1. Đặt vấn đề
Dưới sự ảnh hưởng mạnh mẽ của công nghệ, quá trình trao truyền tri thức, kinh nghiệm giữa con người cần có sự thay đổi. Trong khi việc học trước đây diễn ra theo một đường hướng truyền đạt thụ động, chủ yếu được định hướng và kiểm soát bởi người dạy thì hiện tại người học mới là trung tâm của việc học. Việc học tập hiện đại đang được định hướng và xây dựng theo xu hướng tiếp cận kiến tạo và kết nối. Theo đó, người học đóng vai trò chủ động tích cực trong quá trình học tập, tự kiến tạo kiến thức cho bản thân, tự liên kết thông tin mới với thông tin hiện tại để kiến thức mới có ý nghĩa hơn. Đương nhiên với sự phát triển vượt bậc của công nghệ, các hỗ trợ mà nó đem lại trong giáo dục rất quan trọng. Đặc biệt, hiện tại học sinh (HS) đã được sử dụng điện thoại thông minh trong lớp với sự cho phép của giáo viên (GV), các phần mềm hỗ trợ việc học có thể được sử dụng bởi cả GV lẫn HS. Trong giáo dục toán, năng lực giải quyết vấn đề (GQVĐ) là năng lực cần thiết ở mỗi HS. Vấn đề đặt ra là các phương pháp dạy học và điều kiện nào để người học được hình thành và phát triển năng lực này tốt nhất. Phạm vi của bài viết đề cập đến sử dụng phương pháp mô hình hóa với sự hỗ trợ của phần mềm vẽ đồ thị Desmos để giải quyết các vấn đề thực tế trong chủ đề hàm số mũ và logarit.
2. Nội dung nghiên cứu 2.1. Mô hình hóa (MHH) 2.1.1. Mô hình hóa toán học
MHH toán học là quá trình chuyển đổi một vấn đề
thực tế sang một vấn đề toán học bằng cách thiết lập và giải quyết các MH toán học, thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế, cải tiến MH nếu cách giải quyết không hiệu quả (Werner Blum, 2007). Để xây dựng được MH và giải quyết vấn đề thành công, HS phải có các năng lực khác nhau trong các lĩnh vực toán cũng như phải có kiến thức liên quan đến vấn đề thực tế đang xét. Như vậy, phương pháp MHH mang lại sự tương tác lớn với HS, đặc biệt là vì nó hoạt động bằng cách tạo ra các kết nối giữa các kiến thức, kỹ năng của HS với vấn đề, điều này tạo ra sự tiến bộ trong học tập.
2.1.2. MHH với hàm mũ và logarit
Trong bài viết này, liên quan đến chủ đề mũ và
logarit, MH toán học là một phương trình mô tả một đối tượng hoặc quá trình trong thế giới thực. MHH là quá trình tìm kiếm các phương trình như vậy. Sau khi MH hoặc phương trình được tìm thấy, nó được sử dụng để lấy thông tin về sự vật đang được MHH.
Các bước để giúp thiết lập và sử dụng các phương trình MHH các tình huống trong thế giới thực như sau:
1. Nhận dạng biến. Xác định số lượng biến mà bài toán yêu cầu tìm. Số lượng này thường được xác định bằng cách đọc kĩ câu hỏi được đặt ra ở cuối bài toán.
Sau đó đặt kí hiệu cho biến (gọi biến là x hoặc các chữ cái khác)
2. Chuyển các từ ngữ sang ngôn ngữ đại số. Đọc lại từng câu trong bài toán và diễn đạt tất cả các đại lượng được đề cập trong bài toán dưới dạng biến đã xác định ở bước 1. Để hiệu quả hơn, có thể lập bảng hoặc vẽ sơ đồ để sắp xếp các thông tin một cách hợp lí.
3. Thiết lập mô hình. Tìm yếu tố thực tế quyết định
SỬ DỤNG DESMOS VỚI MÔ HÌNH HÓA ĐỂ GIẢI QUYẾT
TẠP CHÍ THIẾT BỊ GIÁO DỤC - SỐ ĐẶC BIỆT THÁNG 8/2021 ●
79
trong bài toán để đưa ra mối quan hệ giữa các biểu thức đã liệt kê ở bước 2. Thiết lập một phương trình (hoặc MH) thể hiện mối quan hệ này.
4. Giải phương trình và kiểm tra câu trả lời. Giải phương trình, kiểm tra câu trả lời và trả lời cho câu hỏi được đặt ra trong bài toán.
