Bổ đề về hai điểm liên hợp đẳng giác và các bài toán liên quan

BỔ ĐỀ VỀ HAI ĐIỂM LIÊN HỢP ĐẲNG GIÁC VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

1 Giới thiệu

Bài viết này lấy cảm hứng từ bài toán của thầy Nguyễn Văn Linh đưa lên group "Hình học phẳng" liên quan đến hai điểm đẳng giác. Đã có vài lời giải đăng lên và rất nặng về phần tính toán, tuy nhiên tác giả nhận thấy hoàn toàn có thể giải dựa theo một bổ đề và từ đó các bài toán liên quan hay mở rộng cũng có thể giải quyết một cách triệt để. Vậy trước hết ta phát biểu và chứng minh hai bổ đề quan trọng sau.

2 Bổ đề về hai điểm liên hợp đẳng giác

Bổ đề 1. Trong tam giác ABC lấy hai điểm P và Q liên hợp đẳng giác với nhau.AP cắt lại đường tròn (ABC) tại R. QR cắt BC tại S. Khi đó ta có P SkAQ.

M

N P

S

R

C Q

A

B

Chứng minh. Ta lấy M, N lần lượt là giao điểm của tia AQ với BC và (ABC).

Do AP, AQ đẳng giác trong gócBAC nên ta dễ cóRN kBC.

Từ đó ta có 4QN C ∼ 4CRP và 4CM N ∼ACR (góc - góc) nên suy ra AR·M N =CN ·CR=QN ·P R hay AR

P R = QN

M N = QR

RS nên P SkAQ.

Bổ đề 2. (Phan Anh Quân) Cho tam giácABC nội tiếp đường tròn(O). Lấy hai điểm liên hợp đẳng giác P, Q.AP cắt lại(O) tại R, lấy S bất kì trên BC, RS cắt lại (O) tại M (M với B nằm khác phía so với AC). Khi đó ta có ∠P SB =∠QM A.

L

M

P

K

R

C Q

A

B S

Chứng minh. Lấy K là giao điểm của QR và BC. Kẻ đường thẳng qua P song song với AM cắt RM tại L.

Theo Bổ đề 1 ta có P K kAQ nên suy ra RL

LM = RP

P A = RK

KQ nên KLkQM. Vậy hai tam giác P KL và AQM có các cặp cạnh tương ứng song song.

Để ý rằng ∠LSC =∠BM S+∠M BS =∠BAR+∠CAM =∠QAC+∠M AC =∠QAM =

∠KP L nên tứ giácP KSL là tứ giác nội tiếp, suy ra ∠P SB=∠P LK =∠AM Q.

Nhận xét. Từ bổ đề này ta rút ra được kết quả của hai bài toán quen thuộc sau.

Bài 1.(Nga 2005) Cho tam giácABC có tâm đường tròn nội tiếp I. LấyM,N lần lượt là trung điểm BC và cung BAC của đường tròn (ABC). Chứng minh rằng ∠AN I =∠BM I.

Bài 2. Cho tam giác ABC, lấy P, Q là hai điểm liên hợp đẳng giác nằm trên phân giác gócBAC. LấyM,N lần lượt là trung điểm BC và cungBAC của đường tròn (ABC). Chứng minh rằng P,Q, M, N đồng viên.

Bây giờ chúng ta đến với các bài toán chính của bài viết.

3 Các bài toán

Bài 1. (Nguyễn Văn Linh) Cho tam giácABC nội tiếp(O), các đường caoAD,BE,CF đồng quy tại H. EF cắt (O) tại hai điểm K và L. P là điểm liên hợp đẳng giác của H trong tam giác DKL. Chứng minh rằng P H chia đôi EF.

Bài toán này đã được mở rộng bởi Trần Quân nên ta đi chứng minh luôn bài toán mở rộng như sau

Mở rộng. Cho tam giác ABC nội tiếp (O), đường tròn bất kì đi qua B và C cắt lại AC, AB lần lượt tại E và F. BE cắt CF tại H và AH cắt BC tại D.EF cắt (O) tại hai điểm K và L. P là điểm liên hợp đẳng giác của H trong tam giác DKL. Chứng minh rằng P H chia đôi EF.

P Y Z

T

N X

M

L

D

K H

E O

C A

B F

Chứng minh. Lấy T là giao điểm của EF với BC. M, N lần lượt là trung điểm BC và EF. AD giao với EF và (DKL) lần lượt tại X và Y.

Ta thấy (T D, BC) = (T X, F E) =−1màM,N lần lượt là trung điểmBC và EF nên theo hệ thức Maclaurin thì ta có T X ·T N =T F ·T E =T B·T C =T D·T M =T K·T L.

Từ đó suy ra tứ giác XN M D vàKDM L là các tứ giác nội tiếp.

Lấy Z là giao điểm của tia M N với (DKL).

