14. Công thức tính tích phân hàm vô tỉ đầy đủ, chi tiết nhất
1. Lý thuyết
Một số cách đặt đổi biến số
Dạng hàm số Đặt
(
2 2)
2nf a −x x dx
x=a.sin tdx=a.cos t.dt(
2 2)
2nf a +x x dx
x a.tan t dx adt2cos t
= =
(
2 2)
2nf x −a x dx
x a dx a sin t2 dtcos t cos t
= =
n 2
dx
(x−a) . ax +bx+c
x− = a 1t dx = −dtt2 1 k
n n
R
ax b,..., ax b dx
+ +
tn =ax+b(
với)
1 2 k
n =BCNN n ;n ;...;n
dx
(x
+a)(x
+b)
t x a x b khi xx ab 00x a 0
t x a x b khi
x b 0
= + + + +
+
+
= − − + − −
+
Một số công thức nguyên hàm vô tỉ
2
1 dx arcsin x C 1 x
= +
− 2 21 x
dx arcsin C a x a
= +
− (với a > 0)2 2
1 dx ln x x 1 C
x 1
= + +
2 2 2 21 dx ln x x a C
x a
= + +
2 x 2 1
1 x dx 1 x arcsin x C
2 2
− = − + +
a2 −x dx2 = x2 a2 −x2 + a22arcsinxa +C2 x 2 1 2
x 1dx x 1 ln x x 1 C
2 2
= + +
x2 a dx2 = x2 x2a2 a22ln x+ x2 a2 +C2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tính các tích phân sau
a)
4
0
I 2x 1 dx
1 2x 1
= +
+ +
Đặt t= 2x 1+ =t2 2x 1+ 2tdt=2dxdx =tdt Đổi cận: x= =0 t 1; x= =4 t 3
3 2
1
I t dt
= 1 t
+ 31
t 1 1 dt t 1
=
− + + 2 3
1
t t ln | t 1|
2
= − + +
9 1
3 ln 4 1 ln 2
2 2
= − + − − +
2 ln 2
= + b)
6
2
I dx
2x 1 4x 1
=
+ + +Đặt 2 tdt
t 4x 1 t 4x 1 2tdt 4dx dx
= + = + = = 2 Đổi cận: x= =2 t 3; x= =6 t 6
Vậy
5 2 3
1 tdt
I 2 t 1
2 1 t
=
− + + 5 23
tdt t 2t 1
=
+ + 5 23
tdt (t 1)
=
+5
2 3
1 1
t 1 (t 1) dt
=
+ − + 5
3
ln | t 1| 1
t 1
= + + +
1 1
ln 6 ln 4
6 4
= + − +
3 1
ln2 12
= − Ví dụ 2: Tính các tích phân sau:
a)
1
2 0
I=
1 x dx−b)
1
2 0
I dx
4 x
=
−Lời giải
a)
1
2 0
I=
1 x dx−Đặt x=sin tdx=cos tdt.
Đổi cận: x 0 t 0; x 1 t 2
= = = = .
Vậy
2
0
I | cos t |cos tdt
=
2 20
cos tdt
=
( )
2
0
1 1 cos 2t dt 2
=
+ 20
t 1 cos 2t
2 4 4
= + = .
b)
1
2 0
I dx
4 x
=
−Đặt x=2sin t với t ; dx 2cos tdt 2 2
− = .
Đổi cận: x 0 t 0; x 1 t 6
= = = =
Vậy
6
2 0
2cos tdt I
4 4sin t
=
−6
0
2cos tdt 2cos t
=
6 060
dt t 6
=