2.1.3. MHH và GQVĐ với phần mềm vẽ đồ thị Công nghệ, cụ thể là các phần mềm vẽ đồ thị (PMVĐT) trực tuyến được xem như là công cụ hỗ trợ đắc lực trong việcgiúp HS khám phá toán học, thiết lập và sử dụng MH để giải quyết các tình huống trong thế giới thực. Có nhiều nghiên cứu đánh giá hiệu quả của việc sử dụng PMVĐT trong MHH và GQVĐ ảnh hưởng đến các khả năng khác nhau của HS: liên kết các diễn đạt bằng lời nói và biểu tượng với nhau;
công nhận các tính chất và quy ước của chúng; tạo kết nối các kí hiệu với đồ thị của chúng; liên kết các kí hiệu với biểu diễn số của chúng (ví dụ phương trình và bảng); và nhận ra ý nghĩa của chúng trong vấn đề.
Chẳng hạn, biểu diễn bằng lời nói và biểu tượng dưới dạng phương trình cho phép HS MHH các tình huống thực tế dưới dạng MH toán học và phân tích các diễn giải. Ở đây, chúng tôi sử dụng PMVĐT Desmos để hỗ trợ thao tác với các phương trình và tạo đồ thị, biểu đồ và bảng dữ liệu nhanh chóng.
Các phương án GQVĐ có thể được đề xuất bằng cách sử dụng PMVĐT để giúp HS phỏng đoán và
kiểm tra câu trả lời theo nhiều cách khác nhau. Tuy nhiên, đôi khi HS phải đối mặt với tình huống phải đoán rất nhiều, thậm chí là vô số lần. Trong trường hợp này tốt hơn là nên sử dụng một biến số và thiết lập các phương trình để giải toán thích hợp. PMVĐT giúp quá trình này diễn ra gọn nhẹ hơn bởi chức năng thuận tiện khi thao tác với các biến, các biểu thức và trong phương trình của nó. Một lợi ích dễ thấy và hiệu quả của PMVĐT là khả năng xem nhiều chức năng đồng thời trên màn hình. Điều này cho phép HS so sánh và
đối chiếu các hàm bằng cách liên hệ vấn đề dưới dạng đơn giản hơn (Montijo, 2017).
2.2. Sử dụng phần mềm vẽ đồ thị Desmos 2.2.1. Mô hình phương trình khít tốt nhất trong Desmos
Khi giải quyết các bài toán thực tế, chúng ta thường gặp các số liệu được thu thập dưới dạng bảng. Thông thường chúng ta vẽ biểu đồ phân tán (BĐPT) của số liệu và căn cứ vào hình dáng của biểu đồ phân tán các điểm được vẽ để cố gắng dự đoán đồ thị của hàm số loại nào sẽ khít tốt nhất với số liệu. Việc phác thảo và
xử lý thủ công từng dự đoán BĐPT trên giấy chiếm khá nhiều thời gian và độ chính xác không cao có thể ảnh hưởng đến việc tìm kiếm MH thích hợp. Khi đó,
PMVĐT sẽ hỗ trợ tốt nhất trong trường hợp này. Bài viết sử dụng phần mềm Desmos, có thể tải miễn phí trên điện thoại hay máy tính.
2.2. Các dự đoán khi tìm kiếm MH thích hợp 2.3. Ví dụ về sử dụng Desmos với MHH để giải quyết vấn đề thực tế liên quan đến hàm số mũ và logarit
Cần nhắc lại rằng một MH toán học ở đây là một phương trình hoặc tập hợp các phương trình mô tả một mối quan hệ và nhớ lại rằng BĐPT hiển thị dữ liệu và
mối quan hệ giữa 2 biến (nếu có). Dữ liệu này sau đó có thể được dùng để tạo MH cho mối quan hệ. Sau đó, MH có thể được sử dụng để suy luận về dữ liệu chưa biết. Chúng ta sẽ khám phá việc tạo và sử dụng MH từ tập dữ liệu với Desmos.
Lưu ý cho HS: Nếu một BĐPT chỉ ra rằng số liệu tăng nhanh chóng, có thể MH số liệu bằng cách dùng MH hàm mũ tự nhiên, có dạng: f (x) = Cekx (C, k là
các hằng số)
Ví dụ: Bảng sau ghi lại dân số thế giới trong thế kỉ XX và đầu XXI. Sử dụng các số liệu để đưa ra dự đoán dân số thế giới năm 2020. Giải thích sự dự đoán đó.
