa giác đều là: tam giác đều, hình vuông, ngũ giác đều, lục giác đều,…

Bài 4 trang 156 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng số đo của một hình n-giác đều là

(n 2).1800

n

− .

Lời giải:

Vẽ một n-giác lồi, kẻ các đường chéo xuất phát từ một đỉnh của n-giác lồi thì chia đa giác đó thành (n - 2) tam giác.

Tổng số đo 3 góc của 1 tam giác là 180⁰ nên tổng các góc của n-giác lồi bằng tổng các góc của (n - 2) tam giác bằng (n - 2).180^o.

Hình n-gíác đều có n góc bằng nhau nên số đo mỗi góc bằng:

(n 2).1800

n

− .

Bài 5 trang 156 SBT Toán 8 Tập 1: Tính số đo của hình 8 cạnh đều, 10 cạnh đều, 12 cạnh đều.

Lời giải:

Theo bài 4, công thức tính số đo mỗi góc của đa giác đều có n cạnh:

(n 2).1800

n

− - Đa giác đều 8 cạnh ⇒ n = 8, số đo mỗi góc là:

0

(8 2).180 0

8 135

− = .

- Đa giác đều 10 cạnh ⇒ n = 10, số đo mỗi góc là:

0

(10 2).180 0

10 144

− =

- Đa giác đều 12 cạnh ⇒ n = 12, số đo mỗi góc là:

0

(12 2).180 0

12 150

− =

Bài 6 trang 156 SBT Toán 8 Tập 1:

a) Vẽ hình và tính số đường chéo của ngũ giác, lục giác.

b) Chứng minh rằng hình n-giác có tất cả ^{n(n 3)} 2

− đường chéo.

Lời giải:

a) Từ mỗi đỉnh của ngũ giác vẽ được 2 đường chéo.

Ngũ giác có 5 đỉnh ta kẻ được 5.2 = 10 đường chéo, trong đó mỗi đường chéo được tính hai lần. Vậy ngũ giác có tất cả 5 đường chéo.

Từ mỗi đỉnh của lục giác vẽ được 3 đường chéo.

Lục giác có 6 đỉnh ta kẻ được 6.3 = 18 đường chéo, trong đó mỗi đường chéo được tính hai lần. Vậy lục giác có tất cả 9 đường chéo.

b) Từ mỗi đỉnh của n-giác nối với các đỉnh còn lại ta được n – 1 đoạn thẳng, trong đó có 2 đoạn thẳng là cạnh của hình n-giác (hai đoạn thẳng nối với hai đỉnh kề nhau).

Vậy qua mỗi đỉnh n-giác vẽ được n – 3 đường chéo.

Hình n-giác có n đỉnh kẻ được n(n – 3) đường chéo, trong đó mỗi đường chéo được tính hai lần.

Vậy hình n-giác có tất cả ^{n(n 3)} 2

− đường chéo.

Bài 7 trang 156 SBT Toán 8 Tập 1: Tìm số đường chéo của hình 8 cạnh, 10 cạnh, 12 cạnh.

Lời giải:

Áp dụng công thức tính ở bài 6 chương này.

Đa giác có 8 cạnh, số đường chéo là:^{8(8 3)} 20 2

− = đường chéo;

Đa giác có 10 cạnh, số đường chéo là: ^{10(10 3)} 35 2

− = đường chéo;

Đa giác có 12 cạnh, số đường chéo là: ^{12(12 3)} 54 2

− = đường chéo.

Bài 8 trang 156 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng tổng các góc ngoài của một đa giác (lồi) có số đo bằng 360^o.

Lời giải:

Tổng số đo của góc trong và góc ngoài ở mỗi đỉnh của hình n-giác bằng 180^o. Hình n-giác có n đỉnh nên tổng số đo các góc trong và góc ngoài của đa giác bằng n.180^o.

Mặt khác, ta biết tổng các góc trong của hình n-giác bằng (n – 2).180^o. Vậy tổng số đo các góc ngoài của hình n-giác là:

n.180^o – (n – 2).180^o = n.180^o – n.180^o + 2.180^o = 360^o

Bài 9 trang 156 SBT Toán 8 Tập 1: Đa giác nào có tổng số đo các góc trong bằng tổng số đo các góc ngoài?

Lời giải:

Hình n-giác lồi có tổng số đo các góc trong bằng (n – 2).180^o và tổng các góc ngoài bằng 360^o (theo bài 8).

Để đa giác lồi có tổng các góc trong bằng tổng các góc ngoài thì:

⇒ (n – 2).180^o = 360^o ⇒ n – 2 = 2 nên n = 4.

Vậy tứ giác lồi có tổng các góc trong và góc ngoài bằng nhau.

Bài 10 trang 156 SBT Toán 8 Tập 1: Một đa giác (lồi) có nhiều nhất là bao nhiêu góc nhọn?