Khi đó ta có ∠ZN X =∠XDM =∠Y ZN nên Y Z kKL hay D, P, Z thẳng hàng.

Từ đó áp dụng bổ đề 2thì ta có ∠P N F =∠HM D.

Mặt khác ta có 4HF E ∼ 4HBC, kết hợp M, N lần lượt là trung điểm BC, EF nên

∠HM D =∠HN F.

Vậy suy ra ∠P N F =∠HN F nên ta có P H đi qua trung điểm N của EF.

Nhận xét. Từ lời giải trên ta thấy hai điểm K, L là giao của EF với (O) chỉ để suy ra được hai tứ giác nội tiếp nên ta vẫn có thể mở rộng hơn nữa bài toán này như sau.

Mở rộng 2. (Nguyễn Đăng Khoa) Cho tam giác ABC và vẽ hai đường tròn ω₁, ω₂ đi qua B, C. Đường tròn ω₁ cắt lại AC, AB lần lượt tại E và F. BE cắt CF tại H và AH cắt BC tại D. Giả sửEF cắt ω2 tại hai điểmK và L.P là điểm liên hợp đẳng giác của H trong tam giác DKL. Chứng minh rằng P H chia đôi EF.

Từ bài toán này ta rút ra bài toán đẹp sau khi cho đường tròn ω1 trùng ω2.

Bài 2. Cho tam giácABC nội tiếp (O), đường tròn bất kì đi qua B và C cắt lại AC,AB lần lượt tạiE vàF. BE cắt CF tại H và AH cắt BC tại D. GọiP là điểm liên hợp đẳng giác của H trong tam giác DEF. Chứng minh P H chia đôiEF.

Chúng ta tiếp tục với bài toán khác có cấu hình khá giống bài 1.

Bài 3. (Trần Quân) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và ngoại tiếp đường tròn (I). Đường tròn (I)tiếp xúc với ba cạnh BC, CA,AB lần lượt tại D, E và F. EF cắt đường tròn(O)tại hai điểm K vàL.P là điểm liên hợp đẳng giác của I trong tam giácDKL. Chứng minh P I đi qua trung điểm cungBC chứa A của (O).

J Q

P Y Z

X N

M

L

K F

E

D

I O

C A

B

Chứng minh. Ta gọi N, J lần lượt là trung điểm cung BC chứa A và không chứa A của (O).

LấyM, Q lần lượt là trung điểmBC,EF và X là giao của IN và EF.

Ta dễ chứng minh được là KLM D nội tiếp nên ta gọi Y, Z lần lượt là giao điểm thứ hai của M X và DI với (DKL).

Ta có 4J CN ∼ 4IEA mà M, Qlà chân hai đường cao của hai đỉnh tương ứng nên ta có tỉ số J M

M N = IQ QA.

Mặt khác do QX kAN nên IQ

QA = IX

XN, từ đó suy ra XM kIJ hay M X ⊥EF. Ta có ∠M Y Z =∠M DZ = 90^◦ nên Y Z kKL hay ta thu được D, P, Y thẳng hàng.

Để ý rằng J I² =J M ·J N nên ∠J IN =∠J M I hay ∠AIN =∠IM N =∠M ID.

Suy ra ∠IXQ=∠IN A=∠IM D.

Mặt khác theo bổ đề ta có ∠P XQ=∠IM D=∠IXQ nên suy ra P, I, X thẳng hàng hay ta có đpcm.

Bài toán này có thể mở rộng như sau (bạn đọc tự chứng minh)

Mở rộng. (Nguyễn Đăng Khoa)Cho tam giácABC nội tiếp(O)và hai điểmP,Qliên hợp đẳng giác nằm trên phân giác góc BAC. E, F lần lượt là hình chiếu của P lên AC và AB. D là hình chiếu của Q trên BC.EF cắt (O) tại hai điểm là K, L. Gọi P⁰ là điểm liên hợp đẳng giác vớiP và Q⁰ là điểm liên hợp đẳng giác vớiQtrong tam giác DKL. Chứng minh rằngP Q⁰ và P⁰Q đều đi qua trung điểm cung BC chứaA của (O).

Bài 4. (Nguyễn Đăng Khoa) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) và có tâm đường nội tiếp là I. Đường tròn A-mixtillinear tâm J tiếp xúc trong với (O) tại D. Gọi K, L lần lượt là trung điểm các cung nhỏ AC và AB của (O). Chứng minh rằng điểm liên hợp đẳng giác với điểm I trong tam giác DKL là trung điểm AD.

N M

P Q

O

K

L

F

D

J

E I

C A

B

Chứng minh. Gọi P,Q lần lượt là trung điểm cung nhỏ và cung lớn BC của (O). LấyE, F là điểm tiếp xúc của (J) với AC và AB. Gọi N là điểm liên hợp đẳng giác với I trong tam giác DKL.

Ta biết các kết quả quen thuộc làD, I, Qthẳng hàng; D, F, LvàD, E, K là hai bộ ba điểm thẳng hàng.

