1. Đặt vấn đề
Một trong các mục tiêu của Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán (12/2018) là hình thành và phát triển năng lực toán học bao gồm các thành tố cốt lõi sau: năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hóa toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán. Trong đó, năng lực tư duy và lập luận toán học có vai trò rất quan trọng bởi tư duy và lập luận toán học là nét bản chất và là dấu hiệu đầu tiên để nhận biết hoạt động học toán.
2. Nội dung nghiên cứu
2.1. Các yêu cầu cần đạt của năng lực tư duy và lập luận toán học đối với cấp trung học phổ thông
+ Học sinh (HS) thực hiện được tương đối thành thạo các thao tác tư duy như: so sánh, phân tích, tổng hợp, đặc biệt hóa, khái quát hóa, tương tự, quy nạp, diễn dịch. Đặc biệt phát hiện được sự tương đồng và
khác biệt trong những tình huống tương đối phức tạp và lí giải được kết quả của việc quan sát.
+ Sử dụng được các phương pháp lập luận, quy nạp và suy diễn để nhìn ra những cách thức khác nhau trong việc giải quyết vấn đề.
+ Nêu và trả lời được câu hỏi khi lập luận, giải quyết vấn đề. Giải thích, chứng minh, điều chỉnh được giải pháp thực hiện về phương diện toán học.
Nhằm góp phần hình thành và phát triển cho HS năng lực toán học, đáp ứng yêu cầu của chương trình
giáo dục phổ thông năm 2018 đang triển khai. Các tác giả xây dựng một số tình huống dạy học trong chủ đề “NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG” theo hướng phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho HS lớp 12.
2.2. Xây dựng các tình huống dạy học chủ đề
“Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng” theo hướng phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho HS lớp 12
2.2.1. Dạy học khái niệm tích phân
Hoạt động 1. Trải nghiệm (Tiếp cận khái niệm).
GV: Chia lớp thành 4 nhóm, giao nhiệm vụ cho các nhóm bằng phiếu học tập thảo luận nhóm, yêu cầu HS tìm câu trả lời cho các câu hỏi sau:
Thông qua hoạt động, HS có cơ hội thực hiện các thao tác tư duy: so sánh, phân tích, tổng hợp và kết luận. HS nhớ lại công thức tính diện tích hình thang, thực hiện quá trình tư duy so sánh, phân tích. Từ đó HS trả lời được các câu hỏi theo yêu cầu của GV
Hoạt động 2. Hình thành định nghĩa tích phân.
GV giới thiệu khái niệm hình thang cong và
công thức tính diện tích của hình thang cong.
S = F(b) - F(a) Trong đó F(x) là
nguyên hàm của f(x).
S được gọi là tích phân của f(x).
Kí hiệu: b ( )
a
f x dx
∫
TẠP CHÍ THIẾT BỊ GIÁO DỤC - SỐ ĐẶC BIỆT THÁNG 8/2021 ●
85
GV: Phát biểu định nghĩa tích phân? Ý nghĩa hình học của tích phân?
Hoạt động trên đã góp phần tạo cho HS cơ hội thực hiện thành thạo các thao tác tư duy như: so sánh, phân tích, tổng hợp, đặc biệt hóa, khái quát hóa, phát hiện được sự tương đồng và khác biệt giữa bài toán tính tích phân và tính diện tích hình phẳng. Từ đó giúp HS nắm rõ định nghĩa tích phân cũng như ý nghĩa hình học của tích phân.
Hoạt động 3. Củng cố.
GV: Yêu cầu HS nhắc lại định nghĩa tích phân, đặc biệt chú ý công thức Niu-tơn-Lai-bơ-nit và nêu được ý nghĩa hình học của tích phân.
Thông qua hoạt động, HS phân tích, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa để tìm ra dấu hiệu đặc trưng của định nghĩa tích phân.
Hoạt động 4. Vận dụng (Luyện tập)
Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m/s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v (t) = −5t + 10(m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?
A. 0,2m B. 2m C. 10m D. 20m Hoạt động này, yêu cầu HS vận dụng các thao tác tư duy, kiến thức về tích phân để giải quyết một bài toán thực tế.
