Giải Toán 9 Luyện tập trang 54 | Hay nhất Giải bài tập Toán lớp 9

Luyện tập trang 54

Bài 29 trang 54 SGK Toán 9 Tập 2: Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của mỗi phương trình sau:

a) 4x² 2x 5 0 b) 9x² 12x 4 0 c) 5x²   x 2 0 d) 159x² 2x 1 0 

Lời giải:

a) Phương trình 4x² + 2x – 5 = 0 Có a = 4; b = 2; c = -5, a.c < 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm x1; x2

Theo hệ thức Vi-et ta có: ^{1 2}

1 2

b 2 1

x x

a 4 2

c 5

x .x a 4

  

    

 

  



Vậy x₁ x₂ ¹; x .x_{1 2} ⁵

2 4

 

   .

b) Phương trình 9x² – 12x + 4 = 0

Có a = 9; b' = -6; c = 4 ⇒ Δ’ = (-6)² – 4.9 = 0

⇒ Phương trình có nghiệm kép x1 = x2.

Theo hệ thức Vi-et ta có:

 

1 2

1 2

b 12 12 4

x x

a 9 9 3

c 4 x .x a 9

 

      



  



Vậy _{1 2} 4 _{1 2} 4

x x ; x .x

3 9

   .

c) Phương trình 5x² + x + 2 = 0

Có a = 5; b = 1; c = 2 ⇒ Δ = 1² – 4.2.5 = -39 < 0

⇒ Phương trình vô nghiệm.

d) Phương trình 159x² – 2x – 1 = 0 Có a = 159; b = -2; c = -1; a.c < 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2.

Theo hệ thức Vi-et ta có:

 

1 2

1 2

b 2 2

x x

a 159 159

c 1

x .x a 159

 

    



   



Vậy _{1 2} 2 _{1 2} 1

x x ; x .x

159 159

    .

Bài 30 trang 54 SGK Toán 9 Tập 2: Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm theo m.

a) x² – 2x + m = 0;

b) x² + 2(m – 1)x + m² = 0.

Lời giải a) Phương trình x² – 2x + m = 0

Có a = 1; b = -2; c = m nên b’= -1

⇒ Δ’ = (-1)² – 1.m = 1 – m

Phương trình có nghiệm ⇔ Δ’ ≥ 0 ⇔ 1 – m ≥ 0 ⇔ m ≤ 1.

Theo hệ thức Vi-et ta có:

 

1 2

1 2

b 2 2

x x 2

a 1 1

c m

x .x m

a 1

 

     



   



Vậy với m ≤ 1, phương trình có hai nghiệm có tổng bằng 2; tích bằng m.

b) Phương trình x² + 2(m – 1)x + m² = 0 Có a = 1; b = 2(m – 1); c = m² nên b’ = m - 1

⇒ Δ’ = b'² – ac = (m – 1)² – m² =m² 2m 1 = - 2m + 1.

Phương trình có nghiệm ⇔ Δ’ ≥ 0 ⇔ - 2m + 1 ≥ 0 ⇔ 2m ≤ 1 m ¹

  2

Theo hệ thức Vi-et ta có:

   

1 2

2 2 1 2

2 m 1

x x b 2 m 1

a 1

c m

x .x m

a 1

 

 

     



   



Vậy với m ≤¹

2 , phương trình có hai nghiệm có tổng bằng -2(m – 1), tích bằng m². Bài 31 trang 54 SGK Toán 9 Tập 2: Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:

a) 1,5x² 1,6x0,1 0 b) ^{3x2  }





c)









d)









Lời giải:

a) 1,5x² – 1,6x + 0,1 = 0 Có a = 1,5; b = -1,6; c = 0,1

⇒ a + b + c = 1,5 – 1,6 + 0,1 = 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm x1 = 1; x2 = c

a =^0,1 1,5 = 1

15.

