Ôn Thi Vào Lớp 10 Môn Toán Chuyên 4. CĂN BẬC BA, CĂN BẬC N

(1)

Chuyên đề 4. CĂN BẬC BA, CĂN BẬC n A. Kiến thức cần nhớ

1. Căn bậc ba

a) Định nghĩa: Căn bậc ba của một số a, kí hiệu ³a, là số x sao cho x³a

 Cho ^a^^ℝ^,³^a ^{ }^x ^x³^

 

³ ^a ³ ^^a

 Mỗi số thực a đều có duy nhất một căn bậc ba.

 Nếu a0 thì ³a 0

 Nếu a0 thì ³a 0

 Nếu a0 thì ³a 0 b) Tính chất

 a0³a  ³b

 ³ab ³a.³b

 ³ ^a ³₃^a



^b ⁰



b  b 

c) Các phép biến đổi căn bậc ba

 A B³  ³ A B³

 ³ A B³  A B³

 ³ ^A ¹ ³ ^AB²



^B ⁰



B  B 

 ₃ ¹ ₃ ³ ^A² ³ ^AB ³ ^B²



^A ^B



A B

 

 

∓ ∓

2. Căn bậc n

a) Định nghĩa: Cho aℝ_và_n_ℕ_;_n__2. Căn bậc n của a là một số mà lũy thừa bậc n của nó bằng a.

 Trường hợp n lẻ



ⁿ^²^k^^1;^k^^ℕ



Mỗi số thực a đều có một căn bậc lẻ duy nhất: ²^k^¹a  x x²^k^¹a Nếu a0 thì ²^k^¹a 0

Nếu a0 thì ²^k^¹a 0 Nếu a0 thì ²^k^¹a 0

 Trường hợp 11 chẵn



ⁿ^^{2 ;}^{k k}^^ℕ



(2)

Mỗi số thực a0 đều có hai căn bậc chẵn đối nhau. Căn bậc chẵn dương kí hiệu là ^2ka (gọi là căn bậc 2k số học của a), căn bậc chẵn âm kí hiệu là ^2ka

2^ka   x x 0 và x^2k a

2^ka x x 0

    và x^2k a

Mọi số a0 đều không có căn bậc chẵn.

b) Tính chất của căn bậc n



ⁿ^^ℕ^;ⁿ^^2.



  

^*



1 0, ,

n Am nk Amk A k mℕ

  

2 0, , 2

m n A mnA A mℕ m

  

. 3 0, 0

n AB n A n B A B

  

4 0, 0

n n

n

A A

A B

B  B  

 

ⁿ ^A ^m ^ⁿ ^A^m⁵

  

^A^^0,^m^^ℕ^*



Ứng dụng:

- Công thức (1 ) dùng để hạ bậc một căn thức hoặc quy đồng chỉ số các căn thức.

- Công thức (2) dùng để khai căn một căn thức.

- Công thức (3) dùng để khai căn một tích, nhân các căn thức cùng chỉ số, để đưa một thừa số ra ngoài hoặc vào trong dấu căn.

- Công thức (4) dùng để khai căn một thương và chia các căn thức cùng chỉ số, để khử mẫu của biểu thức lấy căn.

- Công thức (5) dùng để nâng một căn thức lên một lũy thừa.

B. Một số ví dụ

Ví dụ 1: Thực hiện phép tính:

a) ³54 : 2³

b) ³8 37 . 8³  37

Giải

Tìm cách giải. Để thực hiện phép tính nhân căn bậc 3 ta sử dụng tính chất ³ A.³ B ³ A B. Trình bày lời giải

a) ³54 : 2³  ³54 : 2 ³273

b) ³⁸^ ^{37 . 8}³ ^ ³⁷ ^³



⁸^ ³⁷



⁸^ ³⁷



(3)

364 37 327 3

   

Ví dụ 2: Rút gọn A³26 15 3 ³26 15 3 Giải

Tìm cách giải. Để rút gọn biểu thức có dạng ³ab c ta viết biểu thức dưới dạng: ³



^x^^y



³^,^ta

chú ý tới hằng đẳng thức:



^x^^y



³^^{x x}^³^xy^³^y² ^x^^y³

Do vậy ta xác định x và y thông qua 3xyy³ a x; 3y² b, nhưng lưu ý xc chẳng hạn

326 15 3 ta chọn x và y theo 3xyy³26; x3y²15 và x3 suy ra: y2.