Năm (t) Dân số thế giới
(theo triệu người) Năm (t) Dân số thế giới (theo triệu người)
1960 3020 1900 1650
1970 3700 1910 1750
1980 4450 1920 1860
1990 5300 1930 2070
2000 6060 1940 2300
2010 6923 1950 2520
(nguồn số liệu từ Stewart, 2015)
Khi đọc tình huống, có thể HS chưa thấy xuất hiện các yếu tố toán học cần dùng để GQVĐ. Quá trình lập và sử dụng MH có thể thực hiện như sau:
1. Xác định được biến cần tìm của bài toán: giá trị dân số năm 2020−biến y.
2. Chuyển từ ngữ sang ngôn ngữ đại số. Số liệu bảng trên được viết rồi nhập lại như sau trên Desmos, đồng thời BĐPT sẽ được vẽ tự động bên cạnh. Để dễ hiển thị, các năm x được viết lại với x = 0 là năm 1990… x = 11 là năm 2010, khi đó năm 2020 ứng với x = 12; dân số y tính theo tỉ người và lưu ý dấu thập phân trong Desmos là chấm (.).
3. Thiết lập MH. Để ý thấy, MH phi tuyến tính, tức là nếu khít bởi đường thẳng sẽ không thích hợp. Căn cứ vào hình dáng BĐPT, MH hàm mũ có khả năng khít số liệu tốt hơn. Các số liệu trên biểu đồ tăng khá nhanh, chúng ta có thể dùng MH hàm mũ tự nhiên, có dạng: f (x) = Cekx (C, klà các hằng số).
Trên Desmos, nhập biểu thức mới y = Cekx với thanh trượt tham số C và k. Điều chỉnh thanh trượt bằng cách kéo rê C và k ta thấy có những đồ thị khá khít với điểm số liệu. Trên hình dưới ta thu được C = 1.6và k = 0.13. MH hàm mũ cụ thể là: f (x) = 1.6e0.13x
4. Sử dụng MH. Để đưa ra dự đoán dân số năm 2020, ta cần tìm giá trị f (2020). Nhập thêm biểu thức y
= Cek.12 để tính f (2020). Vì vậy, có thể đưa ra dự đoán dân số năm 2020 là khoảng7.614 tỉ người.
Để kiểm tra xem độ khít tốt của MH, ta sử dụng phép hồi quy (kí hiệu ~) kiểm tra hệ số thống kê (R2), càng gần 1 thì càng khít tốt. Nhập thêm biểu thức
.1
1 k x
y Ce , hệ số thống x1kê R2=0.9723là chấp nhận được.
Tuy nhiên, chúng ta cũng có thể để Desmos tự động tìm một hàm mũ tự nhiên khít tốt nhất với số liệu bằng phép hồi quy. Nhập biểu thức y ae1 b x.1, trong đó a,b là hai hệ số để Desmos tìm kiếm tự động.
Trong hình dưới, đường cong màu tím được Desmos đề xuất, hệ số thống kê R2 = 0.99 cho thấy độ khít tốt, a = 1.31661 và b = 0.151236. Ta có mô hình f (x) = 1.31661e0.1512366 x, và theo mô hình này ta có dự đoán dân số năm 2020 là 8.084 tỉ.
Kiểm chứng: Sau khi HS đưa ra dự đoán, có thể yêu cầu HS kiểm tra độ chính xác dự đoán của mô hình bằng cách tìm kiếm thông tin dân số thế giới năm 2020 trên internet. Dân số năm 2020 là 7.794 (nguồn:
danso.org). Kết quả dự đoán lệch khoảng 0.18 tỷ so với số liệu chính thức. Điều này cho thấy việc lựa chọn MH thích hợp cho sự phát triển dân số không chỉ phụ thuộc vào số liệu mà chúng ta có được mà còn chịu ảnh hưởng bởi các yếu tố khách quan khác.
3. Kết luận
Trong quá trình MHH toán học, HS có thể gặp nhiều khó khăn như không hiểu vấn đề của tình huống, xác định giả thiết, biến số hay thiếu kiến thức toán nhưng nếu GV hiểu và tìm ra định hướng dạy thích hợp thì việc học kiến thức của HS sẽ phát triển tích cực. Việc hướng dẫn HS sử dụng Desmos tìm kiếm các MH toán khi GQVĐ giúp HS phát triển kỹ năng công nghệ cũng như đem lại cho HS cơ hội để thấy những ứng dụng toán học trong thực tế.
Tài liệu tham khảo
1. Kostur, M. & Yilmaz, A. (2017). Technology support for learning exponential and logarithmic functions. Ihlara Journal of Educational Research, IHEAD, e-ISSN 2528-9632, 2017, 2(2), 50-68.
