Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2022 môn TOÁN - Penbook Hocmai - Đề 11 - Thư viện tải tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia

PENBOOK ĐỀ SỐ 11

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM HỌC: 2021 – 2022

MÔN: TOÁN

Thời gian làm bài: 90 phút; không kể thời gian phát đề

Câu 1.Nghiệm của phương trình 2^{2 1x} 8 là

A. x2 B. x1 C. x4 D. ⁵

 2 x

Câu 2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I



1; 4;3



. Phương trình mặt cầu tâm Itiếp xúc với trụcOylà

A. x1²



y4



² ^z 3^2 16 B. x1²



y4



² ^z 3^2 10

C. x1²



y4



² ^z 3^2 17 D. x1²



y4



² ^z 3^225 Câu 3.Cho hàm số _{f x}  có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng

A.



 1;



B.



;0



C.



1;0



D.

 

0;1 Câu 4.Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số _{f x} _e^{2 1x} ?

A. _{F x} _e^{2 1x} B. _{F x} _2e^{2 1x} C.   ^{1 2 1} 2

 ^x

F x e D. _{F x} _e^x Câu 5.Cho cấp số nhân

 

un có số hạng đầu bằng 2 và công bội bằng 2. Giá trị của u₅ bằng

A. 32 B.32 C.64 D. 64

Câu 6.Cho hàm số _{y f x}   liên tục trên _ và có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?

A.1 B.2 C.3 D.4

Câu 7. Có bao nhiêu cách xếp 6 cuốn sách Toán, 5 cuốn sách Hóa và 4 cuốn sách Lý lên kệ sách biết rằng các sách cùng loại đôi một khác nhau?

A.6!.5!.4! B.15! C.6.5.4 D.6! + 5! + 4!

Câu 8.Đạo hàm của hàm số ylogx là A. y  ln10x B. y^{ 1}

x C. ¹

  ln10

y x D. ¹

 10ln

y x

Câu 9.Thể tích khối lăng trụ tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng 3 là

A.18 B. ²⁷

2 C.27 D.9

Câu 10.Tính tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình _{log 3.2 14} ^x_{  } _{x 1.}

A.12 B. log 43 C.6 D.2

Câu 11.Choavàblà hai số thực dương thỏa mãn 3log₂a4log₂b3. Giá trị của P a b^{ 3 4} bằng

A.2 B.16 C.8 D.4

Câu 12.Cho số phức z 3 5i. Tính z .

A. 34 B.8 C.34 D. 8

Câu 13.Cho ⁷  

0

49



^{f x dx} ^{và 5  }

2

21



^{f x dx} . Tính giá trị của ²   ⁷  

0 5









T f x dx f x dx .

A. 28 B.28 C.70 D. 70

Câu 14.Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số ^{3 2} 1

 

 y x

x là

A. x1 B. x 1 C. y 7 D. x2

Câu 15.Chou, vlà các hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn

 

a b; . Đẳng thức nào sau đây đúng?

A.



^b . 



^b .  ^ba

a a

u dv v du u B.



^b .  ^ba



^b .

a a

u dv v v du

C.



^b _{. } ^ba_



^b _.

a a

u dv uv v du D.



^b _{. }



^b _{. } ^ba

a a

u dv v du uv

Câu 16.Gọi z z₁, ₂ là hai nghiệm phức của phương trình z²2z 2 0. Khi đó z z₁ ₂ bằng

A. 2 B. 1 C.2 D.1

Câu 17.Một khối chóp có diện tích đáy bằng 8 và chiều cao bằng 6. Thể tích khối chóp đó bằng

A.14 B.48 C.16 D.32

Câu 18.Choalà số thực dương tùy ý. Khi đó a a²³ bằng

A. a¹⁷⁶ B. a⁵ C. a D. a⁷⁶

Câu 19.Trong không gianOxyz, một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng 6 12x y4z0 là A. 



6;12;4



n B. 



3;6; 2



n C. 



3;6;2



n D. 



