Công thức tính tích phân hàm hữu tỉ đầy đủ, chi tiết nhất – Toán 12

13. Công thức tính tích phân hàm hữu tỉ đầy đủ, chi tiết nhất 1. Lý thuyết

Phương pháp giải:

Nếu bậc của tử số P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu số Q(x) thì chia đa thức.

Nếu bậc của tử số P(x) nhỏ hơn bậc của mẫu số Q(x) thì xem xét mẫu số và khi đó:

- Nếu mẫu số phân tích được thành tích số, ta sẽ sử dụng đồng nhất thức để đưa về

dạng tổng của các phân số.

Một số trường hợp đồng nhất thức thường gặp:

mx n A B

(x a) (x b) x a x b

+ = +

−  − − −

2 2

1 A Bx C

(x m)(ax bx c) x m ax bx c,

= + +

− + + − + + với  =b² −4ac0.

2 2 2 2

1 A B C D

(x a) .(x b) = x a +(x a) + x b +(x b)

− − − − − −

Nếu mẫu số không phân tích được thành tích số (biến đổi và đưa về dạng lượng giác).

Một số công thức nguyên hàm hữu tỉ:

2

1 1 x 1

dx ln C

x 1 2 x 1

= − +

− +

 

2

1 dx arctan x C

x 1 = +



^

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính các tích phân sau:

a)

1

0

2 x

I 1 x

x 2d

=



b)

1

2 0

I dx

= 1 x



Lời giải

a)

1

0

2 x

I 1 x

x 2d

=



0

1 dx

(x 2)(x 1)

=



1

0

1 1 1

3 x 2 x 1 dx

 

=



^

^

1

0

1 x 2

3ln x 1

= −

+

1 1

ln ln 2

3 2

 

=  − 

2 ln 2

= − 3 Cách 2: Có thể áp dụng công thức

1 1 x a

dx ln C

(x a)(x b) a b x b

= − +

− − − −



1 1

0 0

2

1 1

I x 2dx 2 dx

x − − (x )(x 1)

= =

− +

 

1

0

1 x 2 2ln 2

3ln x 1 3

= − = −

+ b)

1

2 0

I dx

= 1 x



Đặt ^{x tan t dx 1 dt}

(

)

cos t

=  = = + .

Đổi cận: x 0 t 0; x 1 t 4

=  = =  = .

Vậy

1 4

4 2 0

0 0

I dx dt t | .

1 x 4



 

= = = =





Ví dụ 2: Tính tích phân sau:

1

4 2

0

I x dx

x x 1

=



Đặt ² 1

x t 2xdx dt xdx dt

=  =  = 2

Đổi cận: x=  =0 t 1; x=  =1 t 1

Vậy

1 1

2 2

0 0

1 dt 1 dt

I .

2 t t 1 2 1 3

t 2 4

= =

+ +  +  +

 

Đặt 2

1 3 3 du

t tan u dt .

2 2 2 cos u

+ =  =

Đổi cận: t 0 t ; x 1 t

6 3

 

=  = =  =

Vậy

( )

3

2 2 6

1 1 3 du

I . .

2 3 tan u 1 2 cos u 4





=



3 3

6 6

3 3

du u

3 3

 

 

=