Trình bày lời giải:

Ta có: A³8 12 3 18 3 3   ³8 12 3 18 3 3  

  

³



³

3 2 3 3 2 3 2 3 2 3 4

A        

Ví dụ 3: Rút gọn ³ 84 ³ 84

1 1

9 9

B   

Giải

Tìm cách giải. Bài này thú vị và khó hơn ví dụ trước, không thể đưa về dạng ³



^x^^y



³^.^{Do đó,}

để tính giá trị biểu thức có dạng B³a b ³a b chúng ta nghĩ tới việc lập phương hai vế và sử dụng hằng đẳng thức



^x^^y



³^^x³^^y³^³^{xy x}



^^y



sau đó phân tích đa thức thành nhân tử rồi tìm B.

Trình bày lời giải

Áp dụng hằng đẳng thức



^a^^b



³^^a³^^b³^³^{ab a}



^^b



^{ta có:}

3 3

84 84 84 84

1 1 3. 1 1 .

3 3 9 9

2 3 . 1 84 2 81

B B

B B B

  

         

  

    

   

3 2 0 1 2 2 0

B    B B B  B  mà B²  B 2 0 Suy ra B1.

Ví dụ 4: Hãy tính giá trị biểu thức: ^Q^



³^x³^^x²^¹



²⁰²⁰^,^biết:

(4)

 

3

3 3

26 15 3. 2 3

9 80 9 80

x

 

   

Giải

Tìm cách giải. Bản chất của bài toán là rút gọn x. Quan sát biếu thức x, chúng ta nhận thấy trước hết cần rút gọn căn bậc ba ở tử thức và mẫu thức trước. Bằng kỹ thuật của hai ví dụ trên, chúng ta biến đổi ³26 15 3 bằng cách đưa về hàng đẳng thức lũy thừa bậc ba; đồng thời đặt

39 80 39 80

a    và xác định a. Sau đó xác định x.

Xét a ³9 80³9 80

  

   

3 3

3 2

9 80 9 80 3. 9 80 9 80 . 18 3. 81 80.

18 3 3 18 0

27 3 9 0 3 3 6 0

a a

a a a a

a a a a a

       

   

      

         

Ta có

2

2 3 15

3 6 0

2 4

a  a a   

  nên a   3 0 a 3

Do đó ³3 3 18 12 3 8. 2



3

 

³ ³ ²

 

³ ² ³



3 3

x

 

   

 



³ ^{2 2}



³



^{4 3} ¹

3 3 3

x

  

  

Vậy ^3. ¹ ¹ ¹ ²⁰²⁰

 

¹ ²⁰²⁰ ¹

27 9

Q  

 

 

     

Ví dụ 5: Rút gọn biểu thức: ¹⁰¹



19 6 10 . 3 2



⁵ 2 5

Q 2  

Giải

Tìm cách giải. Nhận thấy rằng đây là nhân hai căn thức không cùng bậc. Do vậy chúng ta cần phải đưa về cùng bậc. Dễ thấy 105.2, do vậy chúng ta có thể đưa căn bặc 10 về căn bậc 5 dựa theo công thức: ¹⁰A²  ⁵ A. Với cách suy luận đó, chúng ta biến đổi ¹₂



^{19 6 10}^



về dạng bình phương của một biểu thức

Trình bày lời giải

(5)

Ta có ¹⁰¹



38 12 10 . 3 2



⁵ 2 5

Q 4  

 

    

 

2 5 10

5 5 5

5 5

1 3 2 2 5 . 3 2 2 5 4

1 1

3 2 2 5 . 3 2 2 5 3 2 2 5 3 2 2 5

2 2

1 18 20 1 1

2 Q Q Q

  

     

     

Ví dụ 6: Tính giá trị biếu thức:

4 4 2

4 4

2 1

4 2 1 2 1 2 2

1 2 2 1 2

T

 

   

      Giải

Tìm cách giải. Bài toán này có nhiều yếu tố giống nhau, do vậy chúng ta có thể đặt biến mới nhằm đưa về bài toán đơn giản hơn. Với cách suy luận ấy chúng ta đặt ⁴2a (căn nhỏ nhất) thì

4 2; 44 2 2.

a  a  Từ đó chúng ta có lời giải sau:

Đặt ⁴2a thì a⁴2; 4⁴ a² 2.