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm 1 S 1;

15

 

  

 

b) ^{3x2  }





Ta có: a = 3 ; b = ^{ }





a b c 3 1 3 1 0

        . Phương trình có hai nghiệm phân biệt

 

1 2

c 1 3

x 1; x

a 3 3

  

    

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm 3

S 1;

3

 

 

  

 

 

c)









Ta có a = 2 - 3 ; b = 2 3 ; c = ^{ }





   

a b c 2 3 2 3 2 3

       

a b c 2 3 2 3 2 3

        = 0 Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

 

1 2

2 3

x 1; x c 7 4 3

a 2 3

       



Vậy tập nghiệm của phương trình là ^{S  }





d)









Có a = m – 1; b = -(2m + 3); c = m + 4

⇒ a + b + c = (m – 1) – (2m + 3) + m + 4 = m - 1 – 2m – 3 + m + 4 = 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm _{1 2} c m 4 x 1; x

a m 1

   

 với m1. Vậy tập nghiệm của phương trình là m 4

S 1;

m 1

  

   .

Bài 32 trang 54 SGK Toán 9 Tập 2: Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:

a) u + v = 42, uv = 441 b) u + v = -42, uv = -400 c) u – v = 5, uv = 24

Lời giải a) S = 42; P = 441 ⇒ S² – 4P = 42² – 4.441 = 0

⇒ u và v là hai nghiệm của phương trình: x² – 42x + 441 = 0 Có: Δ’ = (-21)² – 441 = 0

⇒ Phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = b





2a 2 21

    .

Vậy u = v = 21.

b) S = -42; P = -400 ⇒ S² – 4P = (-42)² – 4.(-400) = 3364 > 0

⇒ u và v là hai nghiệm của phương trình: x² + 42x – 400 = 0 Có Δ’ = 21² – 1.(-400) = 841

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1

b' ' 21 841

x 8

a 1

    

   ;

2

b' ' 21 841

x 50

a 1

    

   

Vậy u = 8; v = -50 hoặc u = -50; v = 8.

c) u – v = 5 ⇒ u + (-v) = 5 u.v = 24 ⇒ u.(-v) = -uv = -24.

Ta tìm u và –v. Từ đó, ta dễ dàng tính được u và v.

S = u + (-v) = 5; P = u. (-v) = -24 ⇒ S² – 4P = 5² – 4.(-24) = 121 > 0

⇒ u và –v là hai nghiệm của phương trình: x² – 5x – 24 = 0 Có Δ = (-5)² – 4.1.(-24) = 121

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt

1

b 5 121

x 8

2a 1.2

   

   ;

2

b 5 121

x 3

2a 1.2

   

   

+) Với u = 8 thì –v = -3 u 8; v 3

  

+) Với u = -3 thì -v = 8 u 3; v 8

     .

Vậy u = 8 thì v = 3 hoặc u = -3 và v = -8

Bài 33 trang 54 SGK Toán 9 Tập 2: Chứng tỏ rằng nếu phương trình ax² + bx + c

= 0 có nghiệm là x1 và x2 thì tam thức ax² + bx + c phân tích được thành nhân tử như sau:

  

2

1 2

ax bx c a xx xx

Áp dụng : phân tích đa thức thành nhân tử.

a) 2x² - 5x + 3;

b)3x² + 8x + 2

Lời giải

* Chứng minh:

Phương trình ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm x1; x2

⇒ Theo định lý Vi-et:

1 2

1 2

x x b a x .x c

a

   



 



Khi đó : a.(x – x1).(x – x2)

= a.(x² – x1.x – x2.x + x1.x2)

= a.x² – a.x.(x1 + x2) + a.x1.x2

= ² b c

ax ax. a.

a a

  

= a.x² + bx + c (đpcm).

* Áp dụng:

a) 2x² – 5x + 3 = 0 Có a = 2; b = -5; c = 3

⇒ a + b + c = 2 – 5 + 3 = 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm: _{1 2} c 3 x 1; x

a 2

  

Vậy ^{2x2 5x 3 2 x 1 x}

 

2

 

      

 

b) 3x² + 8x + 2 = 0 Có a = 3; b' = 4; c = 2

⇒ Δ’ = 4² – 2.3 = 10 > 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1 2

4 10 4 10

x ; x

3 3

   

 

Vậy 3x² + 8x + 2 = 3. 4 10 4 10

x x

3 3

       

  

  