 2; 1;3



n

Câu 20.Cho hình chópS.ABC có đáyABC là tam giác đều cạnha. Cạnh bênSAvuông góc với mặt đáy

_ABC và khối chópS.ABCcó thể tích bằng ³ 4

a . Tính khoảng cáchdtừAđến mặt phẳng _SBC.

A. ¹⁵

a 5

d B. d a^ C. ⁵

a5

d D. ⁵

a6 d Câu 21.Một khối lăng trụ có diện tích đáy bằng 5 và chiều cao bằng 3 thì có thể tích bằng

A.15 B.5 C. ⁵

3 D. ⁸

3 Câu 22.Đồ thị của hàm số ^{3 8}

2

 

 y x

x cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng

A. 4 B. 2 C.0 D.3

Câu 23.Trong không gianOxyz, cho hai điểm M



1;2; 6



, N



4;1; 9



. Tọa độ trọng tâm của tam giác OMNlà

A. ^{3 3}; ; 3 2 2

  

 

  B.



5; 2; 12 



C.



3;3; 6



D.



1;1; 5



Câu 24.Từ một hộp chứa 7 quả cầu màu đỏ và 5 quả cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời ba quả cầu.

Xác suất để lấy được 3 quả cầu màu xanh bằng A. ¹

22 B. ⁵

12 C. ²

7 D. ⁷

44 Câu 25.Phương trình _log2xlog2_{x 3 2} có bao nhiêu nghiệm?

A.1 B.2 C.3 D.0

Câu 26.Hàm số nào dưới đây đồng biến trên _?

A. ¹

3

   

 

x

y B. ylog3x C. 1

3

log

y x D. y3^x Câu 27.Cho hàm số bậc bốn _{y f x}   có đồ thị là đường cong như hình bên dưới.

Số nghiệm thực của phương trình ₄f x  _{3 0} là

A.4 B.2 C.3 D.0

Câu 28. Trong không gian Oxyz, cho các véc tơ  



1;2;3 ,



 



2;4;1 ,



 



1;3;4



a b c . Véc tơ

2 3 5

  

   

v a b c có tọa độ là

A.



7;3;23



B.



3;7;23



C.



23;7;3



D.



7;23;3



Câu 29.Trong không gianOxyz, cho đường thẳng  _: ^{3 2 1}

1 1 2

    



x y z

d . Phương trình mặt phẳng đi

qua điểm M



_{2;0; 1}



và vuông góc với  _d là

A. 3x2y z  7 0 B. x y 2z0 C. 2x z 0 D. x y 2z 2 0 Câu 30.Cho số phức z₁  1 2i và z₂   2 2i. Tìm môđun của số phức z z₁ ₂.

A. z z₁ ₂ 2 2 B. z z₁ ₂ 5 C. z z₁ ₂ 1 D. z z₁ ₂  17

Câu 31. Cho hàm số y f x    x³ _{3 1}x có đồ thị như hình vẽ. Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn

 

0;2 là bao nhiêu?

A. 1 B. 3 C.1 D.2

Câu 32.Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số ² ₂^{3 2} 1

 

 

x x

y x là

A.4 B.2 C.3 D.1

Câu 33.Cho hàm số bậc bốn _{y f x}   có bảng biến thiên như hình vẽ. Phương trình _{f x}  _2 có bao nhiêu nghiệm?

A.4 B.6 C.5 D.2

Câu 34.Cho số phứczthỏa mãn z3z16 2 i. Phần thực và phần ảo của số phứczlà

A.Phần thực bằng 4 và phần ảo bằng i. B.Phần thực bằng 4 và phần ảo bằng 1.

C.Phần thực bằng 4 và phần ảo bằngi. D.Phần thực bằng 4 và phần ảo bằng 1.

Câu 35.Trong không gian với hệ trục tọa độOxyz. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng  _ qua ba điểmA, B, Clần lượt là hình chiếu của điểm M



_{2;3; 5}



xuống các trụcOx,Oy,Oz.