2.2.2. Dạy học định lí
Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên K thì mọi nguyên hàm của f (x) trên K đều có dạng F (x) + C, với C là một hằng số.
Hoạt động 1. Trải nghiệm (Tiếp cận định lí).
GV: Nhắc lại định nghĩa nguyên hàm?
GV: Chúng ta luôn tìm được nguyên hàm của một hàm số y = f (x). Tuy nhiên, chúng ta có thể tìm được bao nhiêu nguyên hàm F (xGV: Giao nhiệm vụ cho các nhóm bằng phiếu học ) của nó?
tập thảo luận nhóm.
PHIẾU HỌC TẬP (Thảo luận nhóm) Hãy tìm một nguyên hàm của hàm số sau. Từ đó suy ra một số nguyên hàm khác nhau của hàm số đó.
a) f (x) = 2x ...
b) f (x) = ex...
c) f x( ) 1
=x...
d) f (x) = cos x ...
Thông qua hoạt động, HS có cơ hội thực hiện các thao tác tư duy: so sánh, phân tích, tổng hợp và kết luận.
Hoạt động 2. Hình thành định lí.
GV: Phát biểu định lí? Nêu giả thiết, kết luận của định lý?
HS kết luận: Với C là một hằng số nào đó thì ta luôn có (F(x) + C)Ꞌ = F Ꞌ (x)
Tổng quát hóa: ta có thể viết: ∫ f(x)dx = F(x) + C Thông qua hoạt động, GV giúp HS có cơ hội thực hiện các thao tác tư duy như: phân tích, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa để tìm ra dấu hiệu đặc trưng của định lí. Lĩnh hội các thuật ngữ, kí hiệu then chốt.
Phát biểu được bằng lời định lí.
Hoạt động 3. Củng cố.
Thông qua hoạt động, GV giúp HS phân tích, so sánh, nhận diện định lí trong những trường hợp đơn giản có tính chất đặc trưng.
HS: Thực hành áp dụng định lí trong những trường hợp đơn giản.
Hoạt động 4. Vận dụng (Luyện tập).
Hoạt động này, GV giúp HS sử dụng các phương pháp lập luận, quy nạp và suy diễn để phát hiện, tìm ra cách giải bài toán.
2.2.3. Dạy học bài tập Tính tích phân 5 2
3
1
I 2dx
x x
=
∫
− −Hoạt động 1. Tìm hiểu nội dung đề bài.
GV đặt các câu hỏi dẫn dắt. Tạo cơ hội cho HS thực hiện các thao tác tư duy như: so sánh, phân tích, tổng hợp,…
GV: Em có nhận xét gì về số nghiệm của tam thức bậc hai x2 − x − 2?
HS: Tam thức bậc hai x2 − x − 2 có 2 nghiệm phân biệt.
GV phát phiếu học tập cá nhân và yêu cầu HS trả lời các câu hỏi sau.
PHIẾU HỌC TẬP
a) Nhắc lại cách phân tích tam thức ax2 + bx + c thành tích?
b) Áp dụng phân tích tam thức x2 − x − 2 thành tích?
c) Phân tích phân thức
2
1 2
x − −x thành tổng (hiệu) của hai phân thức?
Thông qua hoạt động, GV giúp HS có cơ hội thực hiện các thao tác tư duy: so sánh, phân tích, tổng hợp khi tìm hiểu yêu cầu của bài toán.
Hoạt động 2. Tìm cách giải.
HS: Phân tích phân thức
( )( )
2
1 1 ? ?
2 2 1 2 1
x x = x x = x +x
− − − + − +
GV: Gợi ý dẫn dắt HS phân tích bằng nhiều cách khác nhau như: Phương pháp hệ số bất định; phương pháp trị số riêng; dùng kỹ thuật thêm bớt.
Thông qua hoạt động HS có cơ hội sử dụng được các phương pháp lập luận, quy nạp và suy diễn để nhìn ra những cách giải của bài toán.
Hoạt động 3. Trình bày lời giải.