2. Stewart, J.; Redlin, L. & Watson. S. (2015).
Precalculus: mathematics for calculus (7 ed.). Brooks/
Cole, Cengage Learning.
3. Vui, T. (2021). Máy tính đồ thị Desmos hỗ trợ sáng tạo mô hình hàm số trong giải quyết vấn đề thực tế với số liệu. Bài giảng sau đại học, Trường Đại Học Sư phạm Huế.
TẠP CHÍ THIẾT BỊ GIÁO DỤC - SỐ ĐẶC BIỆT THÁNG 8/2021 ●
81
1. Đặt vấn đề
Trong chương trình Toán 1, nội dung dạy học “Số và phép tính” là nội dung trọng tâm bao gồm: đếm, đọc, viết, so sánh các số tự nhiên trong phạm vi 100, các phép tính với số tự nhiên phép cộng, trừ, tính nhẩm, thực hành giải quyết vần đề liên quan đến các phép tính cộng trừ. Để dạy học có hiệu quả thì giáo viên (GV) cần có phương pháp dạy học phù hợp với học sinh (HS) trong đó dạy học hợp tác là một trong những phương pháp dạy học tích cực theo xu hướng dạy học không truyền thống, góp phần thực hiện định hướng đổi mới phương pháp dạy học ở nước ta. Bài viết sẽ làm rõ các hướng thiết kế sư phạm để dạy học hợp tác, đồng thời đề xuất một số biện pháp hỗ trợ nhằm nâng cao hiệu quả vận dụng dạy học hợp tác vào dạy học số và phép tính cho HS lớp 1.
2. Nội dung nghiên cứu
2.1. Các hướng thiết kế sư phạm để dạy học hợp tácChúng tôi đề ra những hướng “thiết kế sư phạm”
cho nội dung dạy học để vận dụng dạy học hợp tác có hiệu quả như sau:
Hướng 1: Tạo ra những tình huống gợi được vấn đề, nghĩa là nội dung đó phải thỏa mãn ba điều kiện:
Tồn tại một vấn đề; gợi được nhu cầu nhận thức và
gây được niềm tin ở khả năng giải quyết vấn đề đó của HS. Vấn đề đó HS có nhu cầu hợp tác, trao đổi, thảo luận nhóm trong giải quyết nhằm đạt kết quả tốt hơn. GV có thể tạo ra những tình huống gợi vấn đề theo một số cách thông dụng như: Dự đoán nhờ nhận
xét trực quan và thực nghiệm; lật ngược vấn đề; xem xét tương tự; khái quát hóa; giải bài tập mà người học chưa biết thuật giải...
Ví dụ: khi dạy bài “Chục và đơn vị” (tr.104), ở bài này hình thành cho HS có khái niệm ban đầu thông qua trò chơi “Bộ đội giúp dân” (thời gian 7 - 10 phút). Như vậy, chục và đơn vị sẽ được hình thành dựa trên những kinh nghiệm, trải nghiệm và
thông qua thực hành của HS.
Hướng 2: Tích hợp một số nội dung của bài học Ví dụ: Bài “So sánh các số trong phạm vi 100”
(bài tập 3, tr.110), GV thiết kế phiếu giao việc cho các nhóm hoạt động học hợp tác. Ở phiếu giao việc này, để thực hiện nhiệm vụ 1 HS chỉ cần thao tác đếm số bông hoa của Mai, Nam, Lan rồi quay về việc so sánh các số tự nhiên. Nhưng ở nhiệm vụ 2 để so sánh được số bông hoa của bạn nào nhiều hơn đòi hỏi HS đưa ra những ý tưởng khác nhau, những cách làm, cách giải thích khác nhau từ đó tạo ra cho HS nảy sinh sáng tạo.
Hướng 3: Toán học hóa những tình huống thực tế và thực tế hóa các vấn đề Toán học để tạo hứng thú ngay từ đầu khi HS thâm nhập vấn đề.
Chẳng hạn khi học khái niệm về phép cộng (Toán 1), bản chất là hợp của hai tập hợp rời nhau. Phương pháp chung là GV hướng dẫn HS thao tác trên các mô hình vật thật (vật phù hợp với vùng miền, có xung quanh lớp học hoặc tồn tại trong vốn sống, kinh nghiệm của HS). Ví dụ như ở miền núi, nông thôn
“vật” là những chú gà ngộ nghĩnh, ngược lại ở thành phố “vật” có thể là những chiếc ô tô xinh xắn.
Hướng 4: Tạo ra những vấn đề có tính mở, toán vui, toán ngụy biện, câu đố...