A. 15 10x y6 30 0z  B.15 10x y6 30 0z  C. 15 10x y6z30 0 D. 15 10x y6z30 0 Câu 36.Khi tính nguyên hàm ³

1





^x_x ^dx, bằng cách đặt u x1 ta được biểu thức nào?

A.



₂^{u u} ²_4^{du B.}



^{2u21du C.}



^{2u2 4du D.}



^{u24du}

Câu 37.Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình vuông cạnha, _SA_ABCD. Góc giữaSBvà mặt phẳng _ABCD bằng 60. Tính thể tích khối chópS.ABCD.

A. ^{3 3}

 a9

V B. ^{3 3}

a 3

V C. V a ³ 3 D. ^{3 3}

a 6 V Câu 38.Tập hợp tất cả các giá trị của tham sốmđể hàm số ^{1 3} 2 ² 2 1

3   

y x x mx đồng biến trên _ là A.



^2;



B.



2;



C.



;2



D.



^;2



Câu 39. Cho hàm số _{y f x}   . Đồ thị hàm số y f x   như hình vẽ bên dưới. Hàm số



_{1 2 ... 2021}



      

y f x x x đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

A.



;1010



B.



1011;



C.



1010;1011



D.



1011;1012



Câu 40. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các mặt cầu

 

S₁ :x²y²z² 16 và

 

S₁ :^x4^2



y3



²^{ }z ² m² với m là số nguyên dương. Có bao nhiêu số nguyên dương m10 sao cho

 

S₁ và

 

S₂ cắt nhau theo giao tuyến là một đường tròn?

A.10 B.9 C.8 D.7

Câu 41. Cho hàm số bậc bốn _{y f x}   và đường thẳng _{d y g x: }   có đồ thị như hình vẽ. Biết rằng đồ thị hàm số _{y f x}   và đường thẳngd có 3 điểm chung, có hoành độ lần lượt là 0,a, 4. Gọi S S₁, ₂ lần lượt là diện tích hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên dưới. Khi S₁ S₂ thì a thuộc khoảng nào dưới đây?

A. 2;⁵⁴ 25

 

 

  B. ^{54 58};

25 25

 

 

  C. ^{58 62};

25 25

 

 

  D. ^{62 66};

25 25

 

 

 

Câu 42.Có bao nhiêu số phứczthỏa mãn đồng thời z 1 2i 2 2 và ^{5 2} 1

 



z i

z là số thuần ảo?

A.0 B.1 C.2 D.3

Câu 43. Cho các số thực a, b, c khác 0 thỏa mãn 3^a 5 15^b  ^c . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

 

2 2 2 4

     

P a b c a b c bằng bao nhiêu?

A.  3 log 3₅ B.  2 log 5₃ C.  2 3 D. 4 Câu 44.Biết rằng đường thẳng d y:   2x m cắt đồ thị  _: ^{3 1}

1

 

 C y x

x tại 2 điểm phân biệtAvàBsao cho trọng tâm của tam giácOABthuộc đồ thị  _C , với O

 

0;0 là gốc tọa độ. Khi đó tổng các giá trị của tham sốmthuộc tập hợp nào sau đây?

A.



14;16



B.



10;12



C.



12;14



D.



16;18



Câu 45. Cho hình tứ diện ABCD có _AD_ABC , ABC là tam giác vuông tại B. Biết BC a , 3

AB a , AD3a. Quay các tam giác ABC và ABD (Bao gồm cả điểm bên trong 2 tam giác) xung quanh đường thẳngABta được 2 khối tròn xoay. Thể tích phần chung của 2 khối tròn xoay đó bằng

A. ^{3 3 3} 16

a B. ^{8 3 3}

3

a C. ^{5 3 3}

16

a D. ^{4 3 3}

16

a

Câu 46.Cho hàm số _{y f x}   có đồ thị như hình vẽ bên. GọiSlà tập hợp các giá trị nguyên dương của tham sốmđể hàm số _{y f x} _{ 1} _m có 5 điểm cực trị. Tổng giá trị tất cả các phần tử củaSbằng

A.3 B.5 C.12 D.2

Câu 47.Cho hình lăng trụ ABC A B C.    có đáyABC là tam giác đều cạnh 2a. GọiO, O^ lần lượt là tâm của hai tam giác ABC và A B C^{  } , M là trung điểm AA^ và G là trọng tâm tam giác B C C^{ } . Biết

  3

O OMG

V a , tính chiều caohcủa khối lăng trụ.