Lời giải:

Ta có: nếu góc của đa giác lồi là góc nhọn thì góc ngoài tương ứng là góc tù.

Nếu đa giác lồi có 4 góc đều nhọn thì các góc ngoài tương ứng đều là góc tù nên tổng các góc ngoài của đa giác lớn hơn 4.90⁰ = 360⁰.

Vậy đa giác lồi có nhiều nhất là 3 góc nhọn.

Bài 11 trang 156 SBT Toán 8 Tập 1: Một đa giác đều có tổng số đo tất cả các góc ngoài và một góc trong của đa giác đó bằng 468°. Hỏi đa giác đều đó có mấy cạnh?

Lời giải:

Tổng số đo các góc ngoài của đa giác bằng 360°.

Số đo một góc trong của đa giác đều là 468° – 360° = 108°

Gọi n là số cạnh của đa giác đều.

Ta có số đo mỗi góc của đa giác đều bằng

(n 2).1800

n

− .

Suy ra:

(n 2).1800

n

− = 108° ⇒ 180.n – 360 = 108.n

⇒ 72n = 360 ⇒ n = 5

Vậy đa giác đều cần tìm có 5 cạnh.

Bài tập bổ sung

Bài 1.1 trang 156 SBT Toán 8 Tập 1: Mỗi câu sau đây đúng hay sai ? a) Tam giác và tứ giác không phải là đa giác.

b) Hình gồm n đoạn thẳng đôi một có một điểm chung được gọi là đa giác (với n là số tự nhiên lớn hơn 2).

c) Hình gồm n đoạn thẳng (n là số tự nhiên lớn hơn 2) trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào có một điểm chung cũng không cùng nằm trên một đường thẳng được gọi là đa giác.

d) Hình tạo bởi nhiều hình tam giác được gọi là đa giác.

e) Đa giác luôn nằm trong nửa mặt phẳng cho trước được gọi là đa giác lồi.

f) Đa giác luôn nằm trong nửa mặt phẳng có bờ là một đường thẳng chứa một cạnh của nó được gọi là đa giác lồi.

g) Hình gồm hai đa giác lồi cho trước là một đa giác lồi.

Lời giải:

a) Sai vì tam giác và tứ giác cũng là đa giác.

b) Sai (theo định nghĩa của đa giác).

c) Đúng.

d) Sai e) Sai;

f) Sai;

g) Sai

Bài 1.2 trang 156 SBT Toán 8 Tập 1: a) Cho tam giác đều ABC. Gọi M, N, P tương ứng là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh MNP là tam giác đều.

b) Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N, P, Q tương ứng là trung điểm của các cạnh BC, CD, DA, AB. Chứng minh MNPQ là hình vuông (tứ giác đều).

c) Cho ngũ giác đều ABCDE. Gọi M, N, P, Q, R tương ứng là trung điểm của các cạnh BC, CD, DE, EA, AB. Chứng minh MNPQR là ngũ giác đều.

Lời giải:

a) Ta có: M là trung điểm của BC và N là trung điểm của AC Nên MN là đường trung bình của Δ ABC

⇒ MN = ¹ 2AB

Ta có: P là trung điểm của AB; M là trung điểm BC nên MP là đường trung bình của Δ ABC

⇒ MP = ¹ 2AC

Tương tự, NP là đường trung bình của Δ ABC ⇒ NP = ¹ 2BC.

Mà AB = BC = AC (vì tam giác ABC đều)

Do đó MN = MP = NP. Vậy Δ MNP đều.

b) Do ABCD là hình vuông có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của BC, CD, DA, AB nên: AQ = QB = BM = MC = CN = ND = DP = PA

Xét Δ APQ và Δ BQM:

AQ = BM A =B = 90^o AP = BQ

Do đó: Δ APQ = Δ BQM (c.g.c) ⇒ PQ = QM (1) Xét Δ BQM và Δ CMN:

BM = CN B=C= 90^o BQ = CM

Do đó: Δ BQM = Δ CMN (c.g.c) ⇒ QM = MN (2) Xét Δ CMN và Δ DNP:

CN = DP C =D= 90^o CM = DN

Do đó: Δ CMN = Δ DNP (c.g.c) ⇒ MN = NP (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: MN = NP = PQ = QM.

Suy ra: tứ giác MNPQ là hình thoi

Vì AP = AQ nên Δ APQ vuông cân tại A BQ = BM nên Δ BMQ vuông cân tại B Do đó: AQP BQM= = 45^o

Lại có: AQP PQM BQM+ + = 180^o (kề bù)

⇒ ^{PQM 180= 0 −}

(

)

= 180^o - (45^o + 45^o) = 90^o

Vậy tứ giác MNPQ là hình vuông.

c)

Xét Δ ABC và Δ BCD:

AB = BC (vì ABCDE là ngũ giác đều) B=C (vì ABCDE là ngũ giác đều) BC = CD ( vì ABCDE là ngũ giác đều).