Mặt khác dễ thấy LK là trung trực AI nên điểm M là trung điểm AI thuộc LK và từ đó ta có AQkKL nên N nằm trên DA.

Áp dụng bổ đề thì ta có ∠N M L=∠DP I.

Suy ra ∠AM N = 90^◦ +∠N M L = 90^◦ +∠DP I = ∠QIP = ∠AID nên ta có M N k DI hay N là trung điểm AD (đpcm).

Bài 5. (Trần Quân) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) và có tâm đường nội tiếp là I. Đường trònA-mixtillinear tâmJ tiếp xúc trong với (O)tại D. Lấy E,F là điểm tiếp xúc của(J)vớiAC vàAB.EF cắt (O) tại hai điểmK vàL. GọiP là điểm liên hợp đẳng giác của J trong tam giác DKL. Chứng minh rằng DP ⊥EF và DJ cắt P I trên (O).

F

M P

N

K

L

D J

E

I O

C A

B

Chứng minh. Do (J) tiếp xúc với (O)tại D nên dễ có D,J,O thẳng hàng.

Ta kẻ đường kính DN của (O), N I cắt lại (O) tại điểm M. Theo bổ đề 2 thì ta có ∠P M D =∠IJ E = 90^◦.

Mà dễ thấy DN là đường kính nên ∠DM N = 90^◦, suy ra M, P, N thẳng hàng.

Tiếp tục sử dụng bổ đề 1 thì ta có IJ kP D hay P D ⊥EF.

Hoặc ta có thể nhận ra ngay tính chất quen thuộc O là tâm (DKL) và DP, DO là hai đường đẳng giác trong góc KDL nên DP ⊥KL.

Nhận xét. Từ lời giải trên ta hoàn toàn có thể mở rộng bài toán như sau (bạn đọc tự chứng minh)

Mở rộng. Cho tam giác ABC, trên hai cạnh AC, AB lấy hai điểm F và E sao cho AE =AF. Một đường tròn (J)đi qua E,F là tiếp trong với(O) tại điểm D. Gọi M là trung điểm EF,EF cắt (O) tại K, L. GọiP là điểm liên hợp đẳng giác của J trong tam giácDKL.

Chứng minh rằngP M và DJ cắt nhau trên (O).

Lời kết. Qua bài viết này tác giả muốn trình bày tới bạn đọc ứng dụng rất hữu ích của hai bổ đề trên, nó cho chúng ta có một cái nhìn tổng quát và một lời giải đẹp, không cần tính toán. Sau đây là vài bài tập dành cho bạn đọc.

4 Bài tập

Bài 1. (Nguyễn Đăng Khoa) Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có đường phân giác BAC cắt lại (O) tại D. Lấy điểm I bất kì trên đoạn AD, hình chiếu của I trên AC, AB lần lượt làE, F.EF cắt (O) tại K, L. Chứng minh điểm liên hợp đẳng giác của I trong tam giác DKL là trung điểm BC.

Bài 2. (Nguyễn Đăng Khoa) Cho tam giác ABC có đường cao AD cắt lại (O) tại điểm D⁰. H là điểm bất kì trên đoạn AD, E, F lần lượt là hình chiếu củaH lên AC, AB. EF cắt (O) tại K, L. Chứng minh rằng điểm D là liên hợp đẳng giác của H trong tam giác D⁰KL.

Tác giả phát hiện hai bài toán trên và sau đó thành viên Trần Quân trên group đã đưa lên bài toán tổng quát cho hai bài trên.

Bài 3. (Trần Quân) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O), P là một điểm bất kì trên (O).

LấyJ trên đoạn AP. E, F là hình chiếu của J trên AC, AB. EF cắt (O) tại K, L.

LấyD là hình chiếu củaP trên BC. Chứng minh D là điểm liên hợp đẳng giác với J trong tam giác P KL.

Bài 4. (Nguyễn Đăng Khoa) Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có đường phân giác BAC cắt lại(O)tại D. Lấy điểmI bất kì trên đoạnAD, dựng hình bình hànhAEIF (E thuộc AC, F thuộc AB). EF cắt đường tròn (O) tại K và L. Chứng minh O là điểm liên hợp đẳng giác vớiI trong tam giác DKL.

Bài 5. (Nguyễn Đăng Khoa) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), có đường tròn A-mixtillinear tâm J tiếp xúc trong với (O) tại D. Lấy điểm P khác D bất kì trên (J). Tiếp tuyến của (J) tại P cắt đường tròn (O) tại E, F. Gọi J₁ là điểm liên hợp đẳng giác với J trong tam giác DEF. Chứng minh rằng

a) Hai đường thẳng J1P và DJ cắt nhau trên (O)

b) Gọi J₂ là điểm liên hợp đẳng giác của J trong tam giác AEF. Nếu P nằm trên AI thì J₂A đi qua O.