A. h24 3a B. h36 3a C. h9 3a D. h18 3a

Câu 48.Trong không gianOxyz, cho mặt cầu  _S có phương trình x²y²z² 25. Từ điểmAthay đổi

trên đường thẳng  

10 :

10

 



   

  



x t

y p t

z t

, kẻ các tiếp tuyến AB, AC, ADtới mặt cầu  _S vớiB, C, D là các tiếp

điểm. Biết rằng với mỗi tham số thựcp tương ứng, mặt phẳng _BCD luôn chứa một đường thẳng  _d khi điểmAdi động trên đường thẳng  _ . Góc ^ lớn nhất giữa mặt phẳng

 

Q : 2x4y3 10 0z  và đường thẳng  _d có cosin là

A. ⁵⁷

58 B. ¹

58 C. ⁵

58 D. ³³

58 Câu 49.Cho hai số phức z z₁, ₂ thỏa mãn z₁ z₁ 4 z₁ z₁4 , z₂ 4 3i 2 và ^{1 2}

3



 z z

i là số thuần ảo. Giá trị nhỏ nhất của P z z ₁ ₂ gần với giá trị nào nhất sau đây?

A.1 B.2 C.3 D.4

Câu 50.Xéta, bthỏa mãn a b ² và b1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức log_a log_b

b

P a a

b. A. _min ¹

3

P B. P_min 1 C. P_min 3 D. P_min 9

Đáp án

1-A 2-B 3-D 4-C 5-A 6-D 7-B 8-C 9-C 10-D

11-C 12-A 13-B 14-A 15-C 16-A 17-C 18-D 19-B 20-A

21-A 22-A 23-D 24-A 25-A 26-D 27-A 28-B 29-B 30-B

31-B 32-B 33-A 34-D 35-B 36-C 37-B 38-A 39-C 40-D

41-C 42-B 43-D 44-A 45-A 46-B 47-C 48-D 49-A 50-C

LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1:

Ta có: 2^{2 1x}  8 2 1 3x   x 2. Câu 2:

Ta có: d I Oy



;



 1 3² ²  10 . Do đó ta có x1²



y4



² ^z 3^2 10. Câu 5:

Ta có: u₁ 2,q2 khi đó u₅ u q₁ ⁴  32. Câu 6:

Ta có các điểm cực trị là x 1,x0,x2,x4. Chú ý rằng hàm số liên tục trên _ nên điểm x0 vẫn thỏa mãn điều kiện.

Câu 9:

Tất cả các cạnh bằng 3 nênV 3³ 27. Câu 10:Điều kiện: 2^{x 1}

3

Ta có: ₄  ¹  ²

2 6 4 2 1

1 3

log 3.2 1 1 3.2 1 4 2 3.2 1 0

4 2 6 4 2 1

3



   

           

   



x

x x x x x

x

x , (t/m).

Vậy 2^{x x1 2} 2 2^{x1 x2}   4 x x_{1 2}2. Câu 11:

Ta có: _{3log2a4log2b 3 log2}_{a b}^{3 4}_{ P a b}^{3 4}_8. Câu 12:

Ta có: z  3 5² ²  34. Câu 13:

Ta có: ²   ⁷   ⁷   ⁵  

0 5 0 2

28



















T f x dx f x dx f x dx f x dx . Câu 17:

Ta có: 1 .6.8 16

6 

V .

Câu 18:

Ta có: a²³. a a ^{2 13 2} a⁷⁶. Câu 20:

GọiMlà trung điểmBC, suy ra AM BC^ và ³

 a2

AM . GọiK là hình chiếu củaAtrênSM.

