BÀI 3. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC

(1)

BÀI 3. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC

HS CHÚ Ý KẾT HỢP VIỆC XEM VIDEO BÀI GIẢNG ĐỂ VẬN DỤNG LÀM CÁC BT SAU, LƯU Ý Ở MỖI DẠNG ĐÃ CÓ PHƯƠNG PHÁP GIẢI, HS ĐỌC KĨ CÁC VÍ DỤ ĐÃ GIẢI MẪU ĐỂ HOÀN THÀNH BÀI TẬP. (CỐ GẮNG NGHIÊN CỨU BÀI MỚI VÀ TỰ LÀM BT – KHÔNG ĐỐI PHÓ!) OK???!!!

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

 Định lý: Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.

GT

ABC, AD là tia phân giác của ^{BAC D}



^^BC



KL ^DB ^AB

DC  AC

 Chú ý: Định lý trên vẫn đúng đối với tia phân giác ngoài của tam giác:

D 'B AB

D 'C  AC (với ABAC).

B. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1. Sử dụng tính chất đường phân giác của tam giác để tính độ dài đoạn thẳng

Phương pháp giải: Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Xác định đường phân giác và lập các đoạn thẳng tỉ lệ;

Bước 2: Sử dụng các đoạn thẳng tỉ lệ đó để tính độ dài đoạn thẳng chưa biết.

VD: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB21cm, AC 28cm. Kẻ phân giác trong AD của BAC (với DBC). Tính BD, CD.

D C

B A

D B C

A

(2)

Bài giải:

Tính được BC = 35cm.

Trong tam giác ABC, phân giác AD, ta có:

Suy ra,

Ta có: BC = BD + CD hay . Từ đó tính được CD = 20cm,

Bài 1.1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ phân giác trong AD của BAC (với DBC), biết ^DB^^{15cm, DC}^^20cm. Tính độ dài các đoạn thẳng AB, AC.

Bài 1.2. Cho tam giác ABC, các đường phân giác AD, BE, CF. Biết BC 36cm, CA 30cm, AB18cm. Tính độ dài các đoạn BD, DC, EA, EC, FA, FB.

Bài 1.3. Cho tam giác ABC, BC10cm,CA 6cm, AB8cm. Đường phân giác của B và C cắt cạnh AC và AB lần lượt tại D và E.

a) Tính độ dài các đoạn thẳng AE, EB, AD, DC.

b) Trên cạnh BC lấy điểm K sao cho BK ⁴⁰cm.

 7 Chứng minh ba đường thẳng AK, BD, CE đồng quy.

Dạng 2. Sử dụng tính chất đường phân giác của tam giác để tính tỉ số, chứng minh các hệ thức, các đoạn thẳng bằng nhau, các đường thẳng song song

Phương pháp giải: Thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Xác định đường phân giác và lập các đoạn thẳng tỉ lệ;

Bước 2: Sử dụng các tỉ số đã có, cùng với tính chất của tỉ lệ thức, các tỉ số trung gian (nếu cần) và định lý đảo của định lý Ta – lét để tính tỉ số đoạn thẳng hoặc chứng minh các hệ thức, từ đó suy ra các đoạn thẳng bằng nhau hay các đường thẳng song song.

VD: Cho tam giác ABC có các đường phân giác AD, BE, CF.

a) Chứng minh ^{DB EC FA}. . 1 DC EA FB  .

b) Khi tam giác ABC cân tại A, chứng minh EF song song với BC.

3 4 BD AB

CD  AC  3

BD4CD 7 BD4CD

3 15

BD 4CD cm

(3)

c) Biết ^AB ²

AC  3, tính tỉ số diện tích của hai tam giác ABD và ACD.

Bài giải:

a) Cách 1. Sử dụng định lý Xe va đã chứng minh ở Câu 9 Bài 2.

Cách 2. Có thể chứng minh như sau: Xét tam giác ABC, phân giác AD, ta có:

Tương tự, ta chứng minh được:

Vậy .

b) Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC

Suy ra, ta có: . Vậy theo định lý Ta-lét đảo, ta có ĐPCM.

c) Dễ thấy . Gọi h là chiều cao từ đỉnh A tới đáy BC, ta có:

Bài 2.1: Cho tam giác ABC, các đường phân giác AD, BE, CF giao nhau tại I.

Chứng minh:

a) ^DI ^BC

DA Chu vi ABC

 ; b) ^DI ^EI ^FI 1.

DAEBFC 

Bài 2.2: Cho tam giác ABC (AB < AC), đường phân giác AD của BAC (với DBC). Từ trung điểm M của BC, kẻ một đường thẳng song song với AD, cắt AC tại F và cắt tia đối của tia AB tại E. Chứng minh BE = CF.

Bài 2.3: Cho hình bình hành ABCD. Phân giác của A và D cắt các đường chéo BD và AC lần lượt tại M và N. Chứng minh: MN song song với AD.

BD AB CD  AC

CE BC AF, CA AE  BA BF CB

. . . . 1

DB EC FA AB BC CA DC EA FB  AC BA CB 

AE BA AC AF CE  BC  BC  BF

2 3 DB AB DC  AC  .

2 2

. 3

2

ABD ACD

h DB

S DB

S h DC DC



  