Khi đó

2 2 2 2 4

2

2 1 1 1

1 1

a a a a a

T a a a

 

   

     

 

2 2 2

2 2

1 1 1 1

1 0

a a

T a

a a a a a

   

         Vậy T0

C. Bài tập vận dụng

4.1. Cho biểu thức 1 8 3 1 1 1

10 :

3 1 3 1 1 1

x x x

P x x x x x

       

               a) Rút gọn biếu thức P.

b) Tính giá trị của P khi ⁴ 3 2 2 ⁴ 3 2 2 3 2 2 3 2 2

x  

 

 

(Thi học sinh giỏi lớp 9, tỉnh Thanh Hóa, năm học 2011-2012) Hướng dẫn giải – đáp số Đặt x 1 a biểu thức P có dạng:

(6)

 

    

  

 

2

2 2

2

2 2

9 3 1 1

3 9 : 3

3 9 3 1 ( 3)

3 3 : 3

3 9 3 1 3

3 3 : 3

3 9 2 4

3 3 . ( 3)

3( 3) ( 3) (3 )(3 ) 2(. 2)

3

2 2

a a a

P a a a a a

a a a a a

P a a a a

a a a a a

P a a a a

a a

P a a a a

a a a

P a a a

P a a

     

         

     

   

     

   

 

   

 

   

 



Vậy ^P^²



^³^x^{ }^x^{1 2}^¹



b) Ta có:

 

2 2

4 2 4 2

2 1 2 1 2 1 2 1

2 1 2 1

x

   

   

 



_{2 1}^{2 1}



²



_{2 1}^{2 1}

    

² ^{2 1} ^{2 1} ²

x

 

      

 

Vậy ^P^²



^^{3 2 1}^{2 1 2}^{ }^



^^2.3^³ ^^²¹

4.2. Tính giá trị của biểu thức

a) ^B^



^x³^¹²^x^⁹



²⁰²⁰^,^biết^x^³⁴



^{5 1}^



^³⁴



^{5 1}^



b) C x³ax b , biết ³ ² ³ ² ³

2 4 27 2 4 27

b b a b b a

x        Hướng dẫn giải – đáp số a) Xét ^x³^⁴



^{5 1}^{ }

 

⁴ ^{5 1}^{ }



^{3. 4}³



^{5 1 .4}^

 

^{5 1 .}^



^x

3 8 12 3 12 9 1

x   x x  x  Vậy B1²⁰²⁰1

b) Xét ³ ² ³ ² ³ 3.³ ² ³ ² ³ .

2 4 27 2 4 27 2 4 27 2 4 27

b b b b b b b b a b b a

x    x

              

  

(7)

2 3

3 3

2 3

3 .

4 4

0

x b 27 x

x b ax x ax b

b b a

  

     







Vậy C 0

4.3. Hãy tính giá trị của biểu thức: Px³3x2 với ³

3

2 1 1

2 1

x  

 Hướng dẫn giải – đáp số

Ta có ³ ³ ³

3

2 1 1 2 1 2 1

2 1

x      



Xét ^x³ ^ ^{2 1}^{ }



^{2 1}^{ }



^3.³



^{2 1}^



^{2 1 .}^



^x

3 2 3 3 3 2 0

x    x x  x  Vậy P0

4.4. Hãy tính giá trị của biểu thức: ^T ^



³^x³^⁸^x^²



²⁰²⁰^,^biết

 

317 5 38

. 5 2 5 14 6 5

x  

 

Hướng dẫn giải – đáp số

Ta có ³5 5 30 12 5 8

 

. 5 2 5 9 6 5 5

x   

 

  

 

     

3 3

2

5 2 5 2

. 5 2 . 5 2

5 3 5

5 4 1

3 3

x

 

   

   

  

Suy ra ^3. ¹ ^8.¹ ² ²⁰²⁰

 

¹ ²⁰²⁰ ¹

27 9

T  

 

 

     

4.5. Cho x, y thỏa mãn x ³ y y² 1 ³ y y²1. Tính giá trị của biểu thức:

4 3 2 2

3 2 1

Ax x y x xy y  Hướng dẫn giải – đáp số Xét ^x³ ^{ }^y ^y²^{  }¹ ^y ^y²^{ }^{1 3.}³



^y^ ^y²^¹



^y^ ^y²^^{1 .}



^x

 

3 3

2 2

3 3

2 3. 1.