Ta có ^{3 S ABC.}  3

ABC

SA V a

S ; ^{d A SBC}



^,

  

^AK.

Trong SAM, có

2 2

. 3 15

15 5

  



SA AM a a

AK SA AM .

Vậy d A SBC



^,

  

^AK ^a ₅¹⁵ . Câu 21:

Ta có: V 3.5 15 . Câu 24:

Ta có: ⁵₃³

12

221 .

A C

P C 

Câu 25:

Ta có: log2xlog2



x  3



2 x x



   3



4 ^x3 x 4 Câu 28:

Ta có: v2 1;2;3 3 2;4;1 5 1;3;4

  

 

 

 

 

 3;7;23



. Câu 29:

Ta có:

  

P ^:1 x ^{2 1}

 

y ^{0 2}

 

z  ^{1 0}

  

P x y^:  ²z⁰ Câu 30:

Ta có: z z₁ ₂  3 4i 5.

Câu 32:

Ta có ² ₂^{3 2 2}

1 1

x x x

y x x

  

 

  , tiệm cận đứng là x 1, tiệm cận ngang là y1. Câu 33:

Dựa vào bảng biến thiên ta có f x

 

2 có 2 nghiệm, f x

 

 2 cũng vậy Câu 34:

Ta có: a bi 3



a bi



16 2  i a 4,b1 Câu 35:

Mặt phẳng đi qua các điểmA(2;0;0),B(0;3;0),C(0;0;-5) là 1 2 3 5 x y z   . Câu 36:

Ta có: ^{u x  1 x u2 1 dx2udu}



^u2_u^42udu



²



^u24



^du

Câu 37:

Ta có



^{ }SB ABCD, 



SBA 60 , suy ra .tan 60 3 ^{3 3}

     a3

SA AB a V .

Câu 38:

Ta có: y x  ²4x2m    0 x  4 2m  0 m 2. Câu 39:

Ta có: ^{ }



     ^{1 2 ... 2021}



^ ^¹₁ ^²₂ ^{... }²⁰²¹₂₀₂₁^

x x x

y f x x x

x x x .

Xét P x

 

      x ¹ x ^{2 ...} x ²⁰²¹ có

 

^{1 2 ... 2021}

1 2 2021

x x x

P x x x x

  

    

   ta đánh giá như sau:

Nếu x1011 thì

     

1011 1010

1 1 1 ... 1 1 1 ... 1 1 0

            

P .

Nếu x1011thì

     

1010 1011

1 1 1 ... 1 1 1 ... 1 1 0

             

P .

Vậy chứng tỏ rằng x1011 là một điểm đổi dấu đồng thời bảng biến thiên của ^{P x}

 

^{như sau:}

Chú ý: P



1011 1010 1009 ... 1 0 1 ... 1009 1010 1021110



          .

Mặt khác vì



^{1 2 ... 2021}



^{0 1 2 ... 2021 2021}

 

^.

1 2 ... 2021 1021111

        

         

      



x x x L

f x x x

x x x

Mặt khác: P



1010



P



1012 1009 1008 ... 1 0 1 2 ... 1010 1011 102111 1.



           Do vậy ta có tất cả 3 điểm đổi dấu là x1010,x1011,x1012. Đồng thời: _x^lim_g x

 

 ^. Do đó:

Câu 40:

Mặt cầu

 

S1 có tâmO(0;0;0) và bán kính R₁ 4 . Mặt cầu

 

S2 có tâmI(4;3;0) và bán kính R₂ m. Ta có: OI  4 3² ² 5.

Để

 

S1 và

 

S2 cắt nhau theo giao tuyến là một đường tròn thì:

1 2 1 5 4 2 5 4 1 2 9 1 9.

OI R R OI R      R    R    m Vậy có 7 số nguyên m



2;3;4;5;6;7;8



thoả mãn.

Câu 41:

Ta có f x

 

g x

 

kx x a x²







^{4 .}



Vì 1 2 ⁴

     

⁴



²

   

0 0

0 4 0

S S 



f x g x dx 



kx x a x  dx

   

4 4

4 3 3 2

0 0

256 64 12

4 4 0 0 .