Yêu cầu HS trình bày lời giải theo các cách giải với lập luận có căn cứ.
Hoạt động 4. Đánh giá và nghiên cứu sâu lời giải.
+ Đánh giá lời giải đã thực hiện.
+ Bài toán tương tự.
+ Mở rộng bài toán cho trường hợp tổng quát.
HS khái quát hóa cách giải tích phân có dạng
( )
2
1 , 0
I dx a
ax bx c
β α
= ≠
+ +
∫
, cho các trường hợp0; 0; 0
∆ > ∆ = ∆ <
* Nếu ∆ > 0 thì ax2 + bx + c= a(x - x1)(x - x2)
(
1)(
2) (
1 2)
121 1 1 ln x x
I dx
a x x x x a x x x x
β β
α α
⇒ = = −
− − − −
∫
* Nếu ∆ > 0 thì 2 2
2 ax bx c a x b
a
+ + = −
2
1 1 1 1
2 2
I a x ba dx a x ba
β β
α
α
⇒ = = −
− −
∫
* Nếu ∆ > 0 thì
2 2 2
2 4 2
ax bx c a x b
a a
−∆
+ + = + +
2 2
2
1 1
2 4
I dx
a x b
a a
β
α
⇒ = + + −∆
∫
.Áp dụng phương pháp đổi biến số đặt
2 tan
2 4
x b t
a a
+ = −∆
+ Giải quyết các vấn đề gắn với thực tiễn.
Bài toán: Một chiếc máy bay cất cánh với vận tốc
2 4
( ) 1,2 3 v t t
t
= + +
+ (m/s) theo phương có góc nâng 230 so với mặt đất (như hình vẽ). Hỏi sau khi cất cánh 2 phút thì máy bay ở độ cao bao nhiêu mét so với mặt đất?
Nguồn: https://www.baogiaothong.vn/vietnam-airlines-chinh-phuc-giac-mo-bay-d167098.html
Thông qua bài toán, HS có cơ hội thực hiện các thao tác tư duy: so sánh, phân tích, tổng hợp, lập luận và sáng tạo khi tìm cách giải quyết các vấn đề gắn với thực tiễn. Từ đó, giúp HS cảm thấy toán học gần gũi hơn trong đời sống hằng ngày.
3. Kết luận
Trên đây là một số tình huống dạy học chủ đề
“Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng” chúng tôi thiết kế theo định hướng tăng cường rèn luyện tư duy và lập luận toán học cho HS nằm trong tổng thể chung là phát triển năng lực toán học.
Qua quá trình thực nghiệm sư phạm, bước đầu đã mang lại kết quả khả quan, HS tích cực và chủ động hơn trong học tập. Chúng tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu, hoàn thiện mở rộng các tình huống dạy học theo hướng phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học, nhằm góp phần hình thành và phát triển cho HS năng lực toán học, đáp ứng yêu cầu của chương trình giáo dục phổ thông năm 2018 đang triển khai.
Tài liệu tham khảo
1. Bộ Giáo dục và Đào tạo (2018), Chương trình Giáo dục phổ thông môn Toán, NXB Giáo dục, Hà
Nội.2. Đỗ Đức Thái (Chủ biên), Đỗ Tiến Đạt, Phạm Xuân Chung, Nguyễn Sơn Hà, Phạm Sỹ Nam, Vũ Đình Phượng, Nguyễn Thị Kim Sơn, Vũ Phương Thúy, Trần Quang Vinh (2018), Dạy học phát triển năng lực môn Toán THPT, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội.
3. Lê Ngọc Sơn và Nguyễn Dương Hoàng (2020), Một số vấn đề về lí luận và thực hành dạy học môn Toán, NXB Giáo dục Việt Nam, Hà Nội.
4. Nguyễn Bá Kim (2006), Phương pháp dạy học môn Toán, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội.
5. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Vũ Tuấn (Chủ biên), Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất (2008), Giải tích 12, NXB Giáo dục, Hà
Nội.