3

2 3 2 0 *

y y x

x x x y

x y



  

    

(8)

Ta có

   

4 3 2

3 3

3 2 3 2 1

3 2 3 2

2

1

A x x xy x y xy y

A x x x y y x x y

     

      



Kết hợp với (*) suy ra A1

4.6. Tính giá tri biểu thức ^P^



^x²^⁴^x^²



²⁰¹³^,^với



^{3 1}



³^{10 6 3}

21 4 5 3 x

 

  

(Tuyển sinh lớp 10, chuyên Bắc Ninh, năm học 2013-2014)

Ta có

     

 

   

3 3 3

2

2 2

3 1 . 3 1 3 1 3 3 9 3 3 1

20 4 5 1 3 2 5 1 3

3 1 . 3 1 3 1 1 5 2

2 5 1 3 2 5 4 5 2 1

2 5 4 4 5 4 1

x

x x x x x

 

   

 

    

   

   

   

         

Vậy ^P^{ }



^{1 2}



²⁰¹³^{ }¹

4.7. Cho a0;a1. Rút gọn biểu thức:

 

3 3 1

6 4 2 . 20 14 2 3 3 1 : 1

2 2

S a a a a

a



 

          

(Tuyển sinh vào lớp 10, THPT chuyên ĐHSP Hà Nội, năm học 2015-2016) Hướng dẫn giải – đáp số

Ta có

     

3 3

2 3 3

3 3

4 4 2 2. 8 12 2 12 2 2 3 3 1 : 1 1

2

2 2 . 2 2 1 : 1 2

2 2 2 . 2 2 1 . 2

1 4 2 2 4

S a a a a a

S a a

S a

a S

  

            

 

      

    



   

4.8. Tính giá trị biểu thức: ₃ ³ ₂3 2

4 5 2

a a

P a a a

 

    biết:

355 3024 355 3024 .

a   

(Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Phú Thọ, năm học 2013-2014) Hướng dẫn giải – đáp số Xét ^a³^⁵⁵^ ³⁰²⁴^⁵⁵^ ³⁰²⁴^³³



⁵⁵^ ³⁰²⁴



⁵⁵^ ^{3024 .}



^a

(9)

3 110 3. 3025 3024.3 3 3 110 0

a    aa  a 

     

   

3

2

125 3 15 0

5 5 25 3 5 0

5 5 22 0

a a

a a a a

a a a

    

      

    

Nhận xét:

2

2 5 63

5 22 0

2 4

a  a a    nên a   5 0 a 5

Từ đó suy ra ₃ 5³ ₂3.5 2 112 7 5 4.5 5.5 2 48 3

P    

  

4.9. Rút gọn biểu thức: T 



⁴⁷ ⁴⁸⁴28 16 3 . 7



⁴  48 5 2 6 Hướng dẫn giải – đáp số

Ta có ^T ^^^_⁴^{4 4 3 3}^ ^{ }⁴^{4 4 4 3 3}



^ ^



^^_^{. 4 4 3 3}⁴ ^ ^{ } ^{3 2 6}^ ^²

       

   

      

2 2 2 2

4 4 4

2

2 3 4 2 3 . 2 3 3 2

2 3 2 2 3 . 2 3 3 2

2 3 2 2 3 2 3 3 2

2 3 2 3 2 2

T T T T

 

       

 

 

       

 

      

     

4.10. Tính giá trị của biểu thức: ₃

3 3

10 1 2 3 1

. :

9 6 4 4 2 3 2 1

M     

      Hướng dẫn giải – đáp số

Ta có

 

  

3 3

3 3 3

10 3 2 1 2 2 1

. .

3 2 9 6 4 3 2 3 1 3 1 M

    

  

       

 

3 3

10 3 2 1 2 2 1

. .

3 2 3 1 3 1

2 3 2 .2 1 3 1

3 2

M M M

    

     

  



 

4.11. Trục căn thức ở mẫu:

a) ₃

3 3

1

16 12 9 b)

4 4 4 4

15

2 4 8 16

(10)

a)

  

3 3 3 3

3 3

3 3 3 3 3

4 3 4 3

4 3

4 3 16 12 9 4 3

    

   

b)

 

  

4 4

4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

15. 8 1 2 15

2(1 2 4 8 ) 2. 8 1 2 1 2 4 8

 

      

 

4 4

15 8 2 15 2 8

2 1 2 2

 

 



4.12. Làm phép tính:

a) ³1 2 . 3 2 2⁶  b) ⁶94 5 . 2³  5 c) ³2 34 2 . 44 16 6⁶ 

Hướng dẫn giải – đáp số a) ³¹^ ^{2 . 3 2 2}⁶ ^ ^ ³¹^ ^{2 .}⁶



^{2 1}^



² ^³¹^ ^{2 .}³ ^{2 1}^{ }³^{2 1 1}^{ }

b) ⁶^{9 4 5 . 2}^ ³ ^ ⁵ ^ ⁶



⁵^^{2 . 2}



² ³ ^ ⁵ ^ ³ ⁵^^{2. 2}³ ^ ⁵ ^ ³^{4 5}^{  }¹

c) ³^{2 3}4 2 . 44 16 6⁶   ³2 34 2 .⁶



2 34 2



²

3 3

3 3 3

2 3 4 2 . 2 3 4 2 4.3 16.2 20 20

  