5 3 5

x x dx a x x dx a a





 



       

Câu 42:

Đặt z x yi x y  , ,







với



x y;

  

 1;0 . Khi đó:

+) z 1 2i 2 2

  

C1 : x1

 

² y2



²8.

+) ^{5 2}

1

z i

z

 

 là số thuần ảo nên

   



⁵



²

Re 5 2 0 Re 0

1 1

x y i

z i

z x yi

    

       

      

   



x 5



x 1

 

y 2



y 0

  

C2 : x 3

 

² y 1



² 5

           .

Dễ thấy hai đường tròn

 

C1 ,

 

C2 có hai điểm chung và trong đó có điểm A

 

1;0 nên chỉ có 1 số phức thoả mãn yêu cầu bài toán.

Câu 43:

1 1 1

3.5 15 1 1 1

3 5 15 ^   3 ,5 ,15 ^   ^    0.



a b c t ta tb t c ab bc ca

a b c

Suy ra: ^P

 a b c  22ab bc ca   

^4



^{a b c }





a b c



² 4



a b c

 

a b c 2



² 4 4.

             Câu 44:

Xét phương trình hoành độ giao điểm củadvà  _C là ²     1

2 1 1 0 *

 

     

 x

x m x m

Đểdcắt  _C tại 2 điểm phân biệt khi (*) có hai nghiệm phân biệt 1 ^{5 4 2} 5 4 2

  

  

   x m

m Gọi A x



₁; 2 x m B x₁

 

, ₂; 2 x m₂



. Ta có _{1 2} ¹

2

  m

x x .

Suy ra

   

1 2

1 2

0 1

3 6

0 2 2 1

3 3

  

  

      

  



G

G

x x m x

x m x m m

y

Vì _G _C nên

3. 1 1 1

1 6

1 16

3 1

6

    

      

m m

m m m (thỏa mãn ĐK).

Câu 45:

Khi quay tam giácABDquanhABta được khối nón đỉnhBcó đường caoBA, đáy là đường tròn bán kính 3

AE a. Gọi I AC BE IH AB  ,  tạiH. Phần chung của 2 khối nón khi quay tam giácABC và tam giácABDquanhABlà 2 khối nón đỉnhAvà đỉnhBcó đáy là đường tròn bán kínhIH.

Ta có ΔIBCđồng dạng với ΔIEA ¹ 3

 IC BC  3 IA IC

IA AE .

Mặt khác ^{3 3 3}

4 4 4

 AH  IH  AI     a

IH // BC IH BC

AB BC AC .

GọiV V₁, ₂ lần lượt là thể tích của khối nón đỉnhAvàBcó đáy là hình tròn tâmH.

2 2

1 1 . . ; 2 1 . .

3 3

   

V IH AH V IH BH .

2 3

1 2 . 2. .9 . 3 3 3

3 3 16 16

 

  V V V  V IH AB V a a  V a . Câu 46:

Nhận xét: Số điểm cực trị của hàm số _{y f x}  _{ 1} _m bằng số điểm cực trị của hàm số _{y f x}   suy ra số cực trị của hàm _{y f x}  _{ 1} _m là 3 điểm cực trị; số nghiệm của phương trình _{f x} _{  1} _m bằng số nghiệm của phương trình f x  m

Số cực trị của hàm số _{y f x} _{ 1} _{m } Số cực trị của hàm số _{y f x}  _{  1} _m số nghiệm bội lẻ của phương trình _{f x} _{   1} _m số nghiệm bội lẻ của phương trình _{f x} _{  1} _m là

2      4 m 2 S

 

2;3 . Câu 47:

GọiE, Flà trung điểm củaBCvà B C^{ }, ta có ^{1 1 2}. ¹

2 2 3 3

      

MOO AA O O AA FE AA FE

S S S S .

Suy ra _. ¹ _.

3 

G MOO G AA EF

V V .