Do đó: Δ ABC = Δ BCD (c.g.c)

⇒ AC = BD (1)

Tương tự, xét Δ BCD và Δ CDE:

BC = CD C =D CD = DE

Do đó: Δ BCD = Δ CDE (c.g.c) ⇒ BD = CE (2) Xét Δ CDE và Δ DEA:

CD = DE D= E DE = EA

Do đó: Δ CDE = Δ DEA (c.g.c) ⇒ CE = DA (3) Xét Δ DEA và Δ EAB:

DE = EA E = A EA = AB

Do đó: Δ DEA = Δ EAB (c.g.c) ⇒ DA = EB (4)

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra: AC = BD = CE = DA = EB Trong Δ ABC ta có RM là đường trung bình

⇒ RM = ¹

2AC (tính chất đường trung bình của tam giác).

Mặt khác, ta có: Trong Δ BCD ta có MN là đường trung bình

⇒ MN = ¹

2BD (tính chất đường trung bình của tam giác) Trong Δ CDE ta có NP là đường trung bình

⇒ NP = ¹

2CE (tính chất đường trung bình của tam giác) Trong Δ DEA ta có PQ là đường trung bình

⇒ PQ = ¹

2DA (tính chất đường trung bình của tam giác) Trong Δ EAB ta có QR là đường trung bình

⇒ QR = ¹

2EB (tính chất đường trung bình của tam giác) Suy ra: MN = NP = PQ = QR = RM

Ta có: A= = =B C D=E =

(5 2).1800

5

− = 108^o

Vì Δ DPN cân tại D

⇒

0 0 0

180 D 180 108 0

DPN DNP 36

2 2

− −

= = = =

Vì Δ CNM cân tại C

⇒

0 0 0

180 D 180 108 0

CNM CMN 36

2 2

− −

= = = =

Mà DNP+PNM +CNM 180= ⁰

⇒ PNM 180= ⁰ −( DNP +CNM)

=180^o - (36^o – 36^o) = 108^o

Vì Δ BMR cân tại B

⇒

0 0 0

180 B 180 108 0

BMR BRM 36

2 2

− −

= = = =

Mà:

0

0

CMN NMR BMR 180

NMR 180 (CMN BMR)

+ + =

 = − +

= 180^o - (36^o – 36^o) = 108^o Vì Δ ARQ cân tại A

⇒

0 0 0

180 A 180 108 0

ARQ AQR 36

2 2

− −

= = = =

Mà BRM MRQ ARQ 180+ + = ⁰

⇒ ^{MRQ 360= 0 −}

(

)

=180^o - (36^o – 36^o) = 108^o Vì Δ QEP cân tại E

⇒

0 0 0

180 E 180 108 0

EQP EPQ 36

2 2

− −

= = = =

Mà AQR +RQP+EQP =180⁰

⇒ ^{RQP 180= 0 −}

(

)

= 180^o - (36^o – 36^o) = 108^o Mà EPQ+QPN +DPN 180= ⁰

⇒ QPN 180= ⁰ −( EPQ DPN)+

= 180^o - (36^o – 36^o) = 108

Suy ra : PNM= NMR =MRQ RQP QPN= = Vậy MNPQR là ngũ giác đều.

Bài 1.3 trang 157 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình vuông ABCD có AB = 3cm Trên tia đối của tia BA lấy điểm K sao cho BK = 1cm

Trên tia đối của tia CB lấy điểm L sao cho CL = 1cm Trên tia đối của tia DC lấy điểm M sao cho MD = 1cm Trên tia đối của tia AD lấy điểm N sao cho NA = 1cm Chứng minh KLMN là hình vuông.

Lời giải:

Xét ΔANK và ΔBKL : AN = BK (= 1 cm)

A =B = 90^o

AK = BL (vì AB = BC, BK = CL) Do đó ΔANK = ΔBKL (c.g.c)

⇒ NK = KL (1)

Xét ΔBKL và ΔCLM:

BK = CL (= 1cm) B=C= 90^o

BL = CM (vì BC = CD, CL = DM) Do đó: ΔBKL = ΔCLM (c.g.c)

⇒ KL = LM (2)

Xét ΔCLM và ΔDMN : CL = DM (= 1cm)

C =D = 90^o

CM = DN (vì CD = DA, DM = AN) Do đó: ΔCLM = ΔDMN (c.g.c)

⇒ LM = MN (3)

Từ (1), (2) và (3) ⇒ NK = KL = LM = MN.

Suy ra: tứ giác MNKL là hình thoi.

Ta có: ΔANK = ΔBKL ⇒ ANK=BKL

Trong tam giác ANK có A là góc vuông ⇒ANK+AKN= 90^o

⇒BKL+AKN = 90^o hay NKL = 90^o Vậy tứ giác MNKL là hình vuông.