TẠP CHÍ THIẾT BỊ GIÁO DỤC - SỐ ĐẶC BIỆT THÁNG 8/2021 ●
87
1. Đặt vấn đề
Dạy học theo dự án là một hình thức dạy học hay phương pháp dạy học (PPDH) phức hợp, trong đó dưới sự hướng dẫn của giáo viên, người học tiếp thu kiến thức và hình thành kỹ năng thông qua việc giải quyết một bài tập tình huống (dự án) có thật trong đời sống, theo sát chương trình học, có sự kết hợp giữa lý thuyết với thực hành và tạo ra các sản phẩm cụ thể.
Ở nhiều trường Đại học (mà môn toán không phải là môn chuyên ngành) ví dụ như các trường Nông Lâm nghiệp, Y dược, Kinh tế… thì môn Toán thuộc các môn học đại cương, SV thường ít có hứng thú học tập và kết quả học tập chưa cao do SV cảm thấy môn học này rất khó và khô khan. Với thực tế đó thì việc đổi mới PPDH môn Toán là một nhiệm vụ cấp thiết giúp giáo viên tạo được động lực nghiên cứu và
cải thiện kết quả học tập cho SV. PPDH theo dự án là một PPDH tưởng chừng như khó áp dụng đối với môn Toán nhưng thực tế nếu người dạy sử dụng khéo léo, lồng ghép giữa lý thuyết và thực hành, đề xuất những dự án mang tính thực tế cao, lại mang đến những kết quả thú vị. Người học không chỉ cảm thấy yêu thích môn học mà còn rèn luyện được rất nhiều kỹ năng cần thiết như: làm việc nhóm, phát hiện và
giải quyết vấn đề, thuyết trình, đặc biệt là phát huy được óc sáng tạo và tính kỷ luật.
2. Nội dung nghiên cứu
2.1. Quy trình tổ chức dạy học theo dự án Bước1. Chọn chủ đề và xây dựng kế hoạch
* Nhiệm vụ của GV: - Đề xuất chủ đề có liên quan
đến nội dung môn học;- Xác định các công việc cần thực hiện; sản phẩm cần đạt được sau khi hoàn thành dự án; - Xây dựng bộ câu hỏi định hướng; - Chia nhóm học tập và giao nhiệm vụ cho từng nhóm, đưa ra sản phẩm (kết quả) cần đạt được; - Dự trù thời gian cần thiết để hoàn thành dự án, phổ biến cách thức phân công nhiệm vụ trong nhóm; gợi ý cách thức làm việc cho từng nhóm; cung cấp các tiêu chí đánh giá,…- Thông báo tài liệu tham khảo hỗ trợ cho SV, chuẩn bị phương tiện và vật liệu cần thiết.
* Nhiệm vụ của SV: - Dựa trên mục tiêu chung, xác định mục tiêu dự án của nhóm mình; - Bầu nhóm trưởng, thư kí của nhóm. Nhóm trưởng phân công nhiệm vụ của từng thành viên trong nhóm; - Thảo luận, thống nhất xây dựng kế hoạch thực hiện, chi tiết hóa dự án của nhóm; - Dựa vào sự phản hồi của GV, xem xét, chỉnh sửa kế hoạch cũng như phương pháp thực hiện dự án của nhóm.
Bước 2. Thực hiện dự án
* Nhiệm vụ của GV: - Theo dõi và kiểm tra tiến độ thực hiện của các nhóm. - Trợ giúp giải quyết các câu hỏi mà SV thường gặp khó khăn trong quá trình thực hiện, chú ý phân tích những nguồn thông tin đúng và nguồn thông tin không chính xác; - Liên hệ các cơ sở, khách mời cần thiết cho SV.
* Nhiệm vụ của SV: - Tiến hành nghiên cứu tài liệu, tìm kiếm, thu thập thông tin và xử lí thông tin; - Họp thảo luận nhóm, trao đổi, giải quyết các vấn đề khó khăn; - Tổng hợp thông tin, có sự kết hợp giữa lí thuyết và thực hành, thiết kế nội dung báo cáo sản phẩm của nhóm thành bản thu hoạch, viết báo cáo thu hoạch; - Xây dựng sản phẩm hoặc bản báo cáo; -