     

4.13. Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến

 

3 3

1 1 1

20 14 2 . 6 4 2 3 3 1 : 1

2 2 2 1

Q a a a a

a

  

   

            

Hướng dẫn giải – đáp số Ta có:

        

3 3

3 2

3

1 1

20 14 2 . 6 4 2 2 2 12 12 2 8. 4 4 2 2

2 2

1 1 1

2 2 . 2 2 2 2 2 2 4 2 1

2 2 2

       

        

Ta có: ³



^a^³



â^³â^{ }¹ ³^{a a}^³â^³ â^{ }¹ ³



^a^¹



³ ^ ^a^¹

Ta có:



¹



¹ ² ¹ ¹ ² ¹

2 1

a a a

a

      



(11)

Suy ra ^Q^^^_¹^¹₂



^a^¹



^^_^: ^a₂^¹

1 1

: 1

2 2

a a

Q  

 

4.14. Chứng minh rằng nếu ax³by³cz³ và 1 1 1

x  y z 1 thì:

2 2 2 3 3 3

3ax by cz  a b c

Hướng dẫn giải – đáp số Đặt ax³by² cz³ k, suy ra k₃; k₃; k₃,

a b c

x y z

  

Xét ³ ² ² ² ³ k₃ ² k₃ ² k₃ ²

ax by cz x y z

x y z



   

 

3 3

3 1 1 1

k k k 1

k k

x y z x y z

 

     



  

Xét ³ ³ ³ ³ k₃ ³ k₃ ³ k₃

a b c

x y z

    

3 3 3

 

3 1 1 1 3

k k k 2

k k

x y z x y z

 

      

 



Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh

4.15. Chứng minh rằng nếu: x²³ x y⁴ ²  y²³ x y² ⁴ a thì:

3 x2 3 y2  3a2

Hướng dẫn giải – đáp số Từ x²³ x y⁴ ²  y²³ x y² ⁴ a, bình phương 2 vế, ta có:

  

2 3 4 2 2 3 2 4 2 3 4 2 2 3 2 4 2

2 3 4 2 2 3 2 4 2 2 3 4 8 3 8 4 2 2 2

2 2

x x y y x y x x y y x y a

x x y y x y x y x y x y x y a

      

        

 

2 3 4 2 2 3 2 4 3 8 4 2 2 3 4 8 2

2

2 3 4 2 2 3 2 4 3 4 2 3 2 4 2

2 3 4 2 3 2 4 2 2

3

3 2 3 2 2 3 2 3 2 3 2

2 2

3 3

x x y y x y x y x y x y a

x x y y x y x y x y a

x x y x y y a

x y a x y a

       

      

    

     

(12)

Điều phải chứng minh

4.16. Tính giá trị của biểu thức:

2 2

4 4

2 1

2020 2020 1 2020 1 2020 2020

1 2020 2020 1 2020

A

 

   

     

Ta có:

 

2 2

4 4

1 1

2020 2020 1 1 2020 2020

1 2020 2020 1 2020

A

  

     

 

  

   

 

 

4 2 4

4 4 2

4 2 4

1 1

1 2020 2020

2020 2020 1 2020

2020 1 : 2020 2020 1 2020

2020 1 2020

1 1 1 1

2020 2020 2020 2020 0 A

A

   

     

    

   

 

     

 

4.17. Cho x 1 ³3³9. Tính giá trị biểu thức:



³ ³ ² ⁶ ³



¹⁹⁴⁵ ²⁰²⁰

P x  x  x  Hướng dẫn giải – đáp số Ta có ^x



³^{3 1}^{ }

 

³^{3 1}^



³⁹^³^{3 1}^{   }



^{3 1} ²

3 3 2 3 2

33 2 3 6 12 8 3 6 4

x   x x x  x  x  x  x  x Suy ra P1¹⁹¹⁵20202021

4.18. Rút gọn biểu thức:



³ ³



3 2 31 21 3 3 : 5 2 7 5 2 7

A        

Ta có: ³^{ }² ^{31 21 3}^ ^ ³^ ³^{ }²



^{3 3}^²



² ^ ³

3 2 3 3 2 3 1

      

(13)

Ta có: ³^{5 2}^{ }⁷ ³^{5 2}^{ }⁷ ³



^{2 1}^

 

³ ^³ ^{2 1}^



³

2 1 2 1 2

    

Do đó 1

A 2