GọiIlà trung điểmEF.

Suy ra ¹ _. ¹ _.

3  ^ 3 ^{ }

  _{G AA EF}  _{C AA EF}

GI C I V V .

Lại có

. 2 . 2 1. . ' 1 . '

3 3 2 3

         

C AA EF AEC A FC ABC A B C ABC A B C

V V V V .

Vậy _. ^{1 1 1}. . _. ¹ _.

3 3 3 27

        

G MOO ABC A B C ABC A B C

V V V

Suy ra ^{27 3 27}₂ ³ 9 3 3



  

ABC

a a

h a

S a .

Câu 48:

Cách 1: Giải tổng quát full tự luận:

Xét điểm A a b c B x y z



; ; ,

 

; ;



ta có: BCD



A AB;

 

 O;5



do đó:

BCD: 25 x a ²



y b



² ^z c^2 a b c² ² ²  x²y²z²25ax by cx  25 0 (*)

Ta có:  : ¹⁰ 10 

 

^10 ^ 25 0

10

 



            

  



x t

A y p t t x p t y t z

z t

.

Khi đó ta có phương trình t x y z



  

 

10x py 10z25



0 nghiệm đúng với mọi t. Điều đó xảy ra khi:  _: ⁰

10 10 25 0

  

    



x y z

d x py z và đó chính là đường thẳng cố định cần tìm.

Khi đó



1; 1;1 , 10; ;10

   

10;0;10

 

1;0; 1



sin ⁵ cos ³³ 58 58

 

            



ud p p p // .

Cách 2: Tư duy ngắn gọn:

Đường thẳng cố định là đường thẳng đi quaHvà vuông góc với đường thẳng  _ trong trường hợp OA vuông góc với  _ . Gọi A



10 ;t p t ;10t



.

Ta có  . _  0 10 



 



^10 ^ 0

OAu t p t t

20 10 2; 20; 10

3 3 3 3

     

    

p p p p

t A .

Khi đó 



1;2;1



uOA và _ 



1; 1;1



u .

Vậy  ; _



3;0; 3

 

1;0; 1



d OA

u u u // .

Câu 49:

Gọi M z N z

   

₁ , ₂ . Có



1 1



² 1²



1 1



² 1² 1 1 ¹ 1

4 4 4 0 0

4

 

            

a z b a z b a z a

z . Do đó M



4;0



hoặcMthay đổi trên đường thẳng x0.

Do z 4 3i 2₂   nên N thuộc đường tròn tâm I(4;3) bán kính R 2 .

Mặt khác ^{1 2}   ^{1 2}

1 2 3

3

  

    a a  k z z ki k

b b k

i hay ^{}MN cùng phương với   



1;3



u .

Trường hợp 1: M



4;0



 phương trình đường thẳng MNlà 3x y 12 0

31 31 27 3 31;

9 10 310

10 10

31 31 27 3 31; 10

10 10

    

   

  

    

  

 

 N

MN N

Trường hợp 2: M d x : 0 . Do MN cùng phương với



1;3



  

u nên MN tạo với d một góc α không đổi thỏa

mãn cos ³

  10.

Do đó ta có: 10

sin 



MN NK NK .

Mặt khác NK JH IH IJ   . Do IJ IN NK IH R    4 2 2.

Vì vậy MN2 10 6,32 . Kết hợp trường hợp 1 ta suy ra _min ^{9 10} 310 1,085 10

  

MN .

Câu 50:

Từ điều kiện, suy ra ¹ 1

 

  a

b . Ta có ^{1 1 log}

1 log log

  

 _{a a} ^a

P b

b b

Suy ra ^{1 1}  

1

   



P t f t

t t

Đặt tlog_ab0. Do ² log log ² 2 log ¹

  _b  _b    _a  2

a b a b t b .

Áp dụng BĐT Cô-si ta có: ^P_1¹_{t t}^{  1 1 2} _1¹_{t t} ^{2.2 1 3 } . Dấu bằng xảy ra khi1 ¹

   t t t 2 (TM).